高考数学压轴题的破解策略

2021年新高考数学总复习第三章《导数及其应用》

压轴题的破解策略

策略一观察分析构造

观察是科学研究的重要方法，也是数学解题的首要心理活动，更是构造辅助函数最为直接的策略．

例1已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点．

(1)求a的取值范围；

(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.

解(1)a的取值范围为(0，＋∞)；

(2)求导得f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)，由(1)知a>0.

所以函数f(x)的极小值点为x＝1.

结合要证结论x1＋x2<2，即证x2<2－x1.若2－x1和x2属于某一个单调区间，那么只需要比较f(2－x1)和f(x2)的大小，即探求f(2－x)－f(x)的正负性．

于是通过上述观察分析即可构造辅助函数F(x)＝f(2－x)－f(x)，x<1，代入整理得F(x)＝－x e－x＋2－(x－2)·e x.求导得F′(x)＝(1－x)(e x－e－x＋2)．即x<1时，F′(x)<0，则函数F(x)是(－∞，1)上的单调减函数．于是F(x)>F(1)＝0，则f(2－x)－f(x)>0，即f(2－x)>f(x)．

由题x1，x2是f(x)的两个零点，并且在x＝1的两侧，所以不妨设x1<1

由(1)知函数f(x)是(1，＋∞)上的单调增函数，且x2，2－x1∈(1，＋∞)，所以x2<2－x1.

故x1＋x2<2得证．

点评此题的压轴问以函数零点为依托，看似证明不等式，实则是极值右偏问题，解决的核心是通过观察分析构造辅助函数F(x)＝f(2－x)－f(x)，建立抽象不等式“f(x2)

策略二整体构建

整体思路是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理．整体构造辅助函数就是立足这一思想来解决函数综合题的一种策略．

例2已知函数f(x)＝ax2－ax－x ln x，且f(x)≥0.

(1)求a；

(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2

解(1)a＝1；

(2)由(1)f (x )＝x 2－x －x ln x ，

求导得f ′(x )＝2x －2－ln x .

整体构造辅助函数g (x )＝2x －2－ln x ，

求导得g ′(x )＝2－1x

. g ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭

⎫12，＋∞； g ′(x )<0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12.即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭

⎫0，12上单调递减． 又g (e －2)>0，g ⎝⎛⎭⎫12<0，g (1)＝0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎡⎭

⎫12，＋∞有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，g (x )>0；当x ∈(x 0，1)时，g (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )>0.因为f ′(x )＝g (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．

由f ′(x )＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)．

又由x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12得f (x 0)<14

. 又因为x ＝x 0是f (x )在(0,1)上的最大值点，结合e －1∈(0,1)，f ′(e －1)≠0，得f (x 0)>f (e －1)＝e －

2. 所以e －2

策略三 局部构造

若问题的整体结构比较复杂，使得正面解决很困难时，可以考虑将复杂的整体看成几个部分，实施局部构造辅助函数，从局部突破，从而达到解决问题的目的．

例3 (2016·全国Ⅱ)(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2

e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x ＋x ＋2>0； (2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g (x )＝e x －ax －a x 2

(x >0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求h (a )的值域．

解 (1)略；

(2)对g (x )求导得g ′(x )＝x ＋2x 3·⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －2x ＋2e x ＋a . 局部构造辅助函数h (x )＝x －2x ＋2

e x ＋a ，即h (0)＝a －1<0，h (2)＝a ≥0.由零点定理及第(1)问结论知h (x )在(0,2]上有唯一零点x ＝m .

所以函数g (x )在(0，m )上单调递减，在(m ，＋∞)上单调递增．于是x ＝m 为函数g (x )的极小值点，也为最小值点．即当a ∈[0,1)时，函数g (x )有最小值g (m )．

由于m －2m ＋2e m ＋a ＝0，即a ＝－m －2m ＋2

e m . 所以当a ∈[0,1)时，有m ∈(0,2]，于是函数g (x )的最小值