高中物理必修二万有引力(开普勒三定律)

学科教师辅导教案

组长审核：

A ．10倍

B ．18倍

C ．24倍

D ．30倍

二）相关知识点讲解、方法总结

定律

内容 图示

开普勒第一

定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

说明：不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不

同的

开普勒第二

定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积

说明：行星在近日点的速率大于在远日点的

速率

开普勒第三

定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等

说明：表达式a 3

T

2＝k 中，k 值只与中心天体有

关

特别提醒

(1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于其他天体的运动。对于不同的中心天

体，比例式a 3

T

2＝k 中的k 值是不同的。

(2)应用开普勒第三定律进行计算时，一般将天体的椭圆运动近似为匀速圆周运动，在这种情况下，若用R

代表轨道半径，T 代表公转周期，开普勒第三定律用公式可以表示为R 3

T

2＝k 。

三）巩固练习

1. 2006年8月24日晚，国际天文学联合会大会投票，通过了新的行星定义，冥王星被排除在行星行列之外，太阳系行星数量由九颗减为八颗。若将八大行星绕太阳运行的轨迹粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如表所示。

从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( )

A．80年B．120年

C．165年D．200年

2．（2017春?源汇区校级月考）关于太阳系各行星的运动，下列说法不正确的是（）

A．太阳系中的各行星有一个共同的轨道焦点

B．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直

C．行星在近日点的速率大于远日点的速率

D．离太阳“最远”的行星，绕太阳运动的公转周期最长

考点二：万有引力

一）例题解析

1．（2018春?商丘期末）牛顿发现万有引力定律后，测出引力常量的科学家是（）

A．卡文迪许B．牛顿C．开普勒D．第谷

2．（2018春?兰考县校级期末）2016年1月20日，美国天文学家推测：太阳系有第九个大行星。若这第九大行星质量为地球质量的p倍，半径为地球半径的k倍，到太阳的平均距离为地球到太阳平均距离的n倍，将行星的运动看作是圆周运动，忽略地球自转，万有引力常量G已知，则（）

A．该行星公转周期为办年

B．该行星的做圆周运动的加速度是地球做圆周运动的加速度的倍

C．该行星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的倍

D．该行星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的倍

二）相关知识点讲解、方法总结

知识点2 万有引力定律

1．内容

(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。

(2)引力的方向在它们的连线上。

(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。

2．表达式：F ＝G m 1m 2r

2，其中G 为引力常量，G ＝6.67×10

－11 N ·m 2/kg 2

，由卡文迪许扭秤实验测定。 3．适用条件

(1)两个质点之间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；r 为两物体间的距离。

(2)对质量分布均匀的球体，r 为两球心的距离。 知识点3 万有引力定律的应用 1．计算天体的质量 (1)地球质量的计算

①依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝G Mm R

2。

②结论：M ＝gR 2

G

，只要知道g 、R 的值，就可计算出地球的质量。

(2)太阳质量的计算

①依据：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G Mm r

2＝4π2

mr

T 2

。

②结论：M ＝4π2r

3

GT

2，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质量。

(3)其他行星的质量计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算行星

的质量M ，公式是M ＝4π2r

3GT

2。

2．发现未知天体

海王星、 冥王星的发现都是天文学家根据观测资料，利用万有引力定律计算出的，人们称其为“笔尖下发现的行星”。

特别提醒

(1)万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略。

(2)任何两个物体间都存在着万有引力，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以应用公式F ＝G m 1m 2r 2

计算其大小。

(3)万有引力定律是牛顿发现的，但引力常量却是大约百年后卡文迪许用扭秤测出的。

拓展知识：1．在地球表面上的物体

重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。

如图所示，万有引力F 产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力F 向；二是产生物体的重力

mg ，其中F ＝G Mm

R

2，F 向＝mr ω2(r 为地面上某点到地轴的距离)，则可知：

(1)当物体在赤道上时，F 、mg 、F 向三力同向，此时F 向达到最大值，F 向max ＝mR ω2

，重力达到最小值，G min

＝F －F 向＝G Mm R 2－mR ω2，重力加速度达到最小值，g min ＝F －F 向m ＝GM R

2－R ω2

。

(2)当物体在两极点时，F 向＝0，F ＝mg ，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，G max ＝G Mm

R

2，重力加速度达到最大值，g max ＝GM R

2。

(3)在物体由赤道向两极移动的过程中，向心力减小，重力增大，重力加速度增大。 2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力

物体在地球表面附近(脱离地面)时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即mg ＝GMm

R 2

，R 为地球半径，g 为地球表面附近的重力加速度，此处也有GM ＝gR 2

。

3．距地面一定高度处的重力与万有引力

物体在距地面一定高度h 处时，mg ′＝

GMm

R ＋h

2

＝m

v 2

R ＋h

，R 为地球半径，g ′为该高度处的重力加速度。

特别提醒

(1)由于地球的自转角速度很小，地球自转带来的影响可以忽略不计。一般情况下可以认为G Mm R

2＝mg ，化简可得GM ＝gR 2

，此即常用的“黄金代换式”。

(2)在并非有意考查地球自转的情况下，一般近似地认为万有引力等于重力(数值)，但无论如何都不能说重力就是万有引力。

拓展知识2：天体的质量和密度的计算

首先要将天体看做质点，将环绕天体的运动看做匀速圆周运动，建立环绕天体围绕中心天体的模型，环绕

天体所需要的向心力来自于中心天体和环绕天体之间的万有引力，然后结合向心力公式列方程：GMm r 2＝m v 2

r ＝mr

ω2

＝m

4π

2

T

2

r ＝m 4π2rf 2。

(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M

V

＝

M 43

πR

3＝3g 4πGR 。

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。

①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r

3

GT 2；

②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43

πR

3＝3πr

3

GT 2R 3

；

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π

GT

2。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

特别提醒

(1)利用上面的方法求天体的质量时，只能求出被绕中心天体的质量而不能求出环绕天体的质量。 (2)掌握日常知识中地球的公转周期、地球的自转周期、月球绕地球的运动周期等，在估算天体质量时，可作为已知条件。

(3)在天文学中，环绕天体的线速度、角速度都比较难测量，而比较容易测量的是天体的轨道半径和环绕

周期，所以M ＝4π2r

3GT

2比较常用。

三）巩固练习

1.为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R ，地球质量为m ，太阳中心与地球中心间距为r ，地球表面的重力加速度为g ，地球绕太阳公转的周期为T 。则太阳的质量为( )

A.4π2r 3T 2R 2g

B.4π2mr 3

T 2R 2g

C.T 2R 2g 4π2mr

3 D.4π2R 2

mg T 2r

3

2．(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比R 星∶R 地＝1∶4，地球表面重力加速度为g ，设该星球表面重力加速度为g ′，地球的质量为M 地，该星球的质量为M 星。空气阻力不计。则( )

A ．g ′∶g ＝5∶1

B ．g ′∶g ＝1∶5

C ．M 星∶M 地＝1∶20

D ．M 星∶M 地＝1∶80

（四）本节综合练习

1．（2017春?郑州期末）关于对开普勒第三定律=k 的理解，以下说法中正确的是（ ）

A ．T 表示行星运动的自转周期

B ．k 值只与中心天体有关，与行星无关

C ．该定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕行星的运动

D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R1，周期为T1，月球绕地球运转轨道的半长轴为R2，周期为T2，则

=

2．（2017春?延庆县期末）关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是（）

A．所有行星都在同一轨道上绕太阳运动

B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处

C．离太阳越近的行星运动周期越大

D．所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等

3．（2016?安徽模拟）如图，O表示地球，P表示一个绕地球沿椭圆轨道做逆时针方向运动的人造卫星，AB为长轴，CD为短轴．在卫星绕地球运动一周的时间内，从A到B的时间为t AB，同理从B到A、从C到D、从D 到C的时间分别为t BA、t CD、t DC．下列关系式正确的是（）

A．t AB＞t BA B．t AB＜t BA C．t CD＞t DC D．t CD＜t DC

4．（2017秋?淄川区校级月考）下列叙述正确的是（）

A．力、长度和时间是力学中三个基本物理量，它们的单位牛顿、米和秒就是基本单位

B．伽利略用“月地检验”证实了万有引力定律的正确性

C．伽利略通过大量实验，发现只要斜面的倾角一定，不同质量的小球从不同高度开始滚动，小球的加速度都是相同的

D．牛顿在给出万有引力定律的同时给出了引力常量

5．（2018春?驻马店期末）有一颗行星，其近地卫星的线速度大小为v，假设宇航员在该行星表面上做实验，宇航员站在正以加速度a匀加速上升的电梯中，用弹簧测力计悬挂质量为m的物体时，看到弹簧测力计的示数为F．已知引力常量为G，则这颗行星的质量是（）

A．B．

C．D．

（五）课堂总结

三、出门测（共10分）

1．（2016春?洛阳校级月考）关于开普勒行星运动规律，下列说法正确的是（）

A．太阳系中绝大部分行星的运动轨道都是椭圆，而极个别行星的运动轨道可能是圆

B．只有行星绕太阳运动时的轨道才是椭圆的

C．在任意相等时间内，地球跟太阳的连线扫过的面积都相等

D．只适合于太阳系，不适应其他星系

2．（2015秋?邯郸期末）已知地球和火星绕太阳公转的半径分别为R1和R2（公转轨迹近似为圆），如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率。则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是（）

A．B．C．D．

3．（2018春?金台区期中）许多物理学家为万有引力定律的发现作出了重大贡献。下列陈述的历史事实发生的先后顺序正确的是（）

①牛顿发现万有引力定律

②卡文迪许测出了万有引力常量

③开普勒发现行星运动的三大定律

④第谷通过长期观测记录了大量极为精确的天文资料

A．①②④③B．④③①②C．④③②①D．④①③②

4．（2018春?南阳期末）地球质量是多少？这不可能用天平称量，但是可以通过万有引力定律来“称量”，早在万有引力定伸发现之前已经测得地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。发现万有引力定律100多年后，英国物理学家卡文迪许测出了万有引力常量G，若不考虑地球自转的影响，就可以求地球的质量为（）

A．B．C．D．

四、练一练

1．（2016春?哈尔滨校级期末）关于开普勒第三定律=k的理解，以下说法中正确的是（）A．k是一个与行星无关的常量，可称为开普勒常量

B．T表示行星运动的自转周期

C．该定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕行星的运动

D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R1，周期为T1，月球绕地球运转轨道的半长轴为R2，周期为T2，则

2．（2016春?宜春校级月考）某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为v a，则过近日点时的速率为（）

A．v b=v a B．v b=v a C．v b=v a D．v b=v a

3．（2016春?肇庆期末）我们研究了开普勒第三定律，知道了行星绕恒星的运动轨道近似是圆形，周期T的平方与轨道半径 R的三次方的比为常数，则该常数的大小（）

A．只跟恒星的质量有关

B．只跟行星的质量有关

C．跟行星、恒星的质量都有关

D．跟行星、恒星的质量都没关

4．（2017秋?齐齐哈尔期末）牛顿这位科学巨人对物理学的发展做出了突出贡献．下列有关牛顿的表述中正确的是（）

A．牛顿用扭秤装置测定了万有引力常量

B．牛顿通过斜面实验得出白由落体运动位移与时间的平方成正比

C．牛顿认为站在足够高的山顶上无论以多大的水平速度抛出物体，物体都会落回地面

D．牛顿的“月﹣﹣地检验”表明地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与行星所受太阳的引力服从相同规律

5．(多选)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )

A．轨道半径越大，周期越长

B．轨道半径越大，速度越大

C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度

D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度

6．（2018春?许昌期末）假设地球和金星都绕太阳做匀速圆周运动。已知地球到太阳的距离大于金星到太阳的距离，下列说法正确的是（）

A．地球公转的加速度大小小于金星公转的加速度大小

B．地球公转的线速度大小大于金星公转的线速度大小

C．地球公转的周期小于金星公转的周期

D．地球公转的角速度大于金星公转的角速度

7．（2018春?许昌期末）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天

器的（）

A．运行周期T=2πR B．线速度大小v=

C．向心加速度大小a=g D．角速度ω=

8．（2018?河南二模）已知在地球表面上，赤道外的重力加速度大小为g1，两极处的重力加速度大小为g2，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，地球可视为质量分布均匀的球体，则地球的密度为（）

A．?B．?

C．?D．?

参考答案：

考点一：

例1.B 巩固1.C 巩固2.B

考点二：

例1.A 例2.D 巩固1.B 巩固2.BD

综合练习：

1.B

2.D

3.D

4.C

5.D

出门测：

1.C

2.C

3.B

4.A

练一练：

1.A

2.C

3.A

4.D

5.AB

6.A

7.C

8.D