(方案)2.2 析取范式与合取范式.ppt.ppt
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2 、范式的性质
定理2.2 (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式. (2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式.
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定理2.3 (范式存在定理)任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
证明: (1) 由蕴涵等值式与等价等值式可知
是在利用分配律时有所不同。因而可以用(1)中前 四步的结果,接着进行∧对∨分配律演算。
(p→q) r
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
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利用∨ 对∧的分配律求合取范式。
注意
为了清晰和无误,演算中利用交换律,使得
每个简单析取式或合取式中命题变项的出现都是
按字典顺序,这对下文中求主范式更为重要.
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例2.7 求公式 (p→q) ↔ r 的析取范式与合取范式: 解:(1)先求合取范式
(p→q) r (┐p∨q) r
(消去→)
式.
注意
① 一个文字既是简单析取式,又是简单合取式.
② 为方便起见,有时用 A1, A2 , As 表示 s 个简单 析取式或 s 个简单合取式.
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定理2.1 (1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式; (2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式。
第二章 命题逻辑等值运算
第1节 等值式 第2节 析取范式与合取范式 第3节 联结词的完备集
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第2节 析取范式与合取范式
一、简单合取式和简单析取式 二、范式 三、范式的唯一性——主范式 四、几点注意
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每种数字标准形都能提供很多信息,如代数式的 因式分解可判断代数式的根情况。
逻辑公式在等值演算下也有标准形—范式,范式 有两种:析取范式和合取范式。
一、简单合取式和简单析取式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作构成简单析取式, p∨┐p,┐p∨q 等为2个文字构成的简单析取式, ┐p∨┐q∨r, p∨┐q∨r 等为3个文字构成的简单析取
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证明: 设 Ai是含 n 个文字的简单析取式. 若 Ai中既含有某个命题变项 Pj,又含有它的 否定式 Pj ,由交换律、排中律和零律可知,Ai 为重言式。
反之,若 Ai为重言式,则它必同时含某个命 题变项及它的否定式,否则,若将 Ai中的不带 否定号的命题变项都取0,带否定号的命题变项
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二、范式
1、范式的定义 定义2.3 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式. (2)由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式. (3)析取范式与合取范式统称为范式.
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设 Ai (i 1, 2, , s) 为简单的合取式,则 A A1 A2 As 为析取范式。
设 Ai (i 1,2, , s) 为简单的析取式,则 A A1 A2 As 为合取范式.
个极大项只有一个成假赋值,将其对应的十进制数
i 做极大项的角标,记作 Mi .
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(4) 表2.3 p, q形成的极小项与极大项
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表2.4 p, q, r 形成的极小项与极大项
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(5) 极小项与极大项的关系。
定理2.4 设 mi 与 Mi 是命题变项 P1, P2 , , Pn
A→B ┐A∨B
A B(┐A∨B)∧(A∨┐B)
(2.17)
因而在等值的条件下,可消去任何公式中的联 结词→和↔.
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(2) 用双重否定律和德摩根律,可得
┐┐A A
┐(A∧B) ┐A∨┐B ┐(A∨B) ┐A∧┐B
(2.18)
(3) 利用分配律,可得
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C)
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(2) 由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式 形式出现且仅出现一次,因而n个命题变项共可产生2n 个不同的极小项.
(3) 每个极小项都有且仅有一个成真赋值.
若成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数 i ,
就将所对应极小项记作 mi . 类似地,n个命题变项共可产生2n个极大项,每
A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C)
(2.19)
由(2.17),(2.18),(2.19)3步,可将任一公
式化成与之等值的析取范式或合取范式.
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3 、求范式的步骤:
(1) 消去联结词→ 、
(2) 否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利 用德摩根律)。
(3) 利用分配律:利用∧对∨的分配律求析取范式,
((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) (消去 )
(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) (消去→)
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (否定号内移)
(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (∨对∧分配律)
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(2)求析取范式 求析取范式与求合取范式的前两步是相同的,只
在以上演算中,从第二步到第三步是利用矛盾律 和同一律。另外,第二步和第三步结果都是析取范式, 这正说明命题公式的析取范式是不唯一的。同样,合 取范式也是不唯一的。
上述范式不唯一,下面追求一种更严格的范式 — 主范式,它是存在且唯一的。
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三、范式的唯一性——主范式
1、极小项(极大项) (1) 定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式(简 单析取式)中,若每个命题变项和它的否定式不同时 出现,而二者之一必出现且仅出现一次,且第i个命题 变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上(若命题 变项无角标,就按字典顺序排列),称这样的简单合 取式(简单析取式)为极小项(极大项).
都取1,此赋值为 Ai 的成假赋值,这与 Ai 是重 言式相矛盾。
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类似的讨论可知,若 Ai是含n个命题变项的 简单合取式,且 Ai 为矛盾式,则 Ai 中必同时含 有某个命题变项及它的否定式,反之亦然.
如:p∨┐p,p∨┐p∨r 都是重言式. ┐p∨q,┐p∨┐q∨r 都不是重言式.
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