微分几何2-4

第二章 曲面：局部理论
定义： 定义：给定正则参数曲面 M ，向量函数
W :M →
（1） W ( P ) ∈ TP M ,
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上一个（ 向量场， 称为 M 上一个（切）向量场，如果它满足
∀P ∈ M ;
（2）对于曲面任意的正则参数表示 x : U → M 函数 W o x : U →
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都是连续可微的。 都是连续可微的。
第二章 曲面：局部理论
定义 曲面 M 上的可微切向量场 W 关于切向 量 V ∈ TP M 的协变导数为 协变导数为
∇V W = ( DV W )T = DV W − ( DV W ⋅ n) n .
给定 M 上曲线 α : I → M ，如果
∇α ′(t )W = 0, ∀t ∈ I ,
平行。 则称向量场 W 沿参数曲线 α 平行。
du dv cos θ = E , sin θ = G . ds ds
Darboux标架中 Darboux标架中
n× T = − sin θ e1 + cos θ e2 .
第二章 曲面：局部理论
曲率向量 dT dθ de1 de2 κN = = (− sin θ e1 + cos θ e2 ) + cos θ + sin θ , ds ds ds ds
第二章 曲面：局部理论
将单位球面Christoffel Christoffel记号的计算结果带入 解：将单位球面Christoffel记号的计算结果带入 方程(eq 1)中得到 (eq方程(eq-1)中得到 a′(t ) = sin u0 cos u0b(t )
b′(t ) = − cot u0 a (t ).
第二章 曲面：局部理论
是下列方程组的解： 是下列方程组的解： (eq − 1)
W 是沿着 α 的平行向量场当且仅当 a (t ), b(t )
u a′(t ) + a(t )(Γu u′(t ) + Γuv v′(t )) + b(t )(Γu u ′(t ) + Γ u v′(t )) = 0 uu vu vv v v v v b′(t ) + a (t )(Γ uu u ′(t ) + Γuv v′(t )) + b(t )(Γ vu u ′(t ) + Γ vv v′(t )) = 0.
第二章 曲面：局部理论
曲面 M 上一条弧长参数曲线 α : I → M 在考虑法曲率时， 在考虑法曲率时，我们实际上引入了有别于 Frenet标架的另一个标架 Frenet标架的另一个标架 {T , n× T , n} （Darboux 标架）。 标架）。
第二章 曲面：局部理论
此时， 此时，曲率向量可以分解为
加上初始值条件 a(0) = 0, b(0) = 1，解得
a(t ) = sin u0 sin((cos u0 )t ) , b(t ) = cos((cos u0 )t ).
观察到 X (α (t )) = sin u0 。平行移动保持切 向量的长度不变？ 向量的长度不变？
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第二章 曲面：局部理论
微分几何
第二章 曲面：局部理论
第一节 参数曲面和第一基本形式 第二节 Gauss映射和第二基本形式 Gauss映射和第二基本形式 第三节 G-C方程和曲面基本定理 协变微分， 第四节 协变微分，平行移动和测地线
第二章 曲面：局部理论
协变微分， 第四节 协变微分，平行移动和测地线 曲面的内蕴几何概念之一： 平行移动” 曲面的内蕴几何概念之一：“平行移动”。 如何比较曲面上任意两点的切向量? 如何比较曲面上任意两点的切向量?怎么判断 它们是否平行？ 它们是否平行？
∇α ′α ′ = 0.
参数曲线正则， 测地线满足 α ′(t ) = c ≠ 0 ，参数曲线正则，可 以引进弧长参数 s = ct 。
第二章 曲面：局部理论
曲面上以弧长为参数的测地线 α ( s ) 的曲率向量
κ N = α ′′( s ) = Dα ′( s )α ( s )
在曲面的切平面上投影为零， 在曲面的切平面上投影为零，即测地线在每点的 主法向量与曲面的法向量平行。 主法向量与曲面的法向量平行。 这里曲线的曲率向量在曲面法向量上的投影 恰好是曲线的法曲率。 恰好是曲线的法曲率。
u 于是定理成立。特别的， 于是定理成立。特别的， −曲线和 v − 曲线的测地 曲率分别为
1 ∂ ln E κ g1 = − , 2 G ∂v ∂ ln G = . 2 E以改写成 因此Liouville公式可以改写成 Liouville
Dα ′( s )T ( s ) = T ′( s ) = − n( s ).
第二章 曲面：局部理论
例2 曲面 M 上参数曲线上对应的切向量场的协 变导数恰好可以由Christoffel记号表示。 Christoffel记号表示 变导数恰好可以由Christoffel记号表示。 在给定局部参数表示 x : U → M 下
第二章 曲面：局部理论
例1 单位球面 S 上任意一个大圆 α ( s ) 的切向量 是单位切向量场， 场 T ( s ) 是单位切向量场，
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恰好是指向球心，所以 ∇α ′ ( s )T ( s ) = 0. 恰好是指向球心， 球面上大圆的切向量场沿着大圆平行。 球面上大圆的切向量场沿着大圆平行。 沿着球面的赤道平行。 另外常向量场 (0, 0,1) 沿着球面的赤道平行。
第二章 曲面：局部理论
例3 单位球面 x (u , v) = (sin u cos v,sin u sin v, cos u ) 上纬线圆 u = u0 (u0 ≠ 0, π ) ，考虑向量 X 0 = xv 从点 P (u = u0 , v = 0)出发沿着纬线逆时针的平行移动。 出发沿着纬线逆时针的平行移动。
dθ de1 + ⋅ e2 计算测地曲率得到 κ g = κ N ⋅ (n× T ) = ds ds de1 1 v du v dv ⋅ e2 = (Γ uu + Γ uv ) 其中 ds ds ds EG 1 − Ev du Gu dv = + ( ). EG 2 ds 2 ds
第二章 曲面：局部理论
第二章 曲面：局部理论
平面中“直线”在曲面的推广－－“测地线” 平面中“直线”在曲面的推广－－“测地线”。 －－ 曲面上两点之间的最短连线是什么？ 曲面上两点之间的最短连线是什么？ 定义 曲面 M 上一条非常值参数曲线 α : I → M 称为测地线 geodesic） 测地线（ 称为测地线（geodesic），如果切向量场 α ′(t ) 平行， 沿 α 平行，即
命题 假设 W 和 V 是沿 α (t ) : I → M 的两个平 行向量场， 为常数。 行向量场，则内积 W (α (t )) ⋅ V (α (t )) 为常数。 平行移动保持向量的长度和夹角。 推论 平行移动保持向量的长度和夹角。 证明： 平行， 证明：向量场 W 沿 α 平行，则 Dα ′(t )W 与 n 平行， 平行，则 W ′(α (t )) ⋅ V (α (t )) = Dα ′(t )W ⋅ V (α (t )) = 0. 同理 W (α (t )) ⋅ V ′(α (t )) = 0. d W (α (t )) ⋅ V (α (t )) = 0 ⇒ W (α (t )) ⋅V (α (t )) = co nst. dt
第二章 曲面：局部理论
于是我们可以考虑对曲面上的切向量场 W 求关 的方向导数： 于切向量 V ∈ TP M 的方向导数： 选取曲面上的一条参数曲线 α : ( −ε , ε ) → M 满足 则
α (0) = P , α ′(0) = V ,
DV W = (W o α )′(0).
注意:曲面上“居民”只看得到上述向量在曲面 注意:曲面上“居民” 切平面的投影！ 切平面的投影！
dθ 1 ∂ ln E 1 ∂ ln G κg = − cos θ + sin θ . ds 2 G ∂v 2 E ∂u
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证明： 证明： u −曲线和 v −曲线的单位切向量为 1 1 e1 = xu , e2 = xv . E G
du dv 曲线 α 的切向量 T = E e1 + G e2 , ds ds 夹角 θ 满足
第二章 曲面：局部理论
命题 设 α :[0,1] → M 是曲面 M 上一条参数曲 线，且 α (0) = P ，切向量W0 ∈ TP M 。则沿着 α 存在唯一的平行向量场 W 使得 W ( P ) = W0 。 证明：不妨设曲线 α 包含在某个参数表示 证明：
x(u, v) : U → M 中，有 α (t ) = α (u (t ), v(t )) 。进一步假设
W (α (t )) = a (t ) xu (u (t ), v(t )) + b(t ) xv (u (t ), v(t ))
第二章 曲面：局部理论
由于 α ′(t ) = u ′(t ) xu + v′(t ) xv ，我们计算
∇α ′( t )W = ((W o α )′(t ))T = ( d (a (t ) xu + b(t ) xv ))T dt d d ′(t ) xu + b′(t ) xv + a(t )( xu )T + b(t )( xv )T =a dt dt = a′(t ) xu + b′(t ) xv + a(t )(u′(t ) xuu + v′(t ) xuv )T + b(t )(u′(t ) xvu + v′(t ) xvv )T
由微分方程解的存在唯一性定理， 由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了 a (0), b(0) ，使得 W0 = a (0) xu + b(0) xv ， 我们就得到唯一的平行向量场 W 满足 W ( P ) = W0 。