三角形中线等分面积的应用

以发现，扩展一次后得到的△ DEF 的面积是原来△ ABC 面积的 ___________ 倍.

应用：去年在面积为 10m 2的厶ABC 空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模,

例说三角形中线等分面积的应用

如图1，线段AD 是厶ABC 的中线，过点 A 作AE 丄BC ,垂足为 -BD-AE , S A ADC = -DC-AE ,因为 BD = DC ,所以 2 2 三角形的中线把厶 ABC 分成两个面积相等的三角形 ?利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。 E ,则 S A ABD = S A ABD = S A ADC 。因此，图1

、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ,宽为b , E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、 BF 交于点G ,求四边形 ABGD 的面积. 分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接 CG 后，可知 GF 、GE 分别是△ DGC 、△ BGC 的中线，而由 S AB CF =S A DCE

，可图2

得 S ABEG =S ADFG ，所以△ DGF 、△ CFG 、A CEG 、A BEG 的面积相等, 问题得解。解：连接CG ,由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S ABCF =S ADCE = ，从而得S A

4 1 ab ab

BEG =S ADFG ，可得△ DGF 、△ CFG 、△ CEG 、A BEG 的面积相等且等于 X =—，因此

3 4 12

」 ab 2ab S 四边形 ABGD =a b — 4 X —=

-----------------------------------------

。 12 3 例2、在如图3至图5中，△ ABC 的面积为

（1）如图2,延长△ ABC 的边BC 到点D ,使CD=BC ,连结DA .若厶ACD 的面积为 3, 则S 1=

（用含a 的代数式表示）；

（2）如图3，延长△ ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ,使CD=BC , AE=CA ，连结

DE .若△ DEC 的面积为S 2,则S 2= ___________ （用含a 的代数式表示），并写出理由;

（3）

在 BF=AB ,连 6）.若阴影

（用含a 的发现：图

图4的结部分代

数

图

F ，使

基础上延长

FD , FE ，得到△ DEF-（如图的面积为式表示）F v

面那样，将△ A?（5各边均顺次

延长一倍，连结所得端点, 得到△ DEF （如图6）,此时, 我们称△ ABC 向外扩展了一次.

把厶ABC 向外进行两次扩展，第一次由厶ABC 扩展成△ DEF ，第二次由△ DEF 扩展成△ MGH （如图5）.求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少

m 2?

分析：从第1个图可以发现AC 就是△ ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到厶ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。

解：（1 ）由CD=BC ，可知AC 就是△ ABD 的中线，中线 AC 将厶ABD 的分成两个三角形厶ABC 、△ ACD ，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以 S i =a ；

（2）若连接 DA ，贝U DA 就是△ ECD 的中线，中线AD 将厶ECD 分成△ CDA 、△ EDA ，

它们的面积相等；所以 S 2=2a ；

（3）根据以上分析，可知△ BFD 、△ CED 、△ EAF 面积都为2a ;所以S 2=6a ;

发现：由题意可知扩展一次后的△ DEF 的面积是 S A DEF = S 3+S ^

ABc =6a+a=7a ;即扩展一次后的厶

DEF 的面积是原来 △ ABC 面积的7

倍。

应用：由以上分析可知扩展一次后S 总1=7a , 扩展二次后S 总2=S 总i =72a , 扩展三次后S 总3=S 总2=7’a ,

拓展区域的面积：（72- 1） X1O=48O （m 2）

说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：

从特殊到一般的思想。

中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。

、巧分三角形

例3、如图乙已知△ ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为

1:2:3的三个

三角形?

则厶PAC 、A PAB 、△ PBC 的面积之比为 1:2: 3 （如图9）.

所以我们在平时的学习

分析：可以把三角形先两等份，再把其中一

分成面积之比为囹:2:3的三个三角形（如图方法2:在BC 边上截取 DC = 1 BC ,

连结AD ，然后取 AB 的中点P ,连结BP 、CP ,

想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是 1:2:3 ?

、巧算式子的值

在数学活动中, 小明为了求

1丄丄丄 2 22 23 24

值（结果用n 表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个

E A

一 C ..

B ；：D

图

I 1

△ ABC

图9

两等份，所以联想到作三角形

E 图

勺中点E

图10

1111

1 几何图形求

n 的值.

2 2 2 2

分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的，联想到将三角形的面积不断的平

分，所以可以构造如图 10的图形进行求解。

解：如图10，设大三角形的面积为 1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据

三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形,

因此1丄二二「…丄=1

2 22 ?

3 ?

4 2门

说明：此题运用数形结合思想”借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙

三角形内角和定理及外角性质的应用

三角形三个内角的和等于 180°这是三角形内角和定理.

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，这是三角形外角性质.

三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明. 一、求三角形的内角

例2 （08太原）在厶ABC 中，/ B=40° / C=80°则/ A 的度数为（） A . 30° B . 40° C . 50° D . 60° 解：由三角形内角和定理，得/

A=180 ° / B- / C=180 °40°80°60 °答案选 D .

例3 (08东营)如图1,已知/ 1=100° / 2=140 °那么/ 3= 解：/ 4=180 ° / 仁 180°100°=80° , / 5=180 ° / 2=180 °- 140°=40° , 由三角形内角和定理，得

/ 3=180 ° / 4- / 5=180 ° 80° 40° =60° ,答案选 D . 说明：在求出/ 4=80°后，也可根据三角形外角性质，得 / 2= / 4+ / 3,所以/ 3= / 2-

/ 4=140 ° 80°=60° .

二、判断三角形的形状

例1 （08陕西）一个三角形三个内角的度数之比为 2:3:7,这个三角形一定是（）

A ?直角三角形

B .等腰三角形

C .锐角三角形

D .钝角三角形

解：设三个内角分别为 2k , 3k , 5k ，由三角形内角和定理，得

2k+3k+5k=180 °解得k=15 °所以2k=30 ° 3k=45° 7k=105 °所以这个三角形是钝角三角形，答案选C .

三、求角平分线的夹角

例4 （08沈阳）已知△ ABC 中，/ A=60°, Z ABC 、/ ACB 的平分线交于点 O,则/ BOC 的度数为 ____ .

解：如图2,由BO 平分Z ABC ，得Z 1= Z ABC ; 2

1 由 CO 平分 Z ACB ，得 Z 2= Z

ACB .

余部分的面积为

1111 1 1

二尸歹歹刁歹，

图2

1 1

所以Z 1 + Z 2= ( Z ABC + Z ACB) = (180 ° Z A)

2 2

=丄（180° 60°） =60°

四、求三角形的外角

例5 （08贵州）如图5,直线I 1//I 2, AB 丄h ，垂足为D , BC 与直线S 相交于点C ,若 / 1=30 ° 贝U / 2= ___ .

解：如图6,延长AB 交I 2于点E .

全等三角形水平测试（1 ）

湖北薛建辉

一、试试你的身手

1.如图所示，沿直线 AC 对折，△ ABC W^ ADC 重合，则△ ABC^ _________ , AB 的对应边

是 ________ , AC 的对应边是 ____________ ，/ BCA 勺对应角

是 . C

观察图形， _，则

有厶

5?如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成i 、n 两块，块?为了方便起见，需带上 __________ 块，其理由是 ________

6?如图所示，若只有ADL BD 于点D 这个条件，要证△ ABD^^ ACD 则需补充的条件是或或

7?如图，在△ ABC 中，Z BAC= 60°，将△ ABC 绕着点A 丿顺时针旋转序0°后得到 Z BAE 的度数为_ 二、相信你的选择

1.下列说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长.面积分别相等，其中正确的说法为（

因为I i / I 2，由两直线平行，内错角相等，得/ BEC= / 3.

由 AB 丄 I i ,得/ 3=90° 所以/ BEC=90 °

由三角形外角性质，得 / 2= / BEC+Z 1=90 °30 °120 °

图

B 2

I D 图 6 I 1

说明：本题也可延长五、比较角的大小—C （CB 交I 1于点F ，构造厶审）进行求解，完成请同学们完成.

E C 例5 （08凉山

）下列四个图形中/ 2大于/ 1的是（）

■^7

1 一，.‘

两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得 /仁/2; B 选项，

可得 / 2大于/ 1. C 选项中的/ 2与/ 1的大小关系无法确定； D 可得 /

仁/ 2 ?答案选B .

解：A 选项中/ b 利根

据三角形的外角性质,

选项中，由对顶角相等, 2?如图所示，△ ACB^A DEF 其中A 与D, C 与E 是对应顶点，贝U CB 的对应边是A D

Z ABO 的对应角是 __________

3. △ ABC 和 ABC 冲，若 AB =A B , BC 启BC ，，则需要补充条件

ABC 二 A B C

4?如图所示，AB CD 相交于O 且A

________ ，联想到SAS 只需补充条件_ I i

a 2

可得到

B E

现需配成同样大小的

ADECU

已具备的

△

A.①②③④ E.①③④ C.①②④ D.②③④3 2?下列结论错误的是（）

A.全等三角形对应角所对的边是对应边

A. 1对

C. 3对

D. 4对

7.如图，AB= DB

A.Z A =Z D

三、挑战你的技能

1. 如图，若Z DAB=Z CBA 全等的理由.

2. （ 1）完成下面的证明：

如图，AB= AC E , F 分别是AC, AB 的中点，那么△ ABE^A ACF 证

明：：E , F 分别是AC ,

1 1

.AE AC , AF AB

2 2

T AB 二 AC , AE 二 AF 在厶ABE 和厶ACF 中

BC= BE,欲证△ ABC^A DBC 则需补充的条件是（ B.Z E =D ￡

AB 的中点, ),

),.△ ABE =△ ACF . ),

（2）根据（1）

3.如图，已知：

BC 请证明：△ EBC2A FCB

BE= DF , AE= CF, AE// CF,求证：AD// BC

的证明，若连结

CEL AD 于E , BFL AD 于F , (1)你能说明厶 4.如图，已知：能，请你说明理由，若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其个条件是 __________ ,来说明这两个三角形全等，并写出证明过程. 四、拓广探索飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，断

很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量

的数学知识，按以下要求设计测量方案.

（1）画出测量方案

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）

在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘,

A ,

B 两点间的距

E.全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 C. 全等三角形是一个特殊三角形

D. 如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等

3?下面各条件中，能使△ ABC2A DEF 勺条件的是(

)

A. AB= DE / A =Z D, BC= EF

B. AB= BC / B =Z E, DE= EF 0. AB= EF / A =Z D,

AC= DF

D. BG= EF, / C =Z F , AC= DF

4. 在△ ABC ffiA DEF 中 , AB= DE / A =Z D,若证△ ABC^A DEF 还要补充一个条件，错误

的补充方法是（

）

A.Z B =Z E

B.Z C =Z F

下列说法正确的是（

）

A.两边一角对应相等的两个三角形全等

C.两个等边三角形一定全等

6. 如图所示,BE !AC CFLAB 垂足分别是 C. BC= EF D. AC= DF

B.两角一边对应相等的两个三角形等 D.两个等腰直角三角形一定全等

E .

F ,若BE= CF,则图中全等三角形有（

D. E

坍三角

形

A F