高等代数最重要的基本概念汇总教学文稿

第一章 基本概念

1.5 数环和数域

定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab

都在S 内，那么称S 是一个数环。

定义2 设F 是一个数环。如果

（i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，

a

F b

∈，那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。

第二章 多项式

2.1 一元多项式的定义和运算

定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式

()1 2012n

n a a x a x a x ++++L ，

是非负整数而012,,,n a a a a L 都是R 中的数。

项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i

i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。

定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数

为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等

()()f x g x =

定义3 n

n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作

多项式2012n

n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的次数。

定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0

max ,;f x g x f x g x ?

+≤??

()ii ()()()()()()()0

f x

g x f x g x ?

=?+?。

多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律：

()()()()f x g x g x f x +=+；

2） 加法结合律：

()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++；

3）乘法交换律：

()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律：

()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =；

5） 乘法对加法的分配律：

()()()(

)

()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。

推论2.1.1 ()()0f x g x = 当且仅当()f x 和()g x 中至少有一个是零多项式 推论2.1.2 若()()()()f x g x f x h x =，且()0f x ≠，那么()()g x h x =

2.2 多项式的整除性

设F 是一个数域。[]f x 是F 上一元多项式环

定义 令()f x 和()g x 是数域F 上多项式环[]f x 的两个多项式。如果存在[]f x 的多项式

()h x ，使()()()g x f x h x =，我们说，()f x 整除（能除尽）()g x 。

多项式整除的一些基本性质：

1） 如果()()f x g x |，()()g x h x |，那么()()f x h x |

2） 如果()()h x f x |，()()h x g x |，那么()()()()

h x f x g x |±

3） 如果()()h x f x |，那么对于[]f x 中的任意多项式()g x 来说，()()()h x f x g x | 4） 果()(),1,2,3,,,i h x f x i t |=L 那么对于[]f x 中任意()1,2,3,,,i g x i t ,=L ()()()()()()()()

1212i i h x f x g x f x g x f x g x |±±±L 5） 次多项式，也就是F 中不等于零的数，整除任意多项式。

6） 每一个多项式()f x 都能被()cf x 整除，这里c 是F 中任意一个不等于零的数。 7） 如果()()f x g x |，()()g x f x |，那么()()f x cg x =，这里c 是F 中的一个不等于

零的数

设()f x ，()g x 是两个任意的多项式，并且()0g x ≠。那么()f x 可以写成以下形式

()()()()f x g x q x r x =+，这里()0r x =，或者()r x 的次数小于()g x 的次数。

定理2.2.1 设()f x 和()g x 是[]f x 的任意两个多项式，并且()0g x ≠。那么在[]f x 中

可以找到多项式()q x 和()r x ，使

（3）

()()()()

f x

g x q x r x =+

这里或者()0r x =，或者()r x 的次数小于()g x 的次数，满足以上条件的多项式

()()q x r x 和只有一对。

设数域F 含有数域F 而()f x 和()g x 是[]f x 的两个多项式，如果在[]f x 里()g x 不能整除()f x ，那么在[]F x 里()g x 也不能整除()f x 。

1） 定义1 假定()h x 是()f x 和()g x 的任一公因式，那么由

2） ()()()()()()()()()()()

32112111,

,

k k k k k k k k k k r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x -------+=+=+=

3） 中的第一个等式，()h x 也一定能整除()1r x 。同理，由第二个等式，()h x 也一定能整

除()2r x 。如此逐步推下去，最后得出()h x 能整除()k r x ，这样，()k r x 的确是()f x 和()g x 的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。 4） 定义 2 设以()g x x a =-除()1

110n

n n n f x a x a x

a x a --=++++L 时，所得的商

()121210

n n n n q x b x b x b x b ----=++++L 及余式

()0

r x c =，

比

较

()()()()

f x

g x q x r x =+两端同次幂的系数得1n n b a -=，211n n n b a ab ---=+，…

011b a ab =+，000c a ab =+，这种计算可以排成以下格式

()

1

2011

2

1

12

3

00

))))n n n

n n n n n n a a a a a a

ab ab ab ab b a b b b c -------++++=∣

L L L

5） 用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。

6） 2.3 多项式的最大公因式

7） 设F 是一个数域。[]f x 是F 上一元多项式环

8） 定义1 令设()f x 和()g x 是[]f x 的任意两个多项式，若是[]f x 的一个多项式()h x 同时整除()f x 和()g x ，那么()h x 叫作()f x 与()g x 的一个公因式。

9） 定义2 设()d x 是多项式()f x 与()g x 的一个公因式。若是()d x 能被()f x 与()g x 的每一个公因式整除，那么()d x 叫作()f x 与()g x 的一个最大公因式。

10） 定理2.3.1 []f x 的任意两个多项式()f x 与()g x 一定有最大公因式。除一个零次因

式外，()f x 与()g x 的最大公因式是唯一确定的，这就说，若()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式，那么数域F 的任何一个不为零的数c 与()d x 的乘积c ()d x 也是

()f x 与()g x 的一个最大公因式；而且当()f x 与()g x 不完全为零时，只有这样的乘

积才是()f x 与()g x 的最大公因式。

11） 从数域F 过度渡到数域F 时，()f x 与()g x 的最大公因式本质上没有改变。 12） 定理2.3.2 若()d x 是[]f x 的多项式()f x 与()g x 的最大公因式，那么在[]f x 里可

以求得多项式()()u x x 和v ，使以下等式成立： 13） （2）()()()()()f x u x g x x d x +v =。

14） 注意：定理2.3.2的逆命题不成立。例如，令()(),f x x g x x ==+1，那么以下等式成

立：()()()2

2221x x x x x x ++=+-+1-1但2

221x x +-显然不是()f x 与()g x 的最

大公因。

15） 定义3 如果[]f x 的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这

两个多项式互素。

16） 定理2.3.3 []f x 的两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是：在[]f x 中可以求

得多项式()()u x x 和v ，使

17） （4） ()()()()1f x u x g x x +v =

18） 从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：

19） 若多项式()f x 与()g x 都与多项式()h x 互素，那么乘积()()f x g x 也与()h x 互素。 20） 若多项式()h x 整除多项式()f x 与()g x 的乘积，而()h x 与()f x 互素，那么()h x 一

定整除()g x 。

21） 若多项式()g x 与()h x 都整除多项式()f x ，而()g x 与()h x 互素，那么乘积

()()g x h x 也整除()f x

最大公因式的定义可以推广到()2n n >个多项式的情形：

若是多项式()h x 整除多多项式()()()12,,,n f x f x f x L 中的每一个，那么()h x 叫作这n 个多项式的一个公因式。若是()()()12,,,n f x f x f x L 的公因式()d x 能被这n 个多项式的每一个公因式整除，那么()d x 叫作()()()12,,,n f x f x f x L 的一个最大公因式。 若()0d x 是多项式()()()121,,,n f x f x f x -L 的一个最大公因式，那么()0d x 是多项式

()n f x 的最大公因式也是多项式()()()121,,,n f x f x f x -L 的最大公因式。

若多项式()()()12,,,n f x f x f x L 除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多项式互素。

2.4 多项式的分解

定义1 []f x 的任何一个多项式()f x ，那么F 的任何不为零的元素c 都是()f x 的因式，

另一方面，c 与()f x 的乘积c ()f x 也总是()f x 的因式。我们把()f x 这样的因式叫作它的平凡因式，

定义2 令()f x 是[]f x 的一个次数大于零的多项式。若是()f x 在[]f x 只有平凡因式，

()f x 说是在数域F 上（或在[]f x 中）不可约。若()f x 除平凡因式外，在[]f x 中

还有其他因式，()f x 就说是在 F 上（或在[]f x 中）可约。

如果[]f x 的一个n （n>0）次多项式能够分解成[]f x 中两个次数小于n 的多项式

()()g x h x 与的乘积：

（1） ()()()f x g x h x =， 那么()f x 在F 上可约。

若是()f x 在[]f x 中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么()f x 在F

上不可约。

不可约多项式的一些重要性质：

1） 如果多项式()p x 不可约，那么F 中任一不为零的元素c 与()p x 的乘积c ()p x 也不可

约。

2） 设()p x 是一个不可约多项式而()f x 是一个任意多项式，那么或者()p x 与()f x 互

素，或者()p x 整除()f x 。

3） 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除，那么至少有一个因式

被 整除。

4） 如果多项式()()()()12,,,2s f x f x f x s ≥L 的乘积能被不可约多项式()p x 整除，那么

至少有一个因式被()p x 整除。

定理2.4.1 []f x 的每一个n(n>0)次多项式()f x 都可以分解成[]f x 的不可约多项式的乘

积。

定理2.4.2 令()f x 是[]f x 的一个次数大于零的多项式，并且 ()()()()()()()1212r s f x p x p x p x q x q x q x ==L L

此处i c 与()()1,2,,,1,2,,j q x i r j s ==L L 都是[]f x 的不可约多项式，那么

r s =，并且适当调换()j q x 的次序后可使()()(),1,2,,,

j i i q x c x p x i r ==L 此处()i c x 是F 上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式()f x 分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的。

形如

()()

()()1

212k k kt

t f x ap x p x p x =L 的多项式叫作多项()f x 的典型分解式，每一个

典型分解式都是唯一确定的。

2.5 重因式

定义 []f x 的多项式

()0122n

n f x a a x a x a x =++++L

的导数或一阶导数指的是[]f x 的多项式()1

122n n f x a a x na x

-'=+++L

一阶导数()f x '的导数叫作()f x 的二阶导数，记作()f x ''，()f x ''的导数叫作()f x 的

三阶导数，记作()f x '''，等等。()f x 的k 阶导数也记作()

()k f x 。

关于和与积的导数公式仍然成立：

（1） ()()()()f x g x f x g x ''+=+????

（2） ()()()()()()f x g x f x g x g x f x '''=+????

（3） ()()()1

k k f x kf x f x -''??=??

定理2.5.1 设()p x 是多项式()f x 的一个()1k k ≥重因式。那么()p x 是()f x 的导数的一个k-1重因式。

定理2.5.2 多项式()f x 没有重因式的充要条件是()f x 与它的导数()f x '互素。

2.6 多项式函数 多项式的根

设给定了1∈R 的一个多项式

()2

012n

n f x a a x a x a x =++++L

和一个数c ∈R,那么在()f x 的表示式里，把x 用c 来代替，就得到R 的一个数

2012n

n a a c a c a c ++++L

这个数叫作当x c =时，()f x 的值，并且用()f c 来表示。对于R 上的每一个数c ，就有 R 中唯一确定的数()f c 与它对应。就得到R 与R 的一个影射。这个影射是由多项式()f x 所确定的，叫作R 上的一个多项式函数。

定理2.6.1 设()[],f x R x c R ∈∈，用x c -除()f x 所得的余式等于当x c =时()f x 的值

()f c

定义 令()f x 是[]R x 的一个多项式而c 是R 中的一个数，若是当x c =时()f x 的值

()0f c =，那么c 叫作()f x 在数环R 中的一个根。

定理2.6.2 数c 是()f x 的根的充要条件是()f x 能被x c -整除。

定理2.6.3 设x c -是[]R x 中一个0n ≥次多项式。那么()f x 在R 中至多有n 个不同的根。 定理2.6.4 设()()f x g x 与是[]R x 的两个多项式，它们的次数都不大于n 。若是以R 中

n+1个或更多不同的数来代替x 时，每次所得()()f x g x 与的值都相等，那么

()()f x g x =。

定理2.6.5 []R x 的两个多项式()()f x g x 与相等，当且仅当她们所定义的R 上多项式函

数相等。

()()()()()

()()()()

1

111111111n i i i n i i i i i i n b x a x a x a x a f x a a a a a a a a +-++=-++----=----∑L L L L

这个公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。

2.7 复数和实数域上多项式

定理2.7.1 （代数基本定理） 任何()0n n >次多项式在复数域中至少有一个根。 定理2.7.2 任何()0n n >次多项式在复数域中有n 个根（按重根重数计算）。

复数域C 上任一()0n n >次多项式可以在[]C x 里分解为一次因式的乘积。负数域上任一 次大于1的多项式都是可约的。

定理2.7.6 若实数多项式()f x 有一个非实的复数根α，那么的共轭数α也是()f x 的根，

并且αα与有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的非实的复数根两两

成对。

定理2.7.4 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只含非实共轭复数根的二次多项式。 定理2.7.5 每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因

式的乘积。

2.8 有理数域上多项式

令()f x 是整数环Z 上的一个()0n >次多项式。如果存在()()(),g x h x Z x ∈????，它们

的次数都小于n ，使得()()()f x g x h x =， （1）

那么()()()f x g x h x 、、自然可以看成有理数域Q 上的多项式。等式（1）表明，()f x 在

[]Q x 中是可约的。

定义 若是一个整系数多项式()f x 的系数互素，那么()f x 叫作一个原本多项式。 引理2.8.1 两个原本多项式的乘积仍然是一个原本多项式。

定理2.8.1 若是一个整系数()0n >次多项式()f x 在有理数域上可约，那么()f x 总可以分解成次数都小于n 的两个整系数多项式的乘积。 定理2.8.2 （艾森斯坦（Eisenstein ）判别法）设 ()2

012n

n f x a a x a x a x =++++L

是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p ，使得 （i ）最高次项系数n a 不能被p 整除； （ii ）其余各项都能被p 整除； （iii ）常数项0a 不能被2

p 整除， 那么多项式()f x 在有理数域上不可约。 有理数域上任意次的不可约多项式都存在。

定理2.8.3 设()101n n n f x a x a x a -=+++L 是一个整系数多项式。若是有理数

u

v

是()f x 的一个根，这里u 和v 是互素的整数，那么

（i ）v 整除()f x 的最高次项系数0a ，而u 整除()f x 的常数项n a ； （ii ）()()u f x x q x v ??

=-

???

，这里()q x 是一个整系数多项式。 2.9 多元多项式

在这一节里，R 总表示一个数环，且1R ∈

令123,,,,n x x x x L 是n 个文字，形如1212k k kn

n ax x x L 的表示式。其中12,,,n a R k k k ∈L 是

非负整数，叫作R 上12,,,n x x x L 的一个单项式。数a 叫作这个单项式的系数，如果某一

0i k =，那么ki

i x 可以不写，约定1

1

11

11111

11

1

ki ki ki ki i i i i k kn

k kn i n n ax

x x x x ax x x x -+-+-+-+=L L L L 。

因此，()m m n <个文字的单项式总可以看成n 个文字的单项式。特别，当

1230n k k k k ====L 时，我们有00012

n ax x x a R =∈L 。 形式表达式11121212221211

2

21212,k k k n k k k n ks ks ksn

n n s n i a x x

x a x x x a x x x a R +++∈L L L L ，ij k 是

非负整数()1,2,3,,;1,2,,i s j n ==L L ，叫作R 上n 个文字123,,,,n x x x x L 的一个多项式，或简称R 上一个n 元多项式。

我们通常用符号()12,,,n f x x x L ，()12,,,n g x x x L 等来表示R 上n 个文字

123,,,,n x x x x L 的多项式。

定理2.9.1 数环R 上的两个n 元多项式()12,,,n f x x x L 与()12,,,n g x x x L 的乘积是首项等于这两个多项式首项的乘积。特别，两个非零多项式的乘积也不等于零。 定理2.9.2 数环R 上两个不等于零的n 元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和。 定理 2.9.3 设()12,,,n f x x x L 是数环R 上的一个n 元多项式，如果对于任意

()12,,n n c c c R ∈L 都有()12,,0n f c c c =L ，那么()12,,,0n f x x x =L

推论2.9.1 设()12,,,n f x x x L 与()12,,,n g x x x L 是数环R 上n 元多项式，如果对于任意

()12,,n

n c c c R ∈L 都有

()()

1212,,,,n n f c c c g c c c =L L ，那么

()()1212,,,,,.n n f x x x g c c c =L L 换句话说，如果由()12,,,n f x x x L 与()12,,,n g x x x L 确定的多项式函数f g 与相等，那么这两个多项式相等。

2.10 对称多项式

定义 1 设()12,,,n f x x x L 是数环R 上的一个n 元多项式，如果对于这n 个文字

123,,,,n x x x x L 的指标集{}1,2,,n L 施行任意一个置换后，()

12,,,n f x x x L 都不改变，那么就称()12,,,n f x x x L 是R 上一个n 元对称多项式。

定义2 （1）

11211222312,n n n n n n n

x x x x x x x x x x x x x σσ---=+++=L L L L L ，这里k σ表

示 123,,,,n x x x x L 中k 个所作的一切可能乘积的和，这样的n 个多项式显然都是n 元对称多项式。我们称这n 个多项式12,,,n σσσL 为n 元对等对称多项式。

引理2.10.1 设()12

121212

,,,n

n i i i n i i i n

f x x x a

x x x =

∑L L L 是数环R 上一个n 元对称多项式，以i σ代替i x ，1i n ≤≤，得到关于12,,,n σσσL 的一个多项式

()12

121212,,,n n i i i n i i i n

f a σσσσσσ=∑L L L 。如果()12,,,0n f σσσ=L ，那么一切系数120n i i i a =L ，即()12,,,0n f x x x =L

定理2.10.1 数环R 上一n 元对称多项式()12,,,n f x x x L 都可以表示成初等对称多项式

12,,,n σσσL 的系数在R 中的多项式，并且这种表示法是唯一的。

推论 2.10.1 设()f x 是数域F 上的一个一元n 次多项式，它的最高次项系数是1。令

12,,,n σσσL 是()f x 是复数域内的全部根（按重根重数计算）。那么12,,,n σσσL 的每一个系数取自F 的对称多项式都是()f x 的系数的多项式

（它的系数在F 内）因而是F 的一个数。

第三章 行列式

3.2 排列

定义1 n 个数码1，2，…，n 的一个排列指的是由这n 个数码组成的一个有序组，叫做数码

的排列。

定义2 一般的在一个排列里，如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面，就说这两

个数码构成一个反序，在一个排列里出现的反序总数的总和叫做这个排列的反序数（逆序数）。

一个排列的逆序数可能是偶数也可能是奇数，有偶数个逆序数的排列叫作一个偶排列；有奇

数个逆序数的排列叫作一个奇排列。 定义3 如果把这个排列里任意两个数码i j 与交换一下，而其余的数码保持不动，那么就得

到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫作一个对换，并且用符号

(),i j 来表示。

定理3.2.1 设12n i i i L 和12n j j j L 是n 个数码的任意两个排列，那么 总可以通过一系列对

换由12n i i i L 得出12n j j j L 。

定理3.2.2 每一个对换都改变排列的奇偶性。

定理3.2.3 2n ≥时，n 个数码的奇排列与偶排列的个数相等，各为

2

n !

个。 3.3 n 阶行列式

我们用符号()12n j j j τL 来表示排列12n j j j L 的逆序数。 定义1 用符号

111212122212n n n n nn

a a a a a a a a a L L M M M L

表示的n 阶行列式指的是n !项的代数和，这些项是一切可能取自

11

12

1212221

2n n

n n nn

a a a a a a a a a L

L M M M L

的不同的行与不同的列上的n 个元素的 乘积。项1212n j j n j a a a L 的符号为

()

()

121n j j j τ-L ，也就是说，当

12n j j j L 是偶排列时，这一项的符号为正，当12n

j j j L

是奇排列时，这一项的符号为负。 定义2 n 阶行列式

111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =

L L M M M L

如果把D 的行变为列，就得到一个新的行列式

1121112

22212n n n n nn

a a a a a a D a a a '=

L L

M M M L

D '叫作D 的转置行列式。

引理 3.3.1 从n 阶行列式的第

12,,,n

i i i L 行和12,,,n j j j L 列取出的元素作积

1122n n i j i j i j a a a L ，这里12,,,n i i i L 和12,,,n j j j L 都是1，2，…，n 这n 个数码

的排列，那么这一项在行列式中的符号是

()()()12121,,s t

n n s i i i t j j j ττ+-==L L

命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等。 命题3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。

推论3.3.1 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。

命题3.3.3 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k ，等于以数k 乘以这

个行列式。

推论3.3.2 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符号外边。 推论3.3.3 如果一个行列式中有一行（列）的元素全是零，那么这个行列式等于零。 推论3.3.4 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。 命题 3.3.4 设行列式D 的第i 行的所有元素都可以表示成两项的和：

1112111221

2

n i i i i in in n n nn

a a a D

b

c b c b c a a a =+++L M M

M L

M M M L 那么D 等于两个行列式12D D 与的和，其中1D 的第i 行的元素是

12,,i i in b b b L ，2D 的第i 行元素是12,,,i i in c c c L ，而12D D 与的其他各行都

和D 的一样。

命题3.3.5 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。

3.4 子式和代数余子式行列式的依行列展开