排列组合中涂色问题复习过程
8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)
排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。
根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=种。
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：㈠②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种；㈡③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种； ㈢②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A 种；㈣③与⑤同色、②与④同色，则有44A 种； ㈤②与④同色、③与⑥同色，则有44A 种。
根据分类计数原理得涂色方法总数为445120A =。
例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。
现有4解析：依题意至少要用3种颜色。
①若用3种颜色，区域2与4必须同色， 区域3与5必须同色，故有34A 种；②若用4种颜色，则区域2与4同色，区域3与5不同色，有44A 种；或区域3与5同色，区域2与不同色，有4种。
共有4种。
根据分类计数原理得满足题意的着色方法共有3444272A A +=。
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。
从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。
例4、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解析：可把问题分为三类：①四格涂不同的颜色，有34A 种；②有且仅有两个区域颜色相同，即只有 一组对角小方格涂相同的颜色。
【排列组合】高中数学中涂色问题的“一带一路”模型
涂色问题的“一带一路”模型例题用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：按照A→B→C→D的顺序进行涂色N=6×5×5×5=750(种)变式1 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，若两端的格子颜色相同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：按照A→D→B→C的顺序进行涂色N=6×1×5×4=120(种)变式2 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：法一：直接法按照A→B→C→D的顺序进行涂色，对C按照CA同色(1×5)、CA异色(4×4)进行分类，则N=6×5×(1×5+4×4)= 630(种)法二：间接法由例题知在没有其它限制条件下共有750种涂法，由变式1知其中两端颜色相同的涂法有120种. 故两端格子异色的涂法为：N=750－120=630(种)变式3 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且最多使用3种颜色，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：由分析知：完成涂色需要用的颜色数可能为2种、3种、4种，而本题中要求“最多使用3种颜色”，故对颜色数进行分类，再按照A→B→C→D的顺序涂色.①2种颜色: 当A、B涂完色后C、D颜色已经确定了，故n1=6×5×1×1=30；②3种颜色: 对C按照CA同色(1×4)、CA异色(4×2)进行分类，则n2=6×5×(1×4+4×2)= 360(种).∴N= n1+ n2=30+360= 390(种)变式4 从6种不同的颜色中选出4种给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：法一：直接法(简单快捷)按照A→B→C→D的顺序涂色，N=6×5×4×3=360(种)法二：间接法(繁琐易错)按所用的颜色数进行分类如下：①2种颜色：n1=6×5×1×1=30；②3种颜色：n2=6×5×(1×4+4×2)=360；③4种颜色：n3=6×5×4×3=360.故N=30+360+360=750(种)【思考】用6种不同的颜色给图中的5个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.N=6×5×5×5×5= 3750(种)【总结】：用m种不同的颜色给如图n个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有m(m−1)n−1种.练习现要安排一份5天的值班表，每天由1人值班，共有5人. 每人值班的天数不限，但相邻两天不能由同一人值班，则该值班表共有多少种不同的排法？模型转化：将5种颜色涂在5个格子中，每个格子涂一种颜色，相邻的格子颜色不同，则不同的涂色方法共有多少种？N=5×4×4×4×4=1280(种)。
排列组合中的涂色问题(二)
变式2 如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块．现有4种不同的花供 选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法 总数为________种.
按A—B—C—D的顺序进行涂色，对A、B涂色，有4×3=12种. 由于C的颜色可能与A同色或异色，这影响到D的颜色的选取方 法数，故分类讨论： ①C与A同色时，D应与A(C)不同色，有3种选择，即有1×3=3种涂色方法； ②C与A异色时，C有2种选择颜色，D也有2种颜色可供选择，即有2×2=4种 涂色方法. 因此，对C、D有1×3+2×2=7种涂色方法。 从而对如图5个区域总的涂色方法有12×7=84种.
思考题 将一个四棱锥P-ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱 的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总 数是多少？
排列组合中的涂色问题排列组合中的涂色问题二二鹏哥讲数学例题如图花坛内有5个花池有5种不同颜色的花卉可供栽种每个花池内只能栽种相同颜色的花卉相邻两池的花卉颜色不同求最多有多少种栽种方案
排列组合中的涂色问题(二)
鹏哥讲数学
例题 如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个 花池内只能栽种相同颜色的花卉，相邻两池的花卉颜色不同，求最多 有多少种栽种方案．
变式1 如下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求 相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方 法共有________种．
按S—A—B—C—D的顺序进行涂色，对S、A、B涂色，有4×3×2=24种.由于 C的颜色可能与A同色或异色，这影响到D的颜色的选取方法数，故分类讨论：
①C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)、S不 同色，有2种选择，即有1×2=2种涂色方法； ②C与A异色时，C有1种选择颜色，D也只有1 种颜色可供选择， 即有1×1=1种涂色方法. 因此，对C、D有1×2+1×1=3种涂色方法。 从而对如图5个区域总的涂色方法有24×3=72种.
妙解排列组合里的涂色问题
㊀㊀㊀妙解排列组合里的涂色问题◉江苏省江安高级中学㊀肖雄伟摘要:排列组合的问题在考查学生能力方面有显著的作用,因此在高考题中能经常见到,尤其涂色类型的问题．因为涂色类型的题目对学生的思维有一定的要求,很多同学不能顺利地解答这种类型的问题．基于此,对排列组合里面的涂色问题进行一个深入的分析,总结阐述一些答题方法,希望对学习排列组合知识有困难的同学提供一些思考的方向和解题的思路．关键词:排列组合;涂色;解题技巧１一分步,二分类对于某些不复杂的涂色问题,使用分步计数原理处理会更加简便．如果题目所给的条件比较多的时候,此时就应该以题目的已知条件为依据,把分步计数原理和分类计数原理结合起来进行求解．在实际情况中,要牢记优先处理有特殊要求的色块．解题步骤为首先处理特殊的色块,再依据实际情况,如果附加要求多,那就先使用分步计数原理,再使用分类计数原理解答;如果是不难的涂色问题,就可以直接运用分步计数原理解题．图１例题１㊀假设中国的某一个省由５个市区组成,这个省的市区分布如图１所示,现给地图上色,要求相邻区域使用的颜色不能相同,现有４种颜色可供选择,那么不同的上色方法一共有㊀㊀㊀㊀种．分析:这个题目与很多题目都有相似的地方,但是图形是有变化的,因此就需要学生有较强的观察能力和分析能力．分析发现,市区１与其他市区不一样,它跟另外的四个市区都是相邻的,被其他四个市区包围着．因此在解答题目的时候,需要优先考虑分步计数的方法,即首先将市区１涂上颜色,那么市区１就有４种选择方法,再利用分类计数的方法,当市区２和市区４的颜色一样的时候,就有３种上色方法,那么总的上色方法就有４ˑ３ˑ２ˑ２＝４８种;当市区２和市区４的颜色不一样的时候,优先给市区２上色的方法有３种,此时市区４就有两种上色方法,那么市区３和市区５就只有一种上色方法,因此此时上色的总方法数为:４ˑ３ˑ２ˑ１ˑ１＝２４种．所以,一共有２４＋４８＝７２种上色方法．图２推广１㊀如图２,用４种不同颜色给图中A ,B ,C ,D ,E ,F 六个点涂色,要求每个点都要涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法有㊀㊀㊀㊀种．分析:分析已知条件要求,要求每个点都要涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,看似问题较为复杂,无从下手．结合图形解读问题要求,可以发现需要涂色的６个点可以分为上下两部分,即A ,D ,E 为一组,剩下的点B ,C ,F 为另一组．解答该问题可先使用分步法,后使用分类法．首先第一步涂色A ,D ,E ,即A ３４种方法;第二步分别涂色B ,C ,F ,即２ˑ４＋１ˑ３种方法．此时涂色方法总数为A ３４(２ˑ４＋１ˑ３)＝２６４种,所以一共有２６４种涂色方法．２一分类,二分步对于某些较为复杂繁琐的涂色问题,就需要首先以使用颜色的种类为依据进行分类,特别是不同的题目对于要求使用颜色的种类也不一样．当题目中出现要求三种颜色时就需要进行分类计数,如果没有出现最多使用三种颜色的要求,那么问题就更复杂了,还需要做深入的思考和处理,分类计数原理是处理此类复杂问题的首要方法．即解题步骤为首先分析题目要求的用色的种类,要求有最多使用三种颜色的就可以进行分类,如果没有最多三种颜色这个条件的要求,那么需要再思索．一般来说,中学阶段出现后面这种情况的题型很少．㊀图３例题２㊀幼儿园老师让班上的小朋友给图３中的四个格子涂色,其中要求:有６种不同的颜色可以使用,每一个格子一次只能涂一种颜色,一次使用的颜色最多只有三种且每两个相邻的格子颜色不能一样．那么不一样的涂色方式有㊀㊀㊀㊀种．分析:分析题目信息可以知道,此题与例题１有共同的特点,就是结合使用分步和分类的方法来解题,但它明显比例题１复杂得多．因此对于此题应该首先以使用颜色的种类为依据来进行分类,这样就会简便许多,出错的几率也会相应减小．分类方式有两种:３８２０２２年５月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀第一种就是使用２种颜色涂,就有C １３A ２２＝３０种;第二种就是使用三种颜色上色,选颜色的方法就有C ３６＝２０种,选出３种颜色以后就在格子上上色的方法有C １３(２＋２＋２)＝１８种．根据分步计数原理就有:１８ˑC ３６＝３６０种．因此,一共有３０＋３６０＝３９０种上色方法．图４推广２㊀在一个正六边形的六个区域内栽种观赏植物,如图４,要求同一块区域内栽种同一种植物,相邻的两块区域种植不同的植物,现有４种不同的植物可供选择,则有㊀㊀㊀㊀种种植方案．分析:对问题所给条件分析,不难发现解答该问题需要使用分类计数原理和分步计数原理．以种植植物的种类个数为依据计算,进而求解具体种植方案仍具有一定难度．应考虑局部分类法,即以不相邻区域的种植植物种类个数为分类依据,进一步计算种植方案．则该问题可以分为三类情况:①区域A ,C ,E 种植同一种植物,剩下区域B ,D ,F 分别各有３种选择,即C １４ˑ３ˑ３ˑ３＝１０８种方案;②区域A ,C ,E 一共种植２种植物,剩下区域B ,D ,F 有３ˑ２ˑ２种选择,即C ２４C １３C １２ˑ３ˑ２ˑ２＝４３２种方案;③区域A ,C ,E 一共种植３种植物,剩下区域B ,D ,F 有２ˑ２ˑ２种选择,即A ３４ˑ２ˑ２ˑ２＝１９２种方案．所以,一共有种植方案１０８＋４３２＋１９２＝７３２种．３一平面,二空间对于一些很难掌握的点线面需要涂色的立体图形,由于相邻的地方比较多,因此就需要先把立体问题转化成为平面上的问题,然后再以使用颜色的种类为依据进行分类解答．即解题步骤为首先将立体图形转化成为平面图形,再根据题目情况分类,具体的分类情况由实际题目的要求决定,分类依据还是以使用的颜色种类为依据,分别进行讨论求解,最后所有情况相加就是需要求的总的情况数．例题３㊀已知有一个四棱锥P ＧA B C D ,如图５所示,使用４种不同的颜色在四棱锥的每个面上上色,要求相邻的区域颜色不同,一共有多少种涂法?图５㊀㊀图６分析:分析可知,此题需要将立体图形转化成平面图形,在平面区域中涂色．如图６所示,区域１,２,３,４等价于四棱锥的侧面,区域５等价于底面．下面就以使用的颜色的种类来分类:(１)使用３种颜色时:也就是区域１和３颜色一样㊁区域２和４颜色一样,那么就有A ３４种;(２)使用４种颜色时,那么根据要求区域１和３㊁区域２和４这两组里面只会有一组颜色一样,那么就有C １２A ４４种．因此,满足题目要求的上色方法一共有A ３４＋C １２A ４４＝７２种．推广３㊀用６种不同颜色给三棱柱A B C ＧD E F 的面涂色,如图７所示,要求有公共棱的平面涂色不相同,则有多少种涂色方法?图７㊀㊀图８分析:根据例题３可知,几何体有关于平面的涂色问题,解答时通常转化为平面图形进行求解．则该问题的求解思路与之类似,即将图７的三棱柱A B C ＧD E F 转变为图８的平面图形,以涂色颜色的种类为依据分类进行求解,其中图７中三棱柱的底面D E F 也需要涂色．由已知条件可知,至少需要上４种颜色,具体的解题过程为:使用４种颜色,即上下底面同一个颜色,则有A ３６C １３＝３６０种方法;使用５种颜色,即上下底面不同颜色,则有A ３６A ２３＝７２０种方法．因此,满足题目要求的上色方法一共有A ３６C １３＋A ３６A ２３＝１０８０种方法．涂色方法计数问题是目前排列组合问题的重难点,要学会正确的解答思路．解决此类问题的策略,首先要分析题目,然后再根据题目选择合适的解题方法,正确使用分类和分步计数原理．对于排列组合的基础知识也需要掌握牢固,避免出现基础性的错误．参考文献:[１]杨瑞强． 涂色型 排列组合问题的求解策略[J ]．初中数学教与学,２００８(４):１９Ｇ２０．[２]王东侠．例谈高考数学中 涂色 问题的处理技巧[J ]．河北理科教学研究,２０１２(３):４４Ｇ４５．[３]周建学．巧用捆绑法解 涂色 题[J ]．中学生数学(高中版),２００４(２３):１．Z４８复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年５月上半月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
简单的计数问题排列组合中的涂色问题
D1 A1
C1 B1
D A
C B
五、检测练习
5.现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要
求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方
法共有
A.24种
√ B.30种 C.36种 D.48种
解析 将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1 与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况.故不同的 着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.故选D.
新课引入
用红、黄、蓝、黑四种颜色涂下面三个图形，求下列 各种涂色方法数：
(1)若每种图形涂一种颜色，共有多少种涂法？ （2）若每种图形涂一种颜色,颜色不能重复，共 有多少种涂法？ （3）若每种图形涂一种颜色,相邻图形不同色， 共有多少种涂法？
一、按区域分步涂色计数法
例1：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
变式思考：
若将3种颜色变为4种颜色， 按上述要求涂色,结果又怎 样呢？
答:它们的涂色方案种数是 4×3×2×2 = 48种。
跟踪练习 1：如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜
色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不
同颜色,则不同涂色方法种数为( A )
A. 180
B. 160
四、空间区域涂色问题
例4：将一个四棱锥的每个面染上一种颜色，并且使相邻 两个面异色，若只有四种颜色可供选用，则不同的染色 方案有多少种？
S
D A
CHale Waihona Puke B解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域 1、2、3、4 相当于四个侧面，区域 5 相当于 底面；根据共用颜色多少分类：
高中数学《排列组合染色问题》典例讲解
排列组合染色问题的探究上饶县二中 徐 凯在任教高二数学教学时，有许多同学被排列组合题的灵活性所困惑，甚至有学生向我询问有没有公式之类的解决途径，每道题都去分析似乎很累。
其实就某些特殊的排列组合问题是可以抽象出数学模型来加以研究的，比如说下面我们所要提到的染色问题。
一、一个结论。
若把一个圆（除中间同心圆外的圆环部分）分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 那么共有S)1()1()1(--+-=m m n n 种染色方法。
例：在一个圆形花坛种颜色花卉，现有4种颜色可供选择，要求相邻两个区域不同色，则共有多少种方法？解：从图中可以发现除同心圆部分外的圆环部分被分成了n=5份，因为有4种颜色可供选择，我们先给同心圆①染色有4种方法，那么圆环部分有3种颜色可供选择，即m=3,所以圆环部分共有S=()30232)13()1(1355=-=--+-种染色方法，从而整个圆形花坛共有120304=⨯种染色方法。
用常规方法同学们是否也能做到那么快和准确呢？二、结论的证明。
把圆(除中间同心圆部分)分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻。
部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 求不同的染色方法总数。
(1) 当m = 2时, n 为偶数时有2种栽种法,n 为奇数时无解。
(2) 当m > 2时设把圆分成的n 部分为n n T T T T T 、、、、1321...-。
开始时,1T 有m 种不同的染色法;1T 染好后, 2T 有m - 1 种染色法;21T T 、染好后,3T 也有m - 1种染色法; 这样依次下去, 染色的方法总数为1)1(--n m m 。
但是在这些染色方法中, 包括1-n T 与n T 染同种颜色的情况,若某种染色法使1-n T 与n T 同色, 拆去1-n T 与n T 的边界后, 就是分圆为n-1部分, 相邻部分染不同颜色的方法。
排列组合中的涂色问题1
4.根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色， 要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色， 现有4种不同的颜色可有多少种方法？
• 二、点的涂色问题 方法：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，
（2）根据相对顶点是否同色分类讨论， （3）将空间问题平面化，转化成区域涂色
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有 A44
（4）③与⑤同色、②与④同色，则有 A44
（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 A44
所以根据加法原理得涂色方法总数为
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个 行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同颜色讨论，分别计算出各种出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域， 且相邻两个区域不能同色
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44 （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44
排列组合中涂色问题
一、区域涂色问题
1.根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理 染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的 各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不 同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法， 接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此 ④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
问题。
四、面涂色问题 例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6
排列组合中涂色问题的常见方法及策略
排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，① ②③ ④ ⑤ ⑥2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
排列组合中涂色问题的常见方法和策略
排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有3A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
巧用数学中的排列和组合知识求解涂色问题
色， 要求 相邻 ２个 区域 涂 不 能 同色 ， 如 果 颜 色 可 以 反 复使 用 ， 共有 多少 种不 同 的涂色 方法 ？ ， 解析 ① ４个 区域 涂不 同的颜 色 ， 涂法 种 数为 Ａ ； ② 有 且仅 ２ 个 区域 相 同的颜 色 ， 即只有 一 组
例 ５ 从 给定 的 ５种 不 同颜 色 中选 用 若 干 种 颜
选 一种颜 色涂 顶 点 Ｓ， 再 从 余 下 的 ３种颜 色 中任 选 ２ 种 涂 Ａ 与 Ｂ， 由于 Ａ、 Ｂ颜 色 可 以交 换 ， 故 有 Ａ；种 涂 法； 再 从余 下 的 ２种 颜 色 中任 选 一种 涂 Ｄ 或 Ｃ， 而 Ｄ 与 Ｃ 中另 一 个 只需 涂 与 其 相 对 顶 点 同色 即可 ， 故 有
棱 中 有 １组 对 棱 涂 同 一 种 颜 色 ， 故有 Ｃ Ａ； 种方 法 ． 故 所 求 涂 色 方 法 数 为
Ｃｉ Ａ ＋Ｃ Ａ； ＋ Ａ： 一３ ３ ６ ０ 种． ３ ）空 间 几 何 体 中 面 的 涂 色 问题
，
例 ２ 用红 、 黄、 蓝、 紫、 粉
５种 颜 色 涂 在 如 右 图 所 示 的 ４ 个 区域 内 ， 每 个 区 域 涂 一 种 颜
嗍 ．数为 ： ２ ４ 十４ ８ ＝ ＝ ＝ ７ ２ 种．
２ ）空 间 几 何 体 中 线 段 的 涂 色 问 题
例 １ 湖 北 省分 别 与湖 南 、 安徽 、 陕西 ３省交 界 ，
且湘 、 皖、 陕互 不交界 ， 在 地 图 上 分 别 给 各 省 地 域 涂
２ 空 间 几 何 体 中 的 涂 色 问 题
１ ）空 间 几 何 体 中 点 的 涂 色 问 题
轰
限制条 件 ；③ 通 常应 用分 步乘 法和 加法 原理 求解．
有关重复的排列组合和涂色问题讲义(精品文档)_共6页
有关重复的排列组合问题我们常见的排列、组合问题，其中的元素通常是不可重复的，下面我们看几类可重复的排列、组合问题。
一. 有重复排列–––分步计数原理例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？二. 不尽相异元素的排列–––组合法例2. 小麦、大麦品种各1种，种在5种不同土质的试验田里，3块种小麦，2块种大麦，有多少种种法？三. 相同元素分组––––隔板法例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里，每盒至少有1个，共有多少种放法？例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里（盒子可空），共有多少种放法？相关练习：1.某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，每班至少1人，不同的分配方案有几种？2. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，不同的分配方案有几种？四. 平均分组问题––––平均分给几组，除以几的阶乘例5. 将6个同学平均分成3组有多少种分法？排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题技巧性强且灵活多变，故这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与解决问题的能力，高考试卷中时有出现,一般是选择题或填空题的最后一题,有一定的难度。
例1如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．例2）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种.例3将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如S ABCD 果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.6个区域，且相邻两个区域不能同色,则不同的着色方法共有______种.2.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色.要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种(用数字作答).3. 用六种颜色给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点A BCD 的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？4.从0，2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )(A)24(B)18 (C)12 (D)65.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）(A)60种(B)63种 (C)65种 (D)66种.6.两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）(A)10种 (B)15种 (C)20种 (D)30种7.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）(A)12种 (B)10种 (C)9种 (D)8种8.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为()（A ）232 (B)252 (C)472 (D)4849.（2012·湖北高考理科·Ｔ13）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n ＋1（n ∈N+）位回文数有______个.①②2③④⑤⑥。
排列组合中涂色问题1
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
排列组合中染色问题(精华版)
练习2:(05全国卷Ⅱ)在由数字0，1，2，3，4，5所
组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数
共有
个.
简单的着色问题
例 3 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂
上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但
相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为
( A)
A. 180
B. 160
C. 96
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44 （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有 A44
（4）③与⑤同色、②与④同色，则有 A44
（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 A44
所以根据加法原理得涂色方法总数为
例8、（全国高考题）如图所示，一个地区分为5个 行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供；涂 4 色：C12 A54 240 ；
涂
5
色：
A55
120 ，∴共有 60
240
120
420
图7
种
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例7、（江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域， 且相邻两个区域不能同色
排列组合典型例题
排队”，“染色”问题
典例回顾:
例1. 4男3女坐成一排, 1).共有多少种排法? 2).某人必须在中间,有多少种排法? 3).某二人只能在两端,有多少种排法? 4).某人不在中间和两端,有多少种排法? 5).甲乙必相邻,有多少种排法? 6)甲乙不相邻,有多少种排法? 7).甲乙两人间必相隔一人,有多少种排法? 8)4男必相邻,有多少种排法? 9)4男相邻,3女也相邻,有多少种排法? 10)3女不相邻,有多少种排法? 11)4男不相邻,有多少种排法? 12)4男不在两端有多少种排法? 13)甲在乙的左边有多少种排法? 14)4男不等高,按高矮顺序排列,有多少种排法? 解题回顾:本题是处理排队问题的经典类型,从中体会不同的限制 条件下的求解方法.
2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解【典型例题】例1．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36B．48C．54D．72【答案】D【解析】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即48种方案；43212区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即24种方案；43211所以符合条件的涂色方案共有72种，故选：D．例2．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480 B．720 C．1080 D．1200【答案】D【解析】先给O涂色，有15C种方法，接着给A涂色，有14C种方法，接着给B涂色，有13C 种方法，①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，最后E有2种涂色方法；②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法．综上，涂色方法总数为15C 14C []13C 1322(1322)1200⨯⨯+⨯⨯+⨯=故选：D例3．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥V ABCD −的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）A ．72种B ．36种C ．12种D ．60种 【答案】A【解析】如下表。
高中数学课件6-2排列组合之专题二：涂色问题
课堂小结
1.环状涂色问题涂法总数公式: an (1)n (m 1) (m 1)n (n≥2，m≥3)
探究新知
问题：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少 种？
解: 按地图A, B, C, D四个区域依次分四步完成: 第一步,m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步,m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,
(其中 n为不同区域数, m为不同颜色数)
2.用 m 不同颜色涂 n 棱锥的顶点涂法总数公式: an m[(1)n (m 2) (m 2)n ] (n≥3，m≥4)
解: 因为 n=6, m=5, 由公式得
an (1)n (m 1) (m 1)n
(1)6 (5 1) (5 1)6
4 46 = 4100
A
F
B
E PC D
巩固练习
1.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要 求公共边的两块不能用同一种颜色，共有____2_6_0____种不同着色 方法 .
2.(2008年全国)如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现
有 4种不同的花供选种，要在每块花坛里种一种花，且相邻的两
块 种不同的花，则不同的种法总数为( B )
A.96
B.84
C.60
D.48
A
D
B
C
典例分析
例2 (2003年高考题)如图，一个地区分为5个行政区域，现
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列组合中涂色问题解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与42) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2 24=72①②③④⑤ ⑥仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢43、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？分析：可把问题分为三类：（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为45A ； （2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为12542C A ；5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A ，因此，所求的涂法种数为212255452260A C A A ++= 4、根据相间区使用颜色的种类分类例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，现有4种不同的颜色可1A 解（1）当相间区域A 、颜色时，有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4333108⨯⨯⨯= 种方法。
（2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F 有322⨯⨯种着色方法，故共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种着色方法。
（3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法。
此时共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、解：设分成n 个扇形时染色方法为n a 种（1） 当n=2时1A 、2A 有24A =12种，即2a =12（2） 当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与3A 不同色，，1n A -与n A 不同色，共有143n -⨯种染色方法， 但由于n A 与1A 邻，所以应排除n A 与1A 同色的情形；n A 与1A 同色时，可把n A 、 1A 看成一个扇形，与前仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢62n -个扇形加在一起为1n -个扇形，此时有1n a -种染色法，故有如下递推关系：1143n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯21321234343434343n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3](1)33n n n nn--==⨯-++-⨯=-⨯+二、点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有125460C A =种方法。
（2） 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A、B颜色可以交换，故有24A种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C=种方法。
（3）若恰用五种颜色染色，有55120A=种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有54360⨯⨯=种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有13227⨯+⨯=种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是607420⨯=对这五个区域用5解答略。
三、线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：1)根据共用了多少颜色分类讨论仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢72)根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解法一：（1）使用四颜色共有44A种（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有112423C C A种，（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有24A种因此，所求的染色方法数为411224423484A C C A A++=种解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有4312⨯=种涂色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选择CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有13227⨯+⨯=种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为12784⨯=种仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9例8、用六种颜色给正四面体A BCD -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？ 解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同， 故有36A 种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有3466C A 种方法。
（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1536C A 种方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有66A 种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为4080665613462336=+++A A C A C A 种。
四、 面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论 解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理30!351=⨯=n（2）共用五种颜色，选定五种颜色有656=C 种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）9035562=⨯⨯=C n(3)共用四种颜色,仿上分析可得9024463==C C n(4)共用三种颜色,20364==C n 例10、四棱锥P ABCD -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类： B C精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 （1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有34A 种；（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有1424C A ； 故满足题意总的涂色方法总方法交总数为31442472A C A +=。