第二章析取范式与合取范式
命题逻辑2
q∧r (┐p∨p)∧q∧r (┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) m3∨m7 而简单合取式p∧┐q∧┐r已是极小项m4 于是 (p→q) r m1∨m3∨m4∨m7 极小项与公式的成真赋值、成假赋值的关系:
若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式含s(0≤s≤2n) 个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项角 标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成假赋值。
三、主析取范式和主合取范式
定义
设有命题变元P1，P2，…,Pn
n
形如 Pi * ， i 1
n
的命题公式称为是由命题变元P 1，P2，…，Pn所产生
的极小项。而形如 Pi * 的命题公式称为是由命题变元 i 1
P1，P2，…，Pn所产生的极大项 。其中Pi*为Pi或为
Pi(i=1,2,…n).
极小项，故F不是重言式和矛盾式，只是可满足式。
例 某科研所要从３名科研骨干A,B,C中挑 选1～2名出国进修。由于工作原因，选派时 要满足以下条件： （１）若A去，则C同去。 （２）若B去，则C不能去。 （３）若C不去，则A或B可以去。 问应如何选派他们去？
解 设 p:派A去 q:派B去 r:派C去 由已知条件可得公式 （p→r）∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q) 经过演算可得 (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q)) m1∨m2∨m5 由于 m1 = ┐p∧┐q∧r m2 =┐p∧q∧┐r m5 = p∧┐q∧r 可知，选派方案有3种： （a）C去，而A,B都不去。 （b）B去，而A,C都不去。 （c）A,C去，而B不去。
因此利用真值表也可以求公式的主析取范式
练 求公式 F1 = p(p(qp))的主析取范式
解
F1p∨(p∧(q∨p)) p∨(p∧q)∨(p∧p)
主要内容公式类型等值演算与置换规则析取范式与合取范式,主析取.
p, q, pq, pqr, … (4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr) (5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
例. 对任何公式A，A∨┐A是重言式，A∧┐A是矛盾式.
这两个事实揭示人们通常的思维所遵循的逻辑排中律和矛 盾律. 对任何原子命题 p，p与┐p都是可满足式. 可以用真值表 验证重言式.
3
例. 用真值表证明(p∨q)∧┐p→q为重言式.
证 建立待证公式的真值表，由表的最后一列可以看出，原式 为重言式.
11
基本等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC),
A(BC)(AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB
(p ∧ q ∧ s) ∨(p ∧ r ∧ s) ((p ∧ s) ∧ q) ∨((p ∧ s) ∧ r) (p ∧ s) ∧(q ∨ r) 所以其开关设计图可简化
21
作业 1、习题一：19（1）（3）（5）（7），
20，21，23，25. 2、习题二：3，4（1）（2）.
22
由于同一个命题公式可以有不同的表达形式，而不同的表达 式可以显示很不同的特征。但同一个命题公式的不同表达形 式对我们研究命题演算带来了一定的困难。对众多的命题公 式，可依它们之间的等值关系进行分类，使相互等值的公式 为一类. 现在的问题是，是否可以在各类公式中分别选出一个 公式作为各类的“代表”，而且使它们具有统一的规范形式 呢？回答是肯定的.
AB(AB)(AB)
简单析取式和简单合取式
0 由∏小到大用∏表示 1 1
1
1 0 0
展开成极大项 1 1 1 0 1 1 1 0 1
0
0
0
1
1 0 1
∏表示合取
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
一个简单合取式是矛盾
p∧┐p∧q是矛盾式
式，当且仅当它同时含一 个命题变项及其否定。
上页
范 式 ---- 析取范式和合取范式
析取范式： 仅由有限个简单合取式构成的析取式 A=(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q)∨(q∧┐q)
析取范式的对偶
合取范式： 仅由有限个简单析取式构成的合取式 A*=(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q)Байду номын сангаас(q∨┐q)
极大项 在n个变元的简单析 取式中，若每个变元与其否 定不同时存在，而二者之一 必出现且仅出现一次，这种 析取式就叫做极大项 ┐p∨q∨┐r
0 0 0 0 1 1
1
1
1
1
0
1
M6
M7
范 式 ---- 求主析取范式
求p∧q ∨r的主合取范式 解 （p∧q）∨r 求出合取范式
（P∨r)∧(q∨r) （P∨(q∧┐q)∨r)∧((p∧┐p)∨q∨r) （P∨q∨r)∧(P∨┐q∨r)∧(p∨q∨r)∧(┐p∨q∨r) 000 ∧010 ∧ 000 ∧ 011 （p∨r)∧(q∨r) p q r M 0 ∧ M2 ∧ M3 0 0 0 0 0 0 ∏(0,2,3) 0 0 1 1 1 1
p∨(q∧┐r)
(交换律和吸收律)
上页
范 式 ---- 主范式
主析取范式概念
2.2 析取范式与合取范式ppt课件
如，p, ┐q 等为一个文字构成简单析取式， p∨┐p，┐p∨q 等为2个文字构成的简单析取式， ┐p∨┐q∨r, p∨┐q∨r 等为3个文字构成的简单析取
式.
注意
① 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式. ② 为方便起见，有时用 A1, A2 ,L As 表示 s 个简单
析取式或 s 个简单合取式.
(p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
15
在以上演算中，从第二步到第三步是利用矛盾律 和同一律。另外，第二步和第三步结果都是析取范式， 这正说明命题公式的析取范式是不唯一的。同样，合 取范式也是不唯一的。
37
2．重言式与矛盾式的主合取范式 ① 矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范
式含2n 个极大项. （n为公式中命题变项个数） ② 重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任
设 Ai (i 1,2,L , s) 为简单的析取式，则 A A1 A2 L As 为合取范式.
9
2 、范式的性质 定理2.2
（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式.
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式.
10
定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
例2.8 求公式 (p→q) ↔ r主析取范式和主合取范式.
解:（1）求主析取范式． 在例2.7中已给出的公式的析取范式，即
（p→q）r (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
在此析取范式中，简单合取式┐p∧r，q∧r都 不是极小项。下面分别求出它们派生的极小项。
析取范式与合取范式
1析取范式与合取范式这是命题公式的两种特殊的简明形式。
一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。
我们将学习这种转化方法及其应用。
1. 析取范式定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。
由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。
由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。
例1.2 求下列公式的析取范式。
(1) ()(2) () ()p q pp q p q →∧⌝∨∧⌝∧方法小结：（1） 将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。
（3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。
（4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾律、零律）练习1.3定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。
2. 合取范式定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。
由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。
例2.2 求下列公式的合取范式。
(1) ()(2) () ()p q pp q p q ⌝→∨∧∨⌝∨方法小结：（1）将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。
（3）用分配律将合取联结词移到括号之外。
（4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律）练习2.3定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。
3.极小项为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。
符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。
在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。
我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。
析取范式与合取范式
析取范式与合取范式析取范式与合取范式合同协议书合同基本信息合同名称：析取范式与合取范式合同协议书合同编号：____________________________签署日期：____________________________合同生效日期：____________________________合同标的：析取范式与合取范式应用及其相关服务合同方信息合同方甲（服务提供方）：名称：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________合同方乙（服务接受方）：姓名：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________服务内容服务项目1：析取范式的理论讲解与应用服务项目2：合取范式的理论讲解与应用服务项目3：相关案例分析与实际应用服务项目4：提供相关资料及文献支持服务标准服务标准1：服务内容应涵盖析取范式与合取范式的基本概念、计算方法及应用实例。
服务标准2：提供的材料应为最新的研究成果及学术资料，确保准确性与前瞻性。
服务标准3：服务应包括理论讲解、问题解答及案例分析，确保服务效果。
服务时间与地点服务开始日期：____________________________服务结束日期：____________________________服务地点：____________________________服务时间安排：____________________________费用及支付方式服务费用总额：____________________________费用明细：明细1：____________________________明细2：____________________________支付方式：____________________________支付时间安排：____________________________第一次支付：____________________________第二次支付：____________________________双方责任合同方甲（服务提供方）负责按合同约定提供服务，确保服务质量，并在规定时间内完成服务内容。
利用等值演算求公式的主析取范式和主合取范式
等值演算是一种逻辑代数的方法，可用于简化布尔代数的表达式。
在逻辑电路设计和计算机科学领域，利用等值演算可以帮助我们求解复杂的布尔函数的主析取范式和主合取范式。
在布尔代数中，一个布尔函数可以表示为一系列输入变量和输出变量的逻辑关系式。
通过布尔代数的运算规则，我们可以对这些逻辑关系式进行等值变换，将其简化为更加简洁的形式。
其中，最重要的简化形式包括主析取范式和主合取范式。
主析取范式是指一个布尔函数的各项按照与或关系相连的形式，其中每一项都是不可简化的极小项。
主析取范式的求解可以帮助我们理解布尔函数的逻辑结构，并为电路的设计提供参考。
主合取范式则是指一个布尔函数的各项按照或与关系相连的形式，其中每一项都是不可简化的极大项。
主合取范式的求解同样可以帮助我们理解布尔函数的逻辑结构，并为电路的设计提供参考。
接下来，我们将通过等值演算的方法，来求解一个布尔函数的主析取范式和主合取范式。
1. 我们需要将布尔函数转换为真值表的形式。
真值表可以清晰地展现出布尔函数在各个输入变量组合下的输出取值情况。
通过真值表的分析，我们可以对布尔函数进行等值变换和化简。
2. 我们利用等值演算的定理和法则，对布尔函数进行等值变换。
其中，包括重要的等值演算定理，如恒等律、吸收律、对偶律等。
通过运用这些定理和法则，我们可以将布尔函数逐步化简为主析取范式和主合取范式的形式。
3. 我们将化简后的布尔函数表示为主析取范式和主合取范式的形式。
主析取范式和主合取范式的求解过程中，需要格外注意每一步等值变换的正确性和合理性，以确保最终得到的主析取范式和主合取范式是布尔函数的最简形式。
通过以上等值演算的步骤和方法，我们可以成功地求解出一个复杂布尔函数的主析取范式和主合取范式。
这些简化后的形式将极大地方便我们对布尔函数的理解和分析，为逻辑电路的设计和优化提供重要的参考依据。
等值演算作为一种重要的逻辑代数方法，在计算机科学和信息技术领域也有着广泛的应用和意义。
析取范式与合取范式
不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。 可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来 表示该极小项，叫做该极小项的名称。 两个命题变元的极小项、成真赋值和名称如表1-7.2所示。 三个命题变元的极小项，成真赋值和名称如表1-7.3所示。 从表1-7.2和表1-7.3中可以看出，极小项与其成真赋值的 对应关系为：变元对应1，而变元的否定对应0。
从表1-7.5和表1-7.6中可以看出，极大项与成假赋值的对应 关系为：变元对应0，而变元的否定对应1。
极大项的性质
极大项 p∨q p∨¬q ¬p∨q ¬p∨¬q
极大项 p∨q∨r p∨q∨¬r p∨¬q∨r p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r
表1-7.5
主析取和主合取范式的关系
在前面例中，求出(p→q)→r的主析取范式为： m7∨m5∨m4∨m3∨m1⇔∑1，3，4，5，7
求出该公式的主合取范式为： M0∧M2∧M6⇔∏0，2，6
¾ 比较这两个结果，得出以下的结论：同一公式的主析取 范式中m的下标和主合取范式中M的下标是互补的。因 此，知道了主析(合)取范式就可以写出主合(析)取范 式。
i=0
主析取范式
定义1-7.7 对于给定的命题公式，如果有一个它的 等价公式，仅由极小项的析取组成，称该公式 为原公式的主析取范式。
¾ 任何命题公式都存在着与之等价的主析取范 式。
主析取范式
一个命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴ 等价演算法：即用基本等价公式推出。
用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ① 化归为析取范式。 ② 除去析取范式中所有永假的基本积。 ③ 在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。 ④ 在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加
离散数学-范式
.
范式
△1.3 联结词的扩充与归约
◆定义1.9
称n元联结词h是用m 个联结词g1, g2,…, gm
可表示的，如果
h(p1, p2,. . ., pn ) ┝┥A 而A中所含联结词仅取自g1, g2,. . ., gm。
.
范式
△1.3 联结词的扩充与归约
◆定义1.10
当联结词组g1, g2,. . ., gm可表示所有
指形如L，┐L（L为文字）的一对字符。
.
范式
1.1 析取范式和合取范式
◆定义1.6 命题公式A‘称为公式A的析取范式
（disjunctive normal form），如果
（1）A'┝┥A
（2）A'为一合取子句或若干合取子句的析取。
◆定义1.7 命题公式A‘称为公式A的合取范式
（conjunctive normal form）如果
一元、二元联结词时，称其为完备联结 词组（complete group of connectives）。
离散数学导论
离散数学导论
.
范式
1.1 析取范式和合取范式
文字(letters)：指命题常元、变元及它们的否定， 前者又称正文字，后者则称负文字。
析取子句(disjunctive clauses)：指文字或若干文字
的析取。
合取子句(conjunctive clalemental pairs of letters) ：
（1）A'┝┥A （2）A'为一析取子句或若干析取子句的合取。
.
范式
1.2 主析取范式与主合取范式
◆定义1.8
设A为恰含命题变元p1,…,pn的公式。
公式A,称为A的主析（合）取范式
(方案)2.2 析取范式与合取范式.ppt.ppt
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2 、范式的性质
定理2.2 （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式. （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式.
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定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
证明: (1) 由蕴涵等值式与等价等值式可知
是在利用分配律时有所不同。因而可以用（1）中前 四步的结果，接着进行∧对∨分配律演算。
(p→q) r
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
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利用∨ 对∧的分配律求合取范式。
注意
为了清晰和无误，演算中利用交换律，使得
每个简单析取式或合取式中命题变项的出现都是
按字典顺序，这对下文中求主范式更为重要.
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例2.7 求公式 (p→q) ↔ r 的析取范式与合取范式： 解：（1）先求合取范式
(p→q) r (┐p∨q) r
（消去→）
式.
注意
① 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式.
② 为方便起见，有时用 A1, A2 , As 表示 s 个简单 析取式或 s 个简单合取式.
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定理2.1 （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式; （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式。
第二章 命题逻辑等值运算
第1节 等值式 第2节 析取范式与合取范式 第3节 联结词的完备集
析取范式与合取范式
▪ 析取范式与合取范式 ▪ 主析取范式与主合取范式
1
析取范式与合取范式
文字:命题变项及其否定的总称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, … 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式
A (pq)((qr)(qr))(su)(u(pq))
((rs)(rs))
（交换律)
B1= (pq)((qr)(qr)) ((pqr)(pqr)(qr)) （分配律）
28
例 (续)
B2= (su)(u(pq)) ((su)(pqs)(pqu))
（分配律）
B1B2 (pqrsu)(pqrsu) (qrsu)(pqrs)(pqru)
说明： 由公式A的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然. 用公式A的真值表求A的主范式.
24
主范式的用途(续)
例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕 业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须 满足以下条件：
(1)若赵去，钱也去； (2)李、周两人中至少有一人去； (3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人； (4)孙、李两人同去或同不去； (5)若周去，则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出 国？
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主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值. 类似地，由主合取范式也可立即求出成 假赋值和成真赋值.
22
主范式的用途(续)
A
M
j1
主析取范式与主合取范式
第四节 主析取范式与主合取范式n 个命题变项虽然可以构成无穷多个形式各异的命题公式，但就其真值而言，只有22n种。
对应每种真值情况虽然又有无穷多个等值的公式，但这些公式却有相同的标准形式。
本节将给出规范公式的概念，这种规范的公式能表达真值表所能给出的一切信息。
定义4.1 命题变项及其否定统称为文字。
如p ，q ，¬p ，¬q ，L 都是文字，即每个命题变项产生两个文字。
（1）仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
（2）仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。
例如，p ∧q ，p ∧¬q ∧r ，L 都是简单合取式。
p ∨q ， ¬p ∨q ∨r ，L 都是简单析取式。
单个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
定义4.2 （1）仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式； （2）仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取式。
例如，p ，¬q ，p ∧q ，（p ∧¬q ）∨（p ∧q ），L 都是析取范式。
p ，¬r ，p ∨q ，（p ∨q ）∧（q ∨¬r ），L 都是合取范式。
注意，两个文字构成的简单合取式与析取式都既是析取范式又是合取范式。
例如，p ∨q 是析取范式，它是由两个简单的合取式p 与q 析取而成。
同时它也是合取范式，看成是一个简单析取式构成的合取范式。
定义 4.3 （1）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单合取式中，若每个i p （1,2,,i n =L ）都以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极小项。
（2）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单析取式中，若每个ip （1,2,,i n =L ）以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极大项。
两个命题变项p ，q 共可形成4个极小项：¬p ∧¬q ，¬p ∧q ，p ∧¬q ，p ∧q 。
离散数学主析取范式主合取范式
实验二实验题目：生成主析取范式和主合取范式实验目的：1.熟悉地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算；通过实验提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力；使学生具备程序设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析。
2.掌握命题逻辑中的联接词、真值表、主范式等，进一步能用它们来解决实际问题。
实验内容：利用计算机构造真值表来建立主析取范式和主合取范式实验原理：1.合取：二元命题联结词。
将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P ∧Q。
这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P 为真, Q为真时方可P∧Q为真, 而P、Q只要有一为假则P∧Q 为假。
2.析取：二元命题联结词。
将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P ∨Q。
这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P为假, Q为假时方可P∨Q为假, 而P、Q只要有一为真则P∨Q为真。
3.真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。
列出命题公式真假值的表。
通常以1表示真，0 表示假。
命题公式的取值由组成命题公式的命题变元的取值和命题联结词决定，命题联结词的真值表给出了真假值的算法。
真值表是在逻辑中使用的一类数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效。
4.主析取范式：在含有n个命题变元的简单合取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单合取式为小项。
由若干个不同的小项组成的析取式称为主析取范式;与A等价的主析取范式称为A的主析取范式。
任意含n个命题变元的非永假命题公式A都存在与其等价的主析取范式,并且是惟一的。
5.主合取范式：在含有n个命题变元的简单析取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单析取式为大项。
由若干个不同的大项组成的合取式称为主合取范式;与A等价的主合取范式称为A 的主合取范式。
任意含n个命题变元的非永真命题公式A都存在与其等价的主合取范式,并且是惟一的。
合取范式与析取范式
合取范式与析取范式
我们知道在离散数学中，有主合取范式与主析取范式的概念。
本文分享什么是主合取范式与主析取范式，以及如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。
首先，我们需要了解一下数学概念。
简而言之，
主合取范式，就是若干个极大项的合取（交集）。
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
主析取范式，就是若干个极小项的析取（并集）。
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
而所谓的极大项，就是包含全部数目的命题变元的析取表达式
比如：
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
所谓的极小项，就是涵盖全部数目的命题变元的谓词表达式
例如：
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面言归正传，我们看如何按步骤求解命题公式的主合取范式与主析取范式。
常用的方法存有两种，等值演算法和真值表法
等值演算法，就是按照步骤推导公式，最终得到主合取范式或者主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面，我们来举个例子，求出命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
最后，我们看看如何采用真值表方法，谋命题公式的主合取范式与主析取范式。
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
我们来看这样一个具体内容例子。
根据真值表，我们取值为0的指派，得到最大项从而写下最小项的谓词，获得主合取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。
求命题公式 非(p→q)v非r的主析取范式与合析取范式
求命题公式非(p→q)v非r的主析取范式与
合析取范式
析取范式与合取范式是逻辑学中非常重要的概念，它们用于表达
人类逻辑思维的架构。
析取范式简称为P，合取范式则称为Q。
其中，
析取范式是一种简单的逻辑关系，通常采取“否定前提即断言”的原则，表达“如果P不成立，则Q必成立”的定义。
而合取范式则是一
种复杂的逻辑关系，用于表达“P和Q同时成立，则R必成立”的定义。
非(p→q)v非r是一种析取范式导出的结论，表示“非(p→q)与
非r同时为真”。
这一命题公式可以由一个简单的逻辑演绎推导出来：由已知条件p→q，及q为假，得到p为假，即非p为真；由已知条件
r，及r为假，得到非r为真；根据析取范式的定义，得出非（p→q）
与非r同时为真的结论。
此外，对于非（p→q）v非r的命题公式，也可以采取合取范式
的推导方式来证明，即：如果p→q为真且r为真，则非（p→q）v非
r也必然为真。
由此可以得出，非（p→q）v非r的合取范式也可以用
来表明它与相应的已知条件都具有合乎逻辑的关系。
综上所述，析取范式与合取范式是逻辑学中重要的概念，它们可
以用来推导非（p→q）v非r的命题公式，既可以用析取范式证明，也可以用合取范式证明。
通过认真分析，就可以很好地了解这种混合逻
辑的思路。
因此，深入研究这些基本的逻辑思维模式和构造有利有弊，有其非常重要的意义。
主合取范式和主析取范式求法
主合取范式和主析取范式求法在我们日常生活中，逻辑就像是一根无形的线，把一切串联在一起。
你知道的，逻辑不仅仅是那些严肃的数学公式，也可以是我们日常交流中潜移默化的存在。
说到逻辑，就不得不提到主合取范式和主析取范式了。
听起来有点复杂，其实说白了就是把逻辑表达得更清晰。
别急，咱们慢慢聊聊。
主合取范式，嗯，这个名字一听就觉得有点拗口。
其实呢，就是把逻辑表达成“与”的形式。
想象一下，你在一场聚会上，大家都在聊着自己的事儿。
这时候，你决定说：“好吧，我们来聊聊谁最喜欢吃披萨、喝啤酒、看电影。
”这个时候，你就把几个条件结合起来了，听起来就像是一道很酷的逻辑公式。
在主合取范式中，你只要把这些条件都用“与”连接起来，比如“我喜欢披萨与我喜欢啤酒与我喜欢看电影”，这就是个典型的主合取范式。
主析取范式又是个啥呢？就像个派对上不同的人选择不同的食物一样，主析取范式强调的是“或”的关系。
比如说你在问大家：“你们想吃披萨还是汉堡，还是炸鸡？”这个时候，大家的选择就成了不同的选项。
每个选项都可以单独成一个句子，比如“我喜欢披萨或我喜欢汉堡或我喜欢炸鸡”。
听起来是不是很简单呢？这就是主析取范式，简单明了，直来直去。
怎么从一个复杂的逻辑表达转化成这两种形式呢？咱们可以把这些条件一个一个拆开，慢慢分析。
你得搞清楚逻辑中的每一个命题，像是在解一个拼图。
然后，把这些命题用“与”或者“或”连接起来。
别担心，这个过程就像在做美食，先把材料准备好，然后根据自己的喜好来搭配。
你可以把条件拿出来，像一个厨师一样，看看哪些可以一起炒，哪些可以单独炖。
假设你有几个命题，比如“天气很好”、“有时间去公园”、“带了零食”。
你想把它们转成主合取范式。
简单，直接把它们用“与”连起来，变成“天气很好与有时间去公园与带了零食”。
嘿，这样就完成了！换成主析取范式，只需把每个命题用“或”连接，就可以得到“天气很好或有时间去公园或带了零食”。
这样一来，逻辑就变得清晰又简单了。
重言式与矛盾式的主析取范式与主合取范式
重言式与矛盾式的主析取范式与主合取范式。
1、先看下列简单的问题：命题公式P→（Q→P）的主合取范式为。
解：根据蕴涵词的意义，当P为假时，P→（Q→P）为真；当P为真时，Q→P为真，因而P→（Q→P）为真，所以P→（Q→P）永远为真，即P→（Q→P）是一个重言式。
P→（Q→P）中总共有两个命题变元P和Q，因而对应有个不同的极大项，每个极大项对应着使得P→（Q→P）为假的一种赋值。
现在P→（Q→P）不可能为假，所以P→（Q→P）的主合取范式中不能含有极大项，因而其主合取范式只能是一个不含极大项的空范式。
我们约定：用1表示重言式的主合取范式。
所以命题公式P→（Q→P）的主合取范式为1。
2、一般地，如果一个命题公式G中共有n个命题变元。
每个变元有真和假两种不同的赋值。
因而G总共有2n种不同的赋值。
对应着每一种赋值，都有一个极小项和极大项，极小项在对应的赋值下为真，极大项在对应的赋值下为假。
如果G正好在m种赋值下为真，在另外的种赋值下为假，那么使得G为真的m种赋值所对应的m个极小项的析取就是G的主析取范式，使得G为假的其他种赋值所对应的个极大项的合取就是G的主合取范式。
如果G是重言式，全部2n种赋值都使得G为真，因而所有的2n个极小项的析取是G的主析取范式。
重言式G的主合取范式不含极大项，是空范式，就用1表示。
如果G是矛盾式，全部2n种赋值都使得G为假，因而所有的2n个极大项的合取是G的主合取范式。
矛盾式G的主析取范式不含极小项，是空范式，就用0表示。
3、P→（Q→P）的主析取范式为由P→（Q→P）对应的所有4个极小项的析取得到。
4、重言式和矛盾式的主析取范式和主合取范式，在教材中没有讲清楚，因而在做有关练习和考试题时，同学们感到茫然。
现在，大家应该清楚了。
这里也进一步明确了用真值表方法求主合取范式和主析取范式的依据和步骤。
析取合取
2.2析取范式与合取范式一、析取范式与合取范式定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。
仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。
仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
例如，文字：p,┐q,r,q.简单析取式: p,q,p∨q,p∨┐p∨r,┐p∨q∨┐r.简单合取式: p,┐r,┐p∧r,┐p∧q∧r,p∧q∧┐q.定理2.1（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定。
（2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定。
定义2.3（1）由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。
（2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。
（3）析取范式与合取范式统称为范式。
例如，析取范式：（p┐∧q）∨r, ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r.合取范式:(p∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r.定理2.2（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式。
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。
范式的特点：（1）范式中不出现联结词→、↔，求范式时可消去：A→B⇔┐A∨BA↔B⇔(┐A∨B)∧(A∨┐B)（2）范式中不出现如下形式的公式：┐┐A, ┐(A∧B), ┐(A∨B)因为：┐┐A⇔A┐(A∧B)⇔┐A∨┐B┐(A∨B)⇔┐A∧┐B（3）在析取范式中不出现如下形式的公式：A∧(B∨C)在合取范式中不出现如下形式的公式：A∨(B∧C)因为：A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)定理2.3 (范式存在定理)任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式。
求范式的步骤：1．消去联结词→、↔；2．消去否定号┐；3．利用分配律。
命题公式的析取范式与合取范式都不是唯一的。
例2.7 求公式(p→q)↔r的析取范式与合取范式。
解: (1)合取范式：(p→q)↔r ⇔(┐p∨q)↔ r⇔((┐p∨q)→ r)∧(r→(┐p∨q))⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q))⇔ ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)⇔ (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)(2) 析取范式(p→q)↔r ⇔ ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)⇔ (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)⇔ (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)下面介绍命题公式的唯一规范化形式的范式：主析取范式与主合取范式。
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11. 主析取范式的用途
➢ 求公式的成真与成假赋值 ➢ 判断公式的类型 ➢ 判断两个命题公式是否等值 ➢ 应用主析取范式分析和解决实际问题
A m1∨m2∨…∨ms 例1: 求 (p→q)→ (q∨p) 的成真赋值
(p→q)→ (q p) (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) (p q) (pq) m0 m2 m3 即成真赋值为：0 0,1 0，1 1
p ∧ q ∧ r; p ∧ ┐q ∧ r; ┐ p ∧ ┐q ∧ ┐ r
思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极小项? 2n (2)每个极小项有多少个成真赋值? 一个
规定:成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应 极小项记作mi
7. 极小项与极大项的定义
➢极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项 和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且 第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单析取式为极大 项。 例：p ∨ r ∨ q; p ∨ ┐ p ∨ r; p ∨ ┐ q ∨ p;
方法1：真值表法
p q p →q 00 1 01 1 10 0 11 1
p→q m0 m1 m4 ( p q) ( p q) ( p q) M2 p q
方法2：公式法
p→q p q [ p (q q)] [q (p p)] ( p q) ( p q) ( p q) m0 m1 m4
历史遗留问题: (1)我只给村里所有那些不给自己理发的人理发 (2)只要别人有困难,他就帮忙,除非困难解决. (3) a:别人有困难, b: 他帮忙
(4) a b
作业 Ｐ38 5题（1 、3） 注意总结规律
6题（2)
作业问题: • 整体较好,都交了. • 个别书写不认真,应付私事。 • 注意“” 的书写 P14 14题
第二章析取范式与合 取范式
2. 定理2.1
➢ 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它 的否定式。 如：p∨┐p，p∨┐p∨r都是重言式； ┐p∨q，┐p∨┐q∨r都不是重言 式。 ➢ 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及 它的否定式。 如：p∧ ┐p，p∧ ┐p∧ r都是矛盾式； p∧ ┐ q，┐p∧ q∧ ┐ r都不是矛盾 式。
(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) （消去→）
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) （否定号内移）
(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r）
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
（∨对∧分配律）
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
7. 极小项与极大项的定义
➢极小项：在含有n个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项 和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且 第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单合取式为极小 项。 例：p ∧ r ∧ q; p ∧ ┐ p ∧ r; p ∧ ┐ q ∧ p;
p ∨ q ∨ r; p ∨ ┐q ∨ r; ┐ p ∨ ┐q ∨ ┐ r
思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极大项? 2n (2)每个极大项有多少个成假赋值? 一个
规定:成假赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应 极大项记作Mi
p, q, r 形成的极小项与极大项 极小项 解释 记法 极大项
的析取范式与合取范式。
• 研究范式的目的是将给定公式化成与之等值的析取范式或合 取范式，进而将公式化成与之等值的主析取范式或主合取范式。
思考：怎样将公式转化为范式？
➢例2.7 求下面公式的析取范式与合取范式： (p→q) r
先求合取范式
(p→q) r
(┐p∨q) r
（消去→）
((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) （消去 ）
例如A=(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r
• 思考：┐p∧q∧r 与p∨┐q∨r属于什么范式？
4. 定理2.2
➢ 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛 盾式。 ➢ 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重 言式。
5. 定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在着与之等值
结论: 公式的所有成假赋值对应主合取范式的所有极大项.
例2： 求A=(p→q) r的主析取范式
(p→q) r (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) (p∧┐q∧┐r) ∨ (┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ∨(┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) (p∧┐q∧┐r) ∨ (┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧q∧r) m4 ∨ m1 ∨ m3 ∨ m7 求A=(p→q) r的主合取范式
3. 范式的定义
➢ 由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。 ➢ 由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。 ➢ 析取范式与合取范式统称为范式。 • 设 Ai(i=1,2,…,s)为简单合取式,则析取范式的形式:
A=A1∨A2∨…∨As 例如A=(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p
• 设 Ai(i=1,2,…,s)为简单析取式,则合取范式的形式: A=A1∧A2∧…∧As
例1： 求A=(rp)(q(pr))的主析取范式 解： (rp)(q(pr))
(rp)(qp)(qr) (pr)(qp)(qr) [(pr)(qq)][(qp)(rr)][(qr)(pp)] (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1 m3m6m7
A A ∧ (P ∨ ┐P) （A ∧ P） ∨ （ A ∧ ┐P ）
(10)除非天下大雨，否则他不乘车上班。 p:天下大雨 q:他乘车上班
q→p
(14) 2和4是素数，这是不对的。 (15) p: 2是素数 q: 4是素数
(16) (p q)
P38 4题(4) (p q) (pq) (p q) (p q)
(p q) (pq) [(p q) p] [(p q) q] (p p) (q p) (p q) (q q) (q p) (p q) (p q) (p q)
┐┐A A ┐(A∧B) ┐A∨┐B ┐(A∨B) ┐A∧┐B ③ 利用分配率，转化为析取（合取）范式
A∧(B∨C) A∨(B∧C)
(A∧B)∨(A∧C) (A∨B)∧(A∨C)
➢例2.7 求下面公式的析取范式与合取范式：
(p→q) r
求析取范式
(p→q) r
(┐p∨q) r
（消去→）
((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) （消去 ）
p q p p→q q qp (p→q)→ (qp)
0 01 0
11
1
0 11 1
00
0
1 00 1
11
1
1 10 1
01
1
A m1∨m2∨…∨ms (1)A为重言式当且仅当其主析取范式包含2n个极小项
(2) A为矛盾式当且仅当其主析取范式包不含极小项
(3) A为可满足式当且仅当其主析取范式包至少含一个极小项
(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) （消去→）
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) （否定号内移）
(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) （∨对∧分配律）
6. 将公式转化为范式的步骤
① 消除联结词，
A→B ┐A∨B A B (A B) ∧(B A) ② 缩小┐的作用范围
(┐A∨B)∧(A∨┐B
pqr 000 m0
pqr
pqr 001 m1 p q r
pqr 010 m2 p q r
pqr 011 m3 p q r
pqr 100 m4 p q r
pqr 101 m5 p q r
pqr 110 m6 p q r
pqr 111 m7 p q r
解释 000 001 010 011 100 101 110 111
pq r
000 001 010 011 100 101 110 111
结论: 公式的所有成真赋值对应主析取范式的所有极小项.
(rp)(q(pr))的主合取范式 (rp)(qp)(qr) (p r)(qp)(qr) [(pr) q] [(pr) p] (qr) [(p q) (q r) (p p) (p r) ](qr) (p q q) (q r q) (p r q)
(p→q) r (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
(p∨q ∨ r)∧ (p∨ ┐ q ∨ r) ∧(┐ p ∨ ┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) M0 M2 M6 M5
如何求一个公式的主析取范式？ （1）利用等值转化法 （2）利用真值表 （3）通过主合取范式求逆
例3： 求命题公式p→q的主析取范式和主合取范式。
真值表法：
( p →q) (q r) m3 m7
pq 00 00 01 01 10 10 11 11
r p p →q 01 0 11 0 01 1 11 1 00 1 10 1 00 1 10 1
q r ( p →q) (q r) 00 00 00 11 00 00 00 11
练习: 求 ( p →q) (q r) 的主析取范式
➢ 如何求主析取范式（主合取范式）？ • 首先求等价的析取范式（合取范式） • 然后对非极小项（或者非极大项）进行扩展。
A A ∨(P∧┐P) （A ∨ P）∧（ A ∨ ┐P ）
A A ∧ (P ∨ ┐P) （A ∧ P） ∨ （ A ∧ ┐P ）
• 最后，求出某公式的主析取范式（主合取范式）后，将极小 项（极大项）都用名称写出，并且按极小项（极大项）名称的 角标由小到大顺序排列。
记法 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7