电磁场的数值方法

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工程电磁场
即 u 是方程的精确解。
一般情况下余量不为零。
只能放松约束， 强制余量的加权积分为零。
即
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wi Rd 0
（ i 1,2, , n ）
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工程电磁场
式中 wi 为权函数， w1, w2 , , wk , 为权函数序列，
权函数之间要求线性无关。 权函数的不同选择导致不同的近似方法。
Ni • d Ni ( )d Nid
（ i 1,2, , n ）
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工程电磁场
7 有限元法与边界元法
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工程电磁场
7.2 有限元法
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工程电磁场
2．单元网格划分
在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。 具体要求是，三角形顶点连着顶点， 三角形的三条边长尽量接近 或三个内角尽量接近。 图示三角形的三个顶点，
n
N j j
j 1
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工程电磁场
代入伽辽金加权余量方程的如下方程组
Ni (2)d Nid
（ i 1,2, , n ）
对上式应用格林公式，得
Ni • d Ni n d Nid
（ i 1,2, , n ）
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工程电磁场
代入第二、三类边界条件得
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工程电磁场
i xi yi
j xj yj
1
k 1
xk xi
yk yi
1 xj yj
1 xk yk
1 2
(aii
aj
j
ak k
)
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工程电磁场
令
bbij
yj yk
yk yi
bk yi y j
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得
1 i yi
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工程电磁场
7.2 有限元法
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工程电磁场
1．二维静电场的伽辽金方程
二维静电场电位的基本方程
2
1 0
n 2,3
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工程电磁场
设基函数为
N1, N 2 , , N n
相应的待定常数为
1, 2 , , n 的近似解表示为
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工程电磁场
2、几种加权余量法
（1）配点法
在求解区域中选取 n 个点 P1, P2 , , Pn ， 让方程的余量在这 n 个点上为零。
即选权函数为
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工程电磁场
wi (P, Pi )
(P, Pi )Rd 0
R(Pi ) 0
（ i 1,2, , n ）
k 1 2 xk 3 yk
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工程电磁场
将 1 、 2 、 3 作为未知数，
求解上述方程组，并令
ai x j yk xk y j
a
j
xk
yi
xi yk
ak
xi y j
x j yi
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工程电磁场
1 11
2
xi xj
yi yj
1 xk yk
为三角形单元的面积，得
工程电磁场
工程电磁场
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工程电磁场
7 有限元法与边界元法
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工程电磁场
有限元法 可以从变分原理导出， 也可以从加权余量法导出。 前者需要补充泛函、变分法、欧拉方程、 泛函极值等数学知识，推导过程比较复杂。 后者相对比较直观，而且应用范围更广， 推导过程简单。
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则称 u1, u2 , , uk , 为基函数序列，
uk 为基函数。 c1, c2 , , cm 为待定系数。
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工程电磁场
u 的近似解表示为
m
u c ju j
j 1
将近似解代入方程，得余量
m
R Lu f c j Lu j f
j 1
如果余量为零，说明已经满足方程，
（4）矩量法（狭义）
在一维情况下， 权函数按如下幂函数序列选取。
1, x, x2 , x3, , xk ,
在二维情况下， 权函数按如下幂函数序列选取。
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工程电磁场
1, x, y, x2 , xy, y 2 , x3, x2 y, xy 2 , y 3,
三维情况，可依次类推。
配点法又叫点匹配法。Βιβλιοθήκη 2020/8/912
工程电磁场
（2）子域法
将求解区域划分成 n 个子域，
每次选取权函数在一个子域上为 1， 其他子域上为零。
wi 01（（PP不在在子子域域i内i内））
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工程电磁场
Rd 0
i
（ i 1,2, , n ）
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工程电磁场
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工程电磁场
边界元法可以直接应用加权余量法。 二维静电场， 三角形线性插值有限元法的基本原理 实施过程。 三维静电场，三角形线性插值边界元法。 重点掌握加权余量概念、 有限元法和边界元法的基本原理和实施方法。
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工程电磁场
7.1 加权余量法
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工程电磁场
1、加权余量概念
假定边值问题方程
Lu f 式中， u 为未知函数， L 是算符（算子），表示对 u 的一种运算， f 为已知函数。
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工程电磁场
为求 u ，设有一组完备、线性无关的函数
u1, u2 , , uk , ， 取其前 m 项的线性组合作为 u 的近似解 u 。 若当 m 时，有 u u ，
i, j, k 的顺序按逆时针。
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工程电磁场
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工程电磁场
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工程电磁场
3．单元函数插值
在单元上构造线性插值函数
1 2 x 3 y
单元三个节点的函数值也应满足上式，有
i 1 2 xi 3 yi
j 1 2 x j 3 y j
这里所称的矩量法是一种狭义的矩量法，
广义矩量法等同于加权余量法。
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工程电磁场
（5）伽辽金法
选取权函数序列与基函数序列相同。
wi ui
ui Rd 0
m
ui L u jd ui fd
j 1
（ i 1,2, , n ）
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工程电磁场
在上述几种加权余量法中， 伽辽金法应用最广泛。 有限元法基于伽辽金法
（3）最小二乘法
按使方程余量平方积分最小选取权函数。
令 I (c1, c, , cm ) R2d
使 I 最小的条件为
I 0 ci
（ i 1,2, , n ）
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工程电磁场
得
R Rd 0
ci
即权函数为
wi
R ci
（ i 1,2, , n ）
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工程电磁场