原子物理学三章课后习题答案

第一章．原子的基本状况
1. 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭C'放射的，其动能为7.68×106电子伏特.散射
物质是原子序数Z=79的金箔.试问散射角θ=1500
所对应的瞄准距离b 多大？
解：根据卢瑟福散射公式：
2
2
2
cot
42Mv b Ze
θ
πε= 而动能
21
2
k E mv =
则
2
02
22
cot
442k E Mv b b Ze Ze
θ
πεπε== 由此，瞄准距离为
2
0cot 2
4k
Ze b E θ
πε=
其中：
79Z =
12-1-108.854210A s V m ε-=⨯⋅⋅⋅
191.6021910e C -=⨯
0150θ=, 0cot
cot 750.26802
θ
==
3.14159π=
6197.687.6810 1.6021910k E MeV J -==⨯⨯⨯
得到：
2192150
2212619
0cot 79(1.6021910)cot 4(4 3.141598.854210)(7.6810 1.6021910)
k Ze b m E ο
θπε---⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
153.969710m -=⨯
2.
已知散射角为
θ的α粒子与散射核的最短距离为
2202
1
21()(1)4sin m
Ze r Mv θ
πε=+,
试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？
解：
2min
202
121
()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 2min
02
1
1()(1)4sin k Ze r E θπε=+ 其中，0
150θ=, 0sin
sin 750.965932
θ
==
把上题各参数代入，得到
192min
12619
179(1.6021910)1(1)4 3.141598.8542107.6810 1.60219100.96593
r m ---⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯
143.014710m -=⨯
4. 钋放射的一种α粒子的速度为7
1.59710⨯米/秒，正面垂直入射于厚度为7
10-米、密度为
41.93210⨯3/公斤米的金箔。

试求所有散射在90οθ>的α粒子占全部入射粒子数的百分
比。

已知金的原子量为197。

解：散射角在θ和d θθ+之间的α粒子数dn 与入射到箔上的总粒子数n 的比是：
dn
Ntd n
σ=
其中，N 为金箔单位体积内原子个数，t 金箔的厚度，d σ有效散射截面. 单个原子的质量为：
3252319710 3.2713106.0221710
Au
m kg kg --⨯==⨯⨯ N 为金箔单位体积内原子数：
4328325
1.93210/ 5.905910/3.271310Au
kg m N m m kg
ρ
-⨯=
==⨯⨯ 而散射角大于0
90的粒子数'
dn 为：
2
'dn dn nNt d ππσ
=⎰=⎰
所以有：2
'
dn Nt d n
π
πσ=⎰
2
221802
903
cos
122(
)(
)4sin 2
Ze Nt d Mv ο
ο
θ
πθθπε=⎰ 积分：180********
3
cos sin 2221sin sin 22
d d οο
ο
ο
θ
θ
θθθ
⎰
=⎰=
故
'222
2012()()4dn Ze Nt n Mv
ππε= α粒子的质量为4倍氢原子的质量
272744 1.6736710 6.694710H M M kg kg --==⨯⨯=⨯
已知α粒子的速度为：
71.59710/v m s =⨯
取
12-1-108.854210A s V m ε-=⨯⋅⋅⋅
191.602210e C -=⨯
3.1416π=
则
'222
2012()()4dn Ze Nt n Mu
ππε= 19228
7
21222772
1279(1.602210)5.90591010 3.1416[](4 3.14168.854210) 6.694710(1.59710)
----⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯64
8.4570108.457010%
--=⨯=⨯
即速度为7
1.59710/⨯米秒的α粒子在金箔上散射，散射角大于90ο
以上的粒子数占总粒子
数的40
8.457010
-⨯.
1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为2
2
1.0510/-⨯公斤米的银箔上，α粒子与银箔表面成ο
60角. 在离α入射线成0
20θ=的方向上，离银箔散射区距离
L=0.12米处放一窗口面积为2
5100.6米-⨯的计数器. 测得散射进此窗口的α粒子是全部入射α粒子的百万分之29. 若已知银的原子量为107.9。

试求银的核电荷数Z. (有兴趣的同学可以看一下)
解：设靶厚度为'
t . 非垂直入射时引起α粒子在散射物质中通过的距离不再是散射物质的厚度'
t ，而是ο60sin /'t t
=，如图1.1所示.
因为散射到θ与
dn
n
=而σd 为：σ=d 把(2)式代入(1)2
sin
)()41(422220θπεΩ
=d Mv Ze Nt n dn ……(3) 式中立体角元0
'0'220,3/260sin /,/====Ωθt t t L ds d
代入已知数据：
25100.6米-⨯=ds
米12.0=L
则
32
5
2101667.412
.0100.6--⨯=⨯==ΩL ds d 设N 为单位体积内原子的个数。

则'
Nt 为单位面上的原子数， 一个银原子的质量为：
25
23
107.9 1.7917106.0221710
Ag Ag A m g kg N -=
=
=⨯⨯
Ag m 是银原子的质量；Ag A 是银原子的原子量；0N 是阿佛加德罗常数。

根据已知条件，银箔单位面积上的质量为：
22/100.1m kg -⨯=η
则
2222522'
/105813.5107917.1/100.1/m kg
m kg m Nt Ag
⨯=⨯⨯==--η， 将各量代入(3)式，得：
2
sin )
()41(105813.5324
2222
022θπεΩ⨯⨯⨯=d Mv Ze n dn α粒子的动能为：
22
1
Mv E k =
则
2
sin )
2()41(105813.5324
222
022θπεΩ⨯⨯⨯=d E Ze n dn k 代入数据
J Mev E k 196106022.1105.35.3-⨯⨯⨯==
12-1-108.854210A s V m ε-=⨯⋅⋅⋅
191.602210e C -=⨯
3.1416π=
020θ=, 0sin
sin102
θ
==0.1737
5109.2-⨯=n
dn
得到
4
3
2196219212225
)1737.0(101667.4]100622.1105.32)100622.1([)108542.81416.341(105813.53
2109.2-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯Z 由此，求得：Z=48.1992，约等于实际值47.
第二章 原子的能级和辐射
1. 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度.
解：电子在第一玻尔轨道上即n=1. 根据量子化条件，
π
φ
2h
n
mvr p == (1)
当n=1时，电子在最小半径轨道上. 最小轨道半径a 为：
2
10012240.5292104h a m me
πεπ-==⨯
上式中： 真空介电常数：12-1-10
8.854210A s V m ε-=⨯⋅⋅⋅
普朗克常数：34
6.626210h J s -=⨯⋅
电子静质量：319.1095610m kg -=⨯
电子电荷：191.6021910e
C -=⨯
3.141593π=
设电子在第一波尔轨道上的速度为v ，由(1)式有
π
21h mva =
(2)
12ma h v π==
343110
6.626210/2 3.1415939.10956100.529210m s ---⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 6
2.188510/m s =⨯
频率: z a v H 10
5292.0141593.32101885.2210
6
1-⨯⨯⨯⨯==πν z H 105818.615⨯=
加速度：2
10
26122/105292.0)101885.2(s m a v r v w -⨯⨯===
222/100505.9s m ⨯=
2. 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势.
解：电离能为1E E E i -=∞，把氢原子的能级公式2
/n Rhc E n -=代入，得：
hc R hc R E H H i =∞
-=)1
11(2
代入数据：
711.096775810H R m -=⨯
346.626210h J s -=⨯⋅
82.997910/c m s =⨯
得到：
J Rhc E i 8347109979.2106262.6100967758.1⨯⨯⨯⨯⨯==-
18
2.178710J -=⨯
取电子电荷：191.6021910e
C -=⨯
电离电势：V e E V i i 19
18
10
60219.1101787.2--⨯⨯== V 60.13= 第一激发能：J Rhc hc R E H 18221
101787.243
43)2111(⨯⨯==-=
J 18104360.1⨯=
第一激发电势：V e E V 1918
1110
60219.1104360.1--⨯⨯== V 20.10=
3. 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能级跃迁时，会出现哪些波长的光谱线？
解：把氢原子由基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：
)1
11(22n
hcR E H -= 其中60.13=H hcR 电子伏特
20.10)21
1(60.1321=-⨯=E 电子伏特
09.12)31
1(60.1322=-⨯=E 电子伏特
75.12)4
1
1(60.1323=-⨯=E 电子伏特
其中21E E 和小于12.5电子伏特，3E 大于12.5电子伏特。

可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到4≥n 的能级上去，所以只能出现3≤n 的能级间的跃迁。

跃迁时可能发出的光谱线的波长为：
ο
ο
ο
λλλλλλA
R R A
R R A
R R H
H H
H H H 102698
)3111(
1
121643)2111(
1
656536/5)3121(
1
32
23
22
22
12
21
==-===-===-=
上面各式子中取711.096775810H
R m -=⨯.
4. 试估算一次电离的氦离子+
He 、二次电离的锂离子+
+Li
的第一玻尔轨道半径、电离电势、
第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值 (三种情况里德伯常数都取R ∞).
解：
(1). 氢原子和类氢离子的轨道半径：
3
1
,2132,1,105292.0443,2,1,44102
22
01212
2220====
===⨯==⋯⋯===+++++++++-Li H H Li He H H
He Z Z r r Z Z r r Z Li Z He Z H Z me h a n Z n a mZe
n h r 径之比是
因此，玻尔第一轨道半；，；对于；对于是核电荷数，对于一轨道半径；米，是氢原子的玻尔第其中ππεππε
(2). 氢和类氢离子的能量公式：
⋯⋯==-=3,2,1,)4(222
12220242n n
Z E h n Z me E πεπ
其中基态能量。

电子伏特，是氢原子的60.13)4(22
204
21-≈-=h
me E πεπ 电离能之比：
9
0000,4000022212
122
2
121==
⋅-⋅-=
--==⋅-⋅-=--+++++++H
Li H
Li H
Li H
He H He H He Z
Z
Z
E Z
E E E Z Z Z E Z E E E
(3). 第一激发能之比：
91
121132341
12112222
212212
2122112122
212212
2
12211212=--=--=--=
--+
+++++E E E E E E E E E E E E E E E E H
H Li Li H
H He He
(4). 氢原子和类氢离子的赖曼系公式：
)11(~22
221n n R Z v -=，112,4,3,2{=⋯⋯=n n
其中3
204
2)4(2h
me R R πεπ==∞是里德伯常数。

氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：
H
H R v 1221
1)2111(~λ=-=
相应地，对类氢离子有：
+
++
++
+=-==-=Li Li He He R v R v 1
2221
122211
)2111(3~1)2111(2~λλ
因此，
9
1
,411111==+
++
H
Li
H He λλλλ 5 试问二次电离的锂离子+
+Li
从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处
于基态的一次电离的氦粒子+
He 的电子电离掉？
解：+
+Li
由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：
Li
Li Li Li M m hcR hcR hcR E +==-=∞
++11
427427)2111(
92
2
上式中m , M 分别为电子和Li 原子核的质量
+He 的电离能量为：
He
He He He M m hcR hcR hcR E +==∞-=∞
+11
44)111(42
He M 为He 原子核的质量
两个能量之比为
27(1)/(1)16Li He Li
He E m m E M M +++
=
++ 由于Li
He Li He M m M m M M +>+<11,所以，
从而有++
+>He Li E E ，所以能将+He 的电子电离掉。

6. 氢与其同位素, 氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线. 试问其巴耳末系的第一条（
α
H ）光谱线之间的波长差λ∆有多大？已知氢的里德伯常数
17100967758.1-⨯=米H R ，氘的里德伯常数17100970742.1-⨯=米D R 。

解：
)3
121(
1
22-=H H
R λ，H H R 5/36=λ )3
121(
1
22-=D D
R λ，D D R 5/36=λ ο
λλλA
R R D H D H 7856.1)1
1(536=-=-=∆
7. 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“电子偶素”. 试计算“电子偶素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长λ为多少 (已知
711.097373110R m -∞=⨯)？
解：
∞∞=+=-=R m
m R R 83
4311
)2
1
11(1
22λ ολA m R 2430100973731.131
387
=⨯⨯==
8. 试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n 轨道，发射光子的频率n v . 当n>>1时光子频率即为电子绕第n 玻尔轨道转动的频率 (里德伯常数R 取R ∞).
证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n 轨道所发光子的波数为：
])
1(11[1~22+-==n n R v n n λ 频率为：Rc n n n n n Rc c
v n 2
222)1(12])1(11[++=+-==λ 当n>>时，有3422/2/2)1(/)12(n n n n n n =≈++，所以在n>>1时，氢原子中电子从
n+1轨道跃迁到n 轨道所发光子的频率为：3/2n Rc v n
=。

设电子在第n 轨道上的转动频率为n f ，则 222212222mr nh mr P mr mvr r v f n πππππ====
而氢原子轨道半径为：
222
2044me h n r ππε=
则
3320423320424420422222221)4(22)4(22)4()4()2(1)2(212n c c h me h n me h n e m m nh mr nh mr nh f n πεππεππεπππππ=⨯====而c h me R R 32042)4(2πεπ==∞
所以
3
2n Rc f n = 因此，在n>>1时，有n n f v =
9. Li 原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：
22)
0401.0()5951.01(~--+=n R R v 。

已知Li 原子电离成+++Li 离子需要203.44电子伏特的功。

问如把+Li 离子电离成++Li 离子，需要多少电子伏特的功 (里德伯常数取R ∞)？
解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。

锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的能级向基态跃迁而产生的。

一次电离能对应于主线系的系限能量，所以Li 离子电
离成+Li 离子时，有2
21)5951.01()5951.01(+=∞-+=∞hc R Rhc Rhc E 代入数据：
17100973731.1-∞⨯=米R
346.626210h J s -=⨯⋅
82.997910/c m s =⨯
J hc R E 28
347215951
.1109979.2106262.6100973731.1)5951.01(⨯⨯⨯⨯⨯=+=-∞ J 19105676.8-⨯=
eV eV E 35.510
60219.1105676.81919
1=⨯⨯=-- ++Li 是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此+++++→Li Li 时，电离能3E 为：
电子伏特45.12291
223=≈=∞hc R Rhc Z E 。

设+++→Li Li 的电离能为2E 。

而+++→Li Li 需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有电子伏特64.75312=--=E E E E
12. 观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况，可以测定各激发态的平均寿命. 若已知原子束中原子速度秒米/103=v ，在沿粒子束方向上相距
1.5毫米其共振光谱线强度减少到1/3.32。

试计算这种原子在共振激发态的平均寿命.
解：设沿粒子束上某点A 和距这点的距离S=1.5毫米的 B 点，共振谱线强度分别为10I I 和，并设粒子束在A 点的时刻为零时刻，且此时处于激发态的粒子数为20N ，原子束经过t 时间间隔从A 到达B 点，在B 点处于激发态的粒子数为2N 。

光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比。

设发射共振谱线的跃迁几率为21A ，则有：
20
22021221202122101N N N kA N kA N A N A I I ==∝ k 为比例系数
由已知条件，可知32.3/120
201==N N I I ， 并注意到 v S t e
N N t A /,21202==-而， 则有：32.3/12120
2==-t A e N N 由此求得：
s
s v S A t S
v t A 633
21211025.132
.3ln 10105.132.3ln 132.3ln )1ln 32.3(ln 1--⨯=⨯⨯====-= 第三章 量子力学初步
1. 波长为ο
A 1的X 光光子的动量和能量各为多少？
解：根据德布罗意关系式，动量为： λh
p =
取346.626210h J s -=⨯⋅
12410
34
106262.610106262.6----⋅⋅⨯=⨯=s m kg p 能量为：λ/hc hv E ==
取真空中光速s m c
/1038⨯= λ/hc E =
J J 1510834109879.110/103106262.6---⨯=⨯⨯⨯=。

8. 有一粒子，其质量为m ,在一个三维势箱中运动。

势箱的长、宽、高分别为c b a 、、在势箱外，势能∞=V ；在势箱内，0=V 。

式计算出粒子可能具有的能量。

解：势能分布情况，由题意知：
0,0;
0,0;0,0.
x y z x a V y b V z c V ≤≤=≤≤=≤≤=
0,;
0,0,.
x y z x x a V y y b V z z c V <>=∞<>=∞<>=∞或或；或
在势箱内波函数),,(z y x ψ满足方程：
0)]([22222222=++-+∂+∂+∂ψψψψz y x V V V E m dz dy dx
(1) 解这类问题，通常是运用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。

令)()()(),,(z Z y Y x X z y x =ψ
代入(1)式，并将两边同除以)()()(z Z y Y x X ，得：
E m V m dz Z d Z V m dy Y d Y V m dx X d X z y x 22222222222)21()21()21(
-=-+-+- 方程左边分解成三个相互独立的部分，它们之和等于一个常数。

因此，每一部分都应等于一个常数。

由此，得到三个方程如下：
皆为常数。

其中z y x z y x z z y y x x E E E E E E E E m V m dz Z d Z E m V m dy Y d Y E m V m dx X d X ,,,2212212212
22222222222++=-=--=--=-
将上面三个方程中的第一个方程变形，得：
0)(2222=-+X V E m dx X d x x
(2) 边界条件：0)()0(==a X X
可见，方程(2)的形式及边界条件与一维箱完全相同 [解方程(2)的具体过程参照教材中一维箱的例子(在课本93-98页)]，因此，其解为：
⋯⋯===
3,2,1,2sin 22222x x x x n n a E x a n a X πππ 类似地，有
)(2sin sin sin 8),,(3,2,1,2sin 23,2,1,2sin 22222
222222222222c n b n a n m E c z n b y n a x n abc z y x n n c
E z c n c Z n n b
E y b
n b Y z y x z
y x z z z z y y y y ++==∴⋯⋯===⋯⋯===
ππππψππππππ 可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。

而粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量之和。

对于方势箱，c b a ==,波函数和能量为：
2222222
23,2sin sin sin 8),,(z
y x z y x n n n n n ma E a z n a y n a x n a z y x ++===
ππππψ。