人教版数学八年级下册17.1 第1课时 勾股定理
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八年级数学下册第十七章勾股定理17-1勾股定理第1课时认识勾股定理新版新人教版
②如图②，AD在△ABC外部.
在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得DB＝16，
∴CB＝BD－CD＝16－5＝11，
∴S△ABC＝ ·
BC·
AD＝ ×11×12＝66.
综上所述，△ABC的面积为66或126.
利用勾股定理求作图中线段的长
9.[2023·天津]如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，
若AC＝3，BC＝4，则CD的长为( A )
(第2题)
A.2.4
B.2.5
C.4.8
D.5
【点拨】
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，∴AB＝5.
∵CD⊥AB，∴S△ABC＝ AB·
CD＝ AC·
BC.
∴CD＝
· ×
＝ ＝2.4.
∵BD＝CD，
∴BD＝AD.
∴∠B＝∠BAD.
∵∠B＋∠BAD＋∠C＋∠DAC＝180°，
∴2∠BAD＋2∠DAC＝180°.
∴∠BAD＋∠DAC＝90°.
∴∠BAC＝90°.
在Rt△ABC中，BC＝BD＋CD＝2AD＝10，AC＝8，
∴AB＝ − ＝ − ＝6.
故选D.
3.[2023·随州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD
＝
5
.
(第3题)
【点拨】
如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的平分线，
人教版八年级数学下册17.1勾股定理的应用-最短路径问题(教案)
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的推导和应用这两个重点。对于难点部分，比如在复杂图形中识别直角三角形，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如通过直尺和三角板在纸上绘制直角三角形，并实际测量勾股定理的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的应用，特别是解决最短路径问题。
-重点讲解：
-勾股定理的推导过程及其证明。
-勾股定理在直角三角形中的具体应用，特别是求解最短路径问题。
-通过实际案例，让学生理解勾股定理在实际生活中的重要性。
-举例解释：以直角三角形ABC为例，假设a、b为直角边，c为斜边，讲解如何利用勾股定理（a²+b²=c²）求解斜边长。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用-最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找两点之间最短距离的情况？”比如从家到学校的最近路线。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径问题的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如通过直尺和三角板在纸上绘制直角三角形，并实际测量勾股定理的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的应用，特别是解决最短路径问题。
-重点讲解：
-勾股定理的推导过程及其证明。
-勾股定理在直角三角形中的具体应用，特别是求解最短路径问题。
-通过实际案例，让学生理解勾股定理在实际生活中的重要性。
-举例解释：以直角三角形ABC为例，假设a、b为直角边，c为斜边，讲解如何利用勾股定理（a²+b²=c²）求解斜边长。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用-最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找两点之间最短距离的情况？”比如从家到学校的最近路线。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径问题的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
2023-2024学年人教版八年级数学下册课件17.1 勾股定理第1课时 勾股定理
= 8， = 10， ⊥ 于点，则的长是
( D ) .
A.6
32
B.
5
18
C.
5
24
D.
5
图17.1-3
5.如图17.1-4，在Rt △ 中，∠ = 90∘ ，
∠ = 30∘ ，垂直平分斜边，交于点，是
垂足，连接.若 = 2，则的长是( C ) .
A.4
B.8
C.4 3
D.2 3
图17.1-4
6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是
我国古代数学的骄傲.如图17.1-5所示的“赵爽弦图”是由
四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正
方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长
为，若 +
2
图17.1-5
= 21，小正方形的面积为5，则大正
2 41或6
9.已知直角三角形的两边长分别为8，10，则第三边长为_________.
10.如图17.1-7，已知△ 和△ 都是等腰直角
三角形，∠ = ∠ = 90∘ ，为边上一点，
求证：22 = 2 + 2 .
提示：证明△ ≌△ SAS ，得 = ．证
学习过程中，我们已经学会了运
用如图17.1-9所示的图形，验证
著名的勾股定理，这种根据图形
直观推论或验证数学规律和公式
图17.1-9
的方法，简称为“无字证明”．实际
上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规
律，它体现的数学思想是 ( C ) .
A.统计思想
B.分类思想
C.数形结合思想
轻松达标
1.在△ 中，∠，∠，∠的对应边分别是，，，若∠ = 90∘ ，
( D ) .
A.6
32
B.
5
18
C.
5
24
D.
5
图17.1-3
5.如图17.1-4，在Rt △ 中，∠ = 90∘ ，
∠ = 30∘ ，垂直平分斜边，交于点，是
垂足，连接.若 = 2，则的长是( C ) .
A.4
B.8
C.4 3
D.2 3
图17.1-4
6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是
我国古代数学的骄傲.如图17.1-5所示的“赵爽弦图”是由
四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正
方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长
为，若 +
2
图17.1-5
= 21，小正方形的面积为5，则大正
2 41或6
9.已知直角三角形的两边长分别为8，10，则第三边长为_________.
10.如图17.1-7，已知△ 和△ 都是等腰直角
三角形，∠ = ∠ = 90∘ ，为边上一点，
求证：22 = 2 + 2 .
提示：证明△ ≌△ SAS ，得 = ．证
学习过程中，我们已经学会了运
用如图17.1-9所示的图形，验证
著名的勾股定理，这种根据图形
直观推论或验证数学规律和公式
图17.1-9
的方法，简称为“无字证明”．实际
上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规
律，它体现的数学思想是 ( C ) .
A.统计思想
B.分类思想
C.数形结合思想
轻松达标
1.在△ 中，∠，∠，∠的对应边分别是，，，若∠ = 90∘ ，
【人教版教材适用】八年级数学下册《17.1.1 勾股定理》课件
△ABC的周长是( C ) A．42 C．42或32 B．32 D．不能确定
本题应分△ABC为锐角三角形和△ABC为钝角 三角形两种情况讨论．解本题时常常容易忽略 其中一种情况而出错．
易错点：考虑问题不全面而漏解.
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(2)在图2-2中，正方形A，B，
C
C中各含有多少个小方格？
它们的面积各是多少？ (3)你能发现图2-1中三个正方
A
B 图2-1 A B
形A，B，C的面积之间有
C
什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上 的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
知1－练
1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边
长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=5，b=12，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. (1) b c 2 a 2 10 2 6 2 8; 解： (2) c a2 b2 52 122 13. (3) a c2 b2 252 152 20.
行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直
角形斜边c为边长的小正方形．
知2－导
归 纳
观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以 大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等 的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的 1 1 2 2 面积又可表示成 ab×4+c ． 因此有(a+b) = ab×4+ 2 2 c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足 两直角边的平方和等于斜边的平方．
本题应分△ABC为锐角三角形和△ABC为钝角 三角形两种情况讨论．解本题时常常容易忽略 其中一种情况而出错．
易错点：考虑问题不全面而漏解.
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(2)在图2-2中，正方形A，B，
C
C中各含有多少个小方格？
它们的面积各是多少？ (3)你能发现图2-1中三个正方
A
B 图2-1 A B
形A，B，C的面积之间有
C
什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上 的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
知1－练
1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边
长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=5，b=12，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. (1) b c 2 a 2 10 2 6 2 8; 解： (2) c a2 b2 52 122 13. (3) a c2 b2 252 152 20.
行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直
角形斜边c为边长的小正方形．
知2－导
归 纳
观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以 大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等 的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的 1 1 2 2 面积又可表示成 ab×4+c ． 因此有(a+b) = ab×4+ 2 2 c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足 两直角边的平方和等于斜边的平方．
八年级数学下册(人教版)17.1.1勾股定理(第一课时)教学设计
4.合作交流，提升能力：组织学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法，培养学生的合作精神和交流能力。在此基础上，设计一些实际问题，让学生运用勾股定理进行求解，提高他们的问题解决能力。
5.总结反思，拓展提高：在教学结束时，引导学生对勾股定理进行总结，明确其应用范围和注意事项。同时，布置一些拓展提高的练习题，让学生在课后进行巩固。
本节课的教学设计以勾股定理为核心，紧密结合教材内容，注重培养学生的知识技能、过程方法和情感态度与价值观，旨在提高学生的数学素养和实际应用能力。
二、学情分析
八年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本节课之前，学生已经学习了平面几何、立体几何的基本概念，掌握了直角三角形的性质和判定方法，这些都为学习勾股定理奠定了基础。然而，由于勾股定理涉及斜边与直角边的平方关系，学生在理解上可能会存在一定难度。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
2.自主探究，发现定理：引导学生观察教材中的直角三角形图形，鼓励他们大胆猜想勾股定理的表达形式。在学生自主探究的基础上，引导他们通过实际测量、计算，验证勾股定理的正确性。
3.精讲精练，突破难点：针对勾股定理的证明过程，教师进行详细讲解，并设计具有梯度的问题，让学生逐步掌握定理的证明方法。同时，通过典型例题的讲解和练习，帮助学生巩固定理的应用。
（四）课堂练习，500字
为了巩固学生对勾股定理的理解，我将设计一些课堂练习题。这些练习题分为基础题和提高题，以满足不同层次学生的学习需求。
1.基础题：主要针对勾股定理的基本应用，如已知直角三角形的两边，求解第三边。
2.提高题：涉及勾股定理在实际问题中的应用，如计算建筑物的高度、距离等。
我会让学生独立完成练习题，并在必要时给予指导。通过课堂练习，学生可以检验自己对勾股定理的掌握程度，并为课后作业打下基础。
5.总结反思，拓展提高：在教学结束时，引导学生对勾股定理进行总结，明确其应用范围和注意事项。同时，布置一些拓展提高的练习题，让学生在课后进行巩固。
本节课的教学设计以勾股定理为核心，紧密结合教材内容，注重培养学生的知识技能、过程方法和情感态度与价值观，旨在提高学生的数学素养和实际应用能力。
二、学情分析
八年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本节课之前，学生已经学习了平面几何、立体几何的基本概念，掌握了直角三角形的性质和判定方法，这些都为学习勾股定理奠定了基础。然而，由于勾股定理涉及斜边与直角边的平方关系，学生在理解上可能会存在一定难度。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
2.自主探究，发现定理：引导学生观察教材中的直角三角形图形，鼓励他们大胆猜想勾股定理的表达形式。在学生自主探究的基础上，引导他们通过实际测量、计算，验证勾股定理的正确性。
3.精讲精练，突破难点：针对勾股定理的证明过程，教师进行详细讲解，并设计具有梯度的问题，让学生逐步掌握定理的证明方法。同时，通过典型例题的讲解和练习，帮助学生巩固定理的应用。
（四）课堂练习，500字
为了巩固学生对勾股定理的理解，我将设计一些课堂练习题。这些练习题分为基础题和提高题，以满足不同层次学生的学习需求。
1.基础题：主要针对勾股定理的基本应用，如已知直角三角形的两边，求解第三边。
2.提高题：涉及勾股定理在实际问题中的应用，如计算建筑物的高度、距离等。
我会让学生独立完成练习题，并在必要时给予指导。通过课堂练习，学生可以检验自己对勾股定理的掌握程度，并为课后作业打下基础。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
6.注重课后反思，让学生在反思中巩固所学知识，发现自己的不足，为下一节课的学习做好准备。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组图片，包括古代建筑、现代桥梁等，引导学生观察这些图形中的直角三角形，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们在数学中有什么特殊性质？”
2.学生观察后，教师总结直角三角形的定义，并引导学生回顾已知的直角三角形相关知识，为新课的学习做好铺垫。
5.针对教学难点，采取以下措施：
a.对勾股定理的证明过程进行详细讲解，通过画图、举例等方式，让学生在直观感知的基础上，理解证明的严密性。
b.专门安排一节课，让学生列举并分析勾股数的特点，总结规律，以便更好地辨识和应用勾股数。
c.结合实际情境，开展数学建模活动，让学生在小组内共同探讨、解决问题，提高他们的数学建模能力。
5.掌握勾股数的特点，能够辨识和列举出一组勾股数。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下方式来达成目标：
1.通过观察直角三角形的特性，引导学生发现勾股定理，培养观察力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作，探究勾股定理的证明方法，提高合作意识和解决问题的能力。
3.通过数学问题的解答，培养学生将理论知识应用于实际情境的能力。
4.利用数形结合的方法，让学生在直观的图形中理解抽象的数学公式，提高形象思维和抽象思维的能力。
5.通过分析勾股数的特点，让学生总结规律，增强数学归纳和总结的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探究数学问题的热情。
2.使学生体会到数学知识与现实生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
一、教学目标
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组图片，包括古代建筑、现代桥梁等，引导学生观察这些图形中的直角三角形，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们在数学中有什么特殊性质？”
2.学生观察后，教师总结直角三角形的定义，并引导学生回顾已知的直角三角形相关知识，为新课的学习做好铺垫。
5.针对教学难点，采取以下措施：
a.对勾股定理的证明过程进行详细讲解，通过画图、举例等方式，让学生在直观感知的基础上，理解证明的严密性。
b.专门安排一节课，让学生列举并分析勾股数的特点，总结规律，以便更好地辨识和应用勾股数。
c.结合实际情境，开展数学建模活动，让学生在小组内共同探讨、解决问题，提高他们的数学建模能力。
5.掌握勾股数的特点，能够辨识和列举出一组勾股数。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下方式来达成目标：
1.通过观察直角三角形的特性，引导学生发现勾股定理，培养观察力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作，探究勾股定理的证明方法，提高合作意识和解决问题的能力。
3.通过数学问题的解答，培养学生将理论知识应用于实际情境的能力。
4.利用数形结合的方法，让学生在直观的图形中理解抽象的数学公式，提高形象思维和抽象思维的能力。
5.通过分析勾股数的特点，让学生总结规律，增强数学归纳和总结的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探究数学问题的热情。
2.使学生体会到数学知识与现实生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
一、教学目标
人教版勾股定理(第1课时)
二、观察思考，探究新知
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希 腊著名的哲学家、数学家、天文学家。
相传2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋友家 的用砖铺成的地面中反映了直角三 角形三边的某种数量关系．
1.问题：A、B、C的面积有什么关系？
A
B
C
AB C
SA+SB=SC 对于等腰直角三角形三边有这样的关系：
两条直边的平方和等于斜边的平方
2.问题：观察图甲、图乙，小方格的 边长为1.正方形A、B、C的面积有什么 关系？
C
A ac
B
b
B
图甲
A
图乙
a bc
C
49 4 16 8 25
SA+SB=SC
a2+b2=c2
3.探究总结，提出猜想
a
c
b
命题１：如果直角三角形的两直角边 长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
新人教版八年级下册 17.1 勾股定理
（第1课时）
一、创设情境，复习引入
国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为 数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．
为什么选用这个图 案做为2002年国际数学
家大会的会徽呢？
它由哪些我们学过 的基本图形组成？这些 图形的边之间有哪些关 系，面积怎样计算？
2.编题目游戏，考一考你的同学
游戏要求：每一位同学画一个直角三角形， 给出任意两条边的长，求第三条边 x.然后小组 之间每两个同学交换解答，再交换回来批改， 看看你的同学是否会学会运用勾股定理，如果 他（她）不会，请你教教他（她）.最后由各小 组长汇报游戏情况.
人教版八年级数学下册17.1第1课时勾股定理教学设计
-定期进行课堂测验，了解学生的学习进度，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导。
6.教学拓展：
-结合勾股定理，引入其他数学文化知识，如勾股定理的历史背景、勾股数在其他领域的应用等，丰富学生的数学视野。
-鼓励学生参加数学竞赛、实践活动，提高他们运用勾股定理解决实际问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.新课讲解：
-采用数形结合的方法，引导学生通过直观的图形推导出勾股定理。
-通过具体实例，讲解勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、判断一组数是否为勾股数等。
3.教学策略：
-采用分组合作学习，让学生在小组内讨论勾股定理的推导和应用，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
-设计梯度性练习题，针对不同层次的学生，提高他们的运算速度和准确性，巩固勾股定理的知识点。
在教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。同时，注重启发式教学，引导学生通过自主探究、合作交流等方式，达到教学目标。在教学评价中，要关注学生的知识掌握、能力培养和情感态度价值观的形成，全面提高学生的数学素养。
二、学情分析
八年级学生在前期的数学学习中，已经掌握了直角三角形的性质、三角形内角和等基本知识，具备了一定的几何图形识别和逻辑推理能力。在此基础上，学习勾股定理，学生能够更好地理解直角三角形边长之间的关系，为后续学习相似三角形、解直角三角形等知识打下坚实基础。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，特布置以下作业：
1.必做题：
-根据勾股定理，计算给定直角三角形的斜边长度，并简要说明计算过程。
-列举三组勾股数，并验证它们是否符合勾股定理。
-从实际生活中选取一个直角三角形的应用实例，运用勾股定理解决问题，并写出解题过程。
6.教学拓展：
-结合勾股定理，引入其他数学文化知识，如勾股定理的历史背景、勾股数在其他领域的应用等，丰富学生的数学视野。
-鼓励学生参加数学竞赛、实践活动，提高他们运用勾股定理解决实际问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.新课讲解：
-采用数形结合的方法，引导学生通过直观的图形推导出勾股定理。
-通过具体实例，讲解勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、判断一组数是否为勾股数等。
3.教学策略：
-采用分组合作学习，让学生在小组内讨论勾股定理的推导和应用，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
-设计梯度性练习题，针对不同层次的学生，提高他们的运算速度和准确性，巩固勾股定理的知识点。
在教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。同时，注重启发式教学，引导学生通过自主探究、合作交流等方式，达到教学目标。在教学评价中，要关注学生的知识掌握、能力培养和情感态度价值观的形成，全面提高学生的数学素养。
二、学情分析
八年级学生在前期的数学学习中，已经掌握了直角三角形的性质、三角形内角和等基本知识，具备了一定的几何图形识别和逻辑推理能力。在此基础上，学习勾股定理，学生能够更好地理解直角三角形边长之间的关系，为后续学习相似三角形、解直角三角形等知识打下坚实基础。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，特布置以下作业：
1.必做题：
-根据勾股定理，计算给定直角三角形的斜边长度，并简要说明计算过程。
-列举三组勾股数，并验证它们是否符合勾股定理。
-从实际生活中选取一个直角三角形的应用实例，运用勾股定理解决问题，并写出解题过程。
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理(第1课时直角三角形三边的关系)》教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示生活中常见的直角三角形实物图片，如楼梯、房屋斜顶等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？它们之间是否存在某种关系？
2.学生观察后，教师提出问题：直角三角形的两条直角边和斜边之间有什么关系？激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
3.教师简要回顾已学的三角形知识，如三角形的性质、分类等，为新课勾股定理的学习打下基础。
3.讲解与演示：教师以生动的语言和形象的比喻，解释勾股定理的内涵，并通过多媒体演示勾股定理的推导过程，帮助学生理解。
4.实践环节：设计具有挑战性的数学问题，让学生运用勾股定理进行求解。同时，鼓励学生将实际问题转化为数学模型，培养他们解决实际问题的能力。
5.巩固环节：通过课堂练习、课后作业等形式，让学生反复练习勾股定理的应用，加深对定理的理解。
2.培养学生的逻辑思维能力，通过分析勾股定理的证明过程，理解其内涵。
3.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论、分享心得，共同探讨勾股定理在实际问题中的应用。
4.培养学生的动手操作能力，通过制作直角三角形模型，验证勾股定理的正确性。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，认识到数学在生活中的重要作用。
c.对于作业中的疑问，鼓励同学们相互讨论，共同解决问题。
3.作业评价：
a.教师在批改作业时，关注学生的解题思路和方法，及时发现并纠正错误。
b.针对不同学生的作业完成情况，给予个性化的评价和指导，激发学生的学习积极性。
c.对优秀作业进行展示，鼓励同学们向榜样学习，共同提高。
4.作业反馈：
a.教师应及时向学生反馈作业情况，指出共性问题，进行针对性的讲解。
b.鼓励学生针对作业中的错误进行自我反思，查找原因，提高自主学习能力。
（一）导入新课
1.教师通过展示生活中常见的直角三角形实物图片，如楼梯、房屋斜顶等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？它们之间是否存在某种关系？
2.学生观察后，教师提出问题：直角三角形的两条直角边和斜边之间有什么关系？激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
3.教师简要回顾已学的三角形知识，如三角形的性质、分类等，为新课勾股定理的学习打下基础。
3.讲解与演示：教师以生动的语言和形象的比喻，解释勾股定理的内涵，并通过多媒体演示勾股定理的推导过程，帮助学生理解。
4.实践环节：设计具有挑战性的数学问题，让学生运用勾股定理进行求解。同时，鼓励学生将实际问题转化为数学模型，培养他们解决实际问题的能力。
5.巩固环节：通过课堂练习、课后作业等形式，让学生反复练习勾股定理的应用，加深对定理的理解。
2.培养学生的逻辑思维能力，通过分析勾股定理的证明过程，理解其内涵。
3.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论、分享心得，共同探讨勾股定理在实际问题中的应用。
4.培养学生的动手操作能力，通过制作直角三角形模型，验证勾股定理的正确性。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，认识到数学在生活中的重要作用。
c.对于作业中的疑问，鼓励同学们相互讨论，共同解决问题。
3.作业评价：
a.教师在批改作业时，关注学生的解题思路和方法，及时发现并纠正错误。
b.针对不同学生的作业完成情况，给予个性化的评价和指导，激发学生的学习积极性。
c.对优秀作业进行展示，鼓励同学们向榜样学习，共同提高。
4.作业反馈：
a.教师应及时向学生反馈作业情况，指出共性问题，进行针对性的讲解。
b.鼓励学生针对作业中的错误进行自我反思，查找原因，提高自主学习能力。
人教版初中数学八年级下册第十七章勾股定理17.1.1勾股定理说课稿
2.同伴互评：组织学生相互评价，提出建议，促进同学之间的相互学习和交流。
3.教师评价：针对学生的表现，给予积极的反馈和鼓励，指出学生的不足之处，并提出改进建议。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.基础作业：布置一定数量的基础习题，让学生巩固勾股定理的计算方法。
2.提高作业：设计一些拓展性题目，让学生运用勾股定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
1.主要内容：左侧包括勾股定理的定义、勾股数；中间部分展示勾股定理的证明过程、例题及解题步骤；右侧部分呈现本节课的总结和勾股定理应用时的注意事项。
2.风格：板书采用简洁明了的字体，用不同颜色粉笔区分重点、难点和关键步骤，以增强视觉效果。
3.作用：板书在教学过程中的作用是引导学生关注教学重点，帮助学生理清知识结构，便于复习和回顾。
3.技术工具：电子白板、几何画板等，方便学生直观地观察和操作几何图形，提高课堂互动性。
（三）互动方式
为实现师生互动和生生互动，我计划设计以下环节：
1.师生互动：在课堂提问环节，教师引导学生思考问题，学生回答问题，教师给予反馈和指导。
2.生生互动：将学生分成小组，进行合作探究、讨论。在小组内，学生共同分析问题、解决问题，相互交流想法，达成共识。
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.实践活动：让学生分组测量学校周围建筑物中的直角三角形，计算其边长，并验证勾股定理。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下措施：
1.自我评价：让学生回顾本节课的学习内容，进行自我评价，总结自己在学习过程中的收获和不足。
在课程体系中，勾股定理的学习是在学生已经掌握了直角三角形的基本概念、三角形面积计算以及相似三角形的基础上展开的。通过本节课的学习，学生将对直角三角形有更深入的理解，为后续学习平面几何中与直角三角形相关的内容奠定基础。
3.教师评价：针对学生的表现，给予积极的反馈和鼓励，指出学生的不足之处，并提出改进建议。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.基础作业：布置一定数量的基础习题，让学生巩固勾股定理的计算方法。
2.提高作业：设计一些拓展性题目，让学生运用勾股定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
1.主要内容：左侧包括勾股定理的定义、勾股数；中间部分展示勾股定理的证明过程、例题及解题步骤；右侧部分呈现本节课的总结和勾股定理应用时的注意事项。
2.风格：板书采用简洁明了的字体，用不同颜色粉笔区分重点、难点和关键步骤，以增强视觉效果。
3.作用：板书在教学过程中的作用是引导学生关注教学重点，帮助学生理清知识结构，便于复习和回顾。
3.技术工具：电子白板、几何画板等，方便学生直观地观察和操作几何图形，提高课堂互动性。
（三）互动方式
为实现师生互动和生生互动，我计划设计以下环节：
1.师生互动：在课堂提问环节，教师引导学生思考问题，学生回答问题，教师给予反馈和指导。
2.生生互动：将学生分成小组，进行合作探究、讨论。在小组内，学生共同分析问题、解决问题，相互交流想法，达成共识。
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.实践活动：让学生分组测量学校周围建筑物中的直角三角形，计算其边长，并验证勾股定理。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下措施：
1.自我评价：让学生回顾本节课的学习内容，进行自我评价，总结自己在学习过程中的收获和不足。
在课程体系中，勾股定理的学习是在学生已经掌握了直角三角形的基本概念、三角形面积计算以及相似三角形的基础上展开的。通过本节课的学习，学生将对直角三角形有更深入的理解，为后续学习平面几何中与直角三角形相关的内容奠定基础。
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新课引入
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股 定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他 们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化 的民族和国家都对勾股定理有所了解.
新课引入
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人
看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明
∴a2 +b2 =c2.
新课讲解
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：
a2 + b2 = c2. a
b
c
证明：
1 S梯形 2 (a b)(a b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 c2, 2
c a
∴a2 + b2 = c2.
b
归纳总结
144 y
169
解：由勾股定理可得 y2+ 144=169，
解得 y=5.
随堂即练
1.下列说法中,正确的是
（C）
A.已知a、b、c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
勾
股
勾2+股2=弦2
新课讲解
2 利用勾股定理进行计算
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
B
（2）若a=1,c=2,求b.
解：(c a2 b2 52 52 50 5 2. (2)据勾股定理，得
b c2 a2 22 12 3.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边， 这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
新课讲解
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：由勾股定理可得
A
AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5.
D 3
根据三角形面积公式可知，
∴
C12DA=C1×2 .BC=
1 2
AB×CD.
C
4
B
5
归纳：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直 角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理 联合使用．
练一练
求下列图中未知数x、y的值：
新课讲解
81 x
144
解：由勾股定理可得 81+ 144 =x2，
解得x=15.
新课讲解
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的 直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系 后证明吧.
a b
ac b
新课讲解
证明：
b ca
cb
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2
2
=c2+2ab，
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
新课讲解
【变式题1】在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a、c.
解：(1)设a=x,b=2x.根据勾股定理建立方程,得
x2+(2x)2=52，解得 x 5，a 5 .
(2) A 30,b 15 , c 2a . 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程，得 (2x)2-x2=152， 解得 x 5 3 . a 5 3 ，c 10 3 .
新课讲解
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么特殊关系？
AB C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
新课讲解
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
C A
B
b
a
c
b
a
c
a
b
新课讲解
cb a b-a
赵爽弦图
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
c2 4 1 ab b a2 a2 b2.
2
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被 选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是 x cm. 由勾股定理，得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
故直角三角形的面积是
(cm2).
随堂即练
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°， AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=1，∴AB= 2 ． 在Rt△ADC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2， ∴CD= 3 ，∴BC=BD+CD=1+ 3 ， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC= 2 3 3 ．
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面
积为 36 cm².
8 cm
10 cm
随堂即练
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= 17 .
（2）若c=13，b=12，则a= 5
.
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长
的平方为__7_4_或__2_4__.
随堂即练
勾股定理
ac
如果直角三角形的两直角边长分
别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
b 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，
或百牛定理.
公式变形
a c2 - b2 , b c2 - a2 ,
a、b、c为正数
c a2 b2
新课讲解
小贴士 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
归纳：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知 两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列 方程求解.
新课讲解
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧！
新课讲解
1 勾股定理的认识及验证
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去 他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖 铺成的地面（如图）：
问题1 试问正方形A、B、 C面积之间有什么样的数 量关系？
AB
S正方形A S正方形B S正方形C
C
随堂即练
7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直
角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.
解：∵AE＝BE，
∴S△ABE＝
1 2
AE·BE＝
1 2
AE2.
又∵AE2＋BE2＝AB2，
∴2AE2＝AB2，
∴S△ABE＝
1 4
AB2＝
9 4
.
同理可得,S△AHC＋S△BCF＝
1 4
AC2＋
1 4
BC2.
又∵AC2＋BC2＝AB2，
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
课堂总结
内容 勾股定理
在Rt△ABC中， ∠C=90°, a、b为直角边，c为斜边，
则有a2+b2=c2
在直角三角形中
注意
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边 还是斜边时一定要分类讨论
►给我五个系数,我讲画出一头大象;给我六个系数,大象将会摇动尾巴。—— A·L·柯西 ►数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使 人类的思维得以运用到最完善的程度,亦正是这种精神,试图决定性地影响人类 的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解 和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。— —克莱因《西方文化中的数学》 ►无限!再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特 ►整数的简单构成,若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。——G·D·伯 克霍夫 ►数论是人类知识最古老的一个分支,然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的 真理是密切相连的。——史密斯
第十七章
RJ八(下) 教学课件
勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
新课引入
其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世 界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人 类的语言、音乐、各种图形等.