光学3

中央亮纹的线宽度：
θ b
f
2 f x b
例题14-1 波长为的单色光垂直入射到一狭缝上，若第 一级暗纹对应的衍射角为30°，求狭缝的缝宽及对应此衍射 角狭缝的波阵面可分为几个半波带。 解 由单缝的暗纹条件：
k=1, =30°,算得：b =2 。
(半)波带数= 2k=2 。
bsin sinθ θ 2 (2 1) b kk k 2 2
M 1
e n
s
1
G1 G2
=2(n-1)e ; 2 4( n 1)e
(2) 能否用下式求解：
M1
2

应由: =2(n-1)e=7 , 得：
dN 2
7 e = 51538Å 2( n 1)
第4 篇
波动光学
第十四章 光的衍射
§14.1光的衍射现象和惠更斯-菲涅耳原理
n
dS

K 2 r E dE C cos t dS r S S dE(p)
P点的合振动：
Q S(波前)
· p
P点的合成光强：
设初相为零
I = E2
衍射的分类
光源
有限远 菲涅耳衍射： 有限远 无限远 夫琅和费衍射： 无限远 障碍物 有限远 无限远 观察屏
中央明纹又亮又宽(约为其它明纹宽度的2 倍)。中央两旁， 明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。这是由于 k 越大 , 分成 的波带数越多,而未被抵消的波带面积越小的缘故。
2.中央亮纹宽度 中央亮纹范围：中央两旁 观测屏 透镜 单缝 两个第一级暗纹间的区域， 即 -< bsin < b (很小, 有sin ) x 中央亮纹半角宽度：
有限远 无限远 观 察 屏
S
*
干涉和衍射的主要区别是什么？ 干涉是有限多条光线的相干叠加；衍射是无限多条光线 的相干叠加。
§14.2单缝的夫琅和费衍射
当衍射角 =0时，平行于主轴的 设平行单色光垂直入射。 光线都会聚于o点,且没有光程差，故它们相互干涉加强,在o点 处形成一平行于缝的明条纹,称为中央明纹。 对衍射角 ，两边缘光线A、B的光程差是
dsin =k , 主极大(亮纹)
( k=0,±1, ±2,…)
o
d
上式称为光栅方程。

f
dsin =k , 主极大(亮纹) ( k=0,±1, ±2,…)
1.光栅方程的物理意义：
光栅方程是衍射光栅合成光强 出现亮纹(主极大)的必要条件。
屏上合成光强 =单缝衍射光强×缝间干涉光强
I 单缝衍射光强
§14.3 光 栅 衍 射
一.光 栅 大量等宽、等间距的平行狭缝的集合—光栅。 实用的光栅每厘米有成千上万条狭缝。 E b a p b —透光缝宽度； a —不透光部分宽度； d=(a+b) —光栅常数。 光栅分为 透射光栅 反射光栅
o

f
二.透射光栅 设平行光线垂直入射。 每条狭缝有衍射，缝间光线还有干涉，可以证明： 屏上合成光强 =单缝衍射光强×缝间干涉光强 E b a 对于缝间干涉，两相邻狭缝 p 光线的光程差：
R A B o 明环半径： rk ( k 1 ) R 2 n2 暗环半径： rk
r
(k=1,2…)
e
kR n2
(k=0,1,2…)
例题13-9 将牛顿环由空气移入一透明液体中，发现第8 明环半径由1.40cm变为1.21cm，求该液体的折射率。 解 由牛顿环的明环公式，得
空气中： r8
B
如果单缝被分成偶数个波带，相邻波带成对相干相消，结 果是单缝上发出的光线全部相干相消，屏幕上对应点出现暗纹。 如果单缝被分成奇数个波带，相邻波带相干相消的结果，还剩 下一个波带的作用，于是屏幕上对应点出现亮纹。
综上所述，单缝衍射明暗纹的中心位置是:
b sin θ 2k 2 b sin θ ( 2k 1) 2

k= -2
多缝干涉光强
-1
0
1
2 bsin /
(a)
亮纹 (主极大)
k= -8
光栅衍射 光强曲线
-4 0 I N2I0 单 4
缝数愈多， 亮纹愈细。
8 dsin /
(b)
单缝衍射 轮廓线
dsin ( //d) 8 dsin
(c)
k= -8
-4
0
4
I N2I0 单 光栅衍射 光强曲线 单缝衍射 轮廓线
(c) k= -8
-4
0
4
(dsin / /d) ( 8
光栅衍射的光强分布具有下述特点:亮纹又亮又细，中间 隔着较宽的暗区(即在黑暗的背景上显现明亮细窄的谱线)。这 些谱线的亮度受到单缝衍射因子的调制。 2.谱线的缺级 dsin =k , (光栅)亮纹( k=0,±1, ±2,…) bsin =k , (单缝)暗纹( k=±1, ±2,…) 则缺的级次为
1 反 2en2 ( k ) (k=0,1,2…) 2
中心处: e=eo, k=0 凸透镜顶点距平板玻璃的 距离:
n=1.68 n2=1.60 n=1.58
eo 4n2
=78.1nm
e
eo
§13.5 迈克耳逊干涉仪 时间相干性
一.迈克耳逊干涉仪 M1和M2是两块平面反射镜,其中M2是固定的,M1可作微小 移动。G1有一半透明的薄银层,起分光作用。G2起补偿作用。 M1′是M1对G1形成的虚像。M2和M1′间形成一空气薄膜。 M2
液体中： r8 液
1 ( 8 ) R 2
1 R (8 ) 2 n
2
r8 n 1.33 2 r8液
例题13-10 牛顿环装置由曲率半径(R1和R2)很大的两个透 镜组成，设入射光波长为，求明暗环半径。 解 由薄膜公式，得 明环(k=1,2…) k 1 2e = 2 ( k ) 暗环(k=0，1,2...)
若不知某处是明纹还是暗纹，则计算波带数的方法是：
(半)波带数
b sin θ =2 /2
例题14-2 平行单色光垂直入射在缝宽b=0.15mm的单缝 上,缝后透镜焦距f =400mm。在焦平面上的屏幕上测得中央明 纹两侧的两条第三级暗纹间的距离是d=8mm, 求:(1)入射光的 波长; (2)中央明纹的线宽度; (3)第二级暗纹到透镜焦点的距 离。
k=-3
k=-2
k=-1 k=0 k=1
反
由图知： o2 o1 R2 R1
2 r2 r2 e e 2 e1 2 R1 2 R2
r
( k 1 / 2 ) R1 R2 ∴明环半径 rk R2 - R1
e
e1
e2
暗环半径
rk
kR1 R2 R2 R1
例题13-11 平板玻璃和平凸透镜构成牛顿环,全部浸入 n2=1.60的液体中,凸透镜可向上 移动, 如图所示。用波长 =500nm的单色光垂直入射。从上往下观察，看到中心是一个 暗斑，求凸透镜顶点距平板玻璃的距离是多少。 解
x

f
o
在可见光波波长范围，取 k=3，=6000Å,相应单缝被划分为7个半波带； k=4，=4667Å,相应单缝被划分为9个半波带。
很小 x sin tgθ f 2bx 42 10 7 ( 2k 1) f 2k 1
b sin θ ( 2k 1) 2
(3)第二级暗纹到透镜焦点的距离。 第二级暗纹位置： bsin =2
很小 x sin tgθ f
第二级暗纹到焦点的距离:
p
x

f
o
2 f =2.67mm x b
例题14-3 一单缝缝宽b=0.6mm，缝后凸透镜的焦距 f=40cm。单色平行光垂直照射时，距中心o点x=1.４mm的P 点处恰为一明纹中心,求入射光的波长及对应P点单缝被划分 为几个半波带。 p 解 由单缝衍射明纹公式
一.光的衍射现象 光在传播路径中遇到障碍物时,能绕过障碍物边缘而进入 几何阴影传播,并且产生强弱不均的光强分布，这种现象称为 光的衍射。 衍射屏 S L
观察屏 S
衍射屏 L
L
观察屏

a
* 10-3 a
*
二.惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯原理：媒质中波所传到的各点都可看作是发射子 波的波源,其后任一时刻,这些子波的包迹就决定新的波阵面。 菲涅耳指出:波阵面上各点发出的子波在空间相遇时会产 生干涉。“子波相干叠加”—这就是惠更斯-菲涅耳原理。
暗纹 (k=1,2,3,…) 亮纹 (k=1,2,3,…)
θ0
零级(中央)亮纹 p 注意： 1.k=1... 2.明暗… 3. ... 4.波带数 直线条纹
波带数 S
A

o C
*
b
B
f
1.光强分布
1.0 相对光强曲线
0.017 0.047
0.047
0.017
2 b
b
o
b
2 b
sin
解 (1)第三级暗纹位置： bsin =3
很小 x sin tgθ f
p
x
3 f 6 f x3 , d 2 x3 b b db =5000Å 6f

f
o
b=0.15mm,
f =400mm, =5000Å
(2)中央明纹的线宽度:
2 f x b
=2.67mm
k=-3
k=-2
k=-1 k=0 k=1
k=2
k=3
4.光谱级的重叠
如果不同的波长1 ，2同时满足： dsin =k11= k22 这表明：1 的k1级和2的 k2级同时出现在一个 角处，即1和 2的两条谱线发生了重叠，从而造成光谱级的重叠。 在可见光范围内，第二、三级光谱一定会发生重叠。级次 愈高，重叠愈复杂。 如：dsin =3×4000Å= 2×6000Å
2.牛 顿 环

在一块平玻璃 B 上放一曲率半径 R 很大的平凸透镜A,在A、B之间形成一 层很薄的劈形空气层—薄膜。 设平行光垂直入射空气薄膜, 在反射 光中观察到一组以接触点o为中心的同 心圆环(见图),故称为牛顿环。
R A B o
反
2en2 2
r
e
k 1 = ( k ) 2
=BC=bsin
p A S

o C
*
b
B
f
菲涅耳半波带法
A
b
• • • • • •

C
作一系列相距/2且垂直于BC的平面, 这样，BC是/2的几倍，单缝相应就被 分成等宽的几个窄带,这 个窄带称为菲涅 耳半波带。 相邻波带上对应点发出的平行光线会 聚时的光程差都是/2，因而总是相干相消。 由此得出结论： 两个相邻波带所发出的光线会聚于屏 幕上时全部相干相消。
M2
dN 2
来自百度文库
M 1
1
G1
G2 M1

2
s
2

迈克耳逊干涉仪有着广 泛的用途 , 如精密测量长度、 测媒质的折射率、检查光 学元件的质量和测定光谱 精细结构等。
例题13-12 把厚度为e、折射率为n=1.40的透明薄膜插入 迈克耳逊干涉仪的一臂(一条光路)中，(1)求光线1、2光程差和 位相差的改变量；(2)若插入薄膜的过程中，观察到7条条纹移 过，所用波长=5890Å，求薄膜的厚度e=? 解 (1) M2
d k k , ( k 1, 2 ,...) b
d k k , ( k 1, 2 ,...) b
例：(1)a=b, d=a+b=2b, 则k=2k =2,4,6,…级缺。 (2)a=2b, d=a+b=3b, 则k=3k =3,6,9,…级缺。 3.光栅光谱 如果用白光照射光栅,由光栅方程 dsin =k , 亮纹( k=0,±1, ±2,…) 可知,同一级谱线中，不同波长的谱线出现在不同的角处(中 央零级除外 ),由中央向外按波长由短到长的次序分开排列，形 成颜色的光带—光栅光谱。这就是光栅的色散特性。
M 1
1
G1
G2 M1
s
2

当 M1 、 M 2 严 格 垂 直 时 ,M1′ 和 M2 之间形成等厚空 气膜,可观察到等倾条纹的圆 形条纹 ; 当 M1 、 M2 不严格垂 直时 ,M1′ 和 M2 之间形成空气 劈尖,这时可观察到等厚干涉 的直线条纹。
每当M1移动/2 ,光线1、2的光程差就改变一个，视场中 就会看见一条条纹移过。如果看见N条条纹移过，则反射镜 M1移动的距离是
明环 (k=1,2…) 暗环 (k=0，1,2...)
式中n2为空气膜的折射率。
反
明环 (k=1,2…) k 2en2 = 1 ( k ) 暗环 (k=0，1,2...) 2
2

因R2=r2+(R-e)2=r2+R2-2Re+e2 由于R» e,上式中e2可略去,因此得
r2 e 2R