《运筹学》整数规划汇编
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整数规划的特点及应用
44
minz
c xij ij [1200y1 1500y2 ]
i1 j1
x11 x21 x31 x41 350
x12
x22
x32
x42
400
x13
x23
x33
x43
300
x14 x24 x34 x44 150
s.t
x11 x21
x12 x22
x12 x13
x22 x23
x32 x33
x42 x43
1 1
x14 x24 x34 x44 1
变量约束：
xij 0或1，i、j 1,2,3,4
Page 11
整数规划的特点及应用
Page 12
整数规划问题解的特征：
整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解 集合的一个子集，任意两个可行解的凸组合不一定 满足整数约束条件，因而不一定仍为可行解。
Chapter5 整数规划
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及应用 分支定界法 分配问题与匈牙利法
整数规划的特点及应用
Page 2
整数规划（简称：IP）
要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整 数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构 成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问 题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
整数规划的特点及应用
Page 8
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此
分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
1 对项目j投资
为松弛问题）。
max Z x1 x2
14x1 9 x2 51
6 x1 3 x2 1
x1
,
x2
0
整数规划的特点及应用
Page 14
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，
x2
⑴
3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然，
混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取 整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整 数线性规划。
整数规划的特点及应用
Page 4
整数规划的典型例子
例5.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
整数线性规划数学模型的一般形式：
n
max Z(或minZ ) c j x j j1
n
aij x j
bi
(i 1.2m)
j1
x j 0 (j 1.2n)且部分或全部为整数
整数规划的特点及应用
Page 3
整数线性规划问题的种类：
纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数 值的整数线性规划。
它们都不可能是整数规划的最优
B1
B2
B3
B4
年生产能力
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
2
5
200
年需求量
350
400
300
150
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万 元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用 最少。
整数规划的特点及应用
Page 5
整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可 行解（反之不一定），但其最优解的目标函数值不 会优于后者最优解的目标函数值。
整数规划的特点及应用
Page 13
例5.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x2
14x1 9 x2 51
6
x1
3x2
1
x1
,
x2
0且为整数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称
解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：
1 若建工厂 yi 0 若不建工厂 (i 1,2)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示 总费用，单位万元。 则该规划问题的数学模型可以表示为：
x13 x23
x14 x24
400 600
x
31
x32
x33
x34
200 y1
x41 x42 x43 x44 200y2
x
i
j
0
(i, j 1,2,3,4)
yi 0,1 (i 1,2)
Page 6 混合整数规划问题
整数规划的特点及应用
Page 7
例5.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件：
x j 0
( j 1,2,...,n) 对项目j不投资
投资问题可以表示为：
n
max z c j x j j1
n
ajxj
B
j1
x2
x1
s
.t
x
3
x4
1
x5 x6 x7 2
x
j
0或者1
（j 1,2,n）
整数规划的特点及应用
Page 9
例5.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不 同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成 绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
工作
人员
A
B
C
D
甲
85
92
73
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
丁
86
90
80
88
整数规划的特点及应用
Page 10
设
1
xij 0
数学模型如下：
分配第i人做j工作时 不分配第i人做j工作时
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
x x
21 31
x22 x32
x23 x33
x24 x34
1 1
x41 x42 x43 x44 1
整数规划的特点及应用
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x11 x21 x31 x41 1
整数规划的特点及应用
44
minz
c xij ij [1200y1 1500y2 ]
i1 j1
x11 x21 x31 x41 350
x12
x22
x32
x42
400
x13
x23
x33
x43
300
x14 x24 x34 x44 150
s.t
x11 x21
x12 x22
x12 x13
x22 x23
x32 x33
x42 x43
1 1
x14 x24 x34 x44 1
变量约束：
xij 0或1，i、j 1,2,3,4
Page 11
整数规划的特点及应用
Page 12
整数规划问题解的特征：
整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解 集合的一个子集，任意两个可行解的凸组合不一定 满足整数约束条件，因而不一定仍为可行解。
Chapter5 整数规划
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及应用 分支定界法 分配问题与匈牙利法
整数规划的特点及应用
Page 2
整数规划（简称：IP）
要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整 数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构 成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问 题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
整数规划的特点及应用
Page 8
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此
分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
1 对项目j投资
为松弛问题）。
max Z x1 x2
14x1 9 x2 51
6 x1 3 x2 1
x1
,
x2
0
整数规划的特点及应用
Page 14
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，
x2
⑴
3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然，
混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取 整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整 数线性规划。
整数规划的特点及应用
Page 4
整数规划的典型例子
例5.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
整数线性规划数学模型的一般形式：
n
max Z(或minZ ) c j x j j1
n
aij x j
bi
(i 1.2m)
j1
x j 0 (j 1.2n)且部分或全部为整数
整数规划的特点及应用
Page 3
整数线性规划问题的种类：
纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数 值的整数线性规划。
它们都不可能是整数规划的最优
B1
B2
B3
B4
年生产能力
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
2
5
200
年需求量
350
400
300
150
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万 元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用 最少。
整数规划的特点及应用
Page 5
整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可 行解（反之不一定），但其最优解的目标函数值不 会优于后者最优解的目标函数值。
整数规划的特点及应用
Page 13
例5.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x2
14x1 9 x2 51
6
x1
3x2
1
x1
,
x2
0且为整数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称
解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：
1 若建工厂 yi 0 若不建工厂 (i 1,2)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示 总费用，单位万元。 则该规划问题的数学模型可以表示为：
x13 x23
x14 x24
400 600
x
31
x32
x33
x34
200 y1
x41 x42 x43 x44 200y2
x
i
j
0
(i, j 1,2,3,4)
yi 0,1 (i 1,2)
Page 6 混合整数规划问题
整数规划的特点及应用
Page 7
例5.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件：
x j 0
( j 1,2,...,n) 对项目j不投资
投资问题可以表示为：
n
max z c j x j j1
n
ajxj
B
j1
x2
x1
s
.t
x
3
x4
1
x5 x6 x7 2
x
j
0或者1
（j 1,2,n）
整数规划的特点及应用
Page 9
例5.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不 同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成 绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
工作
人员
A
B
C
D
甲
85
92
73
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
丁
86
90
80
88
整数规划的特点及应用
Page 10
设
1
xij 0
数学模型如下：
分配第i人做j工作时 不分配第i人做j工作时
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
x x
21 31
x22 x32
x23 x33
x24 x34
1 1
x41 x42 x43 x44 1
整数规划的特点及应用
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x11 x21 x31 x41 1