高中数学人教版版必修五演示课件第一章解三角形复习课

3.解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角 形问题来解决．基本解题思路是：首先分析此题属于哪 种类型的问题(如测量距离、高度、角度等)，然后依题意 画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发 现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转 化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似 计算的要求．
故 cos B＝ 22，因此 B＝45°. (2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin
45°＝
2＋ 4
6 .
故 a＝b·ssiinn AB＝1＋ 3. 由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， c＝b·ssiinn CB＝2·ssiinn 6405°°＝ 6.
专题二 判断三角形的形状问题 [例 2] 已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，aa3＋＋bb3－－cc3＝c2，且 acos B＝bcos A，试判 断△ABC 的形状． 解：由aa3＋＋bb3－－cc3＝c2， 得 a3＋b3－c3＝c2(a＋b)－c3， 所以 a2＋b2－ab＝c2，
归纳升华 应用正、余弦定理需注意的三点
1．正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关 系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一．
2．统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换 及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利 用配方、因式分解等代数变换方法进行变形．
3．求值时注意方程思想的运用．
专题一 利用正、余弦定理解三角形(自主研析)
[例 1]
在△ABC 中，B＝45°，AC＝
10，cos
C＝2
5
5 .
(1)求 BC 边的长；
(2)求 AB 边上的中线 CD 的长．
解：(1)由 cos C＝255，得 sin C＝ 55，

sin
A＝sin(180°－45°－C)＝sin(135°－C)＝
[变式训练] △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为
a，b，c，asin A＋csin C－ 2asin C＝bsin B.
(1)求角 B 的大小；
(2)若 A＝75°，b＝2，求 a，c.
解：(1)由正弦定理得 a2＋c2－ 2ac＝b2. 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B.
BB，
又由正弦定理可得ab22＝ssiinn22AB，
所以scions
Acos Asin
BB＝ssiinn22AB，
所以ccooss BA＝ssiinn AB，所以 sin 2A＝sin 2B.
又因为 A∈(0，π)，B∈(0，π)，
所以 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，
即 A＝B 或 A＋B＝π2，
断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关 系．如：sin A＝sin B⇔A＝B；sin (A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B 或 A＋B＝π2等．二是利用正弦定理、 余弦定理化角为边，如：sin A＝2aR(R 为△ABC 外接圆半 径)，cos A＝b2＋2cb2c－a2等，通过代数恒等变换求出三条边 之间的关系进行判断．
2 2 (cos
C
＋sin C)＝31010.
由正弦定理，得 BC＝siAnCB·sin A＝
10×3 2
1010＝3
2.
2
(2)由正弦定理，得 AB＝siAnCB·sin C＝
10× 2
55＝2.
2
BD＝12AB＝1.
由余弦定理，得 CD＝ BD2＋BC2－2BD·BCcos B＝
1＋18－2×1×3 2× 22＝ 13.
归纳升华 利用正、余弦定理判断三角形形状的方法
主要有两种方法：方法一，通过边之间的关系判断 形状；方法二，通过角之间的关系判断形状．
利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化， 把条件转化为边的关系或转化为角的关系．
[变式训练] 在△ABC 中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2
－b2)sin(A＋B)，请判断三角形的形状．
所以 cos C＝12>0， 又因为 C∈(0°，180°)，所以 C＝60°. 由 acos B＝bcos A，得 2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A(R 为△ABC 外接圆的半径)， 所以 sin(A－B)＝0， 又因为 A－B∈(－120°，120°)， 所以 A－B＝0°，所以 A＝B＝C＝60°， 所以△ABC 为等边三角形．
(2)利用余弦定理讨论： 已知 a、b、A，由余弦定理 a2＝c2＋b2－2cbcos A，即 c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这 是关于 c 的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三 角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方 程有两不同正数解，则三角形有两解．
2．三角形形状的判定方法 判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理 和余弦定理化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判
所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
专题三 正、余弦定理的实际应用 [例 3] 已知海岛 A 四周 8 海里内有暗礁，有一货轮 由西向东航行，望见岛 A 在北偏东 75°，航行 20 2海里 后，见此岛在北偏东 30°，若货轮不改变航向继续前进， 有无触礁危险？ 解：如图所示，在△ABC 中，依题意 得 BC＝20 2海里， ∠ABC＝90°－75°＝15°， ∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.
解：因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
所以(a2＋b2)(sin Acos B－cos Asin B)＝(a2－b2)·(sin
Acos B＋cos Asin B)，
所以 2b2sin Acos B－2a2cos Asin B＝0，
所以ab22＝scions
Acos Asin
第一章 解三角形
章末复习课 [整合·网络构建]
[警示·易错提醒] 1．三角形解的个数的确定(易错点) 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解 这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时 应结合“三角形中大边对大角”的知识进行求解．解答过 程中一般用正弦定理，但也可用余弦定理． (1)利用正弦定理讨论：若已知 a、b、A，由正弦定 理sina A＝sinb B，得 sin B＝bsian A.若 sin B＞1，无解；若 sin B＝1，一解；若 sin B＜1，当 b＞a 时，两解．