02 - 复变函数的积分

数学物理方法
2010-3-25
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Cauchy 定理
Cauchy定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系, 与涉及的区域有关. 区别如下两种区域 . 单通区域: 在区域内作任何简单的闭合围线, 围线内的点都是该区域内的 . 点. . .. . . 复通区域: 在区域内存在简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点.
根据C-R条件, 右端两个积分中的被积函数均为0, 故有 ∮ f(z)dz = 0.
l
推广: 如果函数f(z)在单通区域B上解析, 在闭单通区域B上连续, 则 沿B上任一分段光滑闭合曲线l(也可以是B的边界), 有 ∮ f(z)dz = 0.
l
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l l
.
∮ (udx − vdy) + i
∮ (vdx + udy),
l
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Cauchy 定理
将回路积分化成面积分, 有 ( ) ∮ ∂v ∂u f(z)dz = − + dxdy + i ∂y l S ∂x
(
S
) ∂u ∂v − dxdy. ∂x ∂y
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.
.
(a) 单通区域
(b) 复通区域
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Cauchy 定理
. Theorem 2.1 (单通区域Cauchy定理) .. 如果函数f(z)在闭单通区域B上解析, 则沿B上任一分段光滑闭合曲线l(也可以 是B的边界), 有 ∮ f(z)dz = 0. (2.3) l . .. . .
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学习要求
. 理解复变函数积分的概念; 了解复变函数积分的基本性质, 掌握计算复变 . .
1
函数积分的一般方法.
. . 掌握Cauchy积分公式和高阶导数公式; 了解解析函数具有无穷可微性. . . . 掌握综合利用上述定理和公式计算积分的方法. . .
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复变函数的积分
. .. 试计算积分
Example 1.1
∫ I1 =
l1
. ∫ Rezdz, I2 =
l2
Rezdz, .
l 1 , l2 分别如下图所示. 两条路径的起点和终点相同, 均自z = 0至z = 1 + i. . .. . y . l2 .
根据C-R条件, 右端两个积分中的被积函数均为0, 故有 ∮ f(z)dz = 0.
l
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Cauchy 定理
将回路积分化成面积分, 有 ( ) ∮ ∂v ∂u f(z)dz = − + dxdy + i ∂y l S ∂x
(
S
) ∂u ∂v − dxdy. ∂x ∂y
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Cauchy 定理
. Theorem 2.1 (单通区域Cauchy定理) .. 如果函数f(z)在闭单通区域B上解析, 则沿B上任一分段光滑闭合曲线l(也可以 是B的边界), 有 ∮ f(z)dz = 0. (2.3) l . .. . 证: 由于f(z)在B上解析, 因而 ∂u , ∂u , ∂v , ∂v 在B上连续. 在此条件下可应 ∂x ∂y ∂x ∂y 用Green公式 ( ) ∮ ∂Q ∂P Pdx + Qdy = − dxdy. (2.4) ∂y l S ∂x 于是 ∮ f(z)dz =
x . . l 1 . 1 显然, 复变函数的积分依赖于: 被积函数, 端点位置, 积分路径.
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. 复变函数的积分 . .1 . Cauchy 定理 . .2 . 不定积分 . .3 . Cauchy 公式 . .4
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. 理解单通区域Cauchy定理, 复通区域Cauchy定理. 2 .
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说明
复变积分是研究解析函数的一个重要工具. 解析函数的许多看起来 与积分无关的性质, 例如: ”解析函数的导数连续” 及 ”解析函数的 各阶导数存在”, 都要用复变积分来证明. 本章建立的Cauchy积分定理及Cauchy积分公式非常重要, 是复变函 数的理论基础.
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. 复变函数的积分 . .1 . Cauchy 定理 . .2 . 不定积分 . .3 . Cauchy 公式 . .4
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复变函数的积分
设在复数平面C的某分段光滑曲线l上定义了连续函数f(z). 把曲线l任意分 成n段, 分点分别为z0 = A, z1 , z2 , · · · , zn = B. ζk 是[zk−1 , zk ]段上的任意一 点, 作和 n n ∑ ∑ f(ζk )(zk − zk−1 ) = f(ζk )△zk .
l2 D′ C′
其中沿同一割线两边缘上的积分值相互抵消, 于是有 ∮ ∮ ∮ f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz + · · · = 0.
l l1 l2
即得(2.5).
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Cauchy 定理
∮ f(z)dz =
l
n ∑ k=1 lk
.
. ..
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. 复变函数的积分 . .1 . Cauchy 定理 . .2 . 不定积分 . .3 . Cauchy 公式 . .4
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原函数
. Definition 3.1 . .. 由于在单通区域中解析函数的积分与路径无关, 如固定起点z0 , 而令终点z为变 点, 则作为积分上限的函数 ∫ z F(z) = f(ζ )dζ, (3.7)
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Cauchy 定理
Cauchy定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系, 与涉及的区域有关. 区别如下两种区域 . 单通区域: 在区域内作任何简单的闭合围线, 围线内的点都是该区域内的 . 点. . .. . . 复通区域: 在区域内存在简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点.
k=1 k=1
y .
B, zn . ζk . zk−1 . zk .
若当n → ∞, 使得max |△zk | → 0时, 此和数的极限 存在, 且与ζk 的选取无关, 则称此极限值为f(z)沿 ∫ 曲线l的路积分, 记作 l f(z)dz, 即 ∫ f(z)dz = lim
l n→∞ n ∑ k=1 k
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Cauchy 定理
证: 考虑图中以l1 , l2 , · · · , ln 为境界的复通区域 (图中只画出 l, l1 , l2 ), 作 适当的割线连接内外境界线, 原来的复通区域变成了以ABl1 , B′ A′ , l的A′ C段, CDl2 D′ C′ , l的C′ A段为境界线的单通区域, 而在此单通区域上f(z)是解析的. 根据单通区域Cauchy定理 ∮ ∫ ∮ ∫ ∫ f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz l AB l B′ A′ CD ∮1 ∫ + f(z)dz + f(z)dz + · · · = 0
f(z)dz
(2.6)
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Cauchy 定理
. ..
∮ f(z)dz =
l
n ∑ k=1 lk
f(z)dz
(2.6)
Cauchy 定理总结
闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零; 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零; 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线 逆时针方向积分之和; ∫ 如函数f(z)在单通区域B上解析, 则沿B上任一路径l的积分 l f(z)dz的值只跟 起点和终点有关, 而与路径无关. .
l l
(1.2)
复变函数积分的性质: ∫ ∫ af(z)dz = a l f(z)dz, 其中a为常数; l ∫ ∫ ∫ ∫ f(z)dz = l f(z)dz + l f(z)dz + · · · l f(z)dz, 其中 l = l1 + l2 + · · · + ln ; l 1 2 n ∫ ∫ − f(z)dz = − l f(z)dz, 其中l 表示l的逆向; l− ∫ ∫ ∫ ∫ [ f ( z ) + f ( z ) + · · · + f ( z )] d z = f ( z ) d z + f ( z ) d z + · · · + f (z)dz; 1 2 n 1 2 l l l l n ∫ | l f(z)dz| ≤ ML, 其中M为|f(z)|在l上的上界, L为l的长度; ∫ ∫ | l f(z)dz| ≤ l |f(z)||dz|.
i . l2 . O. .
1+i . l1 .
l1 .
1 .
x .
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复变函数的积分
. .. 试计算积分
Example 1.1
∫ I1 =
l1
. ∫ Rezdz, I2 =
l2
Rezdz, .
l 1 , l2 分别如下图所示. 两条路径的起点和终点相同, 均自z = 0至z = 1 + i. . .. . y . 解: i . l2 . O. . l1 . l2 . 1+i . l1 . x . 利用(1.2)易得: ∫ 1 ∫ 1 1 I1 = xdx + idy = + i; 2 0 0 ∫ 1 ∫ 1 1 0 · idy + xdx = . I2 = 2 0 0
f(ζk )(zk − zk−1 ).
(1.1)
. , z0 A O. .
x .
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复变函数的积分
一个复变函数积分实际上是两个实变函数线积分的有序组合 ∫ ∫ f(z)dz = (u + iv)d(x + iy) l l ∫ ∫ = (udx − vdy) + i (vdx + udy).
.
. ..
第二章 复变函数的积分 Complex Integration
.
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齐 海 涛
htqi2008@gmail.com 2010-3-25
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目录
. 复变函数的积分 . .1 . Cauchy 定理 . .2 . 不定积分 . .3 . Cauchy 公式 . .4
1 .
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复变函数的积分
. .. 试计算积分
Example 1.1
∫ I1 =
l1
. ∫ Rezdz, I2 =
l2
Rezdz, .
l 1 , l2 分别如下图所示. 两条路径的起点和终点相同, 均自z = 0至z = 1 + i. . .. . y . 解: i . l2 . O. . l2 . 1+i . l1 . 利用(1.2)易得: ∫ 1 ∫ 1 1 I1 = xdx + idy = + i; 2 0 0 ∫ 1 ∫ 1 1 0 · idy + xdx = . I2 = 2 0 0
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Cauchy 定理
. .. 如果函数f(z)是闭复通区域上的单值解析函数, 则 ∮ f(z)dz +
l n ∮ ∑ k=1 lk
Theorem 2.2 (复通区域Cauchy定理)
.
f(z)dz = 0,
(2.5)
式中l为区域外境界线, 诸lk 为区域内境界线, 积分均沿境界线的正方向进行. . .. .
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Cauchy 定理
. .. 如果函数f(z)是闭复通区域上的单值解析函数, 则 ∮ f(z)dz +
l n ∮ ∑ k=1 lk
Theorem 2.2 (复通区域Cauchy定理)
.
f(z)dz = 0,
(2.5)
式中l为区域外境界线, 诸lk 为区域内境界线, 积分均沿境界线的正方向进行. . .. .