三角形中线等分面积的应用

以发现，扩展一次后得到的△ DEF 的面积是原来△ ABC 面积的 ___________ 倍.

应用：去年在面积为 10m 2的厶ABC 空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模,

例说三角形中线等分面积的应用

如图1，线段AD 是厶ABC 的中线，过点 A 作AE 丄BC ,垂足为 -BD-AE , S A ADC = -DC-AE ,因为 BD = DC ,所以 2 2 三角形的中线把厶 ABC 分成两个面积相等的三角形 •利用这一性质，可以 解决许多有关面积的问题。 E ,则 S A ABD = S A ABD = S A ADC 。因此， 图1

、求图形的面积 例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ,宽为b , E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、 BF 交于点G ,求四边形 ABGD 的面积. 分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接 CG 后，可知 GF 、GE 分别是△ DGC 、△ BGC 的中线，而由 S AB CF =S A DCE

ab

，可 图2

得 S ABEG =S ADFG ，所以△ DGF 、△ CFG 、A CEG 、A BEG 的面积相等, 问题得解。 解：连接CG ,由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S ABCF =S ADCE = ，从而得S A

4 1 ab ab

BEG =S ADFG ，可得△ DGF 、△ CFG 、△ CEG 、A BEG 的面积相等且等于 X =—，因此

3 4 12

」 ab 2ab S 四边形 ABGD =a b — 4 X —=

-----------------------------------------

。 12 3 例2、在如图3至图5中，△ ABC 的面积为

a

（1）如图2,延长△ ABC 的边BC 到点D ,使CD=BC ,连结DA .若厶ACD 的面积为 3, 则S 1=

（用含a 的代数式表示）；

（2）如图3，延长△ ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ,使CD=BC , AE=CA ，连结

DE .若△ DEC 的面积为S 2,则S 2= ___________ （用含a 的代数式表示），并写出理 由;

（3）

在 BF=AB ,连 6）.若阴影

（用含a 的 发现： 图

3

图4的 结 部分 代

数

图

4

F ，使

基础上延长

FD , FE ，得到△ DEF-（如图 的面积为 式表示）F v

面那样，将△ A®（5各边均顺次

D

延长一倍，连结所得端点, 得到△ DEF （如图6）,此时, 我们称△ ABC 向外扩展了一次.

把厶ABC 向外进行两次扩展，第一次由厶ABC 扩展成△ DEF ，第二次由△ DEF 扩展成△ MGH （如图5）.求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少

m 2?

分析：从第1个图可以发现AC 就是△ ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到厶ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分 的面积，发现规律。

解：（1 ）由CD=BC ，可知AC 就是△ ABD 的中线，中线 AC 将厶ABD 的分成两个三角 形厶ABC 、△ ACD ，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以 S i =a ；

（2）若连接 DA ，贝U DA 就是△ ECD 的中线，中线AD 将厶ECD 分成△ CDA 、△ EDA ，

它们的面积相等；所以 S 2=2a ；

（3）根据以上分析，可知△ BFD 、△ CED 、△ EAF 面积都 为2a ;所以S 2=6a ;

发现：由题意可知扩展一次后的△ DEF 的面积是 S A DEF = S 3+S ^

ABc =6a+a=7a ;即扩展一次后的厶

DEF 的面积是原来 △ ABC 面积的7

倍。

应用：由以上分析可知 扩展一次后S 总1=7a , 扩展二次后S 总2=S 总i =72a , 扩展三次后S 总3=S 总2=7’a ,

拓展区域的面积：（72- 1） X1O=48O （m 2）

说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形 演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结 论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：

从特殊到一般的思想。

中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。

、巧分三角形

例3、如图乙已知△ ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为

1:2:3的三个

三角形•

则厶PAC 、A PAB 、△ PBC 的面积之比为 1:2: 3 （如图9）.

所以我们在平时的学习

分析：可以把三角形先两等份，再把其中一

D

分成面积之比为囹:2:3的三个三角形（如图 方法2:在BC 边上截取 DC = 1 BC ,

3

连结AD ，然后取 AB 的中点P ,连结BP 、CP ,

想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是 1:2:3 ?

、巧算式子的值

在数学活动中, 小明为了求

1丄丄丄 2 22 23 24

值（结果用n 表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个

E A

F

一 C ..

B ；：D

图

6

H

A

I 1

△ ABC

图9

两等份，所以联想到作三角形

E 图

8.

勺中点E

C

图10