第四节最大流问题

1． 标号过程
在标号过程中，网络中的点或者是标号点（分为已 检查和未检查两种）。或者是未标号点。每个标号点 的标号包含两部分：第一个标号表示这个标号是从那 一点得到的。以便找出增广链。第二个标号是为了用 来确定增广链上的调整量θ。 标号过程开始，先给 vs 标号（ 0 ， +∞ ）。这时 vs 是 标号未检查的点，其他都是未标号点。一般地，取一 个标号未检查点vi，对一切未标号点vj：
fij ,当（vi v j ) ， 令fij fij , 当（vi v j ) 其他不变
再去掉所有的标号，对新的可行流f’={f’ij},重新 进行标号过程，直到找到网络D的最大流为止。
V2 （4,3）
（3,3） （1,1）
V4

三．标号法


从网络中的一个可行流 f 出发（如果 D 中没 有f，可以令f是零流），运用标号法，经过标号 过程和调整过程，可以得到网络中的一个最大流。 用给顶点标号的方法来定义 V1*. 在标号过程 中，有标号的顶点是 V1* 中的点，没有标号的点 不是 V1* 中的点。如果 vt 有了标号，表示存在一 条关于f 的增广链。如果标号过程无法进行下去， 并且vt 未被标号，则表示不存在关于f的增广链。 这样，就得到了网络中的一个最大流和最小截集。
(Cij,fij)
（5,3）
Vs
（5,1）
（3,0）
（1,1）
Vt
（2,1）
V1
（2,2）
V3
图8.21





例8.8: 求图8.21的网络最大流，弧旁的权数 表示（cij,fij）。 解.用标号法。 1.标号过程。 （1）首先给vs 标号（0，+∞） （2）看vs:在弧(vs,v2)上,fs2=cs3=3,不具备标号 条件。在弧 (vs,v1) 上 ,fs1=1<cs1=5, 故给 v1 标号 (vs, l(v1)), 其中 l(v1)=min[l(vs),(cs1-fs1)]=min[+∞,51]=4. （3）看v1:在弧（v1,v3）上,f13=c13=2,不具备标 号条件 . 在弧 (v2,v1) 上 ,f21=1>0, 故给 v2 标号（ -v1, l(v2)）,其中l(v2)=min[l(v1),f21]=min[4,1]=1.



调整后的可行流 f*，如图8.23所示，再 对这个可行流从新进行标号过程，寻找增广 链。 首先给vs 标号（0，+∞），看vs ,给v1 标 号 （ vs,3 ） 。 看 v1, 在 弧 （ v1,v3 ） 上 ， f13=c13,弧（v2,v1）上，f21=0,均不符合条件。 因此标号过程无法进行下去，不存在从VS到 Vt 的增广链，算法结束。 这时，网络中的可行流 f*即是最大流， 最大流的流量V(f*)=fs1+fs2=5.同时，也找出 D的最小截集（V1，V2），其中V1是标号的集合， V2是未标号的集合。


定理8.8:网络中的一个可行流f*是最大流的充分必要条 件是，不存在关于f*的增广链。 定理8.9:在一个网络D中，最大流的流量等于分离vs和vt 的最小截集的截量。 定理8.8实际上提供了一个寻求网络系统最大流的 方法：如果网络D中有一个可行流f，只要判断网络是否 存在关于可行流f的增广链 。如果没有增广链，那么f 一定是最大流。如有增广链，那么可以按照定理8.9， 不断改进和增大可行流f的流量，最终可以得到网络中 的一个最大流。
增广链，如果链μ满足以下条件： 1．在弧（vi,vj）∈μ+上，有0<=fij<cij,即μ+中的每一条弧是 非饱和弧。 2．在弧（vi,vj）∈μ-上，有0<fij<=cij,即μ-中的每一条弧是 非零流弧。
例如在图 8.20 中，链 μ= （ vs,v1,v2,v3,v4,vt ）就是一条增广链。 设图D=(V ， A，C)，点集 S,TV,S∩T=ф中。将起点在 S ，终点 在T 的所有弧作成集合，记做（S，T）。



（ 4 ）看 v2: 在弧（ v2,v4 ）上， f24=3<c24=4, 故给 v4 标 号 （ v2 ,l(v4) ） 其 中 l(v4)=min[l(v2),(c24f24)]=min[1,1]=1.在弧（v3,v2)上，f32=1>0, 故给v3标号（-v2，l(v3))， 其(l(v3)=min[l(v2),f32]=min[1,1]=1。 （ 5 ）在 v3,v4 中任意选一个，比如 v3, 在弧（ v3,vt ） 上 ， f3t=1<c3t=2, 故 给 vt 标 号 (v3,l(vt)), 其 中 l(vt)=min[l(v3),(c3t-f3t)]=min[1,1]=1. 因为 vt 被 标上号，根据标号法，转入调整过程。
网络系统上流的特点： (1)发点的总流出量和收点的总流入量必相等； (2)每一个中间点的流入量与流出量的代数和等于零； (3)每一个弧上的流量不能超过它的最大通过能力（即 容量）。
定义8.6 网络上的一个流 f叫做可行流，如果f满足以下 条件 （1）容量条件：对于每一个弧（vi,vj）∈A,有 0 fij cij . （2）平衡条件： 对于发点vs ，有∑fsj -∑fjs =v(f) 对于收点vt ，有∑ftj -∑fjt =-v(f) 对于中间点，有∑fij -∑fji =0 其中发点的总流量（或收点的总流量）v(f)叫做这个 可行流的流量。
在下图（图8.19与8.20合并图）中，(v4,v3)是饱和弧， 其他的弧是非饱和弧，并且都是非零流弧。
v1
（10,5）
（5,2）
v3
fij
（11,6）
（3,2） （4,1）
vs
（3,3）
vt
（5,1） （17,2） （6,3）
（8,3）
v2
v4
如图，在链（vs,v1,v2,v3,v4,vt)中， μ+={(vs,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v4,vt)}, μ-={(v4,v3)}.



2.调整过程 从vt 开始，按照标号点的第一个标号，用 反向追踪的方法，找出一条从vs 到vt 的增广链 μ，如图8.22中双箭线所示。 不 难 看 出 ,μ+={(vs,v1),(v3,vt)},μ={(v2,v1),(v3,v2)}, 取θ=1，在μ上调整f，得到 fs1+θ=1+1=2 在μ+上 f3t+θ=1+1=2 在μ+上 f*= f21-θ=1-1=0 在μ-上 f32-θ=1-1=0 在μ-上 其他的不变
1 ） 如 果 在 弧 （ vi,vj ） 上 ， fij<cij, 那 么 给 vj 标 号 （ vi,l(vj) ） . 其中 l(vj)=min[l(vi),cij-fij]. 这时， vj 成为标号未检查的点。 2 ）如果在弧（ vj,vi ）上， fij>0, 那么给 vj 标号（ -vi, l(vj) ） . 其中 l(vj)=min[l(vi),cij-fij]. 这时， vj 成为 标号未检查点。 于是vi成为标号已检查的点。重复以上步骤，如果 所有的标号都已经检查过，而标号过程无法进行下去， 则标号法结束。这时的可行流就是最大流。但是，如 果 vt被标上号，表示得到一条增广链 μ ，转入下一步 调整过程。
4.网络系统的最大流问题

定义8.8 设一个网络D=（V，A，C）。如果点集V被剖 分为两个非空集合V1和V2，发点vs∈V1,收点vt∈V2,那 么将弧集（V1,V2）叫做是分离vs 和vt 的截集。 定义8.9 设一个截集（V1, V2）.将截集（V1,V2） 中所有的弧的容量的和叫做截集的截量，记做 s(V1,V2),亦即s(V1,V2)=∑cij 。 (vi,vj)∈(V1,V2) 下面的事实是显然的：一个网络 D 中，任何一个可行 流 f 的流量 v(f) 都小于或等于这个网络中任何一个截 集(V1,V2)的截量。并且，如果网络上的一个可行流f* 和 网 络 中 的 一 个 截 集 （ V1*,V2* ） ， 满 足 条 件 v*(f*)=c(V1*,V2*), 那 么 f* 一 定 是 D 上 的 最 大 流 ， 而 （ V1*,V2* ）一定是 D 的所有的截集中截量最小的一个 （即最小截集）。

网络D上的流，是指定义在弧集合A上的一个函数 f={f(vi,vj)}={fij } f(vi,vj)=fij 叫 做 弧 在 (vi,vj) 上 的 流量。
v1
（5）
（2） （2）
v3
fij
（6）
vs
（1） （1） （3）
（3）
vt
（2）
v2
（3）
v4
图8.20网络上的一个流（运输方案） 每一个弧上的流量fij 就是运输量 例如fs1=5,fs2=3,f13=2等等
V2
（ 4 , 3）
V4
（ 5 , 3）
饱和弧
VS
（5, 1）
（ 1 , 1） （ 1 , 1）
（3, 0）
VT
（ 2 , 1）
V1
前向非饱和弧
（2, 2）
V3
后向弧非零
注意: 1有改善潜力的链 2 对每一个节点：进 = 出 3 从VS出发总量4 = 到达VT总量4
第七章 图与网络（3）
(1)给VS标号(V0,M),(2)检查VS,弧(VS,V2)已不能标号,弧(VS,V1) 可以标号,L(v1)=min(L(vs),5-1)=min(M,4)=4.(3)检查V1,弧 (V1,V3)已不能标号,V2是后向弧,L(V2)=min(4,1)=1,给V2标号 (-v1可行流总是存在的。例如零流 v(f)=0,就是满足以上条件的可行流。 网络系统中最大流问题就是在给定的网络上寻求一个 可行流f,其流量v(f)达到最大值。 设 流 f={fij} 是 网 络 D 上 的 一 个 可 行 流 。 我 们 把 D 中 fij=cij 的弧叫做饱和弧， fij<cij 的弧叫做非饱和弧， fij>0的弧为非零流弧，fij=0的弧叫做零流弧。 设μ是网络D中连接发点νs和收点vt 的一条链。定义 链的方向是从vs 到vt ，于是链μ上的弧被分为两类： 一是弧的方向与链的方向相同，叫做前向弧，前向弧 的集合记做μ+。二是弧的方向与链的方向相反，叫做 后向弧，后向弧的集合记做μ-。
V2(-v1,1)
2.调整过程
首先按照 vt 和其他的点的第一个标号，反向追踪， 找出增广链。例如，令vt 的第一个标号是vk，则弧 （vk,vt ）在μ上。再看vk 的第一个标号，若是vi， 则弧(vi,vk )都在μ上。依次类推，直到vs 为止。这 时，所找出的弧就成为网络D的一条增广链μ。取调 整量θ= l(vt) ,即vt 的第二个标号，
第四节 最大流问题



网络流的基本概念 求解网络最大流的基本原理 寻找网络最大流的标号法 确定网络中最大流的方法
一 引言

在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。 例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问 题等等。而网络系统流最大流问题是图与网络流理论中十 分重要的最优化问题，它对于解决生产实际问题起着十分
V2
（3,3）
（4,3） （1,0）
V4
(Cij,fij)
（5,3）
Vs
(0，+∞)
（3,0）
（1,0）
Vt
（5,2）
（2,1）
V1
(vs,3)
（2,2）
V3
图8.23
第七章 图与网络（3）
有一个运输网络（单行道），已知道路的运输能力和运量，如何发挥最大运力
（最大运量Cij , 实际运量Fij） （ 3 , 3）
重要的作用
。
4 .网络系统的最大流问题
v1
10 3 4 5 8 17 3 5
v3
Cij
11
vs
vt
v2
6 图8.19
v4
图8.19是一个网络。每一个弧旁边的权就是对应的容量（最大通 过能力）。要求指定一个运输方案，使得从vs 到vt 的货运量最大， 这是寻求网络系统的最大流问题。
二 基本概念
定义 8.5 设一个赋权有向图 D = （ V,A ） , 在 v 中指定一个 发点 vs 和一个收点 vt, 其他的点叫做中间点。对于 D 中的 每一个弧（ vi,vj ）∈ A, 都有一个权 cij 叫做弧的容量。 我们把这样的图 D 叫做一个网络系统，简称网络，记做D =（V，A，C）。