2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ卷)(含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)
文数
本卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()
A.{0,2}
B.{1,2}
C.{0}
D.{-2,-1,0,1,2}
2.设z=1-i
1+i
+2i,则|z|=( )
A.0
B.1
2
C.1
D.√2
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.已知椭圆C:x 2
a2+y
2
4
=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A.1
3B.1
2
C.√2
2
D.2√2
3
5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.12√2π
B.12π
C.8√2π
D.10π
6.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2x
B.y=-x
C.y=2x
D.y=x
7.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB
⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -1
4
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.14
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3
4
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.3
4
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.1
4
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.已知函数f(x)=2cos 2x-sin 2x+2,则( ) A. f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B. f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C. f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D. f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )
A.2√17
B.2√5
C.3
D.2
10.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为( ) A.8
B.6√2
C.8√2
D.8√3
11.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23
,则|a-b|=( ) A.1
5
B.√5
5
C.
2√55
D.1
12.设函数f(x)={2-x ,x ≤0,
1,x >0,则满足f(x+1)<f(2x)的x 的取值范围是( )
A.(-∞,-1]
B.(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,0)
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)=log 2(x 2+a).若f(3)=1,则a= .
14.若x,y 满足约束条件{x -2y -2≤0,
x -y +1≥0,y ≤0,则z=3x+2y 的最大值为 .
15.直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点,则|AB|= .
16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
.
17.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n.设b n=a n
n
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{b n}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{a n}的通项公式.
18.(12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=2
3
19.(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量[0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量[0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
频数 1 5 13 10 16 5
(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
20.(12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.
(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;
(2)证明:∠ABM=∠ABN.
21.(12分)已知函数f(x)=ae x-ln x-1.
(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;
时, f(x)≥0.
(2)证明:当a≥1
e
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分) 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立,求a 的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)
一、选择题 答案速查
A
C
A
C
B
D
A
B
B
C
B
D
1.A 本题主要考查集合的基本运算.
∵A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={0,2},故选A. 2.C ∵z=1-i
1+i +2i=(1-i )
2
(1+i )(1-i )+2i=1-2i -12
+2i=i,
∴|z|=|i|=1,故选C. 3.A 本题主要考查统计图.
设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,由题图可得下表:
种植收入第三产业收入其他收入养殖收入建设前
经济收入
0.6a 0.06a 0.04a 0.3a 建设后
经济收入
0.74a 0.56a 0.1a 0.6a
根据上表可知B、C、D均正确,A不正确,故选A.
4.C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质.
由题意可知c=2,b2=4,∴a2=b2+c2=4+22=8,则a=2√2,
∴e=c
a =
2√2
=√2
2
,故选C.
5.B 本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面.
设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2√2,∴圆柱的表面积
S=2πr2+2πr·h=4π+8π=12π.故选B.
6.D 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义.
∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,∴a-1=0,得a=1,∴f(x)=x3+x,∴f '(x)=3x2+1,∴f '(0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.
7.A 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.
∵E 是AD 的中点,∴EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又知D 为BC 的中点,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2
(AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),因此EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A.
8.B 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质. f(x)=2cos 2
x-sin 2
x+2=2(1-sin 2
x)-sin 2
x+2=4-3sin 2
x=4-3×1-cos2x 2
=52+
3cos2x
2
,∴f(x)的最小正周期
T=π,当cos 2x=1时,f(x)取最大值,为4.故选B.
9.B 本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径.
由圆柱的三视图及已知条件可知点M 与点N 的位置如图1所示,设ME 与FN 为圆柱的两条母线,沿FN 将圆柱侧面展开,如图2所示,MN 即为从M 到N 的最短路径,由题知,ME=2,EN=4,∴MN=√42+22=2√5.故选B.
图1
图2
10.C 本题主要考查长方体的体积及直线与平面所成的角.
如图,由长方体的性质可得AB⊥平面BCC 1B 1, ∴BC 1为直线AC 1在平面BCC 1B 1内的射影, ∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BCC 1B 1所成的角, 即∠AC 1B=30°,
在Rt△ABC 1中,AB=2,∠AC 1B=30°,∴BC 1=2√3,
在Rt△BCC 1中,CC 1=√BC 12
-BC 2=√(2√3)2
-22=2√2,
∴该长方体的体积V=2×2×2√2=8√2,故选C.
11.B 本题主要考查三角函数的定义及三角恒等变换. 由题可知tan α=
b -a 2-1
=b-a,又cos 2α=cos 2α-sin 2
α=
cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α=1-tan 2α1+tan 2α=1-(b -a )
21+(b -a )
2
=2
3
,
∴5(b -a)2
=1,得(b-a)2
=15,即|b-a|=√5
5,故选B.
12.D 本题主要考查分段函数及不等式的解法. 函数f(x)={2-x ,x ≤0,1,x >0
的图象如图所示:
由f(x+1)<f(2x)得{2x <0,2x <x +1,得{x <0,
x <1.
∴x<0,故选D.
二、填空题 13.答案 -7
解析 本题主要考查函数的解析式及对数的运算. ∵f(x)=log 2(x 2
+a)且f(3)=1, ∴f(3)=log 2(9+a)=1, ∴a+9=2,∴a=-7. 14.答案 6
解析 本题主要考查线性规划.
由x,y 满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示).
由图知当直线3x+2y-z=0经过点A(2,0)时,z 取得最大值,z max =2×3=6.
15.答案 2√2
解析 将圆x 2
+y 2
+2y-3=0化为标准方程为x 2
+(y+1)2
=4,则圆心坐标为(0,-1),半径r=2, ∴圆心到直线x-y+1=0的距离d=√
2=√2,
∴|AB|=2√r 2-d 2=2√22-(√2)2
=2√2.
16.答案
2√3
3
解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解.
由已知条件及正弦定理可得2sin Bsin C=4sin A·sin Bsin C,易知sin Bsin C≠0,∴sin A=1
2,又
b 2+
c 2-a 2
=8,∴cos A=
b 2+
c 2-a 22bc
=4bc ,∴cos A>0,∴cos A=√32,即4bc =√3
2,∴bc=
8√3
3
, ∴△ABC 的面积S=12
bcsin A=12
×
8√33×12=2√3
3
.
三、解答题
17.解析 (1)由条件可得a n+1=
2(n+1)n
a n .
将n=1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以a 2=4. 将n=2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.
(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得
a n+1n+1
=
2a n n
,即b n+1=2b n ,
又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得a
n
n =2n-1
,所以a n =n·2n-1
.
18.解析 (1)证明:由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC. 又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD. 又AB ⊂平面ABC, 所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3√2. 又BP=DQ=2
3DA,所以BP=2√2.
作QE⊥AC,垂足为E,则QE 1
3
DC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC, 所以QE⊥平面ABC,QE=1. 因此,三棱锥Q-ABP 的体积为
V Q-ABP =1
3·QE·S △ABP =1
3×1×1
2
×3×2√2sin 45°=1.
19.解析(1)
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
x1=1
×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
50
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
x2=1
×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
50
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
20.解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).
所以直线BM 的方程为y=12
x+1或y=-1
2
x-1.
(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.
当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0. 由{y =k (x -2),y 2=2x 得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=2k ,y 1y 2=-4.
直线BM,BN 的斜率之和为 k BM +k BN =
y 1
x 1+2+
y 2
x 2+2
=
x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)
(x 1+2)(x 2+2)
.①
将x 1=y 1k +2,x 2=y
2k +2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得 x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=
2y 1y 2+4k (y 1+y 2)k
=
-8+8
k
=0.
所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN.
21.解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=ae x
-1
x .
由题设知, f '(2)=0,所以a=1
2e 2.
从而f(x)=1
2e 2e x
-ln x-1, f '(x)=1
2e 2e x
-1
x . 当0<x<2时, f '(x)<0;当x>2时, f '(x)>0. 所以f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增. (2)当a≥1
e 时, f(x)≥e x
e -ln x-1. 设g(x)=e x e -ln x-1,则g'(x)=e x e -1
x . 当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0. 所以x=1是g(x)的最小值点. 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0. 因此,当a≥1
e 时, f(x)≥0.
22.解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x+1)2
+y 2
=4. (2)由(1)知C 2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C 1是过点B(0,2)且关于y 轴对称的两条射线. 记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2.
由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以√2=2,故k=-4
3或k=0.
经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;
当k=-4
3时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点. 当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以√=2,故k=0或k=4
3.
经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;
当k=4
3
时,l2与C2没有公共点.
综上,所求C1的方程为y=-4
3
|x|+2.
23.解析(1)当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)={-2, ≤-1,
2 ,-1< <1, 2, ≥1.
故不等式f(x)>1的解集为{ | >1
2
}.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集为{ |0< <2
},
所以2
≥1,故0<a≤2.
综上,a的取值范围为(0,2].。