单调速率调度算法RMS

余蓝涛1
(天津大学精密仪器与光电子工程学院天津 300072 )
摘要：
嵌入式系统对强大实时处理能力的需求和相对紧张的内存及内核资源的现实，对嵌入式操作系统任务调度提出了较高的要求。

因此任务调度的算法的分析，实现和优化，对实现嵌入式系统的实时性有着重大的意义。

从算法提出的理论基础出发，深入分析了经典的单调速率调度算法的思想，特点，具体实现并重点评价了该算法的优点和局限性。

关键词：单调速率调度算法实时嵌入式系统
Abstract：
The zest for powerful real-time processing of embedded system and the reality of relatively scare memory and kernel resource pave way for the high request for task scheduling. Therefore, the analysis, implementation and optimization of task scheduling algorithm have a vast meaning for the real-time system. Based on theoretical basis of classic rate-monotonic scheduling algorithm, this paper not only analyzes fundamental thought, characteristics, practical implementation of this classic algorithm in depth, but also rate its advantages and disadvantages.
Key words: Rate-monotonic Scheduling, Algorithm, Real-time, Embedded System
一，引言
现在嵌入式系统得到高速的发展。

它的发展为几乎所有的电子产品注入了新的活力。

它在国民经济各领域和我们日常生活中发挥了越来越重要的作用。

嵌入式系统在航天、军事、工控以及家电等方面得到了广泛应用。

囿于体积，能耗，价格等方面的约束，嵌入式系统处理器速度比较慢，存储器容量也有限。

而传统的操作系统为了取得较高的性能，要求硬件设备具有强大的处理能力，大容量的存储能力以及对网络的支持功能，这使得传统的操作系统难以简单地移植到嵌入式系统中。

这就导致了嵌入式操作系统由于受到系统的限制，往往内存资源都非常的有限，要求操作系统的内核都非常的精炼，对于系统中的资源操作系统内核需要进行统一的分配和调度。

嵌入式操作系统调度策略一直以来都是嵌入式操作系统的研究
中的一个热点。

任务调度是嵌入式操作系统内核的关键部分，如何进行任务调度，使得各个任务能在其截止期限内得以完成是嵌入式操作系统的一个重要的研究领域。

二，嵌入式实时操作系统
绝大部分嵌入式系统都是实时系统，而且多是实时多任务系统。

所谓“实时”,是指系统的正确性不仅仅依赖于计算的逻辑结果而且依赖于结果产生的时间[1][6]。

结果产生的时间就是通常所说的截止期限(deadline),描述系统实时性的指标主要有：
a,对紧急事件可预见性的快速响应；
1作者简介：余蓝涛（1991-）江西省人天津大学精密仪器与光电子工程学院测控技术与仪器本科生学号：79
b,高度的可调度性，所谓调度性是指系统在任务时间需求能够满足下的最高资源利用率，也就是平均每秒的及时执行的任务数量；
c,在暂时超负荷情况下的系统稳定性，即当系统超负荷运转导致不能满足所有任务的deadline需求时，仍然能够保证关键任务的deadline需求；[2]
对于“实时”而言，截止期限的要求是必须得到满足的，但是区分具体应用场合，这种时限要求的严格程度又有所不同。

如果这种要求是绝对的，即不满足截止期限的要求计算结果就毫无意义甚至可能造成无法预料的结果或系统致命的错误，那就称之为硬实时系统(Hard Real Time System)；在硬实时系统中如果出现了这样的情况就意味着巨大的损失和灾难，比如说日本福岛核电站中的堆芯温度控制系统如果没有对堆芯过热做出及时的冷却处理，后果不堪设想。

当不满足截止期限的要求时计算结果的可调度性逐渐减弱但是并不足
以造成严重后果，系统仍然继续调度直至任务完成，则称为软实时系统(Soft Real Time System)。

软实时系统是指如果在系统负荷较重的时候允许发生错过deadline 的情况而且不会造成太大的危害比如说程控电话系统允许在100个电话中有一个接不通。

硬实时系统和软实时系统的实现区别主要是，在选择调度算法上选择基于优先级调度的算法足以满足软实时系统的需求而且可以提供高速的响应和大的
系统吞吐率,而对硬实时系统来说需要使用的算法就应该是调度方式简单反应速度快的实时调度算法了。

三，优先级调度算法
调度，也称dispatcher。

这是内核的主要职责之一，就是确定该轮到哪个任务运行了。

优先级抢占调度算法中，每个任务根据其重要程度的不同而被赋予一定的优先级。

优先级抢占调度算法是指在系统运行过程中高优先级的任务可以中断低优先级的任务，让处在就绪态的优先级最高的任务先运行。

目前多数实时内核采用优先级可抢占的调度算法，主要原因有以下几点：[5]
首先，处理异常的任务可能需要抢占正在运行的任务，以便及时对异常做出响应；
第二，任务的重要性不同，优先级可抢占使一些重要任务有可能抢占正在运行的任务；
第三，允许任务抢占可得到更为有效的调度；
根据不同的优先级分配方法，基于优先级的调度算法可以分为如下两种类型：
1,静态调度：
静态调度是在系统开始运行前进行调度的，严格的静态调度在系统运行时无法对任务进行重新调度。

静态调度的目标是把任务分配到
各个CPU，并对每一个CPU给出所要运行任务的静态运行顺序。

静态调度算法实现简单，调度的额外开销小，在系统超载时可预测性好。

但也具有很大的局限性，例如资源利用率低、受系统支持的优先级个数限制以及灵活性和自适应性差等。

2,动态调度：
在嵌入式实时系统中，动态调度依赖于任务的优先级。

优先级可以静态分配或者依据不同的特征参数，如截止时间、空闲时间或关键性(即任务的重要程度)等进行动态分配。

动态调度可以是抢占式的或非抢占式的。

当检查到一事件时，动态抢占式算法立即决定是运行与此事件相关的任务，或继续执行当前的任务；对于动态非抢占式算法，它仅仅知道有另一个任务可以运行，在当前任务结束后，它才在就绪的任务中选择一个来运行。

优先级调度算法在实时进程调度中使用很广泛，静态优先级调度算法根据应用的属性来分配优先级，其可控性较强，而动态优先级调度算法在资源分配和调度时具有更大的灵活性。

一个好的调度模型和调度算法应该能够满足以下四个要求：
1)易于使用(Ease To Use)：在系统中对于分配资源的各种任务，调度算法不需要大量的搜索操作就可以找到可行性调度；
2)易于纠偏(Ease To Check)：任务程序发生改变时，调度不必从头做起；
3)易于扩展(Ease To Extend)：一定程度上违反了系统的假设条件时，调度不应该改变；
4)应确保可调度性(Must Guarantee Predictability)：在给定时间限定的条件下，调度必须能够保证所有任务的执行；
静态优先级调度模型是实时系统中比较流行的一种调度模型。

这种模型在系统运行前给每个任务分配固定的优先级和运行周期，当任务到达时向系统发出执行请求，这个请求必须在下一个周期开始之前完成，每个任务的执行情况相互独立。

固定优先级调度模型可描述各种情况下系统的最坏运行情况，用定义好的算法来调度任务，而不需像循环调度模型那样对特定的情况用特定的调度方案，因此使系统便于维护和升级。

[5]
单调速率调度算法RMS（Rate Monotonic Scheduling）为每个周期进程指定一个固定不变的优先级，周期最短的进程优先级最高。

周期越短，进程的到达频率越高，优先级也越高，这正是此策略被称为速率单调算法的原因。

RMS算法也可用于多CPU环境,用于分配任务优先级。

这种方法基于哪个任务执行的次数最频繁，执行最频繁的任务优先级最高。

RMS的由来是从硬实时环境的初始定义开始的：
1,所有的任务都是周期性的，各个任务请求的deadline 呈周期
性，同时具有恒定的时间间隔；
2,所有任务都必须在下一次任务请求（即deadline ）到来之前
完成；
3,所有的任务都是独立的，每一次任务请求不依赖于其他任务
的执行或者初始化；
4,每个任务都存在一个恒定且非时变的执行时间，即CPU 不间
断地执行该任务的时间；
5,任何非周期的任务属于特殊任务，它们属于初始化或者是恢
复错误的事件，仅当它们自身执行的时候才能取代周期性任务，同时非周期性任务不存在有deadline.
RMS 调度算法从何而来呢
假设使用τ1,τ2,…,τm 表示m 个周期任务，任务申请周期和运行时间分别表示为T 1,T 2,…,T m 和C 1,C 2,…,C m 。

定理1:
若所有进程在临界时刻启动的请求都能满足最后期限
要求，则整个进程集可调度。

即进程在临界时刻启动的请求响应时间最长。

图1：在τm 执行之前的τ1运行[1] 证明：
如图1所示，假定τm 为τ1,τ2,…,τm 优先级最低的任务，在t 1时刻任务τm 发出了运行请求，显然在图1所示的t 1到t 1+T m 时间间隔之间请求运行的周期性占先任务会推迟τm 完成时刻，除非τm 在t 2到来之前完成它。

当t 2向t 1方向移动的时候，τm 任务完成的时刻要么不变，要么被推迟，所以断定，在t 2向t 1方向无线趋近，直至与t 1重合的时候，能够做到τm 完成任务的延时最长。

根据定理1可以假定，有两个任务τ1和τ2，对应的指定周期T 1<T 2。

假设τ1的优先级更高，此时根据定理1，可得：[1]
⌊T 2T 1
⌋2C 1+C 2≤T 2; 1) 如果假设τ2的优先级更高，此时显然有：
C 1+C 2≤T 1; 2)
因为有： ⌊T 2T 1⌋C 1+⌊T 2T 1⌋C 2≤⌊T 2T 1
⌋T 1≤T 2 2)式导出了1)式，换句话说，只要保证了T 1<T 2 ，不论是τ2的优先级高于τ1，τ1的优先级高于τ2的两种情况下都是可以调度的。

推而广之，那么，似乎在设计调度算法的时候，倘若我们将调度频率独立于运行时间的话，让较高使用频率的任务具有较高的优先级，较低使用频率的任务具有较低的优先级的话，使用这种单调速率的方法来定义固定优先级的任务似乎是更加合理的选择了。

定理2：如果一个可执行的静态优先级调度算法存在于某些可调度任务中，那么单调速率优先级算法必然在该任务中是可以调度的。

[1]
证明：令τ1,τ2,…,τm 为一可行的（可调度）优先级调度算法，假设τi ,τj 为两个相邻优先级的任务，且τi 的优先级更高，假定T i >T j ，交换τi ,τj 的优先级之后，不难发现结果的任务依然是可行的。

由于其对任意式子都成立，于是命题成立。

因此，单调速率调度算法在静态优先级调度算法中属于最优算法，所以该算法的CPU 使用率必然大于等于其余的静态优先级调度算法。

基于单调速率调度的算法中，定义U 为Processor Utilization. (CPU 的使用率)，由于C i T i ⁄为每一个任务τi 的CPU 执行率，对系统有：
U =∑C i T i ⁄m i =1;
由于优先级调度算法最终结果是可以调度的，所以U 必须存在着一个最小上界，那就是在这个最小上界之下的CPU 的运行率的任务一定是可以调度的。

定理3:在两个固定优先级任务的情况下，经过计算，最小上界为U =2(212−1).[1]
经推广到m 个固定优先级的任务条件下，此时的最小上界为：
U =m (21m −1);[1]
由罗必塔法则，求得极限为ln2。

2 ⌊T 2T 1⌋表示不超过T 2T 1的最大整数，在1)式中⌊T
2T 1⌋C 1表示在T 2时间段内，任务τ1的执
行次数
为直观表示，使用Matlab显示,根据Matlab R2008b版本的计算U-m的关系程序，代码如下：
syms m y;
y=m*(2^(m^(-1))-1);
lim=limit(y,m,inf); %求出式子的极限
m=1:1:100; %从0到100取m值,步长为1
y=m.*(2.^(m.^(-1))-1); %用m表示y,其中m为数组
plot(m,y,'-b'); %作图，横坐标为m，纵坐标为y
x=[0,100];
y=[double(lim),double(lim)];
line(x,y,'Color',[.4 .8 .8]); %作渐近线，颜色为淡蓝色
xlabel('m'); %x轴标注为m的大小ylabel('U(processing rate of CPU)'); %y轴标注为CPU使用率grid on; %显示网格
对应的U-m变化曲线如图2所示：
图2：U-m曲线图
图2中显示该曲线无限趋近于ln2，即。

这就意味着，任何周期大小周期性任务一旦使用RMS调度算法均能满足调度要求，即在deadline之前完成。

同时CPU总运行率不会超过最小上界。

需要指出的时候，它仅仅是必要条件，事实上该最小上确界是比较保守的，是
绝对最坏情况下(pessimistic)的值。

Lehoczky,Ding 和Sha 分析表明
[2]，用RMS 算法可调度CPU 利用率高于的周期进程集的情况并不罕见，且通过对均匀分布的任务，RMS 算法平均可调度CPU 使用率可达.同时经过严格的证明，得出的任务可调度的充分必要条件：对任意 i ,1≤i ≤m ;
存在:
t ∈{l ∙T k |1≤k ≤i ,1≤l ≤⌊T i T k
⌋}; 使得： ∑C j i j =1⌈t
T j ⌉3≤t 3） 通常在实际设计实时操作系统中使用静态调度算法的时候，上面的测试需要在编译之前通过，方能确保在deadline 之前完成任务。

四，RMS 算法的实现(C++模板元程序实现示例)
1，声明任务my_task 的结构体变量：
struct my_task {
enum { cost = 100,
period = 600,
phasing = 50,
droppable = 0,
importance = 1000 };
static void do_task(const context& c) {
cout << "my_task::do_task()" << endl;
}
};
period 表示任务的响应周期；
phasing 表示任务的逻辑定向；
droppable 为布尔变量，表示是否该任务可以被挂起以保证其之后可以被调度； importance 为整形变量，具体指定了CPU 执行该任务的情愿度，具有低importance 在执行较高优先级的任务之前被挂起；
do_task 为功能性函子，具体指定即将被执行的具体任务；
2， 使用RMA_Feasible 函数（已被Schedule 函数调用）循环查询判断任务是否可以被调度
template <class TL, int m, int i>
struct check_i;
template <class Head, class Tail, int m, int i>
struct check_i<Typelist<Head, Tail>, m, i> {
enum { task_result =
task_feasible<Typelist<Head,Tail>,i>::Result,
Result = check_i<Typelist<Head,Tail>,m,i+1>::Result
&& task_result };
};
3 ⌈t T j ⌉为大于t T j
的最小整数
template <class Head, class Tail, int m>
struct check_i<Typelist<Head, Tail>, m, m> {
enum { Result = task_feasible<Typelist<Head,Tail>,
m>::Result };
};
template <class TaskSet>
struct RMA_Feasible {
enum { m = Length<TaskSet>::value,
Result = check_i<TaskSet, m, 1>::Result };
};
3，判断可调度的充要条件不等式3)是否成立(核心算法实现)
Layland.
[2]
algorithm–
[3] M. Deters,
Type System MDES
2003.
[4] , and Generalized Rate-Monotonic Scheduling Theory: A Framework for Developing Real-Time Systems Proceedings of the IEEE 82(1),
[5]王知学:嵌入式操作系统调度算法研究.[J]中国科学院自动化研究所2003
[6] and . Embedded System Design: A Unified Hardware/Software Introduction.[M] 北京：北京航空航天大学出版社。