大学物理下册第十三章

1 μ I 3μ I 第十三章 稳恒磁场

13—1 求各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。

[解] (a) P 点在水平导线的延长线上，水平导线在 P 点不产生磁场。P 点到竖直导线两端的连

线与电流方向的夹角分别为 θ = 0 ， θ = π 。因此，P 点的磁感应强度的大小为

B = μ 0

I ⎛ 0 π ⎞ ⎜ c os 0 − cos =

2 2

μ 0 I 4πa ⎝ 2 ⎠ 4πa

方向垂直纸面向外。

(b) 两条半无限长直导线在 P 点产生的磁场方向相同，都是垂直于纸面向内，它们在 P 点产 生的磁场的磁感应强度之和为

B = 2 μ 0 I = μ 0

I 1

4πr 2πr

半圆形导线在 P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的圆形 导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即

B 2 = 1 μ 0

I

= μ 0 I 2 2r 4r 方向垂直纸面向内。

(c) P 点到三角形每条边的距离都是

d =

3 a 6

每条边上的电流在 P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是

B = 0 (cos 30 0 − cos 150 0

)= 0 0 4πd 2πa 故 P 点总的磁感应强度大小为

B = 3B = 9μ 0 I 0

2πa

方向垂直纸面向内。

13—2 有一螺线管长 L ＝20cm ，半径 r =2.0cm ，导线中通有强度为 I =5.0A 的电流，若在螺 线管轴线中点处产生的磁感应强度 B ＝ 6.16 ×10 −3

T 的磁场，问该螺线管每单位长度应多少 匝?

[解] 已知载流螺线管轴线上场强公式为

μ

B =nI (cosβ 1 −cos β 2 ) = μ0 nI cos β2

2

13-3

−3 −7

2

n =

B μ0 I cos β 2 = B L 2 μ0 I 2 =

6.16 ×10 4π ×10 −7

× 5.0 ×

20 2 2

= 200匝 L + r 2 4 20 + 2 2

4

13—3 若输电线在地面上空 25m 处，通以电流1.8 ×103

A 。求这电流在正下方地面处产生

的磁感应强度。

[解] 已知直线电流的磁场公式

μ0 I

B = 4πa

(cos θ1 − cos θ 2 )

= 4π ×10 ×1.8 ×103 (cos 0 − cos π ) = 3.6 ×10 −6 T 4π × 25

13—4 在汽船上，指南针装在距载流导线 0.80m 处，该导线中电流为 20A 。(1)将此导线作 无限长直导线处理，它在指南针所在处产生的磁感应强度是多大?(2)地磁场的水平分量(向北) 为 0.18 ×10 −4 T 。由于电流磁场的影响，指南针的 N 极指向要偏离正北方向。如果电流的磁 场是水平的，而且与地磁场垂直，指南针的指向将偏离多大?求在最坏情况下，上述汽船中 的指南针的 N 极将偏离北方多少度?

[解] (1) 电流在指南针所在处的磁感应强度的大小为

B = μ 0 I 2 × 10 −7

× 20 =

T = 5.0 ×10 −6 T 1

2πr 0.80

(2) 如果电流的磁场是水平的而且与地磁场的水平分量 B 2 垂直(如图 a)，指南针偏离正北方 向的角度为 ϕ ，则

tan ϕ = B 1 = 5.0 × 10 −6

= 0.28 ϕ = 150 31′

B 0.18 ×10 −4

设指南针由于电流磁场偏离正北方向的角度为 ϕ1 ，由图(b)可知

B 2 sin ϕ1 = B 1 sin ϕ 2

两边微分后可得

d ϕ1 d ϕ 2

= B 1

cos ϕ 2 B 2 cos ϕ1

为求 ϕ1 的最大值 ϕ m ，令

d ϕ1 d ϕ 2

= 0 ，则有

m cos ϕ 2 = 0

π ϕ 2 =

2

因此 sin ϕ m =

B 1

B 2

= 0.28 ϕ = 16 0

8

′

13—5 在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为 N 的均匀密绕平面线圈，通有电流 I ， 方向如图所示。求中心 O 处的磁感应强度。

[解] 取一半径为 x 厚度为 dx 的圆环,其等效电流为:

dI = jdx = NI dx

R − r

dB 0 μ dI = 0 2 x =

μ0 NIdx 2 x (R − r )

∴ B 0 = R ∫ dB 0 = ∫ μ0 NIdx = μ0 NI

ln R

NI

r 2 x (R − r ) 2(R − r ) r 方向垂直纸面向外.

13—6 电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流 I =5.0A ，圆筒半径 R =1.0 ×10 2 m 如图

所示。求轴线上一点的磁感应强度。

[解] 在金属片上对称地取两个宽为 ds = ds 1 = ds 2

的窄条。 条上电流为 dI =

ds

I

πR

每个窄条是一条无限长载流直导线，在中心轴线上 P 点产生的 dB 为

dB = dB =

μ 0 dI 1 2 2πR

d B 1 和 d B 2 的方向已表示于图中，两者 x 分量相抵消，y 分量相加，总场只有 y 分量。由这

两条导线上电流共同贡献的磁感应强度是