导数及其应用高考题含答案

导数及其应用高考题精选

1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2

x

y x =

+在点()1,1--处的切线方程为（）

（A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =--

【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.

【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22

(2)y x '=+，所以，在点()1,1--处的切线斜率

12

2

2(12)x k y =-'

==

=-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选

A.

2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）

与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3

1812343

y x x =-+-，则使该生产

厂家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件

【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值.

【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C.

3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2x ,y=3

x 围成的封闭图形面积为（） （A ）

112

(B)14

(C)13

(D)

712

【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故

所求封闭图形的面积为123

0x -x )dx=

⎰（111

1-1=3412

⨯⨯,故选A. 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P 在曲线y=4

1

x

e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）

(A)[0,4π)(B)[,)42ππ3(,]24ππ(D)3[,)4

π

π 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。

【思路点拨】先求导数的值域，即tan α的范围，再根据正切函数的性质求

α的范围。

【规范解答】选D.

5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）4

21

dx x

⎰等于（） A 、2ln 2-B 、2ln 2C 、ln 2-D 、ln 2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住x

1的原函数. 【规范解答】选D.4

2

1

dx x

⎰=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,k N *∈其中，若a 1=16，则a 1+a 3+a 5的值是________ 【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。

【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由0y =，即可求得切线与x 轴交点的横坐标。

【规范解答】由y=x 2(x>0)得，2y x '=，

所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：22(),

k k k y a a x a -=-

当0y =时，解得2

k

a x =， 所以1135,1641212

k

k a a a a a +=

++=++=. 【答案】21

7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m 正三角形薄片沿一条平行于某

边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2

(S =

梯形的周长）

梯形的面积

,则S 的最小值是________。

【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。

【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x ，然后用x 分别表示梯形的周长和面积，从而将S 用x 表示，利用函数的观点解决. 【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x ，

则：22

2

(3)(01)1x S x x

-==<<-

方法一：利用导数的方法求最小值。

22(3)()13x S x x -=⋅-，2222

(26)(1)(3)(2)

()(1)3

x x x x S x x -⋅---⋅-'=⋅- 1

()0,01,3

S x x x '=<<=，

当1(0,]3x ∈时，()0,S x '<递减；当

1

[,1)3

x ∈时，()0,S x '>递增； 故当13

x =时，S 的最小值是

323

。 方法二：利用函数的方法求最小值

令1113,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈，则：2221

8668331t S t t t t

=⋅=⋅

-+--+- 故当131,8

3

x t ==时，S 的最小值是323

。

【答案】

323

【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。

8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M （x,y ）,则点M 取自阴影部分的概率为；

【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。 【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可

【规范解答】阴影部分的面积为1

1

23003 1.S x dx x ===⎰阴影所以点M 取自阴影部