高三数学 简单的三角恒等变换复习课件 新人教A版
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高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换教学课件 新人教A版必修4
(3)由于
tanα2＝1＋sincoαs
及 α
tanα2＝1－sincoαs
α不含被开方数，且
不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注
意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用 sin2α2
＝1－c2os
α，cos2α2＝1＋c2os
α .
半角公式及其应用
谢谢观看！
结束语
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒 等变换教学课件 新人教A版必修4
设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值． 思路点拨：由 θ 范围求2θ范围，由 cos2θ的值求 sin2θ，再利用 半角公式及其变形求值．
解：(1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π. 又 cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2.
(1)先化简所求的三角函数式； (2)从角和三角函数名称两方面来寻找已知条件 和所求式子之间的联系；
(3)明确关系，代入求值．
【互动探究】
若本例条件不变，求 tan2θ的值． 解：方法一：由例题解题过程可知，
sin2θ＝ 1－a2，
θ
故 tan2θ＝sin2θ＝
1－a2 a.
cos2
方法二：由 cos2θ＝a，知 cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1，
(2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 的三角恒等变换教学课件 新人教A 同学们，下课休息十分钟修。4现在是休息时间
人教A版必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换课件
1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6
3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3
5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6
1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .
又
2
<
2
∴
2
<
2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=
2
=
1+
2
2
15
= −4.
1+17
2
=
3
，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −
1 +
1 −
= ±
， = ±
， = ±
，
人教A版高中数学必修第一册5.5三角恒等变换课件
二、知识讲授
5.5.2 简单的三角恒等变换
二、知识讲授
二、知识讲授
二、知识讲授
二、知识讲授
？
你能说说这里的变形理 由吗？
二、知识讲授
二、知识讲授
二、知识讲授
Q
D
C
α
OA
BP
图 5.5-2
三角恒等 变换
C(α－β)
三、小结
S(α－β)
S2α
以－β 换 β
S(α＋β) C(α＋β)
以α 换β
二、知识讲授
探究 上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，利诱导公式五（或六）可 以实现正弦、余弦的互化．你能根据 C(α＋β) ， C(α－β) 及诱导公式五（或六）， 推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦表示 sin (α＋β) ，sin (α－β) 的公式吗 ？
二、知识讲授
二、知识讲授
C2α
两项 相除
T(α＋β)
以α 换β
T2α
以－β 换 β
T(α－β)
两项相除
四、练习
四、练习
四、练习
？思考
二、知识讲授
二、知识讲授
二、知识讲授
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 探究
你能利用 S(α±β) ， C(α±β) ， T(α±β) 推导出 sin 2α ，cos 2α，tan 2α 的公式吗？
二、知识讲授
如果要求二倍角的余弦公式（C2α）中仅含 α 的正弦（余弦），那么又 可得到：
AP＝A1P1 ； 根据两点间的距离公式，得
[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β) =(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2， 化简得 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ．
新课标人教A版高中数学必修四3.2简单的三角恒等变换课件 (共20张PPT)
二倍角的正弦，余弦，正切公式： sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
降角升次
2cos2 1 1 2sin2
tan
2
2 tan 1 tan2
cos2 1 cos 2
2
tan2 1 cos 2 1 cos 2
sin2 1 cos 2
2
升角降次
sin2=
3
1 sin 2 3 1 cos 2
2
6
1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
6
通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如 y=Asin(+)的函数, 从而使问题得到简化
1 3
3 2
sin
2
1 2
cos
2
3 6
1 sin 2 3
3 6 6
由于0 , 所以当 2 ,即 时,
2
2
思考 在例3证明过程中用到了哪些数学思想方法?
例3证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习142页当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式．
例4 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
3
3
的性质研究得到延 伸，体现了三角变 换在化简三角函数
三角恒等变换-PPT教学课件人教A版高中数学
邢
启 强
3
复习引入
3. 余弦函数的倍角公式变形:
cos 2 1 2sin2
12sin2cos2
2sin21cos2
sin21cos2
2
sin 1cos2
讲
课 人 ： 邢
2
启 强
4
复习引入
3. 余弦函数的倍角公式变形:
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2cos2
2cos2 1 cos 2
2sinAB2cosAcosB
2
22
2cosC 22cosA 2cosB 24cosA 2cosB2cosC 2
16
巩固练习 人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.5.2简单的三角恒等变换 (2份打包)
教材P226练习第1、2、3题.
讲 课 人 ： 邢 启 强
人教版高中数学新教材必修第一册课 件：5.5 .2简单 的三角 恒等变 换 (2份打包)
C
BP
14
典型例题 人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.5.2简单的三角恒等变换 (2份打包)
例4. 已知A+B+C=180°, 求证： sinA sinB sin C 4cosAcosBcosC 222
证明：因为A+B+C=180°, 所以
C=180°－(A+B),
C 90 AB
2
2
sinA+sinB+sinC 2sinA BcosA Bsin(A B )
例3.
如图，
记∠COP＝，求当角
取何值时，矩形ABCD的
面积最大？并求出这个
最大面积.
3
O
Q
D
高中数学(新人教A版)必修第一册：简单的三角恒等变换【精品课件】
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表
回答问题。
知识清单
1．半角公式
2.辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋θ)
b
(其中 tan θ＝a)．
小试牛刀
α
1．已知 180°＜α＜360°，则 cos 的值等于(
2
A．－
1－cos α
2
1＋cos α
2
B．
θ
又 cos2＝a，
θ
∴sin4＝－
答案：D
θ
1－cos
2
2 ＝－
1－a
2 .
解题方法（利用半角公式化简求值）
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等
手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦
解:在 Rt△OBC中, OB=cos, BC=sin
DA
在Rt△OAD中,
tan 60 3
OA
3
3
3
DA
BC
sin
3
3
3
3
AB OB OA cos
sin
3
设矩形ABCD的面积为S,则
OA
3
S AB • BC cos sin sin
将①②两个等式的左右两边分别相除，得2 =
例 7 的结果还可以表示为
1－cos α
α ±
2
sin ＝__________________，
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 第四节 三角恒等变换
2
π
−
4
π
=
1-cos(2-2)
2
=
π
−
4
π
1+cos(2-2)
=
1-sin2
2
2
2
=
1-3
2
=
=
1
,故
6
1+sin2
2
tan
2
2
=
1+3
π
−
4
2
=
5
,
6
π
=
sin2 (-4)
π
cos2 (- )
=
4
A.
(2)由题意可知,tan
且 tan
2tan
2β=1-tan2
因为 β∈
π
0,
+3
+2sin
π
−
3
考向2.三角函数恒等式的证明
典例突破
1+tan(3π-)
1-sin2
例 2.(2021 山东日照高三月考)证明:
=
.
2
1-tan(3π-)
1-2sin
证明
1-tan
左边=1+tan
cos2 +sin2 -sin2
cos2 -sin2
=
sin
=
1-cos
π
0,
2
.
2 5
10
5 3 10
β= 5 × 10 + 5 × 10
π
π
β,∴0<α<β< ,∴- <α-β<0.故
2
2
π
α-β=- .
π
−
4
π
=
1-cos(2-2)
2
=
π
−
4
π
1+cos(2-2)
=
1-sin2
2
2
2
=
1-3
2
=
=
1
,故
6
1+sin2
2
tan
2
2
=
1+3
π
−
4
2
=
5
,
6
π
=
sin2 (-4)
π
cos2 (- )
=
4
A.
(2)由题意可知,tan
且 tan
2tan
2β=1-tan2
因为 β∈
π
0,
+3
+2sin
π
−
3
考向2.三角函数恒等式的证明
典例突破
1+tan(3π-)
1-sin2
例 2.(2021 山东日照高三月考)证明:
=
.
2
1-tan(3π-)
1-2sin
证明
1-tan
左边=1+tan
cos2 +sin2 -sin2
cos2 -sin2
=
sin
=
1-cos
π
0,
2
.
2 5
10
5 3 10
β= 5 × 10 + 5 × 10
π
π
β,∴0<α<β< ,∴- <α-β<0.故
2
2
π
α-β=- .
数学必修Ⅳ人教新课标A版3-2简单的三角恒等变换课件(34张)
＝ 2Rsin(α＋π4)＋R. ∵0＜α＜π2，∴π4＜α＋π4＜34π. ∴l 的最大值为 2R＋R＝( 2＋1)R，此时，α＋π4＝π2，即 α＝π4， 即当 α＝π4时，△OAB 的周长最大.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在 半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面 的最大面积(如图所示).
α .
cos 2 cos 2·2sin 2
答案
1－cos α
sin α2＝ ±
2
，
1＋cos α
cosα2 ＝ ±
2
，
tan α2＝ ±
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sincoαs
1－cos
＝ α
sin α
α
答案
知识点二 辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋θ)(其中 tan θ＝ba).
类型二 利用辅助角公式研究函数性质 例 2 已知函数 f(x)＝ 3sin2x－π6＋2sin2x－1π2 (x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期；
解 ∵f(x)＝ 3sin(2x－π6)＋2sin2x－1π2
＝ 3sin [2x－1π2]＋1－cos2x－1π2
＝2
3 2 sin
2x－1π2－12cos
3.若函数 f(x)＝sin2x－12(x∈R)，则 f(x)是( D )
A.最小正周期为π2的奇函数
B.最小正周期为 π 的奇函数
C.最小正周期为 2π 的偶函数
D.最小正周期为 π 的偶函数
解析
1－cos f(x)＝ 2
2x－12＝－cos2
∵54π＜2θ＜32π.∴cos θ2＝－
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在 半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面 的最大面积(如图所示).
α .
cos 2 cos 2·2sin 2
答案
1－cos α
sin α2＝ ±
2
，
1＋cos α
cosα2 ＝ ±
2
，
tan α2＝ ±
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sincoαs
1－cos
＝ α
sin α
α
答案
知识点二 辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋θ)(其中 tan θ＝ba).
类型二 利用辅助角公式研究函数性质 例 2 已知函数 f(x)＝ 3sin2x－π6＋2sin2x－1π2 (x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期；
解 ∵f(x)＝ 3sin(2x－π6)＋2sin2x－1π2
＝ 3sin [2x－1π2]＋1－cos2x－1π2
＝2
3 2 sin
2x－1π2－12cos
3.若函数 f(x)＝sin2x－12(x∈R)，则 f(x)是( D )
A.最小正周期为π2的奇函数
B.最小正周期为 π 的奇函数
C.最小正周期为 2π 的偶函数
D.最小正周期为 π 的偶函数
解析
1－cos f(x)＝ 2
2x－12＝－cos2
∵54π＜2θ＜32π.∴cos θ2＝－
高中数学新人教A版必修4课件：第3章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换6
思路点拨：三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公 式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数(或 余弦函数)的性质得出结论．
[解] (1)∵f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－12sin 2x＋14 ＝12cos x－ 23sin x12cos x＋ 23sin x－12sin 2x＋14
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条 件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
2．求证：
（sin
x＋cos
2sin xcos x x－1）（sin
x－cos
x＋1）＝1＋sincoxs
x .
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x
1．已知 180°＜α＜360°，则 cosα2的值等于( )
A．－
1－cos α 2
B．
1－cos α 2
C．－
1＋cos α 2
D．
1＋cos α 2
C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，
∴cos α2＜0，故应选 C.]
2．2sin θ＋2cos θ＝( )
A．sinθ＋π4 C．2 2sinθ＋π4
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
学习目标
核心素养
1.能用二倍角公式推导出半角公式， 体会三角恒等变换的基本思想方法， 以及进行简单的应用．(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技 巧，掌握三角恒等变换的基本思想方 法．(重点) 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三 角函数式的化简、求值以及证明，进 而进行简单的应用．(难点、易混点)
高中数学 简单的三角恒等变换时 新人教A版必修优秀PPT
2
sin2
cos2
2
1 cos ． 1 cos
2
例 2、求证：
（1）、 sin
cos
1 2
sin
sin
；
（2）、 sin
sin
2 sin
cos
．
2
2
证明：（1）因为 sin 和 sin 是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
sin sin cos cos sin ； sin sin cos cos sin ．
1.求证： tan sin 1 cos （教科书 P142 练习第 1 题） 2 1 cos sin
解：方法一： sin 1 cos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 sin cos
22
2 cos2
sin
2
cos
tan
2
2
2
1 cos sin
2 sin 2
2 sin
2
cos
sin
2
cos
tan
2
五、[作业精选，巩固提高] 1.课本第142页练习第2,3,4题; 2.课本第143页习题3.2A组,B组.
谢谢观看
2
2
例 3、求函数 y sin x 3 cos x 的周期，最大值和最小值．
解： y sin x 3 cos x 这种形式我们在前面见过，
y sin x
3
cos
x
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
2
sin
x
3
，
所以，所求的周期T 2 2 ，最大值为 2，最小值为 2
三、[变式演练，深化提高]
sin2
cos2
2
1 cos ． 1 cos
2
例 2、求证：
（1）、 sin
cos
1 2
sin
sin
；
（2）、 sin
sin
2 sin
cos
．
2
2
证明：（1）因为 sin 和 sin 是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
sin sin cos cos sin ； sin sin cos cos sin ．
1.求证： tan sin 1 cos （教科书 P142 练习第 1 题） 2 1 cos sin
解：方法一： sin 1 cos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 sin cos
22
2 cos2
sin
2
cos
tan
2
2
2
1 cos sin
2 sin 2
2 sin
2
cos
sin
2
cos
tan
2
五、[作业精选，巩固提高] 1.课本第142页练习第2,3,4题; 2.课本第143页习题3.2A组,B组.
谢谢观看
2
2
例 3、求函数 y sin x 3 cos x 的周期，最大值和最小值．
解： y sin x 3 cos x 这种形式我们在前面见过，
y sin x
3
cos
x
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
2
sin
x
3
，
所以，所求的周期T 2 2 ，最大值为 2，最小值为 2
三、[变式演练，深化提高]
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A．{x|2kπ＋3π≤x≤2kπ＋π，k∈Z} B．{x|kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈Z} C．{x|2kπ＋π6≤x≤2kπ＋56π，k∈Z} D．{x|kπ＋6π≤x≤kπ＋56π，k∈Z}
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14
解析：f(x)＝ 3sinx－cosx＝2sin(x－6π)≥1， ∴sin(x－6π)≥12， ∴2kπ＋π6≤x－π6≤2kπ＋56π(k∈Z)， ∴2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，(k∈Z)．
答案：A
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15
4．函数 f(x)＝sin2(2x－4π)的最小正周期是__________．
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16
解析：由 f(x)＝sin2(2x－4π)＝1－cos24x－2π ＝12－12sin4x， ∴T＝2ωπ＝24π＝π2.
答案：π2
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17
5．已知 α、β 均为锐角，且 tanβ＝ccoossαα－ ＋ssiinnαα，则 tan(α ＋β)＝__________.
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27
变式训练 1
sins2i3n52°0－°12的值为(
)
1 A.2
B．－12
C．－1
D．1
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28
[解析] sins2i3n52°0－°12＝2si2ns2i3n52°0－°1 ＝－2scions2700°°＝－2ssiinn2200°°＝－12，故选 B.
[答案] B
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3．辅助角公式
asinα＋bcosα＝ a2＋b2 sin(α＋φ)(其中 tanφ＝ba)．
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8
4．“1”的妙用 sin2α＋cos2α＝1，cos2α＋2sin2α＝1,1＝2cos2α－cos2α， sinπ2＝cos0＝tanπ4＝1.
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9
基础自测
1．已知 sin10°＝a，则 sin70°等于( )
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18
解析：tanβ＝11－ ＋ttaannαα＝tan(4π－α)． ∵α、β 为锐角，∴β＝4π－α，∴α＋β＝4π， ∴tan(α＋β)＝1.
答案：1
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19
要点点拨
1．三角函数式的化简 (1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数 名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．
29
热点题型二
三角函数的给值求值、给值求角问题
[例 2] 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，以
Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别交单位圆
于
A，B
两点．已知
A，B
两点的横坐标分别是
102，2 5
5 .
ppt精选
30
(1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 α＋2β 的值．
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12
1＋ 解析：原式＝
2cos2αcosπ4＋sin2αsinπ4 cosα
＝1＋cosc2oαs＋α sin2α＝2cos2α＋co2ssαinαcosα
＝2×(cosα＋sinα)＝2×(35＋45)＝154.
答案：C
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13
3．已知函数 f(x)＝ 3sinx－cosx，x∈R，若 f(x)≥1，则 x 的取值范围为( )
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5
研
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6
知识梳理
1．用 cosα 表示 sin2α2，cos2α2，tan2α2 sin2α2＝1－2cosα，cos2α2＝1＋2cosα，tan2α2＝11－ ＋ccoossαα .
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7
2．用
sinα，cosα
表示
α tan2
tanα2＝1＋sincoαsα＝1－sincoαsα.
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20
(2)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使 被开方数不含三角函数． (3)三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名， 异角化同角，降幂或升幂．
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21
2．三角函数式的求值 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思 路为： (1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名 及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
31
[思路点拨] 本题是三角函数的求值问题，对第(1)问， 先利用条件，结合三角函数的定义可以求得 cosα，cosβ，进 而求出 sinα，sinβ，再求得 tanα，tanβ，最后由和角公式计 算出 tan(α＋β)的值；对第(2)问，先由第(1)问，利用角变换 求得 tan(α＋2β)的值，再由角的范围确定角 α＋2β 的大小．
A．1－2a2
B．1＋2a2
C．1－a2
D．a2－1
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10
解析：由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－ 2a2.
答案：A
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11
2．已知角
α
在第一象限且
cosα＝35，则1＋
2cos2α－π4 sinα＋π2
等于( )
2
7
A.5
B.5
14 C. 5
D．－25
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22
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23
热点题型一
三角函数的给角求值问题
[例 1] coss2i1n5151°0－°ssinin2201°55°的值为(
)
A．－12
1 B.2
3 C. 2
D．－
3
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24
[思路点拨] 分子中，sin110°＝sin70°＝cos20°，于是分 子可化为12sin40°，分母中，cos2155°－sin2155°＝cos310°＝ cos50°＝sin40°，故可约分求值．
必考部分
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1
第三章
三角函数、解三角形
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2
第六节 简单的三角恒等变换
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3
考 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、
纲 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差
点 化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
击
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4
理基础 明考向
悟题型 课时作业
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25
[解析] coss2i1n5151°0－°ssinin2201°55°＝sinc7o0s°3s1in02°0° 1
＝cosc2o0s°5s0in°20°＝2ssiinn4400°°＝12， 故选 B.
[答案] B
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26
[规律总结] 给角求值问题的基本特点是式子中含有已 知角，但均为非特殊角，所以无法直接代入求得结果，解题 的基本策略是善于发现角间的关系，通过三角公式的运用， 或者产生特殊角，代值求解，或者式子中出现正项和负项相 抵消，或者出现分子和分母相约分等情况，从而求得结果．
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14
解析：f(x)＝ 3sinx－cosx＝2sin(x－6π)≥1， ∴sin(x－6π)≥12， ∴2kπ＋π6≤x－π6≤2kπ＋56π(k∈Z)， ∴2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，(k∈Z)．
答案：A
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15
4．函数 f(x)＝sin2(2x－4π)的最小正周期是__________．
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16
解析：由 f(x)＝sin2(2x－4π)＝1－cos24x－2π ＝12－12sin4x， ∴T＝2ωπ＝24π＝π2.
答案：π2
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17
5．已知 α、β 均为锐角，且 tanβ＝ccoossαα－ ＋ssiinnαα，则 tan(α ＋β)＝__________.
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27
变式训练 1
sins2i3n52°0－°12的值为(
)
1 A.2
B．－12
C．－1
D．1
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28
[解析] sins2i3n52°0－°12＝2si2ns2i3n52°0－°1 ＝－2scions2700°°＝－2ssiinn2200°°＝－12，故选 B.
[答案] B
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3．辅助角公式
asinα＋bcosα＝ a2＋b2 sin(α＋φ)(其中 tanφ＝ba)．
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8
4．“1”的妙用 sin2α＋cos2α＝1，cos2α＋2sin2α＝1,1＝2cos2α－cos2α， sinπ2＝cos0＝tanπ4＝1.
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9
基础自测
1．已知 sin10°＝a，则 sin70°等于( )
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18
解析：tanβ＝11－ ＋ttaannαα＝tan(4π－α)． ∵α、β 为锐角，∴β＝4π－α，∴α＋β＝4π， ∴tan(α＋β)＝1.
答案：1
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19
要点点拨
1．三角函数式的化简 (1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数 名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．
29
热点题型二
三角函数的给值求值、给值求角问题
[例 2] 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，以
Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别交单位圆
于
A，B
两点．已知
A，B
两点的横坐标分别是
102，2 5
5 .
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30
(1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 α＋2β 的值．
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12
1＋ 解析：原式＝
2cos2αcosπ4＋sin2αsinπ4 cosα
＝1＋cosc2oαs＋α sin2α＝2cos2α＋co2ssαinαcosα
＝2×(cosα＋sinα)＝2×(35＋45)＝154.
答案：C
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13
3．已知函数 f(x)＝ 3sinx－cosx，x∈R，若 f(x)≥1，则 x 的取值范围为( )
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5
研
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6
知识梳理
1．用 cosα 表示 sin2α2，cos2α2，tan2α2 sin2α2＝1－2cosα，cos2α2＝1＋2cosα，tan2α2＝11－ ＋ccoossαα .
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7
2．用
sinα，cosα
表示
α tan2
tanα2＝1＋sincoαsα＝1－sincoαsα.
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20
(2)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使 被开方数不含三角函数． (3)三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名， 异角化同角，降幂或升幂．
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21
2．三角函数式的求值 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思 路为： (1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名 及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
31
[思路点拨] 本题是三角函数的求值问题，对第(1)问， 先利用条件，结合三角函数的定义可以求得 cosα，cosβ，进 而求出 sinα，sinβ，再求得 tanα，tanβ，最后由和角公式计 算出 tan(α＋β)的值；对第(2)问，先由第(1)问，利用角变换 求得 tan(α＋2β)的值，再由角的范围确定角 α＋2β 的大小．
A．1－2a2
B．1＋2a2
C．1－a2
D．a2－1
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10
解析：由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－ 2a2.
答案：A
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11
2．已知角
α
在第一象限且
cosα＝35，则1＋
2cos2α－π4 sinα＋π2
等于( )
2
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A.5
B.5
14 C. 5
D．－25
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热点题型一
三角函数的给角求值问题
[例 1] coss2i1n5151°0－°ssinin2201°55°的值为(
)
A．－12
1 B.2
3 C. 2
D．－
3
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24
[思路点拨] 分子中，sin110°＝sin70°＝cos20°，于是分 子可化为12sin40°，分母中，cos2155°－sin2155°＝cos310°＝ cos50°＝sin40°，故可约分求值．
必考部分
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1
第三章
三角函数、解三角形
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2
第六节 简单的三角恒等变换
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3
考 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、
纲 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差
点 化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
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4
理基础 明考向
悟题型 课时作业
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25
[解析] coss2i1n5151°0－°ssinin2201°55°＝sinc7o0s°3s1in02°0° 1
＝cosc2o0s°5s0in°20°＝2ssiinn4400°°＝12， 故选 B.
[答案] B
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26
[规律总结] 给角求值问题的基本特点是式子中含有已 知角，但均为非特殊角，所以无法直接代入求得结果，解题 的基本策略是善于发现角间的关系，通过三角公式的运用， 或者产生特殊角，代值求解，或者式子中出现正项和负项相 抵消，或者出现分子和分母相约分等情况，从而求得结果．