最新1.2第二节数列的极限教学讲义ppt课件

不可能同时位于长度为1的区间内.
事实 ,{xn}是 上有 ,但 界却 的 . 发散
2.有界性
定 义 : 对 数 列 xn, 若 存 在 正 数 M, 使 得 一 切 自 然 数 n, 恒 有xn M成 立 , 则 称 数 列 xn有 界 ,
否 则 , 称 为 无 界 .
例如,
数列 xn
n ;有界 n1
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
注: 有时直接 xn 解 a不 ，等 要式 n得 关到 于 的式子 很不方便， xn因 a适 此 当 通 放 常 大 xn将 a， n使 . 得
2,1,4, ,n(1)n1, ; {n(1)n1}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x 1 ,x 2 , ,x n , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
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问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
1 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
注：该定义并未提供如何求数列极限，但可以去验证数列的极限！
思考：如何根据极限定义验证数列极限？
用定义验证数列极限,关键是如何由任意给定的ε>0 ，寻找N！
例5 证明 xn数 (1)列 n1是发 . 散的
证
设 ln i m xna,
由定义, 对于 1, 2
即 则 N n , 使 当 N 时 ,x n 得 n N (a 时 ,当 有 1 2,a x n 1 2 a ) ,区1 2 间成 长度,为立 1.
而 xn无休止1 地 ,1两 反个 复 , 数 取
0,N 1,N 2.使当 得 n N 1 时x 恒 n a 有 ;
当 n N 2 时x 恒 n b 有 ;取 N m N 1 ,a N 2 ,x
则n 当 N时有 a b ( x n b ) ( x n a )
x n bx n a 2 . 上式a仅 b时 当才能 .故成 收敛立 数列极限唯一.
lnim xn a, 或xn a (n).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限 2.N与任意给定的 有正 关 . 数
N定义 : ln i x m na 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
1.2第二节数列的极限
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
A 1 ,A 2 ,A 3 , ,A n , S
1 , 1 ,1 , ,( 1 )n 1 , ; {(1)n1}
放大的原则：
1 、使放大 n较 后 为 ,的 且 简 n 式 0 单 (n子 )，再解不 n，从而确 N.定所要找的
2、在放大过式 程子 中简 ， 有单 为 时， 使 要n必 限须 定大于某个 并在最后 N的 确 值 定 时，考提 虑条 到 . 件 这个前
例4 证明 lim2n 2. n13n 3
具体方法：
对任意给 0定 ,从的 结论 xna“ ”出发解不等式
得 n关的 于式N 子 [关 ， 的 于 则 式 ]. 子
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
1
1 n
任给 0,
要 xn1,
只要1 n
,
或n 1,
所以, 取N [1], 则n 当 N时 ,
就有 n(1)n1 1 即lim n(1)n11.
证 0,由2n26n2(13n)
13n 3 3(13n)
2 9 1 n 1 ,
39n 9n n
N[1],当 nN 时， 1 2n 3n-有 3 2.
lim 2n 2. n13n 3
四、数列极限的性质
1.唯一性
定理1 每个收敛的数列只有一个极限.
证 设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b , 由定义,
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成.立
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数N,使得对于n N时的一切xn , 不等式xn a 都成立,那末就称常数 a 是数列 xn的极限,或者称数列xn收敛于a ,记为
数x 列 n2n.无界
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 xn都 落 在 闭 区 间 [M,M]上 .
定理2 收敛的数列必定有界. 证 设 ln i m xna, 由定义, 取1, 则 N ,使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有 即 a 1 有 x n a 1 . 记 M m x 1 , , x N a , a 1 , a x 1 }{ ,
n
n
n
例2 设 x n C ( C 为 )证 常 , l n ix n 明 m 数 C .
证 任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n