《概率论与数理统计》1-123(频率与概率)

某一事件发生
它包含的一个样本点出现
三、事件间的关系及其运算
试验E S(样本空间) 事件A 必然事件 S 基本事件
不可能事件
A(子集) 样本点
1.事件的关系
① 包含、相等关系 A发生必然导致B发生
AB
称事件A包含于B或B包含A.
文氏图(Venn图)
A与B相等 ，记为A=B
例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标，
②(有﹏放﹏回﹏选﹏取﹏)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依 次排成一列，称为可重复排列，排列数记
例 将三封信投入4个信箱，问在下列情形下各有几种 投法？ ⑴ 每个信箱至多允许投入一封信。 ⑵ 每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解：⑴ 无重复排列:
⑵ 可重复排列:
Ⅳ. 组合 从n个元素中每次取出r个元素，构成一组，称为从n个 元素里每次取出r个元素的组合。 组合数为 或 几个常用性质：
两两互不相容。
证明 由三公理中的可列可加性，令
则由性质1可得 所以下式成立
如果
则
①
≤
②
，0≤
≤1
(加法公式) 推广：
P11
例1 (天气问题) 某人外出旅游两天，据天气预报知： 第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3， 两天都下雨的概率为0.1 试求下列事件的概率： (1) 第一天下雨，第二天不下雨; (2) 第一天不下雨，第二天下雨; (3) 至少有一天下雨; (4) 两天都不下雨; (5) 至少有一天不下雨
解：设A、B分别表示第一、二天下雨 则 (1) (2) (3) (4) (5)
例2 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B，
C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，
同时订购A，B的占10%，同时订购A，C的占8%，同
时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试 求下列事件的概率：
i) ii)
iii)
iiii)
例1 投两枚骰子，事件A——“点数之和为3”，求
解 法一，出现点数之和的可能数值
11 12 21
×
不是等可能的 法二，
36个
例2 投两枚骰子，点数之和为奇数的概率。
解 令A——点数之和为奇数
法一，
36个
18个
法二，可能结果{奇,奇}，{奇,偶}，{偶,奇}，{偶,偶}
积事件
事件A和B同时发生
事件AB发生
记为
=AB
且
A
推广 称 为n个事件
的积事件。
称 为可列个事件
的积事件。
④事件的差(减法)
事件A发生但事件B不发生
记
但
显然
事件
发生 A
⑤互斥事件(互不相容) A,B为互不相容事件 (即AB不同时发生)
AB
随机事件E的任何两个基本事件都互不相容。 ⑥对立事件(逆事件)
由古典概型的定义得
若事件A包含k个基本事件，即
其中( 则有
表示
中的k个不同的数)
3.方法：
构造A和S的样本点(当样本空间S的元素
较少时，先一一列出S和A中的元素，直
接利用
求解)
用排列组合方法求A和S的样本点数 预备知识 Ⅰ. 加法原理：完成一项工作m种方式，第i种方式有
种方法，(i=1,2, m)，且完成该项工作只需选
⑥对立事件(逆事件)
A,B为相互对立事件
记
或
相互对立
互不相容
2 .事件的运算法则
①交换律
；
②结合律
③分配律
AB
④德·摩根律：
；
推广：
;
⑤包含运算：设
，则
，
，
，
⑥
⑦
⑧
例1 设A、B、C表示三个随机事件，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件。 (1) A与B发生，而C不发生 (2) A、B、C中至少有一个发生 A B C (3) A、B、C中恰有一个发生 ABC ABC ABC
随机事件及其运算 频率与概率 等可能概型(古典概型) 条件概率 事件的相互独立性
第一节 随机事件及其运算
第一章
一、随机试验 二、随机事件与样本空间 三、事件间的关系及其运算
一、随机试验
引例：E1 : 抛一枚硬币，观察出现正反面情况。 {H,T} E2 : 将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面结果。
(1) 只订购A
P( ABC )
(2) 只订购A，B P( ABC )
(3) 只订购一种报纸 P(ABC ABC ABC) (4) 只订购两种报纸 P(ABC ABC ABC)
(5) 至少订购一种报纸 P( A B C)
(6) 不订购任何报纸 P( ABC )
解 设A，B，C分别表示“用户订购A，B，C 报纸”
9种
9种
A：{奇,偶}，{偶,奇}
9种 9种
是等可能的
法三：可能结果{之和为奇}，{之和为偶} A：{之和为奇}
是等可能的
法四：用排列组合
或
例3. 某教研室共有11 名教师, 其中男教师7 人, 现 在要选 3 名优秀教师, 问其中至少有一女教师概率 解 (方法一)
设 A = “ 3 名优秀教师中至少有一名女教师”
特殊随机事件：
1. 基本事件：一个样本点组成的单点集(试验E的每个 可能结果) 例：E1有两个基本事件 { H } 和 { T }
2. 复合事件：两个或两个以上样本点的子集
例：事件A为E2 中“三次出现同一面” ，
3. 必然事件：每A次=事{H件H中H,必TT然T发} 生的事件,记S(样本空间）
4. 不可能事件：每次试验一定不发生的事件,记
H
H
H
T H
TT
H
T
H
T H
T
T
{HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
E3 :抛一骰子,观察出现点数情况。(色子,投子)
{1，2，3，4，5，6 }
E4 :对一目标射击,首次击中目标所需射击次数。
{1，2，3……}
E5 :在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。
{t | t≥0} 分析以上5个试验,发现特点：
试验者
次数 正面的次数 正面的频率
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
① 频率有随机波动性，每次试验频率不一定相等 ; ﹋﹋﹋
② 稳定性 n充分大时，
称为事件A
﹋﹋﹋
﹋在﹋第﹋五﹋章中﹋将﹋证﹋明﹋
的概率(probability), 记为
Ⅰ. 样本空间 定义1 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为S 或Ω ，样本空间的元素,即E的每个 结果，称为样本点, 例如上节引例中：
有限个 样本点
={ H,T } ={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT
连续、 不可列
={1,2,3,4,5,6} ={1,2,3……} ={ t | t≥0}
内容与学时
第一章 概率论的基本概念 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律与中心极限定理 第六章 样本及抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验
概 率学 论时
(18 )
数
理 统 计
学 时
(30 )
第一章 随机事件及其概率
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
(3) 右 左
第二节 频率与概率
第一章
一、频 率 二、概 率
一、频率
1.定义 1 设 E，S，A为E中某一事件，在相同条件下做 n次试验，事件A发生的次数为 ，则
2. 性质：
称为A的频率。(frequency)
0≤
≤1
30 有限可加性
若
两两互不相容
频率有什么规律？
P6 例：在“抛硬币”试验中，据表格得出
概率论与数理统计—第一章 随机事件及其概率
主讲教师：李金波
2013年3月
绪言
自然界和社会上发生的现象是多种多样的： 1． 确定性现象：在一定条件下必然发生。 2．随机(不确定)现象：在具有统计规 律性。
研究对象：概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的一门数学学科。
解 设B=“甲产品畅销”，C=“乙产品畅销”
则
，故选(D)
例3 关系( )成立，则事件A与B为对立事件。
(a)
(b)
(c)
(d) 与 为对立事件
(c)显然成立， (d)也成立。
解释(d)：
A与B为对立事件
例4 试证明下列等式。
(1)
定义
(2)
方法： 利用关系运算
做文氏图 (3)
解：(1)
(2) 右 A B
一、等可能概型 二、几何概率
一、等可能概型 1.定义：具备以下两个条件的概率模型称为古典概型，
有限性 试验的样本空间的样本点数有限； 等可能性 试验中每个基本事件的发生是等可
能的。 例：抛硬币，掷骰子。 2.计算公式：
事件 含的样本点的个数 样本空间含的样本点的个数 证 设S是E的样本空间，A是S的事件 (古典概型)
(1) 可重复性：在相同条件下可重复进行。
(2) 可辨性：试验的可能结果不止一个，并且能事先 明确所有可能结果。 (3) 随机性：进行一次试验前，不能明确哪个结果一 定会出现。 概率论中把具有以上特点的试验称为随机试验，用
字母E(experimentation)表示。 , =1,2,3 ……
二、随机事件与样本空间
记 A=“长度不合格”, B=“产品不合格”,则
例2: 掷骰子,A=“出现偶数点”, B=“点数能被2整除”
则 A=B。
②事件的和、并(加法)
A和B两事件中至少有一事件发生的事件
称为A和B的和事件。
记为 A∪B或(A+B)
A
推广
称ｎ个事件至少有一个发生；
称可列个事件
至少有一个发生。
③事件的积、交(乘法)
可列无穷个
注意：样本空间的元素是由试验目的所决定的。 例 将一枚硬币连抛三次
1) 观察正反面出现的情况, ={HHH,HHT……} 2) 观察正面出现的次数, ={0,1,2,3} Ⅱ. 随机事件 定义2 试验 E 的样本空间 S 的子集称为E的随机事件， 简称事件，一般记为 A, B, C 等。 例如 A — 投一骰子出现奇数点事件 A={ 1, 3, 5 } B — 出现点数大于等于3的事件 B={ 3, 4, 5, 6 }
(1)
(2) (3) ﹏﹏ ﹏﹏ ﹏﹏
两两互不相容的
(4) ﹏﹏ ﹏﹏ ﹏﹏ 两两互不相容 (5) (6)
例3 已知
的概率。 解
求 A,B,C 中至少有一个发生
例4 证明 证
例5 解
，求 A BS
例6
，求
解
A BS
例7 设
，问什么条件下，
P(AB)取得最大值和最小值？
第一章
第三节 等可能概型
二、概率（概率的公理化定义）
1.定义2 设 E, S，对于E的每一事件A，赋予一实数 ，如果满足以下三个公理：
概率 三公
理
① 非负性：对于每一个事件 A，有
≥0
② 归一性：
③ 可列可加性：设
两两互不相容
则
则称
为事件 A 的概率。
2. 性质：
证明 取
，则
故由可列可加性
又因为
≥0，所以
有限可加性
其中
= “ 3 名优秀教师中恰有 名女教师” 则 A A1 A2 A3
方法二 设 A = “ 3 名优秀教师全是男教师”
例4 6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其 颜色。
a.做放回抽样 b.不放回抽样，求下列事件的概率。
(1) “取到的两只球都是白球”
(2) “取到的两只球颜色相同”
起源：16-17世纪的赌博和保险业。 特点：① 研究随机现象。
② 它与其它数学分支有紧密的联系(如高数、 线性代数)，是近代数学的重要组成部分。
③应用性强：遍及所有的科学技术领域、工农业生 产和国民经济的各个部门中，如：气象、水文、地震预 报；自动控制；农业试验；通讯系统中可提高信息的抗 干扰性和分辨率等。
择这m种方式中的一种，则完成这项工作一共有 种方法。
Ⅱ.乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有
种方法
，且完成该项工作必须依次通过
这m个步骤，则完成该项工作一共有
种方法。
Ⅲ.排列：
从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，
称为从n个元素里每次取r个元素的排列。(n，r均为
整数)
①(无﹏放﹏回﹏选﹏取﹏)对于无重复排列(这n个元素全不相同 时，上述排列即是)，当r<n时称为选排列 时称为全排列
(4) A、B、C中不多于两个发生
A B C A BC ABC AB C ABC ABC ABC
ABC ABC
(A、B、C中至少有一个不发生) (A、B、C不可能同时发生)
例2 以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则为 (A) 甲滞销，乙畅销 (B) 甲乙两种产品均畅销 (C) 甲种产品畅销 (D) 甲滞销或乙畅销
(3) “取到的两只球中至少有一个是白球”
解 a.
(乘法原理)
(1)
(2)
(3) 表示“两只都是红球”，
若直接考虑： b. (1) (2)
(3)
(考虑先后顺序)
若直接考虑：
分子 考虑先后顺序 和分 母保 持一 不考虑先后顺序
致
例5 N件产品，其中D个次品，从中任取n件，问事件 A恰有k件次品的概率(k≤D)（不放回抽取）