新北师大初三数学黄金三角形习题

黄金三角形应用举例 我们知道，把一条线段分成不相等的两部分，使较长部分是原线段和较短部分的比例中项，这叫做把这条线段黄金分割，把线段分成两部分的这个点就称这条线段的黄金分割点。就是在线段AB 内有一点C ，使BC

AC AC AB =。BC AB AC ∙=2＝215- AB ≈０．618AB ，Ｃ点就是AB 的黄金分割点。说，节目主持人站在舞台的黄金分割点处，效果最好。我们把具有这种性质的图形叫黄金图形，(如果一个等腰三角形的底与腰之比等于2

15-，则称这个三角形为黄金三角形；若矩形的宽与长之比等于215-，则称这个矩形为黄金矩形，若直角梯形上下底之比等于2

15-，且上下底和等于斜腰，则称这个直角梯形为黄金梯形。)这里以黄金三角形为例，举例说明。

（如图1）等腰△OAB 的顶角为36度，这个三角形就是黄

金三角形，底角平分线BM 与腰的交点M 就是腰OA 的黄金分

割点，△MAB 也是黄金三角形。OM ＝BM ＝AB 。作∠A 的平

分线交BM 于Ｅ，△AME 也是黄金三角形，这一过程可以继续

下去，这样便得到一连串的黄金三角形。这些三角形都相似，并且两个相邻的相似三角形的相似比为2

15-。正十边形的一

边与过其两端点的两条半组成的三角形也是黄金三角

形。

例１． （如图２）等腰△ABC 的顶角为36度，腰ＡＢ的长为１０厘米，求底角的平分线ＢＤ的长。

解：因为△ABC 是黄金三角形，所以

2

15-=AB BC BC=555102

15215-=⨯-=-AB 厘米 又因为BD=BC(容易证明)

所以BD ＝555-厘米

例２．（如图３）等腰△ABC 的顶角为36度，BC 以CD 是对折，点B 交AC 于E ，求DE 与AD 的比值。

解：在△BCD 和△ECD 中

∠BDC ＝∠EDC （已知）

CD ＝CD （公共边）

∠DCB ＝∠DCE （已知）

∴△BCD ≌△ECD （SSS ）

∴BD=ED

又∵等腰△ABC 是黄金三角形，且点D 是黄金分割点。 ∴==AD

BD AB AD 215-

∴

=AD ED 215- 例３：作半径为2的正十边形（尺规作图） 因为正十边形的边长与半径的比是2

15-。所以要作半径为2的正十边形，只要画出半径为2的

圆，再把圆的半径黄金分割，以上分得的较长线

段做正十边形的边在周上依次截取，便可得到圆

的十个等分点。

作法：（如图４）1：画半径为2的⊙Ｏ，作半径ＯＡ 。 ２：作⊥ＯＡ，使ＡＱ＝2

1ＯＡ。 ３：以Ｑ为圆心，ＡＱ为半径画交ＯＱ于Ｐ。

４：以Ｏ为圆心，ＯＰ为半径画交ＯA 于Ｗ。

５：以ＯＷ为长，在⊙Ｏ中依次截得A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 、L 。 6：连结AB 、BC 、CD ……LA 。

则十边形ABCDEFGHKL 就是所求作的正十边形。

把上面所说圆的十个等分点依次连结相间的五个，便得到圆内接正五边形，连正五边形的五条对角线便得到正五角星形．

例4：黄金三角板应用

用硬板纸做一块三角板ABC，使其顶角A为36°，两腰相等，这样形状的三角板叫黄金三角板。

(1)作圆内接正十边形和圆内接正五边形

用黄金三角板可以很方便地把圆十等分(如图5)和五等分(如图6)

(2) 用黄金三角板画正五角星

(如图7)用黄金三角板ABC为模型先画两腰AB和AC，

再以B为顶角的顶点，BA为一腰画黄金三角形的另一腰

BD。然后以C为顶角的顶点，CA为一腰画黄金三角形的

另一腰CE。最后连结ED，便得正五角星。