一类非线性异号源项波动方程弱解的存在性
具有非线性阻尼及源项的波动方程解的存在性与爆破
【中图分类】O175.29
1 引言
utt+a|ut|m+1ut-Δu=b|u|p+1u为具有非线性阻尼及源项的波动方程.文献[1-2]中，对a=0时波动方程的Dirichlet初边值问题进行了讨论，并对其解在相应空间的存在性与爆破性作了阐述.对方程的Cauchy问题,文献[3-4]就其能量估计进行了深入讨论.文献[5-6]中对型如utt+δut-φ(x)Δu=λ u|u|p-1的非线性波动方程的第一类边值问题解的爆破作了深入讨论.文献[7]中利用能量方法和微分、积分不等式技巧，讨论半线性波动方程具非线性Neumann边界条件的混合问题解的爆破性质.文献[8]中讨论了当a=1、b=1时齐次Dirichlet初边值问题解的存在与爆破问题.本文主要讨论a=1、b=1时，在m和p满足一定条件情况下，如下初边值问题的波动方程解的存在性与爆破：
u(t,x)∈L ，ut(t,x)∈L(0,T;L2(Ω))∩Lm+1(0,T;Lm+1(Ω)).
定理2 假设当N≥3时，当N≤2时，p>1;当1<m<p，且初值足够大，函数q(s)(s∈R1)满足λ Q(s)≤0及λ[q(s)-2Q(s)]≤0,问题(1)的解在有限时间内爆破.其中Q(s)=q(τ)பைடு நூலகம்τ.
具有非线性阻尼及源项的波动方程解的存在性与爆破
李爱萍;杨慧
【摘 要】In this paper,the initial-boundary value problem of wave equation with nonlinear damped and source terms was considered and the existence of the weak solutions for the equation with nonlinear Neumann boundary value was proved by Faedo-Galerkin method. Moreover,the blowing-up conditions of the solution were given.%应用 Faedo-Galerkin方法，证明了一类具有非线性阻尼及源项的波动方程非线性 Neu-mann边界条件初边值问题弱解的存在性，并给出了此问题解的爆破条件。
一类非线性波动方程的扰动问题的解的存在唯一性
ｔ ｕ， ¨ ， ｕ‘
，
ｄ ）
Ｂ （ｕ ｌ）＝Ｂ １‘ ｌ）＋８ ｌ １‘ ） １‘ （ ｕ Ｂ （ ｌ 。 ｕ
下面考察扰动问题（ 的弱解的存在唯一性。 Ｐ） 首先 ， （ ， 满足假 设 （ 且 （ ， ） 若 Ｂ Ｂ） Ｈ ） ｆ ｆ 满
足假设 （ ， 当 Ｂ＝Ｂ ， ＝Ｆ ，８ ＜１时 ，讯
２ ０ 第４期 第 ｌ０ ８年 ７月 ８卷
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＹＵＵＮ Ｃ０Ｌ ＧＥ ＬＥ
榆 林 学 院 学 报
Ｊｌ：２ ０ ｕｙ ０ ８ Ｖｏ ． ８ Ｎ ． １ １ ｏ ４
一
类非线性波动方程 的扰动 问题的解的存在唯一性
．
中图分类 号 ： １５ ２ 文献 标识码 ： 文章编 号 ：０ ８— ８ １ ２ ０ ）４— ０ ０— ２ ０ ７ ．７ Ａ １０ ３ ７ （ ０ ８ ０ ０ ３ ０
１ 引言
・
Ｋ ＝Ｋ （ Ｗ， ）＝ｓｐ｛ ｆ （ ，， ， ， ｌ ０ ０ Ｍ， ｆ ｕ ｌ ｘ ｔｕ ｖ Ｗ） ： （ ，， ，， Ｅ （ Ｔ ｝ Ｘｔｕ ｖｗ）Ａ。 Ｍ， ） ； Ｋ ＝Ｋ （ Ｔ ｆ ） ｕ ｛ｆ ｌ ｌ ｌ Ｍ， ， ＝ｓｐ ｌ ＋ｌ ｆ ＋ｌ ｆ
王 祥， 陈金梅
（ 州师 范学院 数 学 系， 西 忻 州 ０４０ ） ‘ 忻 山 ３００
摘 要 ： 用 Ｇ ｌｒｉ 法和数 学 归纳法研 究 了一 类 非线 性 波动方 程 的初 边值 问题 的扰 动 问题 的弱 解 利 ａｅ ｎ方 ｋ
的存 在唯 一性 。
关 键词 ： 非线性 ； 波动 方程 ； 扰动 问题 ； ａｅ ｉ Ｇ ｌｒ ｎ方法 ｋ
Ｇ ｌｒｉ ａ ｋｎ方法不 难证 明 问题 （ 。 是有 唯一 弱解 ｕ ， ｅ Ｐ）
一类广义非线性的Sine—Gordon型方程弱解的存在及唯一性
引理 ２ （ ｒｎ ａ 不 等式 ）设 口 ￡ ０， １ Ｇｏｗ ｌ ｌ （）≥ Ｑ（）＞０ Ｙ（）≤ 口 １ ， １ （）＋Ｑ ｔｙ １ ， ： （） （）则
，） ， ） 上（州ｅ（Ｑ下 ） ， ， ＋ 口 ） ｘ上（ 曲・ （ ｔ （ ０ 下 ｐ ）
引理 ３ 设 与Ｙ Ｈｌｅ 空间或可分的 Ｂ ｎｃ 空间 ， 为 ｉ ｒ ｂｔ ａ ａｈ 其对偶空间分别为 ， ｌ ｌ， ， ，设 连续稠密地嵌入 到 中， 若
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第２ ９卷第 ｌ 期
王银珠 ， 一类广义非线性的 Ｓ ｅ ｏ ｏ 型方程弱解的存在及唯一性 等： ｉ— ｒ ｎ ｎＧ ｄ
４ ７
（） ８
ｇｏ （ ）＝０ ｇ ｓ ， （ ）∈ Ｃ （ Ｒ）
Ｉ （ ）Ｉ Ｃ （ ； ｓ ｓ ≤ ｌ１＋Ｉ Ｉ ｇ ）≤ ｃ（ Ｉ （ 中 Ｃ ， ２ ｇ ｓ ） ２ １＋ Ｉ 其 ｓ ） ２Ｃ 为大 于或 等于零 的 常数 ）
文章 编号 ：６ ３２ ５ （０ ８ ０ —０ ４ ０ １ ７ －０ ７ ２ ０ ） １ ０ ６— ５
一
类广 义 非 线性 的 Ｓｎ ． ｏｄ ｎ型 方 程 ｉｅＧ ｒｏ 弱 解 的存 在 及 唯 一 性
王 银珠 ， 利 军 郭
（ 太原科 技 大 学应 用科 学学 院数 学 系， 太原 ００ ２ ） ３０ ４
（） ２ （） ３
ｌ 基本假设及 引理
对于方程（ ）我们有如下假设 ： Ｑ ＝ １， 设 力×［ ， ］ ＞０ ０Ｔ ， 为阻尼系数 ， ＞０ 为常数
项。 设 ， ｔ 足： ）满 ０ ｔ ＝ Ｚｔ ，） ，）＝０
，
， 为外力扰动 ｔ ）
（） ４
（） ５
ｔ ）∈ Ｌ ０ ； （ ， 日）ｎ Ｌ （ ； ２ ０， 日）
一类非线性偏微分方程弱解的存在性
一类非线性偏微分方程弱解的存在性摘要：解的存在性和正则性是偏微分方程研究的重要课题.古典解往往难以直接到达，数学上定义了可微性弱一点的强解和弱解，并发展了先求证强解或弱解的存在性，在利用先验估计提升正则性的方法.该文将证明一类非线性偏微分方程弱解的存在性.关键词：Banach不动点定理弱解存在性非线性偏微分方程取足够小，则有，故是压缩映射。
由Banach不动点定理，知存在唯一不动点。
定理得证。
3 结语由此，我们看到，形如（1）的二阶非线性偏微分方程在一定条件限制下存在唯一的弱解。
事实上，对于各种具体的情况，我们还可以利用各种正则性估计理论将这个弱解的正则性提高，从而使得这个解满足二次可微的性质。
这样的话，就得到物理和实际上需要的强解。
满足了强解的存在性的话，上述证明事实上也给出了利用迭代构造一个可以逼近这个强解的收敛函数列的方法。
在现实情况中，我们只需要取这个函数列的前面几项，就可以得到合乎足够精度要求的数字解。
这也是计算数学中常用的方法。
但是，这样一个解释存在的是可以做数值逼近的前提条件。
这就是理论数学研究的范畴。
参考文献[1] Lawrence C.Evans.Partial Differential Equations.American Mathematicat society.2010.[2] 马天.偏微分方程理论与方法[M].北京：科学出版社，2011.[3] NakhléH.Asmar.Partial Differential Equations with Fourior Series and Boundary Value Problems（Second Edition）.。
一类非线性发展方程整体弱解的存在性
Ｙａ ｇＬｉ ｎ ，Ｘｉ ｎ ｑｎ ｅＹｏ ｇ ｉ
（ ｃｏ ｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｄＣ ｍｐ ｔ ｇＳｉｎｅ ｈ ｇｈ ｎｖｒｉ ｆ ｃ ｎ ｅ ｎ ｅｈ ｏｏｙ ｈ ｇｈ １０ ６ ｈｎ Ｓ ｈｏ ｈ ｍａｃ ｏ ｕ ｎ ｃ ｃ ，Ｃ ａ ｓａ ｉ ｅｓｙｏ ｉ ｃ ｄＴ ｃｎ ｌｇ ，Ｃ ａ ｓａ ０ ７ ，Ｃ ｉ ｏ Ｍａ ｉ ａ ｎ ｉ ｅ ｎ Ｕ ｔ Ｓｅ ａ ｎ ４ ａ）
第 ２卷 第 １ ４ 期
２ １年 １ ００ 月
湖 南
工
业
大
学
学
报
ＶＯ ．４ Ｎｏ １ １ ． ２ Ｊｎ ０ ０ ａ ．２ ｌ
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｏ Ｈｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｈ ｏ ｏ ｙ ｙ Ｔｅ
ｗｈｃ ｅｎ ｎｉ ｅ ｒｔｒ ａ ｓ ｅ ｒｔｃ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌ ｒ ｗｔ ． ｎ ｋ ｅ ｇ ｒ ｖ ｍｅ ｔ ｎｔ ｅｆｎ ｉｇｓ ｆ ｉｈ ｔ ｏ ｌｎ ａ ｍ ｓ ｔ ｆ ｓｃ ｉ ａ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓｏ ｅ ｐ ｎ ｎ ａ ｏ ｈ Ａ ｄ ｍａ ｓａｌ ｅｉ ｈ ｅ ｉｉ ｉ ｌ ｉ ｉ ｇ ｒ ａ ｍｐ ｏ ｅ ｎ ｄｎ ｏ ｈ ｉ ｏ
ｕ一 ｕ一 ｕ Ａ ． Ａ ＝ｆ．
收稿 日期 ：２０ —０ １ ０ ９ １— ２
巧 ，证 明方程 （ ）一（ 的整体弱解的存 在性 ，并得 １ ３） 到其解 是唯一 性 连续 的 ，且 依赖 于初始 值 。
ｕｘ０ ＝Ｕ（） ， ，） ｌ ） （，） ｏ ， （ ０ ＝Ｕ（ ， 甜
∈．。
（ ３）
其 中， ， ，１ 具有适当光滑边界ａ ． ３ －ｃＲ ２ 的有界
一类非线性弹性梁方程弱解存在的唯一性
第３卷
理
工
大
学
学
２０ ０ ７年 １ 月
Ｊ ＯＵＲＮＡＩ ＯＦ ＴＡＩ ＹＵＡＮ ＵＮ１ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ ＯＦ ＴＥＣＨ Ｎ０Ｉ ０ＧＹ
在 本 报 文 ㈨
中
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ １ １３ ． Ｊ ｎ ２ ０ ａ． ０ ７
和初 始 条 件 下 ， 明 了一 类 具 非 线 性 本 构 关 系 的 弹 性 粱 方 程 弱 解 的 存 在 性 ； 此 弹 性 梁 方 程 弱 解 存 证 在
在 的条 件 下 ， 明 了上述 方程 弱解 的唯一性 。 证 关 键 词 ： 线 性 弹 性 梁 方 程 ； ｌｒ ｉ 法 ｝ 解 ； 在 唯 一 性 非 Ｇａｅ ｋｎ 弱 存 中图分 类号 ： ７． ７ ｏ１ ５ ２ 文献标 识码 ： Ａ
一
文 章 编 号 ： ０ ７ ９ ３ （ ０ ７ ０ ０ 卜０ １ ０ － ４ ２ ２ ０ ） 卜０ ９ ４
舫 便．
起 一
Ｉ ｌ
一
记 ； 的唯一性 ～ 三 巩 类非线性弹 性梁方程弱解存在
闫 思青 ， 建 文 张
（ 太原 理 工 大 学 理 学 院 ， 西 太 原 ０ ０ ２ ） 山 ３ ０ ４
初始 条件 ：
ｕ ｘ， ）一 “ （ ） （ Ｏ ０ ，ｕ（ Ｏ ｘ， ）一 “ （ ． ｌ ） （） ２
边界 条件 ：
ｕ Ｏｆ （ ，）： Ｕ（ ，） 一 Ｕ （ ｆ ＝ ｆ￡ Ｏ，） ‘ （ ，）： ０ １￡ ＝ ． ＝ （） ３
２ 弱解 的存在性
首先证明初边值问题（） 式～（） 弱解的 ３式的 存
显然 ｘ 中 的范 数与 Ｈ ｎ） 的范数 相 同。 （ 中
一类非线性方程的解的存在性及其应用
一类非线性方程的解的存在性及其应用
许绍元
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2000(13)1
【摘要】设 A是 Amann意义下的凹 (凸 )算子 .本文提出序 Lipschitz条件 ,无需考虑任何紧性或连续性条件 ,由 Mann迭代技巧证明了方程 Ax =x的解的存在性 .将所得结果应用于无界域上的 Hammerstein积分方程。
【总页数】4页(P23-26)
【关键词】存在性;算子方程;积分方程;非线性方程;解
【作者】许绍元
【作者单位】韩山师范学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.6;O175.5
【相关文献】
1.一类带有非线性阻尼项和源项的四阶波动方程整体解的存在性与不存在性 [J], 狄华斐;尚亚东
2.一类带非线性边界条件的非线性抛物方程的解的整体存在性与不存在性 [J], 陈友朋;谢春红
3.一类非线性发展方程整体解的存在性、渐近性与解的爆破 [J], 杨志坚
4.一类非线性波方程整体解的存在性和不存在性 [J], 王艳萍
5.黎曼流形上一类非线性反应扩散方程组解的存在性与不存在性(英文) [J], 汝强
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一类具有非线性异号源项波动方程的初边值问题
哈尔滨师范大学 自然科学学报
Ｎ ＵＲＡ Ｃ Ｅ Ｅ ＯＵＲ ＡＴ Ｌ Ｓ Ｉ ＮＣ Ｓ Ｊ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＨＡＲＢ Ｎ ＮＯＲ Ｉ ＭＡＬ Ｕ ＶＥ Ｉ ￣ ＮＩ ＲＳ Ｔ
Ｖ １ ６ Ｎ ． ００ ｏ． ， ｏ２２ １ ２
一
类 具 有 非 线 性 异 号 源 项 波 动 方 程 的 初 边 值 问题
一类具有非线性异号源项波动方程的初边值 问题
３ ３
（ ），（ ｔ ） ，）∈Ｌ ０ Ｔ Ｌ （ ） ， （ ， ； ） 对所 有 ｆ ∈
［ ，） ０Ｔ 成立 （ ）＋ｆ Ａ ，ｖｄ （ ｕ， （ ｕＡ ）Ｔ＋ ， ）＋
Ｉ ０ “ Ｐｕ— ｕ 一 ， ｄ Ｉ ｂ ｒ＝（１ ） （ｌ 一 Ｉ Ｉ Ｍ） ， ＋ 口
ｌ Ｉ－ １ 体解 的存在 性 、 ｐ “整 唯一性 及 光滑性 ， 造 构 不 稳定集 证 明 了解 在 有 限 时刻 发 生爆 破 ， 参 考 在
文献［ ］中利用整体迭代法证明了 ４ ＋ △ ¨＋／ ／ ， Ｆ “ 整体经典解的存在唯一性． （） 在此基础上 ，
＝
笔者研究如下具有两个异号非线性源项的梁振动 方程 的初 边值 问题 ：
ｕ ５ ＝一 一 ， 一１ ｕ Ｉｕｌ
一
ｕ ＋△ 盯
＋ Ｏｔ ｔ ｊ＋ ａ ｌ ｔ
Ｉ 一 — ｂ ｌ／ Ｉ 一 ｐ ２ ，Ｐ
＝
０ （） １
＞０
（） ３
（ ０ ， ）＝“ （ ， （） ， ）＝ （ ， ∈ ０ ） “ ｔ （ ０ ） （） ４
。
＾
∞ ； ≥ ５时 ， １＜ｑ＜Ｐ ＜
， 一
，ｏ ）∈ （ ，ｌ ）∈ （ ， 问题存 在一 个 “（ ） （ 力） 则
一类非线性双曲方程整体弱解的存在性与不存在性
委，ｕ ＝，一） Ｉ＜ （） 。１ｍｆ ｏ ＾ （ ｊ
从 而
。
＝
由嵌 入定 理知
ｄｉ 尚 ）一 嘶 ＝ （ ｉ ｎ ｒ Ｉ ｆ ｛ ‘ ～ ） 。一州 一一 ｊ
≥ ｃ ｏ 。
Ｘ￥ ｃ － ｏ为 “（ 到 Ｌ（ ｎ） ２ ｎ）的嵌 入常数 ， 合 啦 ≥ ０和 （０知结论 成立 ． 综
２ 稳定集和不稳定集 的构 造及解的爆破
定 义 与（ ＿） 关 的势 能和总能 量分别 为 １１相
收稿 日期 ：０ １ ５ ２ ２ ０ —０ —２ 收到
基金项 目； 河南省 自然科学基金资助项 目及国家自然科￣ ｋ １ｏ １７ ） （ｏ７ｏ ４
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整 体弱解 的存 在与 不存 在 性 ， 并且 构造 了解 的稳 定集 和不稳定 集 ， 明了初始 能量 为 正但有确 证 定 上界时 解 的爆 破 性 ， 此外 利用乘 子法得到 了解 的指数 衰减估 计 ．
本文 中用 Ｉ・『和（ ， ） 『 『 ・ ・ 分别表示 ￡（ 中的范数和内积， 表示 （ 的范数． ０） ０・ ｎ）
∈ Ｗ．
证明 下面只证（ ）而（ ） Ⅱ ， ｂ 完全类似， 假设存在 ｔ∈ ［ ， ） ０ 使对 Ｅ ［， ） Ⅱ ｆ ・ ∈ ０ ｔ 有 （， ）
∈ ｖ而 ｕ ｔ，・ （ ）硅 ｖ 由 ｖ的定 义 以及 Ｋ（ ）和 ， Ⅱ） 于 ｔ的连续 性 知 ． ｕ ｆ） ， ｕ （ 关 ， （ ）＝ ｄ或 （ Ｋ Ｈ ｔ） （ （１）＝０ 因 口 ， ３＞０ （）＜ ｄ及 （．） Ｊ ｕ ｆ） ， Ｏ ２１ 则 （ （１ ≤ （１ ｔ）＜ ｄ因此 Ｊ Ｈ ｔ） （ （１）＝ｄ是 不 可能 的 ； Ｋ（ （ ） 若 ｕ ｆ，・）＝０即
一类具有非线性阻尼项和力源项四阶波动方程局部解的存在性
性 ， 产 生 奇 性 。 或 者 说 ， 或 解 的 某 些 导 数 的 模 当 一 ｔ 而 解 ｌ
概 括 的结 果 ． 习题 课 上 教 师 不 仅 要 向学 生 传 授 这 些 知 识 ， 更
要 向他 们 传 授 这 种 抽 象 、 括 的思 维 方 法 ， 学 生 学 会 从 具 概 让 体 内容 中 抽 象 概 括 ， 出 事 物 的 本 质 ． 如 ， 建 立 定 积 分 找 例 在 概 念 时 ， 过 对 两 个 具 体 问 题 一 一 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 通 直 线 运 动 的 路 程 的 计 算 ， 以 看 到 ： 者 是 几 何 量 ， 者 是 可 前 后 物理量 ， 实际意义并 不相同 ， 它 们 的数学 思想 和计 算方法 但 是 相 同 的． 除 其 具 体 内 容 ， 出 其 本 质 特 征 ， 单 从 数 量 排 抽 即 关 系 看 都 具 有 一 种 相 同 结 构 的特 定 和 的极 限 形 式 ， 而 抽 从 象 概 括 出 定 积 分 的普 遍 性 定 义 。 分 析 与 综 合 是 数 学 学 习 中 最 常 用 的方 法 ． 析 是 从 未 知 “ ” 知 “ 步 靠 拢 到 ” 知 分 看 需 逐 已 “ 过 程 ， 综 合 则 是 从 ” 知 “ ” 知 “ 步 推 到 ” 知 的 的 而 已 看 可 逐 未 过 程 ． 者 对 立 统 一 ， 们 相 互 依 存 、 互 转 化 ． 以 在 讲 解 两 它 相 所 些 证 明或 者 比 较 复 杂 的 问 题 时 ， 者 一 定 要 结 合 着 用 ， 两 先 用分析法来探求 解题 的途径 ， 用综 合法 加 以叙 述． 再 比如在
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第 ２ Ｏ卷 第 ２ 期 Ｍｏ ｅｎＢ ｓ ｅ ｒｄ ｎ ｕｔ ｄｒ ｕｉ ｓ Ｔ ａｅＩｄ ｓ ｙ ｎｓ ｒ ２０ ０ ８年 ２月
一类非线性波方程弱解的存在性
乱 （ ）一 ｃ ｑ（ ｔ ） ｃ ｏ ｊ
Ｊ 一１
系数 Ｃ 满 足 常微 分方 程 ：
（ （ ） ， ）一 （ Ａｕ （ ） ， ｏ ｏ ｊ ）＋ 口（ ｚ） （ （ ） ， ）一 （ ，， ） ， １≤ Ｊ≤ （ ２ ）
（ “ （ ） ， “ （ ￡ ） ）一 （ Ａｕ （ ￡ ） ， （ ） ）＋ ａ（ ） （ “ （ ￡ ） ， （ ） ）一 （ － 厂 ， “ （ ） ）
（ ５）
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － ０ ３ — １ ４ 作者简介 ： 苗慧慧（ １ ９ ８ ８ 一 ） ， 女， 山 西 长 治人 ， 山西 大 学 数 学科 学 学 院 在 读 硕 士研 究 生 ， 主 要 从 事 非 线性 波 方 程 弱 解 存在 性 的研 究
／ ● 疗 ＼ ，
）
（ ７ ）
对（ ７ ） 式 的右 端进Fra bibliotek行估 计 ， 利用 Ｈｏ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等 式和 Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ嵌入 定理
（Ｉ （ Ｉ ）Ｉ Ｉ ￡ ２ ｃ ｎ ＋ Ｉ Ｉ
一 ｍ （ ）Ｉ Ｉ ２ ｎ ）一２ （ ｆ， （ ￡ ） ） 一２ 口 （ ｚ ）Ｉ Ｉ （ ￡ ）Ｉ Ｉ
性 ．
［ 关键 词］ 非 线 性 波 方程 ； 迦 辽金 方法 ； Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ嵌 入 定 理 ； Ｇｒ ｏ ｎ ｗａ ｌ ｌ 不 等 式 ［ 文章编 号］ １ ６ ７ ２ — ２ ０ ２ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ ０ ５ ４ — ０ ３ ［ 中图分类 号］ Ｏ１ ７ ５ ． ２ ９ ［ 文献标 识码） Ａ
丁 ） ； ∑ ＝ ＝ ＝ Ｆ×（ 。 ， Ｔ ） ， 对于Ｔ＞０ 成立． ｎ （ ｚ ） 是Ｑ上的非负的 光滑函 数． 且ｆ （ ｘ ， ） 是一个给定的函 数．
一类非线性双曲方程整体弱解的存在性及能量衰减性
Ｅｘ ｓ ｅ ｅ ｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ａ ｅ ｇ ｃ ｙ ｆ ｒ ｉ ｔ ｎｃ ｆ Ｓ ｌ ｔｏ ｎｄ Ｅｎ ｒ ｙ Ｄｅ ａ ｏ ａ Ｄ ａ ｐ ｄ Ｎ ｏ ｉ ａ ｙ ｅ ｂ ｌｃ Ｅｑｕ ｔｏ ｍ ｅ ｎｌｅ ｒ Ｈ ｐ ｒ ｏ ｉ ａ ｉｎ
Ｚｈ ｎ ｅ ｇ Ｚｈｅ ｈ ｎ ａｎ
定 义如下 的能 量泛 函
Ｅ（ ）一 ｆ ｓ一 ２。 ＋ ａ （） ４
这样 初始 能量 泛 函为
）一
ｆ ＋ ；
Ｉｕ￣ Ｉ ＶＩ
￥ ｎ㈤ 一
２ａ ＋
（） ５
将 （ ） 两边 同乘 “ 后在 × Ｅ ｔ 上积 分 ， 中 ０ Ｓ ｔ １式 ， ｓ， ３ 其 ＜＋ ∞ ， 利用分部 积分 ， 并 则
有
Ｅ Ｓ 一Ｅ 一ｙ Ｉ （） （） Ｉ Ｊ
构 造 函数
（ ）一 “ “ 一
ｄ ｐ
（） ６
：
Ｉｕ （）一 『 一 『 Ｉ丰 Ｉ Ｖｕ Ｉ ；： “『
ｄ— ｉｆｓｐ （ｕ ｌ ｎ ｛ｕ Ｊ ） ）“∈ Ｈ ）一 ｛ ｝ ， （ ０｝
７
（ ） ０＜ ＜ － Ｈｚ
， 一 ４ 一 ｍ ｛ 一 ４ ０ （ ） ｘ ，｝
当 ＞ ０时 ， 便是 文献 Ｅ ３研究 的问题． 于这 类方 程局 部解 的存在 性与 唯一性 已有一 些 ３ 对
研究［ — ３ ， １ ］ 文献 ［ ４～ ５ 研究 了某类 方程整 体解 存在性及 能量衰 减问题 ， ］ 但也 只是讨论 常系 数 的非 线性 双 曲方程． 本文说 明 当 ∈Ｒ时 ，１ ～ （） （ ） ３ 仍然 存在 唯一局部 解 ， 同时 说明整体 解 的存 在性 ， 并讨 论这类 △“项 的系数 为时 间的函数 的非线 性双 曲方程 的能量衰减性 ， 这似乎 还
一类非线性热弹性耦合系统的解的局部存在性
ｂ ｈ ｒ ｅａ ｔ ｉ ｙ ｔ ｍ ｔ ｍｏ ｙ ｔｐ ｎ ｏ ｅ ｐ ｒ ，ａ ｄ ｂ ａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｎ ｔ ｅ ｏｈ ｒ ａｔ ｙ ｔ ｅ ｍｏ ｌ ｓ ｃｔ ｓ ｓ ｉ ｙ ｅ ｗｉ ｍｅ ｒ ｅ ｉ ｎ ａｔ ｎ ｙ ｗ ｖ ｑ ａｉ ｓｉ ｈ ｔ ｅ ｒ．Ｍｏ ｅ ｖ ｒ ｈ ｈ ｙ ｏ ｐ ｒ ｏ ｅ ，ｔ ｅ
ｌｃ ｌｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ａ ｏ ｕ ｉｎ ｓ ｐ ｏ ｅ ｙ Ｇａｅ ｋｎ Ｓ ｍｅｈｏ ｏ ａ ｘｓｅ ｃ ｆｗｅ ｋ ｓ ｌ ｔ ｓ ｉ ｒ ｖ ｄ ｂ ｌｒ ｉ ｔ ｄ，ｅ ｅ ｇ ｔ ｏ ｓ ａ ｄ ｌｎ ａ ｓｉ ｔ ｓ ｏ ｎ ｒｙ ｍｅ ｈ ｄ ｎ ｉ ｅ ｒｅ ｔ ｍａｅ ．
摘
要 ： 中讨论 了一类非线性热弹性系统的解的局部存在性 ， 文 该系统一 部分 由带记忆类 型的热弹性 方程描述 ， 另一部 分
由波动方程描述． 主要利用伽辽金方法 、 能量积分法 和线性估计证 明了弱解 的局部存在性．
关键词 ： 非线性耦合 系统 ；热弹性 ； 伽辽金方法 ； 能量积分法 中图分类号 ： ７ ．４ Ｏ１５ １ 文献标志码 ：Ａ 文章 编号 ： ６３—４０ （０ １ ０ ０ １ ０ １７ ８ ７ ２ １ ） ６— ６ ６— ４
弹性 物质 ， 另一 部 分是热 弹性 物 质 ，但 是没 有 记忆 影 响． 献 ［ ８ 研 究 了记 忆 影 响 ， 文 ６— ］ 但是 仅 仅 是线 性 的． 中是 在 文 献 ［ ］ 文 ６ 的基 础 上 ， 察 下 面 的带 考 记 忆类 型 的非线性 热 弹性耦 合系统
型有两个缺点 ： ①不能充分考虑某些物质的记忆特 性， 特别是在低温的条件下 ； 系统 的抛物部分暗 ②
Ｌｏ ａ ｘ ｓｅ ｃ ｆｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｃ ｕ ｌｄ ｓ ｓｅ ｏ ｈ ｒ ｅａ ｔ ｉｙ ｃ ｌｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｏ ｕ ｉ ｓｔ ｏ ｌ ａ ｏ ｐ ｅ ｙ ｔ ｍ ｆｔ ｅ ｍｏ ｌ ｓｉ ｔ ｏ ｎ ｃ
一类各向异性非牛顿微极流体方程组弱解的存在性
1)u∈L∞ (0,T;H)∩Lq(0,T;Vq),w∈L∞ (0,T;L2(Ω))∩L2(0,T;H10(Ω));
2)u(0)=u0,w(0)=w0;
3)对 ∀φ∈Vq ∩Lθ(Ω),ϕ∈L2(Ω)以 及 a.e.t∈ [0,T],有
3
∫ ∫ ∑∫ ∫ d
dt
uφdx+
Ω
[(u· ∇ )u]φdx +
0引 言
在三维空间中考虑如下一类各向异性非牛顿微极流体方程组的初边值问题:
∑ ìï
ï ï
∂u ∂t
+
(u·
∇
)u-
3
Di(Diu
i=1
qi-2Diu)-ν1Δu+ ∇P =μr∇ ×w+f, (x,t)∈ QT ,
ïï í
∂w ∂t
+
(u·
∇
)w
-ν2Δw
+μrw
=μr∇
×u+g,
(x,t)∈ QT ,
Abstract: We considered the first initial boundary value problem for a class of anisotropic non-Newtonian fluid equationsin a three-dimensional smooth bounded region Ω.Firstly, we constructedtheapproximatesolutionoftheproblembyusingGalerkinmethod,andthenobtainedthe uniformestimatesoftheapproximatesolutionbyusingtheenergyestimation method.Finally,we provedtheexistenceoftheweaksolutionbyusingthecompactmethodandthemonotonemethod. Keywords:anisotropy;non-Newtonianfluid;micropolarfluid;weaksolution;existence
带有分数积分的波动方程解的非存在性
带有分数积分的波动方程解的非存在性许勇强【摘要】通过选择恰当的检验函数与平移讨论相结合,给出了一类非线性项具有非局部性质的波动方程局部解和全局解存在的必要条件.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(055)001【总页数】5页(P86-90)【关键词】波动方程;非线性项;分数积分;全局非存在性;弱解【作者】许勇强【作者单位】闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000;厦门大学物理与机电工程学院,福建厦门361005【正文语种】中文【中图分类】O175.25本文主要研究下面的波动方程的弱解的非存在性问题．它满足如下的初值条件:其中( x，y)∈QT=Rn×( 0，T)，0＜T≤+∞，γ∈( 0，1)，Δ是一般的拉普拉斯算子，(－Δ)β/2( 0＜β≤ 2)表示在带有介质的媒体中传播，定义如下: (－Δ)β/2ν( x) = F－1( |ξ|βF(ν) (ξ) ) ( x)，这里F表示傅里叶变换，而F－1则是它的逆变换．由于下面的极限在分布意义下存在，所以方程( 1)可以认为是经典的半线性波动方程的逼近问题，这里Γ是欧拉γ函数．显然，方程( 1)中的非线性项包含自相似的记忆类型，且可以看作是Riemann－Liouville积分算子对于该算子，最早于1832年，Liouville引进了α=－∞的特殊情形，然后于1876年，Riemann考虑了α= 0的形式［1］．因而，方程( 1)具有下面的形式: 其中Jα0|t表示Riemann－Liouville分数积分(见公式( 10) )．我们来描述与方程( 1)相联系的一些方程的存在意义．最近，Chen等［2］研究了下面的方程:该方程用于描述声音在黏性流体中的传播，其中c0表示无黏性相速度，2α0则代表热力黏性系数．因此，方程( 5)可以看作是早期Greenberg等［3］重要工作的推广．该作者考虑了下面的方程:其中ρ0，λ表示与介质有关的常数，而g( x，t)则表示外力的一个给定函数．因为方程( 5)可以认为是非线性方程的逼近问题，所以方程( 3)包含了一个具有应用价值的非线性项．同时，Carvalho等［4］研究了方程( 3)．假如在方程( 3)中取β=0，那么得到了带有线性阻尼项ut的波动方程．许多数学工作者对此做了广泛的研究［5－8］．实际上，文献［5］对方程( 3)作了全面研究，这对应于β= 0的情况．Fino［9］应用文献［5］研究了下面的问题其中0＜γ＜1，p＞1，( u0，u1)∈H1( RN)∩L2( RN)，这是方程( 1)在β=0的特殊形式．本文主要考虑0＜β≤2的情形，主要目的是研究方程( 1)在这种情形下的局部解和全局解不存在的必要条件，同时揭示了初值在无穷远处的值对局部解和全局解的存在性具有很深的影响．本文所采用的方法来源于文献［6－7，10－11］．在这部分，我们将给出有关分数阶拉普拉斯算子、分数积分以及分数导数的相关结果．首先考虑下面的特征值问题其中Ω是有界开集．取λk( k=1，2，…，+∞)是－Δ在L2(Ω)中的特征值，φk是λk对应的特征向量，则且所以，对于任意的u，v∈D( (－Δ)β/2)，有下列的性质关于更多的细节，可参看文献［12］．下面来定义Riemann－Liouville分数左右导数．设AC［0，T］表示所有在［0，T］( 0＜T＜∞)上绝对连续的函数空间．如果f∈AC［0，T］，则Riemann－Liouville分数左右导数Dα0|tf( t)和Dαt|Tf( t)可定义如下:这里f∈Lq( 0，T) ( 1≤q≤∞)，α∈( 0，1)，表示Riemann－Liouville分数积分［3］．而且对于任意的f，g∈C(［0，T］)，如果Dα0|tf( t)和Dαt|Tg( t) ( t∈［0，T］，0＜α＜1)存在且连续，有下面的分部积分公式［12］:注意到当f∈ACN+1［0，T］且N≥0时，有［12］其中∂N表示一般意义下的N次导数．而且对于1≤q≤∞，t下面的公式［12］在［0，T］上几乎处处成立．本文将用到下面的结果:假如，T＞0，η≫1，那么对于∀α∈( 0，1)有所以有这里定义1取u∈L ploc( QT)，如果对于任意的检验函数φ∈C∞0( RN×［0，T］)都有那么函数u( u∈L1loc( QT) )是方程( 1)的一个弱解，这里φ≥0，0＜T＜+∞，α=1－γ，φ( x，T) =φt( x，T) = 0．本篇文章的主要结果如下:定理1取p＞1，0＜β≤2且u0≥0，T＞0．如果或者那么问题( 1)没有非负的局部解．注1根据定理1可估计局部解的存在时间如下:注2极限是式( 1)的全局弱解存在的必要条件，但并不是充分条件．定理2(全局解的必要条件)取p＞1，1≤β≤2且u0( x)≥0．如果问题( 1)有一个非平凡的全局解，那么存在常数K1，K2和K3使得或者当时，选择检验函数［0，T］)．取ξ( x，t) =φ1( x/R)φ2( t)，其中φ2( t) = ( 1－是Δβ/2D在B2上的第一特征值，且满足齐次Dirichlet边界条件( 8)，对应的特征值为λ=λβ/21;且suppφ1⊂{ 1＜|x|＜2} ( supp表示支集)．现在方程( 1)两边乘以φ，然后在QT=( 0，T)×RN上积分，根据式( 17)和( 18)，得到这里．而且使用式( 11)和 ( 12)，式( 20)可以写为联合式( 13)，( 17)和( 18)，并且考虑到(－Δ)β/2φ1( x/ R) =λβ1/2R－βφ1( x/R)，可推出这里为了估计方程( 22)的右边的第一个积分，把它写为下面的形式:因而，相似地，这里假如3ε=1，易于得到这时引入变量替换t=τT，x=Ry，然后在式( 23)中联合( 14)，( 15)和( 16)，可推出这里在不等式( 24)中，使用下面的估计然后两边分别除以，有于是让R→+∞，有极限估计式( 25)和( 26)可推出下面的结果:当T＜+∞时，假如lim+infu1= +∞或者lim+infu0|x|→∞|x|→∞=+∞，我们将得到矛盾．从式( 24)得出然后在式( 27)中取T=R，有因而因为1≤β≤2，有现在式( 29)的右边使用sup pφ1⊂{ x | R≤| x |≤2R}，有并且在式( 29)的左边再次使用sup pφ1⊂{ x| R≤| x| ≤2R}，有联合式( 30)和( 31)可推出最后我们在式( 32)的两边分别除以∫| x|≤2R| x |(α+2) q－(α+1)φ1( x/R)，得出让R→+∞，有相似地，从式( 28)可得出或者与式( 34)的讨论相类似，有或者综上，完成了定理2的证明．【相关文献】［1］DEBNATH L，BHATTA D．Integral tranforms and their applications［M］．Boca Raton，Fl: Chapman＆Hall/crc 2014: 31－37．［2］CHEN W，HOLM S．Physical interpretation of fractional diffusion wave equation via lossy media obeying frequency power law［J］．Mathematical Physics，2003，0303040: 1－6．［3］GREENBERG J M，MACCAMY R，MIZEL V J．On the existence，uniqueness，and stability of solutions of the equation ［J］．J Math Mech，1967/1968，17: 707－728．［4］CARVALHO A N，CHOLEWA J W．Attractors for strongly damped wave equations with critical nonlinearities［J］．Pacific J Math，2002，207: 287－310．［5］TODOROVA G，YORDANOV B．Critical exponent for a nonlinear wave equation with damping［J］．J Differential Equations，2001，174: 464－489．［6］KIRANE M，LASKRI Y．Nonexistence of global solutions to a hyperbolic equation with a space－time fractional damping ［J］．Applied Mathematics and Computation，2005，167: 1304－1310．［7］KIRANE M，QAFSAOUI M．Fujita' s exponent for a semilinear wave equation with linear damping［J］．Adv Nonlinear Stud，2002，2: 41－49．［8］ZHANG Q S．A blow－up result for a nonlinear wave equation with damping: the critical case［J］．Acad Sci Paris，2001，333: 109－114．［9］FINO A Z．Critical exponent for damped wave equations with nonlinear memory ［J］．Nonlinear Analysis Theory Methods＆Application，2011，74( 16) : 5495－5505．［10］BARAS P，KERSNER R．Local and global solvability of a class of semilinear parabolic equations［J］．J Differential E－quations，1987，68: 238－252．［11］BARAS P，PIERRE M．Cr itère d'existence de solutions positives pours des equations semi－linéaires non monotones ［J］．Ann Inst H Poincaré－Anal Non Linéaire，1985，2: 185－212．［12］SAMKO S G，KILBAS A A，MARICHEV O I．Fractional integrals and derivatives，theory and applications［M］．New York: Gordon and Beach Science Publishers，1987: 1－1016．。
一类非局部Cahn-Hilliard方程弱解的存在唯一性
一类非局部Cahn-Hilliard方程弱解的存在唯一性李振邦【摘要】研究一类对流非局部Cahn-Hilliard方程的Neumann问题.通过一致Schauder估计和Leray-Schauder不动点定理,得到了该问题经典解的存在唯一性.进而,利用弱收敛方法得到了该问题弱解的存在唯一性.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2019(035)001【总页数】19页(P15-33)【关键词】对流非局部Cahn-Hilliard方程;Leray-Schauder不动点定理;弱解的存在性;唯一性【作者】李振邦【作者单位】西安工业大学理学院,陕西西安 710021;西北大学数学学院,陕西西安 710127【正文语种】中文【中图分类】O177.21 引言研究如下的Neumann问题:其中,Ω⊂Rn是一个光滑的有界域,u是未知函数,β∈Rn是一个常向量,m(x,t)是一个已知的具有严格正的上下界的光滑函数是一个已知的光滑函数并且满足J(x)=J(−x),J的积分是严格正的.方程(1)可以用来描述许多物理现象,包括在外域上相位分离系统中的合金分离,晶体表面上的非稳定步长移动,晶体生长中面角的形成等[1-4],其中,u(x,t)表示分界面的斜率.光滑函数m(x,t)表示扩散迁移率[5-7].对流项β·∇B(u)来源于具有独立参数的动能,刻画了一种亚稳动力系统中的外部动能[8-9].当驱动系数β→0时,方程(1)形式上成为通常的非局部Cahn-Hilliard方程[10-12].势函数H(u)+f(u)是如下的非局部能量泛函的一阶变分[10-14]:此时,得到如下的非局部形式的势函数:方程(1)有一个基本的守恒量在过去的几十年里,有许多文章是研究经典的具有对流项的Cahn-Hilliard方程的[9,13-16],而对于非局部方程(1),研究成果比较少[5,8].在文献[3]中,作者研究了一类非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统.对于对流非局部Cahn-Hilliard方程,他们得到了三维情形下方程的整体吸引子的存在性结果.近些年来,P.W.Bates和J.Han考虑了一类不具有对流项的非局部Cahn-Hilliard 方程[2-3].一方面,研究了在Dirichelet边界条件下,该模型经典解的存在性,唯一性以及对初值的依赖连续;进一步,证明了该系统存在整体吸引子;另一方面,证明了该方程在Neumann边界条件下弱解的存在唯一性.其他关于非局部问题的结果见文献[10-12,17-18].本文主要考虑具有非线性对流项的非局部 Cahn-Hilliard方程的 Neumann问题(1),其主要困难来源于非局部项和非线性对流项,并且该模型没有能量泛函,很难应用比较原理来研究该模型.为了克服这些困难,应用特殊的迭代技巧[10,19]来得到一些先验估计,而后应用Leray-Schauder不动点定理证明经典解的存在性;进一步,利用弱收敛方法得到其弱解的存在唯一性.本文第二节得到了问题(1)的光滑解的一些先验估计,而后证明经典解的存在性,唯一性以及对初值的连续依赖性.第三节给出了弱解的存在唯一性证明.2 经典解的存在唯一性将方程(1)改写成如下等价的抛物型方程形式:其中本文假设以下条件成立:成立.(A4)∂Ω属于经典的C2+α空间.由条件(A2)可知,存在两个正常数c3和c4,使得首先得到问题(4)的一个先验估计.定理 2.1 假设(A1)-(A4)成立.如果是问题(1)的一个解,则其中正常数只依赖于为了证明上述定理,需要下面这个引理.引理 2.1 假设(A1)-(A4)成立.如果是问题(1)的一个解,则证明在方程(1)左右两边同时乘以u并在Ω上积分,有估算上述等式的右端各项,根据 Hlder不等式,Young不等式,条件 (A1)和条件 (A3),得到和联立(10)式 -(13)式,利用条件(A2)可得应用Gronwall不等式,得到(7)式-(9)式,引理 2.1得证.接下来,证明定理2.1.定理 2.1的证明对p>1,在方程(1)左右两边同时乘以u|u|p−1并且在Ω上积分,分部积分后,利用方程中的边界条件,得到因为和根据条件(A2)和(A3),有联立(15)式-(20)式后立即可得对·∇udx,当p+2q≥ 2r+1 时,利用 Hlder不等式和 Young 不等式和条件(A2),有以下估计而当p+2q<2r+1时,有其中类似地,利用Hlder不等式,Young不等式,条件(A2)-条件(A3)和(7)式,得到和令ε1=m1c2,.从不等式(21)和估计(22)式-(25)式,导出或者从而由条件(A2),有对Gagliardo-Nirenberg不等式,其中α∈(0,1)满足等式此时,令利用Young不等式,得到在 (28)式中令p=µk,把 (31)式代入(28)式,得到取时,有其中而在(31)式中取ε=1时,结合(33)式,可得其中C4(k)=C2(k)+C3.由上述不等式,利用Gronwall不等式,有其中θ(k)=C3(1+µk)β,,并且M0=supx∈Ω|u0|.不等式 (35)说明因为 ,所以有和从而,由(36)式-(38)式及引理2.1,得到其中与 k无关.在 (39)式中令k→ ∞,有∀t∈[0,T]从而由此,根据,得到(6)式,从而定理2.1证毕.有了定理2.1,对进一步的估计,容易证明下面的定理2.2.定理 2.2 对方程任意的解满足条件,有以下结论其中常数K1,K2只与有关,Hlder 模定理2.2的证明类似于文献[20]第五章中定理7.2的证明,这里不再详细证明.为了得到问题(4)经典解的存在性,需要让初值满足相容的边界条件.所以假设并且u0(x)满足如下相容性条件:在方程(4)中,令v(x,t)=u(x,t)−u0(x),得到等价问题其中和因为(43)式说明,所以兼容性条件也满足问题(44).定义和其中c1和m1是条件(A2)和(A3)中的常数.考虑如下问题:引理 2.2 如果是问题(45)的一个解,那么其中k与λ无关.证明因为λ˜a(x,t,v,u0)+(1−λ)c1m1≥ λc1m1+(1−λ)c1m1>0,所以问题 (45)中的各项也满足条件(A1)-(A4)并且不等式(46)由定理2.1直接得到.因此,我们也可以从引理2.2和定理2.2得到:引理 2.3 如果是问题(45)的一个解,那么其中常数K1,K2与δ和λ无关.接下来,需要文献[20]中如下的Leray-Schauder不动点定理:定理 2.3(Leray-Schauder不动点定理)考虑如下变换y=T(x,λ),其中 x,y属于Banach空间X并且0≤λ≤1.假设:(a)对任何已定λ,T(·,λ)在 X 上是连续的.(b)对有界集 X 中的x,当λ属于[0,1]时,T(x,λ)是一致连续的.(c)对任何已定λ,T(·,λ)几乎处处是紧映射,它把有界集X 映到准紧集X.(d)存在一个常数K,使得当λ∈[0,1]时,方程x−T(x,λ)=0的每一个解x满足:.(e)方程x−T(x,0)=0有唯一的解属于X.那么方程x−T(x,1)=0有解.定义 Banach空间 :v(x,0)=0},其中 Hlder 范数空间为通常意义下.对任意函数ω ∈X 满足条件maxQT|ω|≤M 和 maxQT|∇ω|≤M1,考虑如下线性问题:容易证明问题 (59)存在唯一解定义引理 2.4 当ω属于有界集X 时,T(ω,λ)在λ上是一致连续的.证明令ω ∈ X 满足并且令v1=T(ω,λ1),v2=T(ω,λ2),v=v1−v2,有其中和易知|ω|X≤M和成立,再由方程(59)可知其中常数N 与λ2无关.所以,其中N1和N2与λ2无关.易知其中λ∈[0,1].根据线性抛物方程理论,当|λ1−λ2|→0时,问题(49)的解也会趋近于0. 可以用相似的方法得到在X 中,已知的λ,T(x,λ)是连续的.因为是紧的,所以得到T(ω,λ)是一个紧映射.由以上结论,引理2.2-引理2.4和Leray-Schauder不动点定理可得方程(44)解的存在性,并且可得出定理 2.4 令γ>0.满足边界条件(43),那么问题(4)存在唯一一个解 ,并且解对初值具有连续依赖性.关于唯一性及对初值的连续依赖性,有如下定理.定理 2.5 如果u1(x,t)和u2(x,t)是相对应于问题(4)初值u10(x)和u20(x)的两个解,则其中C只与时间T有关.证明任意的满足在∂Ω ×(0,τ)上成立,有其中g(x,ui)=a(x)ui+f(ui).然后其中r(x,t)=|u1|q−|u2|q,并且已知gu(x,u∗)>0,令ξ是如下线性抛物问题的解其中,y∈[0,1]并且γ>0是一个常数.由比较原理,得到所以,由方程(52)有通过条件 (A1),条件 (A3)和u∈L∞(Ω),得到把γ→0和y→sign(u1−u2)+代入不等式(55),得到适当交换u1和u2得到由Gronwall不等式和不等式(57)推导出这样,完成了定理2.4的证明.3 弱解的存在唯一性如果u0(x)∈L∞(Ω),考虑满足如下条件的弱解.定义 3.1设Ω⊆Rn是一个具有光滑边界的有界开区域,QT=Ω×[0,T].称函数u(x,t)是方程(1)的一个弱解,如果它满足如下三个条件:i)ii)在分布意义下,u(x,t)在QT中满足方程(1);iii)对于任意给定的ψ∈H1(Ω),对a.e.t∈[0,T],成立其中g(x,u)=a(x)u+f(u),并且定义函数空间B:=X在L2范数下的完备化.定理 3.1 假设条件(A1)-(A4)都成立并且u0∈L∞(Ω)∩B,那么方程 (1)存在唯一的一个弱解u.证明证明分为四步.第一步构造逼近解.由u0∈L∞(Ω)∩B 可知,存在函数列使得其中常数C与k无关.考虑具有光滑初始值的如下问题:由定理 2.4可知,方程 (62)存在经典解,并且其中常数与 k 无关.第二步一致有界估计.对方程(62)左右两边同时乘以u(k)并且在Ω上积分,得到注意到,以及根据 (64)式 -(67)式,有由 Gronwall不等式,得到其中正常数与 k 无关.通过(63)式,可知u(k)是一直有界的,再由(69)式-(70)式,有和另一方面,根据(71)式-(72)式以及方程(62),可以得到由 (69)式 -(73)式可知,存在的子列,为方便,仍记为,使得由(74)式,利用Aubin-Lions引理可知,在L2((0,T),L2(Ω))中u(k)强收敛于u.又因为,得到第三步 L2中的弱连续性.对所有的,因为在L2([0,T);H1(Ω)中 u(k)⇀u(k→ +∞),所以在L2([0,T)×Ω)中αu(k)⇀αu(k→+∞).由 (64)式,有其中由 (74)式 -(76)式,得到取满足 .∀t0>0,η >0,令,代入(78)式,得到取t0是下列可测函数任意的公共Lebesgue点:那么,有因此,由(79)式-(82)式,得到对任意给定的函数,由方程(62),有根据(77)式,可得令t→t0,得到u(t)是几乎处处从[0,T]到L2(Ω)的一个弱连续函数.∀t>0,若tn是一个时间序列使得(83)式对tn成立并且使得tn→t.得到并且由此及(85)式可知(83)式对所有的t>0成立,进而得到u(t)是从[0,T]到L2(Ω)的一个弱连续函数.第四步连续性:u∈C([0,T);L2(Ω)).由方程解的平移不变性,只需证明又由第三步结论:u(t)是从[0,T]到L2(Ω)的一个弱连续函数,故只需要验证事实上,一方面,由弱收敛性有另一方面,由(83)式有第一步至第四步说明u是方程(1)的一个弱解.唯一性由定理2.5可得.定理3.1证毕. 参考文献【相关文献】[1]Colli P,Frigeri S,Grasselli M.Global existence of weak solutions to a nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system[J].J.Math.Anal.Appl.,2012,386:428-444.[2]Frigeri S,Grasselli M.Krejčí P,Strong solutions for two-dimensional nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems[J].J.Differential Equations,2013,255:2587-2614.[3]Frigeri S,Grasselli M.Global and trajectories attractors for a nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system[J].J.Dynam.Differential Equations,2012,24:827-856.[4]Frigeri S,Grasselli M.Nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems with singular potentials[J].Dyn.Partial 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一类非线性波动方程解的性质研究
学校代码：*****学号：**********分类号：O175.29密级：硕士学位论文一类非线性波动方程解的性质研究张颖姝指导教师：房少梅教授学院名称：数学与信息学院专业名称：应用数学答辩委员会主席：刘名生教授中国·广州2018年6月华南农业大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的作品成果。
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作者签名：日期：导师签名：日期：学位论文提交同意书本学位论文符合国家和华南农业大学关于研究生学位论文的相关规定，达到学位授予要求，同意提交。
导师签名：日期：学科带头人签名：日期：摘要本文主要研究了广义的Kuramoto-Sivashinsky方程、带阻尼项的波动方程以及耦合模方程组等非线性波动方程解的性质,这些方程在火焰波的传播、薄膜振动以及光纤通信等问题中有着广泛的应用.利用Green函数方法以及先验估计,研究了前两个方程Cauchy问题的整体经典解的存在唯一性和衰减估计;利用双曲正切函数展开法得到了第三个方程的一些行波解,并对其物理意义做了讨论.本文由五章组成：第一章,介绍了Kuramoto-Sivashinsky方程、带阻尼项的波动方程以及耦合模方程组等非线性波动方程的物理背景,回顾了一些已有工作,给出本文的主要结果并做了一些记号说明.第二章,考虑多维的广义Kuramoto-Sivashinsky方程的Cauchy问题,其困难在于方程中的高阶导数项.为此,我们采用Green函数方法,在第二节中得到Green函数并做相关的能量估计,在第三节中对Cauchy问题构造迭代方程,使用不动点定理证明了整体经典解的存在唯一性,然后,使用先验估计等方法得到了解的逐点估计结果.第三章,考虑带阻尼项的波动方程的Cauchy问题,首先对解进行长波-短波分解,长波部分采用Green函数方法进行估计,短波部分采用能量方法进行估计.同样,对Cauchy问题构造迭代方程证明整体经典解的存在唯一性,最后用先验估计的方法得到解的L p(2≤p≤∞)估计.第四章,考虑一维的耦合模方程组在正常散射区域的一些行波解,在第二节中讨论了当κ=0时解的情况,此时方程是解耦的,并且前向波与后向波以相同的速度向两个相反的方向传播,用双曲正切函数展开法和齐次平衡法得到一些特殊的行波解,包括反扭结孤子解以及暗孤子解.在第三节中讨论了当κ=0时解的情况,通过构造辅助函数得到其它的行波解.第五章,对本文的工作进行了总结并提出对未来工作的一些展望.关键词:非线性波动方程;整体经典解;衰减估计;行波解.Study on Properties of Solutions for a Class ofNonlinear Wave EquationsY ingsℎuZℎangCollege of Mathematics and Informatics,South China Agricultural University,Guangzhou510642,ChinaAbstract:In this paper,we consider properties of solutions for Kuramoto-Sivashinsky equation,damped wave equation and coupled-mode equations.These equations are widely used in flame waves,thin film vibration,the optical fiber communication and other problems.By using Green function method and priori estimates,we obtain the existence and uniqueness of global classical solutions and its decay estimate of the first two equations;By using hyperbolic function expansion method,some traveling wave solutions of the third equation are obtained and its physical significance is discussed.This paper is organized in five chapters.In the first chapter,we give the physical background for the nonlinear evolution equations,such as Kuramoto-Sivashinsky equation,damped wave equation and coupled-mode equations.We look back to some significant results,then give our results.In the second chapter,we consider the Cauchy problem of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation in multi-dimensions.The difficulty is that KS equation consists of higher order derivatives.To overcome this difficulty,we give the Green function and the energy estimates in section2.2.In section2.3,we got the global classical solutions to the equations by means of constructional iterative equation.Then we obtain the pointwise estimate of solution by some priori estimates.In the third chapter,we consider the Cauchy problem of the damped wave equation. We first divide the solution into two parts by long wave-short wave decomposition.Then we get the estimate of long wave part by Green function method and short wave part by energy method.Similarly,we get the global classical solutions to the equations by means of constructional iterative equation.At last,L p(2≤p≤∞)estimate is obtainedby priori estimates.In the fourth chapter,we consider the traveling wave solutions of coupled-mode equations.In section4.2,whenκ=0,we utilize the hyperbolic function expansion method and homogeneous balance method to obtain some special traveling wave solu-tions,including kink soliton,anti-kink soliton and dark soliton.In section4.3,when κ=0,we construct an auxiliary function to get other traveling wave solutions.In the fifth chapter,we summarize our works and point out the further research directions.Keywords:Nonlinear wave equation;Global classical solution;Decay estimate; Traveling wave solution.目录第1章绪论 (1)1.1物理背景 (1)1.2相关工作 (3)1.3本文的主要结果 (4)1.4记号说明 (6)第2章多维的广义Kuramoto-Sivashinsky方程解的整体存在性与逐点估计8 2.1引言 (8)2.2Green函数与能量估计 (8)2.3解的整体存在性 (11)2.4Green函数的逐点估计 (14)2.5非线性问题的逐点估计 (19)第3章多维的带阻尼的波动方程解的整体存在性与衰减估计 (24)3.1引言 (24)3.2Green函数与能量估计 (24)3.3解的整体存在性 (28)3.4解的最优衰减估计 (31)第4章耦合模方程组的行波解 (33)4.1引言 (33)4.2κ=0时,方程的行波解 (33)4.3κ=0时,方程的行波解 (38)第5章总结与展望 (41)致谢 (42)参考文献 (43) (48)附录：攻读硕士学位期间发表的学术论文第1章绪论1.1物理背景20世纪60年代,随着物理学家们对量子力学研究的不断深入,发现许多问题无法用线性模型来描述,由此,非线性科学应运而生,其中非线性波动方程是其重要的分支与研究热点.本文将讨论有关广义的Kuramoto-Sivashinsky方程、带阻尼项的波动方程以及耦合模方程组等一些非线性波动方程解的性质.下面,我们分别介绍这三个方程的物理背景.首先,我们考虑了广义的Kuramoto-Sivashinsky(KS)方程(本文第二章),原始的KS方程具有如下形式Φt+|∇Φ|2+ΔΦ+Δ2Φ=0,(1.1)该方程分别由Kuramoto(1980)和Sivashinsky(1977)提出.通过引入新的变量u(x,t)=∇Φ(x,t)=(Φx1,Φx2,...,Φxn),我们得到了方程(1.1)的守恒形式u t+∇(︀|u|2)︀+Δu+Δ2u=0.(1.2)最初,该方程是在等离子体不稳定的离子模式下得到的(LaQuey,1975).在此之后,KS 方程已经被用于研究反应系统中的湍流,层流火焰面的不稳定扩散,斜平面上薄液膜的Rayleigh-Benard对流和流动稳定性(Sivashinsky,1980)以及人口的增长和扩散(Lin, 1982)等问题.此外,该方程还用于研究粘性膜层流动以及Navier-Stokes方程解的分支(Shlang,1982).其次,我们考虑了如下带阻尼项的波动方程(本文第三章)u tt−Δu+ku t=f(u),x∈R n,t≥0,(1.3)该方程又叫做半线性的电报方程或者半线性的耗散波方程,不同的非线性项可以反映扩散、对流等性质,不同的非线性项都可能引起方程解性质的不同.一维情况下它可以描述受到阻力作用的弦或均匀细杆的振动问题,多维情况下可以描述薄膜振动或声音的传播等问题,并在流体动力学中有着重要应用.同时,带阻尼的线性Euler 方程可以写成该方程的线性部分.通过对方程解的性质研究不仅能够分析出非线性问题的动力学行为,而且能够为各种物理化学现象提供合理的解释.此外,我们考虑了在光纤通信中非常重要的耦合模方程组(本文第四章)⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩−i dq 1t =i q 1x +δq 1+κq 2+γ(|q 1|2+2κ|q 2|2)q 1+a 1(q 1x −i b 1q 1)|q 1|+c 1q 1|q 1|,x ∈R ,t >0,i dq 2t =i q 2x −δq 2−κq 1−γ(|q 2|2+2κ|q 1|2)q 2−a 2(q 2x −i b 2q 2)|q 2|−c 2q 2|q 2|,x ∈R ,t >0,(1.4)在非线性科学领域中不得不提的就是非线性波动方程的孤子理论,其中一个重要的概念就是可积系统,尤其是完全可积系统,这是一个非常重要的研究课题,备受国内外学者的关注.1834年,英国力学家Russell 在第一次观察到浅水波时,发现了KdV 方程u t +αuu x +βu xxx =0.(1.5)经实践理论分析证明,它是完全可积的,具有光滑孤立子解,波形在相互作用中几乎不变.KdV 方程的发现为可积系统的研究奠定了基础,已成为孤立子理论的重要模型和支柱.Korteweg ,de Vries 在导出KdV 方程之后,还求出了一种形状不变的脉冲状的孤立波解,从而在理论上首次证实了孤立波的存在.1965年,美国数学家Kruskal 及Zabusky (1965)通过计算机研究KdV 方程的解,发现两个不同速度的孤立波在发生碰撞时,仍然保持波形和波速不改变,因此,称这两个孤立波的碰撞为弹性碰撞,其特点类似于粒子,故名为孤立子.它的特点是能量集中在狭小的区域,多个孤子相互作用发生弹性碰撞,也就是说波形和波速能还原到最初状态.此后,越来越多的物理学和数学研究者从实验和理论中发现,存在孤立波解的非线性偏微分方程还有很多,如非线性Shr¨o dinger 方程i ψt +ψxx +k |ψ|2ψ=0,(1.6)Sine-Gordon 方程u tt +u xx =sin u,(1.7)还有Klein-Gordon 方程,Toda 非线性晶格方程等,这些非线性偏微分方程在等离子体物理、非线性光学、天文学、生物学、量子场论和通信技术等领域都有着重要的地位和作用.与此同时,对于耦合方程和变系数方程的可积性及孤子解的研究仍是目前大家关注的焦点.早在1973年,Hasegawa(1973)首次提出光脉冲在非线性光栅中传播时可保持波形不变,并且该研究更是开拓了光纤通信的新领域.Slusher(2003)指出光纤布拉格光栅是一种周期性介质,并可导致前向波与后向波发生耦合.越来越多的物理学家逐渐通过实验发现,光脉冲在该非线性介质中是以孤立子的形式传播,如文献(Degasperis,2010; Hasegawa,2003;Belmontebeitia,2009).1989年,Aceves(1989)证实了在反常色散区存在暗孤子,正常色散区存在亮孤子.Zhao(1989)发现暗孤子比亮孤子稳定.1993年, Uzunov(1993)等人发现暗孤子受扰动的影响较小并且具有展宽慢的特点.正是由于暗孤子具有这些丰富的优点,使其在长距离光纤通信中发挥了极其重要的作用.因此,发现并求解一些非线性发展方程的暗孤子解有很重要的意义.自20世纪90年代起,已有很多类型的孤立子从实验中观测得到并在理论上证明了其存在性,例如时间光孤子、涡旋光孤子和二次光孤子等.耦合模理论在诸多领域都占有重要地位,例如电磁学、光波导和微波波导等.1.2相关工作近年来,人们对KS方程进行了诸多的研究,在解的适定性问题中,Cousin(2002)研究了KS方程在具有移动边界区域的情形,Kaikina(2006)研究了半直线上的KS方程, Cerpa(2011)研究了一维KS方程在轨道上的精确能控性;Giacomelli和Otto(2010)提出了一种新的边界条件,并研究了KS方程的长时间行为;在控制问题方面,Armaou和Christofides(2000)研究了KS方程的反馈控制问题,Cerpa(2010)研究了KS方程的非零能控性和稳定性问题.与此同时,国内也有很多非常好的工作,郭柏灵(Guo,1991)研究了以下多维KS方程的初值问题u t+αΔu+βΔ2u+n∑︁i=1ðxigradφ(u)=ψ(u),(1.8)该文献研究了方程整体光滑解的存在性及唯一性.进一步地,张领海(Zhang,1993)研究了当1≤n≤3时,任意初值条件下解的衰减.Allouba(2011)给出了KS方程在所有空间维数上的一个显式解,赵会江和唐少强(Zhao,2000)研究了以下多维KS方程解的衰减,u t+aΔu+bN∑︁i=1ðxjΔu+cΔ2u+du+N∑︁i=1ðxjf j(u)+Δf0(u)=g(u),(1.9)其中,f j(u)=O(|u|2),g(u)=O(|u|2).基于以上这些工作,本文的第二章考虑如下形式的非线性项f(u)=O(|u|ρ)(ρ>2).对于带阻尼项的波动方程(1.3),已有一些研究取了不同的非线性项,但形式比较具体.对于f(u)=−|u|θu,Kawashima,Nakao和Ono(1995)用能量方法并结合L p−L q估计,得到了方程(1.3)解的衰减估计.Ono(1997)在没有小初值的前提下得到了次临界解在R n的一个无界区域中的衰减估计.Nishihara和Zhao(2006)得到了方程解的衰减性质.Nishihara(2006)研究了n=3和n=4时解的整体渐进行为.对于非线性项f(u)= |u|θu的情况,可参考文献(Hosono,2004;Ikehata,2004;Narazaki,2004;Nishihara,2003).具体来说,Hosono和Ogawa(2004)研究了当n=3时解的长时间行为和L p−L q估计.当2≤n≤5时,Narazaki(2004)做了同样类型的估计.对于非线性项f(u)=|u|θ+1的情况,可参考文献(Ikehata,2003;Ono,2006;Ono,2003;Zhang,2001).其中,Ono(2006)研究了半线性耗散波方程解的整体存在性与L p估计.Ono(2003)给出了整体小解的存在性及渐进行为.此外,对于线性问题,即f(u)=0,Marchti和Nishihara(2003)对空间变量是一维的情况作了分析,Nishihara(2003)研究了n=3的情况.对于高维情形,Ono分别在文献(Ono,2004;Ono,2005)中得到了解在偶数维空间的L p(p≥1)估计和奇数维空间的L p(1≤p<2)估计.Liu和Wang(2008)用Green函数方法得到了解在全空间上的逐点估计结果.与耦合模方程组相关的研究大多数是采用有限差分方法或者传输矩阵法,考虑耦合模方程组的数值解,如文献(Lin,2004).但是对其精确解的研究相对较少.近些年,非线性发展方程的孤子理论已有非常广泛的研究,其中出现了很多构造方程精确解的方法,例如散射反演法、Hirota双线性方法、齐次平衡法、B¨a cklund变换,Darboux 变换(Ling,2010)等等.本文第四章将采用双曲函数展开法与齐次平衡法相结合,得到耦合模方程组的一些精确解.1.3本文的主要结果本文的第一个工作是对多维的广义Kuramoto-Sivashinsky方程的Cauchy问题进行了研究⎧⎪⎨⎪⎩u t+aΔu+bΔ2u+cu+∇f(u)=0,x∈R n,t≥0,u(x,0)=u0(x),(1.10)这里非线性项为f (u )=O (|u |ρ)(ρ≥2).首先,结合Green 函数方法和一系列能量估计,我们研究了问题(1.10)经典解的整体存在唯一性,然后,利用Green 函数方法,得到了方程解的逐点估计结果,进一步,利用插值不等式得到了解的L p (1≤p ≤∞)估计.主要结果如下：定理1.3.1对于空间维数n ≥3,假设初值满足‖u 0‖H l ∩L 1≤ε,(1.11)其中,l ≥5+[︀n 2]︀,ε≪1是常数.那么问题(1.10)有唯一的整体经典解u (x,t ).进一步地,对于任意α,|α|<l −n2,存在常数M >0,N >[︀n 2]︀+1使得supp(u 0)⊆{x ∈R n ||x |<M },(1.12)以及‖u 0‖W l −n 2−1,∞≤ε(1+M 4)−N ,(1.13)从而,对于|α|≤min {l −[︀n 2]︀−1,n },我们有以下估计|D αx u (x,t )|≤C (1+t )−n +|α|4B N (|x |2,t ),(1.14)其中,B N (|x |,t )=(︁1+|x |21+t)︁−N.推论1.3.1在定理1.3.1的假设下,对于p ∈[1,∞],|α|<n ,我们有‖D αx u (·,t )‖L p ≤C (1+t )−n 4(1−1p )−|α|4.(1.15)本文的第二个工作是对多维的带阻尼项的波动方程的Cauchy 问题进行了研究⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩u tt −Δu +ku t =f (u ),x ∈R n ,t ≥0,u (x,0)=u 0(x ),u t (x,0)=u 1(x ),(1.16)利用Green 函数方法和不动点定理,我们得到了问题(1.16)经典解的整体存在性,接着,利用长波-短波分解得到解的一些衰减性质,更进一步,易得最优的L p (2≤p ≤∞)衰减估计.主要结果如下：定理1.3.2假设整数θ≥1.如果存在足够小的常数ε>0使得初值满足‖u0‖H l+1∩L1+‖u1‖H l∩L1≤ε0,(1.17)并且0<ε0<C−10ε(C0是不依赖于ε的足够大的正常数),l≥[︀n2]︀+3,那么,方程存在唯一的整体经典解u(x,t).进一步地,我们得到如下解的最优衰减估计‖ðαx u(·,t)‖L2≤Cε(1+t)−n4−|α|2,‖ðβxu(·,t)‖L∞≤Cε(1+t)−n2−|β|2,(1.18)其中,|α|<l,|β|<l−[︀n2]︀−1.n是空间维数,[a]=max{b|b是整数,b≤a}和C是常数.推论1.3.2在定理1.3.2的假设下,对于p∈[2,∞],|α|<l−[n2]−1,我们有‖ðαxu(·,t)‖L p≤C(1+t)−n2(1−1p)−|α|2.(1.19)本文的第三个工作是对一维的非线性耦合模方程组的行波解进行了研究⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩−i dq1t=i q1x+δq1+κq2+γ(|q1|2+2κ|q2|2)q1+a1(q1x−i b1q1)|q1|+c1q1|q1|,x∈R,t>0,i dq2t=i q2x−δq2−κq1−γ(|q2|2+2κ|q1|2)q2−a2(q2x−i b2q2)|q2|−c2q2|q2|,x∈R,t>0,(1.20)当κ=0时,方程是解耦的并且前向波与后向波以相同的速度向两个相反的方向传播.我们用双曲正切函数展开法和齐次平衡法得到一些特殊的行波解,即孤立子解.在这种情况下(κ=0),当d2=0,γ<1,q1,q2在γ>1时,均具有反扭结孤子解以及暗孤子解.当d2=0时,q1同时具有扭结解和反扭结解,然而,q2只有反扭结解.在另一种情况下(κ=0),我们通过构造辅助函数得到其它的行波解.1.4记号说明在本节中,我们对下文将用到的记号做一些说明.α=(α1,α2,...,αn)和β=(β1,β2,...,βn)是多重指标;C表示正常数,不同位置的C表示不同数值;L p,W m,p分别是定义在R n上的Lebesgue空间以及Sobolev空间,具有如下范数‖·‖L p,‖·‖W m,p.特别地,通常记H m(R n)=W m,2(R n),并定义齐次的Sobolev空间为˙H m(R n),具有范数˙H m(R n)=⎧⎨⎩f⃒⃒⃒⃒⃒∑︁|α|=m||ðαxf||L2≤C⎫⎬⎭,||f||˙H m(Rn)=∑︁|α|=m||ðαxf||L2.假设f(x,t)∈L1(R n),我们定义该函数在空间f(x,t)∈L1(R n)上的Fourier变换为̂︀f(ξ,t)=∫︁R nf(x,t)e−√−1x·ξdx,及其Fourier逆变换为(︁ℱ−1̂︀f )︁(x,t)=(2π)−n∫︁R n̂︀f(ξ,t)e√−1x·ξdξ.第2章多维的广义Kuramoto-Sivashinsky 方程解的整体存在性与逐点估计2.1引言在本章中,我们将考虑如下多维的广义Kuramoto-Sivashinsky (KS)方程的Cauchy问题⎧⎪⎨⎪⎩u t +a Δu +b Δ2u +cu +∇f (u )=0,x ∈R n ,t ≥0,u (x,0)=u 0(x ),(2.1)其中，u =u (x,t )是一个以x =(x 1,x 2,...,x n )∈R n 和t 为自变量的向量函数,t ≥0,n ≥3,a ,b ,c 都是正常数,并且a 2<4bc .这里非线性项为f (u )=O (|u |ρ)(ρ≥2).假设方程(2.1)的解及其各阶导数当|x |→∞时趋向于0.本章主要研究广义的KS 方程Cauchy 问题(2.1)整体经典解的存在性以及逐点估计.目前,关于该方程解的逐点估计方面的研究很少,主要困难源于其高阶导数项.为了克服这一困难,我们主要采用Green 函数的方法(Wang,2010;Liu,2014;Shi,2016;Chen,2016),首先,用Green 函数把方程的解表示出来,并得到Green 函数的逐点估计结果,接着,对方程的解进行逐点估计,最后,很容易得到解的L p (1≤p ≤∞)估计.2.2Green 函数与能量估计首先,我们研究问题(2.1)的Green 函数,即考虑以下初值问题的解⎧⎪⎨⎪⎩(ðt +a Δ+b Δ2+c )G =0,G |t =0=δ(x ).(2.2)对方程做Fourier 变换得到⎧⎪⎨⎪⎩(ðt −a |ξ|2+b |ξ|4+c )̂︀G=0,̂︀G |t =0=1,ξ∈R n ,(2.3)为方便起见，后文记μ(ξ)=a|ξ|2−b|ξ|4−c.解得̂︀G(ξ,t)=eμ(ξ)t.(2.4)利用Duhamel原理，得到非线性问题(2.1)解的表达式u(x,t)=G(t)*u0−∫︁tG(t−s)*∇f(u)(s)ds.(2.5)令χ1(ξ)=⎧⎨⎩1,|ξ|<r,0,|ξ|≥2r,χ3(ξ)=⎧⎨⎩1,|ξ|>R,0,|ξ|<R−1,为两个光滑的截断函数,其中r,R为常数且2r<R−1,此外,χ2(ξ)=1−χ1(ξ)−χ3(ξ).定义̂︁G i(ξ,t)=χi(ξ)̂︀G(ξ,t),i=1,2,3.由文献(Wang,2010)我们知道线性问题解的衰减主要与̂︀G(ξ,t)的低频部分有关.我们采用截断函数将解分为低频、中频和高频三部分,即u(x,t)=u1(x,t)+u2(x,t)+u3(x,t).引理2.2.1对于n≥3,如果f∈L1(R n),则存在常数C>0使得对于|α|≥0有‖DαxG1(x,t)*f(x)‖L2≤C(1+t)−|α|4−n8‖f‖L1,(2.7)‖DαxG1(x,t)*f(x)‖L∞≤C(1+t)−|α|+n4‖f‖L1.(2.8)证明由于|ξ|<r和r足够小,我们可以选择c使得a|ξ|2−c<0.因此,⃒⃒⃒̂︁G1(ξ,t)⃒⃒⃒<e−b|ξ|4t.由Plancherel等式和Hausdorff-Young不等式,我们得到‖Dαx G1(x,t)*f(x)‖L2=(︂∫︁R n⃒⃒⃒(√−1ξ)α̂︁G1(ξ,t)̂︀f(ξ)⃒⃒⃒2dξ)︂12≤C(︂∫︁|ξ|<r⃒⃒⃒|ξ||α|e−b|ξ|4t̂︀f⃒⃒⃒2dξ)︂12≤C‖̂︀f‖L∞(︂∫︁|ξ|<r⃒⃒⃒|ξ||α|e−b|ξ|4t⃒⃒⃒2dξ)︂12≤C‖f‖L1(1+t)−|α|4−n8,(2.9)其中我们用到了如下两个结果∫︁|ξ|<r ⃒⃒⃒|ξ||α|e−b|ξ|4t⃒⃒⃒2dξ≤Ct−|α|2−n4∫︁|ξ|<r|η|2|α|e−2b|η|4dη≤Ct−|α|2−n4∫︁∞R2|α|e−2bR4R n−1dR≤Ct−|α|2−n4,(2.10)由于n≥3,同时还有∫︁|ξ|<r ⃒⃒⃒|ξ||α|e−b|ξ|4t⃒⃒⃒2dξ≤C∫︁r|ξ|2|α|+n−1d|ξ|≤C.(2.11)从而(2.9)成立.对于(2.8),直接计算可得‖Dαx G1(x,t)*f(x)‖L∞≤C‖f‖L1‖DαxG1(x,t)‖L∞≤C‖f‖L1‖∫︁|ξ|<r(√−1ξ)α̂︁G1(ξ,t)e√−1xξdξ‖L∞≤C‖f‖L1∫︁|ξ|<r|ξ||α|e−b|ξ|4t dξ≤C‖f‖L1(1+t)−|α|+n4.(2.12)引理2.2.2对于n≥3,如果f∈L1(R n),则存在常数C>0使得对于|α|≥0有‖DαxG2(x,t)*f(x)‖L2≤Ce−b0t‖f‖L1,(2.13)‖DαxG2(x,t)*f(x)‖L∞≤Ce−b0t‖f‖L1.(2.14)证明由于a2<4bc,我们得到μ(ξ)=a|ξ|2−b|ξ|4−c是负的，并且ξ在远离ξ=0和ξ=∞的有界区域内.因此,存在常数b0>0使得|̂︁G2(ξ,t)|≤Ce−b0t.该引理的其余证明部分可参照引理2.2.1.根据高频部分的定义,可以得到下述引理引理2.2.3假设u(x)∈H m,m≥0是整数.则对于高频部分,存在常数C使得对任意整数s∈[0,m]有下式成立‖u‖L2≤C‖u‖˙H s,(2.15)引理2.2.4假设u(x,t)是问题(2.1)的解,并且u3(x,t)是u(x,t)的高频部分,存在常数C>0使得‖Dαx u3‖2L2≤C∫︁te−t−τc‖Dαxf‖2L2dτ+Ce−t c‖Dαxu0‖2L2.(2.16)证明不失一般性,我们只考虑|α|=0的情况.将Cauchy问题(2.1)重新改写成高频的形式⎧⎪⎨⎪⎩ðt u3+aΔu3+bΔ2u3+cu3+∇χ3f(u)=0,x∈R n,t≥0,u3|t=0=u3,0(x),(2.17)在(2.17)两端同乘u 3(x,t ),再关于x 分部积分,利用Cauchy 不等式,我们得到12∫︁R n d dt (u 3)2dx −a∫︁R n |∇u 3|2dx +b ∫︁R n |Δu 3|2dx +c ∫︁R n |u 3|2dx ≤∫︁R n|∇u 3|2dx +∫︁R n|f (u )|2dx.(2.18)再次利用引理2.2.3,得到ddt ∫︁R n (u 3)2dx +∫︁R n |u 3|2dx ≤2∫︁R n |f (u )|2dx.(2.19)因此,存在常数C >0使得d dte tc ∫︁R n(u 3)2dx ≤Cet c∫︁R n|f (u )|2dx.(2.20)接着对变量t 在(0,t )上积分,结合引理2.2.3,得到‖u 3‖2L 2≤C ∫︁te −t −τc ‖f ‖2L 2dτ+Ce −t c ‖u 0‖2L 2.(2.21)高阶导数的估计可以类似地得到.2.3解的整体存在性我们接下来要考虑解在空间X l,E 中的性质.对于一个给定的整数l ≥[︀n 2]︀+5以及常数E >0,定义X l,E ={u (x,t )|D l (u )≤E },(2.22)其中D l (u )定义如下D l (u )=sup 0≤t{(1+t )n4‖u ‖W l −[n 2]−1,∞+(1+t )n8‖u ‖H l }.(2.23)显然X l,E 是一个非空的Banach 空间.为了得到整体解,我们将通过以下方式构造一个收敛序列{u m (x,t )}∞m =1⎧⎪⎨⎪⎩u m t +a Δu m +b Δ2u m +cu m +∇f (um −1)=0,x ∈R n ,t ≥0,u m |t =0=u 0(x ),(2.24)其中,m ≥1,u 0(x,t )=0.接下来,我们将给出一个之后要用到的引理,证明的细节参考文献(Liu,2014).引理2.3.1令s和ρ≥2是正整数,δ>0,p,q,r∈[1,∞]满足1r =1p+1q.函数F=F(ω)=ωρ属于C s.如果ω,̃︀ω∈W s,q∩L p∩L∞和‖ω‖L∞≤δ,则‖F(ω)‖W s,r≤C(‖ω‖W s,q‖ω‖L p‖ω‖ρ−2L∞),(2.25)更进一步,我们有‖F(ω)−F(̃︀ω)‖W s,r≤C(‖ω‖L∞+‖̃︀ω‖L∞)ρ−2(‖ω−̃︀ω‖W s,q(‖ω‖L p+‖̃︀ω‖L p)+‖ω−̃︀ω‖L p(‖ω‖W s,q+‖̃︀ω‖W s,q)).(2.26)定理2.3.1假设l≥[︀n2]︀+5,如果ε≪1,且u0满足‖u0‖H l∩L1≤ε.那么{u m}∞m=1∈Xl,ε13是一个Cauchy列.这意味着问题(2.1)存在唯一的整体经典解u(x,t)∈Xl,ε13.证明我们利用Duhamel原理将问题(2.24)的解表示出来Dαxu m(x,t)=DαxG(x,t)*u0−∫︁tDαx∇G(x,t−s)*(f(u m−1)(x,s))ds,(2.27)对于u3(x,t),由于当k>n2时,H k(R n)˓→L∞,我们有‖u m3‖2W l−[n2]−1,∞≤∑︁|β|≤l−[n2]−1‖Dβxu m3‖2L∞≤C∑︁|β|≤l−[n2]−1‖Dβxu m3‖2H[n2]+1≤C‖u m3‖2H l.(2.28)接下来我们用数学归纳法证明{u m}∞m=1∈Xl,ε13.首先证明m=1的情况,从引理2.2.1和(2.27)得到‖Dαx u11‖L2≤C(1+t)−α4−n8‖u0‖L1≤ε(1+t)−n8.(2.29)类似地,‖Dαx u11‖L∞≤C(1+t)−α+n4‖u0‖L1≤ε(1+t)−n4.(2.30)从引理2.2.2和(2.27)得到‖Dαx u12‖L2≤Cεe−b0t,(2.31)‖Dαx u12‖L∞≤Cεe−b0t.(2.32)同时,我们结合引理2.2.4与方程(2.28)得到‖u13‖2H l≤Ce−t c‖u0‖2H l≤εe−t c,(2.33)D l(u1)≤E,因此u1⊆X l,E.接着,我们假设当j≤m−1,u j⊆X l,E时,{u m}∞m=1∈X l,E成立.从引理2.3.1得到‖f(u m−1)(·,s)‖L1≤C‖u m−1(·,s)‖2L2‖u m−1(·,s)‖ρ−2L∞≤Cε23(1+s)−n4.(2.34)对于ρ≥2,我们从(2.27)得到了以下的估计‖Dαx u m1(·,t)‖L2≤Cε(1+t)−n8+Cε23∫︁t(1+t−s)−α+14−n8(1+s)−n4ds≤Cε13(1+t)−n8.(2.35)类似地,‖Dαx u m1(·,t)‖L∞≤Cε(1+t)−n4+Cε23∫︁t(1+t−s)−α+14−n4(1+s)−n4ds≤Cε13(1+t)−n4,(2.36)和‖Dαx u m2(·,t)‖L2≤Cεe−b0s+Cε23∫︁te−b0s(1+s)−n4ds≤Cε13(1+t)−n8,(2.37)‖Dαx u m2(·,t)‖L∞≤Cεe−b0t+Cε23∫︁te−b0t(1+s)−n4ds≤Cε13(1+t)−n4.(2.38)再次使用引理2.3.1,‖f(u m−1)(·,s)‖H l≤C‖u m−1(·,s)‖H l‖u m−1(·,s)‖L∞‖u m−1(·,s)‖ρ−2L∞≤Cε23(1+s)−3n8,(2.39)结合引理2.2.4我们得到‖u m3(·,t)‖H l≤C(︂ε2e−t c+ε43∫︁te−t−s c(1+s)−3n4ds)︂12≤ε13(1+t)−n4.(2.40)至此,我们证明了{u m}∞m=1∈X l,E.然后,我们将证明{u m}∞m=1∈X l,E是一个Cauchy列.令v m=u m−u m−1.对于m≥2,我们有⎧⎪⎨⎪⎩ðt v m+aΔv m+bΔ2v m+cv m+∇f(u m−1)−∇f(u m−2)=0,v m|t=0=0.(2.41)通过引理2.3.1,我们得到‖f(u m−1)−f(u m−2)‖L1≤C (︀‖u m−1‖L∞+‖u m−2‖L∞)︀ρ−2(‖u m−1‖L2+‖u m−2‖L2)‖v m−1‖H0≤CEρ−1(1+t)−n4D l(v m−1).(2.42)以及‖Dαx v m1(·,t)‖L2≤CEρ−1∫︁t(1+t−s)−|α|+14−n8(1+s)−n4dsD l(v m−1)≤E(1+t)−n8D l(v m−1),(2.43)‖Dαxv m1(·,t)‖L∞≤E(1+t)−n4D l(v m−1).(2.44)类似地,‖Dαx v m2(·,t)‖L2≤E(1+t)−n8D l(v m−1),(2.45)‖Dαx v m2(·,t)‖L∞≤E(1+t)−n4D l(v m−1).(2.46)结合引理2.2.4和2.3.1,我们有‖v m3(·,t)‖Hl≤C(︂∫︁te−t−s c‖f(u m−2)(·,s)−f(u m−1)(·,s)‖2H lds)︂12≤C(∫︁te−t−s c(︀‖u m−1‖L∞+‖u m−2‖L∞)︀2(ρ−2)[‖v m−1‖H l(‖u m−1‖L∞+‖u m−2‖L∞)+‖v m−1‖L∞(︀‖u m−1‖H l+‖u m−2‖H l)︀]2ds)12≤E(1+t)−n4D l(v m−1).(2.47)最后,我们可以得到D l(v m)≤ED l(v m−1).由于E=ε13≪1,{u m}是Banach空间X l,E的一个Cauchy列,并且它的极限函数u是Cauchy问题(2.1)的一个整体解.至此,我们完成了该定理的证明.2.4Green函数的逐点估计为了得到方程解的逐点估计,我们在本节首先给出Green函数的逐点估计.引理2.4.1假设t>0,ξ∈R n,则存在常数C=C(β,b)使得|Dβξe−b|ξ|4t|≤C|ξ||β|t|β|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|2e−b|ξ|4t.(2.48)证明如果ξ∈R n,那么直接计算即可得到.假设ξ=(ξ1,ξ2,...,ξn)∈R n,则有|Dβξe−b|ξ|4t|=n∏︁i=1⃒⃒⃒Dβiξi e−bξ4i t⃒⃒⃒≤n∏︁i=1Cξβiitβi2(︀1+ξ4it)︀βi2e−bξ4i t≤n∏︁i=1C|ξ|βi tβi2(︀1+|ξ|4t)︀βi2e−bξ4i t≤C|ξ||β|t|β|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|2e−b|ξ|4t.(2.49)引理2.4.2假设t>0,ξ∈R n,b∈R n,则存在常数C=C(α,β,b)使得⃒⃒⃒Dβξ(︁ξαe−b|ξ|4t)︁⃒⃒⃒≤C|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b|ξ|4t.(2.50)证明从（2.48）得到⃒⃒⃒Dβξ(︁ξαe−b|ξ|4t)︁⃒⃒⃒≤C∑︁|γ|≤|β|⃒⃒⃒⃒(︂βγ)︂DγξξαDβ−γξe−b|ξ|4t⃒⃒⃒⃒≤C∑︁|γ|≤|β||Dγξξα||ξ||β|−|γ|t|β|−|γ|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|−|γ|2e−b|ξ|4t.(2.51)如果|β|≤|α|,则⃒⃒⃒Dβξ(︁ξαe−b|ξ|4t)︁⃒⃒⃒≤C∑︁|γ|≤|β||ξ||α|−|γ||ξ||β|−|γ|t|β|−|γ|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|−|γ|2e−b|ξ|4t≤C|ξ||α|−|β|[︁1+|ξ|2t12(︀1+|ξ|4t)︀12]︁|β|e−b|ξ|4t≤C|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b|ξ|4t,(2.52)如果|β|>|α|,则⃒⃒⃒Dβξ(︁ξαe−b|ξ|4t)︁⃒⃒⃒≤C∑︁|γ|≤|α||ξ||α|−|γ||ξ||β|−|γ|t|β|−|γ|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|−|γ|2e−b|ξ|4t≤C|ξ||β|−|α|t|β|−|α|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|−|α|2∑︁|γ|≤|α|[︀|ξ|4t(︀1+|ξ|4t|)︀]︀|α|−|γ|2e−b|ξ|4t≤C|ξ||β|−|α|t|β|−|α|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|−|α|2[︁1+(︀|ξ|4t(︀1+|ξ|4t)︀)︀12]︁|α|e−b|ξ|4t≤C|ξ||β|−|α|t|β|−|α|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|+|α|2e−b|ξ|4t.(2.53)又由于当|β|≥|α|时,|ξ||β|−|α|t|β|−|α|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|+|α|2e−b|ξ|4t=|ξ||β|−|α|(︀|ξ|4t)︀|β|+|α|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|+|α|2e−b|ξ|4t=O(1)|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b|ξ|4t,(2.54)我们得到(2.50).引理2.4.3假设G1(x,t)是̂︁G1(ξ,t)的Fourier逆变换,并且α是一个非负整数.那么,当ε足够小时,我们有以下的估计成立|Dαx G1(x,t)|≤C(1+t)−n+|α|4B N(︀|x|2,t)︀.(2.55)证明由于|ξ|<ε且ε足够小,我们可得到a|ξ|2−c<0.因此,̂︁G1(ξ,t)<e−b|ξ|4t.通过引理2.4.2我们得到⃒⃒⃒Dβξ(︁ξα̂︁G1(ξ,t))︁⃒⃒⃒≤C|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|+1e−b|ξ|4t.(2.56)直接计算可得⃒⃒xβDαξG1(x,t)⃒⃒=(︂1√2π)︂n⃒⃒⃒⃒∫︁R ne ixξDβξ(︁ξα̂︁G1(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤C∫︁R n|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b|ξ|4t dξ≤Ct|β|−|α|−n4,(2.57)进一步可得|DαxG1(x,t)|≤Ct−|α|+n4x−βt|β|4≤Ct−|α|+n4x−β(1+t)|β|4≤Ct−|α|+n4(︂1+tx4)︂|β|4.(2.58)另一方面,|Dαx G1(x,t)|=(︂1√2π)︂n⃒⃒⃒⃒∫︁R ne ixξ(︁ξα̂︁G1(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤∫︁|ξ|<r|ξ|αe−b|ξ|4t dξ≤Ct−|α|+n4.(2.59)因此,我们有(令|β|=4N)|Dαx G1(x,t)|≤Ct−|α|+n4min(︃1,(︂1+tx4)︂N)︃.(2.60)由于1+x41+t≤⎧⎪⎨⎪⎩2,|x|4≤t+1,2|x|41+t,|x|4>t+1,我们有min (︃1,(︂1+tx4)︂N)︃≤2N(︀1+1+tx4)︀N=2N B N(︀|x|2,t)︀.(2.62)因此,我们得到(2.55).接下来,我们对G2(x,t)作估计.引理2.4.4对于任意固定的ε和R,存在正常数b1和C使得|Dαx G2(x,t)|≤Ce−b1t B N(︀|x|2,t)︀.(2.63)证明由于a2<4bc,我们知道μ(ξ)非负,并且ξ位于远离ξ=0和ξ=∞的有界区域中.因此,存在常数b0>0使得|̂︁G2(ξ,t)|≤Ce−b0t.从而,|Dαx G2(x,t)|≤C⃒⃒⃒⃒∫︁r≤|ξ|≤Re ixξ(︁ξα̂︁G2(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤Ce−b0t∫︁r≤|ξ|≤R|ξ|αdξ≤Ce−b0t.(2.64)下一步,我们用数学归纳法证明下列不等式⃒⃒⃒Dβξ̂︁G2(ξ,t)⃒⃒⃒≤C(1+t)|β|e−b0t.(2.65)显然,当|β|=0时,上式成立.假设当|β|≤l−1时上式均成立,我们将证明当|β|=l时也成立.将χ2(ξ)和Dβξ作用于方程(2.3),我们得到⎧⎪⎨⎪⎩ðt Dβξ̂︁G2(ξ,t)−μ(ξ)Dβξ̂︁G2(ξ,t)=H(ξ,t),Dβξ̂︁G2(ξ,t)=a0,(2.66)其中,H(ξ,t)=∑︀|β1|+|β2|=|β|,|β|̸=0β!β1!β2!(︁Dβ1ξμ(ξ)Dβ2ξ̂︁G2)︁,并且a0是一个|ξ|的多项式函数.对于|β|=l,我们有Dβξ̂︁G2(ξ,t)=a0*̂︁G2(ξ,t)+∫︁t̂︁G2(ξ,t−s)H(ξ,s)ds.(2.67)由假设有⃒⃒⃒Dβξ̂︁G2(ξ,t)⃒⃒⃒≤Ce−b0t+C∫︁te−b0(t−s)e−b0s(1+s)|β|−1ds≤Ce−b0t(1+t)|β|.(2.68)因此,对每个1≤|β|≤l,我们有⃒⃒xβDαξG2(x,t)⃒⃒≤C⃒⃒⃒⃒∫︁R ne ixξDβξ(︁ξα̂︁G2(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤C(1+t)|β|e−b0t∫︁r≤|ξ|≤R|ξ||α|+|ξ|||α|−|β||dξ≤C(1+t)|β|e−b0t≤C(1+t)|β|4e−b1t,(2.69)其中,b1∈(0,b0).进而有|Dαx G2(x,t)|≤Ce−b1t(︂1+tx4)︂|β|4.(2.70)结合(2.64)和(2.70),我们得到|Dαx G2(x,t)|≤Ce−b1t min(︃1,(︂1+tx4)︂N)︃.(2.71)由(2.62)及(2.71)立即推出(2.63).引理2.4.5选取足够大的R,则存在正常数C使得|Dαx G3(x,t)|≤Ce−ct(1+t)−|α|+n4B N(︀|x|2,t)︀.(2.72)证明由于|ξ|足够大,则存在正常数b2=a(R+1)2−b使得⃒⃒⃒̂︁G3⃒⃒⃒≤Ce−b2|ξ|4t e−ct.(2.73)又由引理2.4.2,我们得到⃒⃒⃒Dβξ(︁ξα̂︁G3(ξ,t))︁⃒⃒⃒≤C|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b2|ξ|4t e−ct.(2.74)直接计算可得⃒⃒xβDαξG3(x,t)⃒⃒=(︂1√2π)︂n⃒⃒⃒⃒∫︁R ne ixξDβξ(︁ξα̂︁G3(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤Ce−ct∫︁R n|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b2|ξ|4t dξ≤Ct|β|−|α|−n4e−ct.(2.75)因此,我们得到|Dαx G3(x,t)|≤Ct−|α|+n4(︂1+tx4)︂|β|4e−ct.(2.76)另一方面|Dαx G3(x,t)|=(︂1√2π)︂n⃒⃒⃒⃒∫︁R ne ixξ(︁ξα̂︁G3(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤∫︁|ξ|>R|ξ|αe−b2|ξ|4t e−ct dξ≤Ct−|α|+n4e−ct.(2.77)再次利用(2.62)以及上述的讨论方法,我们可以通过(2.76)与(2.77)得到(2.72).2.5非线性问题的逐点估计现在我们要给出问题(2.1)解的逐点估计.将(2.5)两端作用算子Dαx并应用Duhamel 原理，得到Dαx u=DαxG(t)*u0−∫︁tDαxG(t−s)*∇f(u)(s)ds:=Rα1−Rα2.(2.78)首先,我们对Rα1作估计.引理2.5.1假设|y|≤M,则有(︂1+|x−y|41+t)︂−1≤C(1+M4)(︂1+|x|41+t)︂−1.(2.79)证明由于|x|−|y|≤|x−y|≤|x|+|y|,我们有||x−y|−|x||≤|y|≤M,因此,|x|4=(|x|−|x−y|+|x−y|)4≤C((|x|−|x−y|)4+|x−y|4)≤C(M4+|x−y|4).从而,(︂1+|x−y|41+t)︂−1≤1+CM4+C|x−y|41+t≤C(1+M4)(︂1+|x−y|41+t)︂.证毕.由我们对初值u0的假设和引理2.5.1,我们得到|Rα1|≤|DαxG1*u0|+|DαxG2*u0|+|DαxG3*u0|≤C[∫︁R n(1+t)−n+|α|4B N(|x−y|2,t)u0(y)dy+∫︁R ne−b1t B N(|x−y|2,t)u0(y,t)dy+∫︁R n(1+t)−n+|α|4e−ct B N(|x−y|2,t)u0(y)]dy≤C(1+t)−n+|α|4∫︁R nB N(|x−y|2,t)u0(y)dy≤Cε(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t).(2.82)接下来,我们对Rα2作估计.关于Rα2我们有|Rα2|≤⃒⃒⃒⃒∫︁tDαxG1(t−s)*∇f(u)(s)ds⃒⃒⃒⃒+⃒⃒⃒⃒∫︁tDαxG2(t−s)*∇f(u)(s)ds⃒⃒⃒⃒+⃒⃒⃒⃒∫︁tDαxG3(t−s)*∇f(u)(s)ds⃒⃒⃒⃒:=Rα2,1+Rα2,2+Rα2,3.(2.83)下面我们将分别估计Rα2,1,Rα2,2和Rα2,3.令ϕ(x,t)=(1+t)n+|α|4(B N(|x|2,t))−1,M(t)=sup(x,s)∈R n×[0,t),|α|≤l−[n2]|Dαxu(x,s)ϕ(x,s)|.也就是说|Dαxu(x,t)|≤M(t)(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t).(2.86)进而计算得到|Dαxf(x,t)|≤Mρ(t)(1+t)−n2−|α|4B N(|x|2,t).(2.87)引理2.5.2假设x∈R n,n1,n2>n+12,如果|Dαx L1|≤C(1+t)−n2−|α|4B n1(|x|2,t),(2.88)和|Dαx L2|≤C(1+t)−n4−|α|4B n2(|x|2,t).(2.89)那么⃒⃒⃒⃒∫︁tDαxL1*DαxL2dx⃒⃒⃒⃒≤C(1+t)−n+|α|4B n3(|x|2,t),(2.90)其中,n3=min{n1,n2}.证明该引理的证明可以参考文献(Liu,2014)中引理2.4对θ=1时的内容,我们在此省略.根据引理2.4.3,|Dαx ∇G1(x,t)|≤C(1+t)−n+|α|+14,(2.91)我们应用引理2.5.2得到⃒⃒Rα2,1⃒⃒=⃒⃒⃒⃒∫︁tDαx∇G1(t−s)*f(u)(s)ds⃒⃒⃒⃒≤CMρ(t)(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t).(2.92)进一步地,我们可类似得到⃒⃒Rα2,3⃒⃒≤C|∫︁t∫︁R ne−c(t−s)(1+t−s)−|α|4B N(|x−y|2,t−s)(1+s)−n2−|α|4·B N(|y|2,s)dyds|≤CMρ(t)(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t),(2.93)⃒⃒Rα2,2⃒⃒≤C⃒⃒⃒⃒∫︁t∫︁R ne−b1(t−s)B N(|x−y|2,t−s)(1+s)−n2−|α|4B N(|y|2,s)dyds⃒⃒⃒⃒≤C|∫︁t∫︁R n(1+t−s)−n+|α|4B N(|x−y|2,t−s)(1+s)−n2−|α|4·B N(|y|2,s)dyds|≤CMρ(t)(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t).(2.94)结合(2.82),(2.92),(2.93)和(2.94)可得|Dαxu(·,t)|≤C(ε+Mρ(t))((1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t)).(2.95)再根据M(t)的定义,我们有M(t)≤C(ε+Mρ(t)).(2.96)由于M(0)=supx∈R n,|α|≤l−[n2]−1|Dαxu0(x)|(1+|x|2)N,(2.97)可得下式M(0)≤ε.(2.98)由于E≪1,以及M(t)的连续性,我们得到M(t)≤2Cε,(2.99)当|α|≤min{l−[︀n2]︀−1,n}时,有|Dαxu(x,t)|≤C(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t).(2.100)引理2.5.3假设t>0,m>n4,则∫︁R n (︂1+|x|41+t)︂−mdx≤C(1+t)n4.(2.101)证明令w=|x|,我们有∫︁R n (︂1+|x|41+t)︂−mdx≤C∫︁∞(︂1+w41+t)︂−mw n−1dw≤C(1+t)n4∫︁∞[︃1+w(1+t)14]︃−4m+n−1dw(1+t)14≤C(1+t)n4,(2.102)其中,在最后一个不等式中用到了m>n4.推论2.5.1在定理2.3.1的假设下,对于p∈[1,∞],|α|<n,我们有下列估计‖Dαxu(·,t)‖L p≤C(1+t)−n4(1−1p)−|α|4.(2.103)证明当p∈[1,∞)时,由(2.100)我们有‖Dαx u(·,t)‖L p=(︂∫︁R n|Dαxu(x,t)|p dx)︂1p≤C(1+t)−n+|α|4(︂∫︁nR⃒⃒B N(|x|2,t)⃒⃒pdx)︂1p≤C(1+t)−n+|α|4[︃∫︁R n(︂1+|x|41+t)︂−Npdx]︃1p≤C(1+t)−n4(1−1p)−|α|4.(2.104)当p=∞时,注意到B N(|x|2,t)≤1,并由(2.100),我们得到‖Dαx u(·,t)‖L p=ess sup|Dαxu(x,t)|≤ess sup{C(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t)}≤C(1+t)−n4(1−1p)−|α|4.(2.105)证毕.。
一类非线性四阶波动方程整体弱解的存在性
（ ｐ． ｏ ａ ｈ ｍａ ｉｓ ｈ ｏ ｉｇ Ｉ ｓｉｕ ｅ ｈ ｏ ｉｇ ５ ６ ６ Ｄｅ ｔ ｆＭ ｔ ｅ ｔ ，Ｚ ａ ｑｎ ｎ ｔｔ ｔ ，Ｚ ａ ｑｎ ２ ０ １，Ｃｈｉａ ｃ ｎ）
第３卷 ７
第 １ 期
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ １ Ｉ３ ．
２ １ 年 ２月 ０１
Ｊ ｕ ａ ｆＬ ｎ ｈ ｕＵｎ ｖ ｒｉ ｆＴｅｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ｌ ａ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｏ ｙ
Ｆｅ ． Ｏ １ ｂ ２ １
文 章 编 号 ：１ ７—１ ６ ２ １ ） １ １ １ ３ ６ ３５ ９ （０ ０— ６— １ ０ ０
ｑ ａ ｉｎ Ａｃ ｏ ｄｎ ｏ ｐ ｔｎ ｉｌｗｅｌｔ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕｔ ． ｏ ｃ ｒ ｉｇ ｔ ｏ ｅ ｔ ｌ ｈ ｏ ｙ ａ ｄｃ ｍｐ ｃ ｎ ｓ ｔ ｏ ｎ ｙ ｍ ｅ ｎ ｆｃ ｎ ｔｕ ｔ ｇ ｓａ ｌ ａ ａ ｔ ｅ ｓｍｅ ｈ ｄ ａ ｄ ｂ ａ ｓｏ ｏ ｓｒ ｃｉ ｔ ｂ ｅ ｎ ｓｔ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆ ｌ ｂ ｌ ａ ｏ ｕ ｉｎ ｗａ ｒ ｖ ｄ ｗｈ ｎ ｔ ｅｉ ｉ ａ ａｕ ｔｙ ｄ ｉ ｈ ｔ ｂ ｅｓｔａ ｄｔ ｅ ｅ ，ｔ ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｏ ａ ｇ ｗｅ ｋ ｓ ｌ ｔ ｓｐ ｏ ｅ ｅ ｈ ｎｔ ｌ ｌｅｓａ ｅ ｎ ｔ ｅｓａ ｌ ｅ ｎ ｈ ｏ ｉ ｖ
的行 波解 ， 到孤波稳 定 和不稳 定 的波速 判定 条件 ． 得
ｌ （ ） ＜ ａｌ ｌ ／ ｌ ｐ
其中 ， ａ为常数 ， Ｐ满足 条 件 ：
奇异分数阶Laplacian方程弱解存在唯一性的算子方法
狓 ∈Ω
式中：狌 是 关 于 自 变 量狓 的 函 数，Ω犚犖 （犖 ≥３）是
有界光滑区域；（－Δ）狊（狊∈ （０，１））是 分 数 阶 Ｌａｐｌａ
ｃｉａｎ算子；非线性项 犳（狓，狋）：Ω×犚→犚 满 足 爆 破 条 件：对于任意狓∈Ω，有ｌｉｍ犳（狓，狋）＝ ∞，即 犳（狓，狋）在
狋→０
Ω 处具有近边奇异性。 有关 犖 维 欧 氏 空 间 犚犖 上 分 数 阶 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 算
犳狉犪犮狋犻狅狀犪犾犔犪狆犾犪犮犻犪狀犲狇狌犪狋犻狅狀狑犻狋犺犪狊犻狀犵狌犾犪狉狀狅狀犾犻狀犲犪狉犻狋狔
ＷＡＮＧ Ｘｉｎｇ，ＰＥＮＧ Ｄａｙａｏ，ＱＩＮ Ｘｉｎｑｉａｎｇ，ＨＵ Ｇａｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉ’ａｎ ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ７１００５４，Ｃｈｉｎａ）
Ｃｒａｎｄａｌｌ和 Ｒａｂｉｎｏｗｉｔｚ等完成的。１９７７ 年，他们在
文献 ［６］中 利 用 逼 近 方 法 得 到：当 奇 异 非 线 性 项
犳（狓，狋）关 于 变 量狋单 调 递 减 时 ，奇 异 椭 圆 方 程 （１．１）
有唯一的古典解，成 为 该 领 域 的 经 典 性 结 果。 在 此
基础上，人们开始研究具 有扰动项 的 奇 异 Ｌａｐｌａｃｉａｎ
方程弱解 的 存 在 性 和 多 重 性。２００１ 年 龙 以 明 院 士
等
［７］
利
用
Ｅｋｅｌａｎｄ
变
分
原
理
，首
次
研
究
了
次
临
界
增
收 稿 日 期 ：２０１８０１１１ 基 金 项 目 ： 国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （１１６２６１８５）；陕 西 省 科 技 厅 科 学 研 究 计 划 资 助 项 目 （２０１７ＪＱ１０１１） 作 者 简 介 ： 王 兴 ，男 ，博 士 ，讲 师 ，研 究 方 向 为 非 线 性 分 析 与 偏 微 分 方 程 。Ｅｍａｉｌ：ｗａｎｇｘｉｎｇ＠ｘａｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ
一类具有非线性边界条件的退化抛物型方程整体弱解的存在唯一性
摘要 ： 讨 论 了一 类 具 有 非 线 性 边 界 条 件 和 非 线 性 源 项 的退 化抛 物 型方 程 的整 体 弱 解 的存 在 唯 一 性 ． 首先 给出 了经 典 解 的一 致 估 计 ， 然 后 利 用 弱 解 的 比较 原 理 以及 分 析 方 法 证 明 了 该 问题 整 体 弱 解 的 存 在 唯 一 性 ． 在 宽 松
第３ ９ 卷 第 ４期
２ ０ １ ３年 １ ２月
延边大学学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙａ ｎ ｂ ｉ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｖｏ【 ＿３ ９ ＮＯ． ４
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ３
文 章编 号 ：１ ０ ０ ４ — ４ ３ ５ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ２ ４ ４ — ０ ４
一
类具 有 非线 性 边界 条 件 的退化 抛物 型 方 程 整 体 弱 解 的存 在 唯 一 性
朴 东 哲
（延 边 大 学 理 学 院 数 学 系 ， 吉林 延吉 １ ３ ３ ０ ０ ２）
许多学 者利 用方 程 （ １ ）的定解 问题对 多孔 媒介 中流体 的渗流Ⅲ 、 某 种 生物 群 的扩散 跚 、 非线 性媒 介 中热 传导 。 等实 际 问题进 行 了研 究 ， 并 取得 了很多 成果 ．目前 为 止 ， 有关 具 有非 线性 边 界条 件 的退 化抛 物型 方程 整体弱 解 的存 在 唯一性 的研究 成果 很少 ． 本文 证 明方程 （ １ ）经 典解 的一致 估计 后 ， 结 合 文
ｔ ｉ ｏ ｎｓ ． Ｔｈｅ ｎ，ｗ ｅ ｐ ｒ ｏ ｖｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎｃ ｅ ａ ｎｄ ｕｎ ｉ ｑ ｕ ｅ ｎｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｇ ｌ ｏ ｂａ ｌ ｗｅ ａ ｋ ｓ ｏｌ ｕ ｔ ｉ ｏｎｓ ｔ Ｏ ｔ ｈｅ ｐｒ ｏ ｂｌ ｅ ｍ ｂ ｙ ｔ ｈｅ ｃ ｏｍ ｐａ ｒ ｉ ｓ ｏｎ
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282
辽宁工业大学学报(自然科学版)
第 39 卷
2004 年刘亚成等[2]研究了此类问题的另一种模型：
Bernoulli、Lagrange 等很多科学家在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论做出过重要贡
献。
1980 年 Webb[1]提出并研究了如下强阻尼非线性波动方程的初边值问题：
utt ut u f u
0 ， x ，t 0
(1)
u x,0 u0 x,ut x, 0 u1 x x
utt ut u u p1 u
(5)
由于能量是非正定的，传统的 Galerkin 方法无法得到先验估计。所以用位势井方法解决了任意维数的
这类方程的整体弱解，强解的存在性及强解的唯一性。
如果在一个物理系统中同时存在符号相反的两个源项，源项为负，外力方向与位移方向相反；源项为
正，外力方向与位移方向相同。那么，就应该考虑如下具有两个异号非线性源项的波动方程，也是本文研
Key words: wave equation; potential well; global weak solution; existence
波动方程是主要描述各种各样的波动现象的一种重要的偏微分方程，包括声波、光波、水波等横波
和纵波。波动方程出现在声学、电磁学和流体力学等领域。在历史上，如 D'Alembert、Euler、Daniel
本文研究问题(1)~(3)，非线性项满足 f uu 0 ，首先得到了位势井深度 d 的值，并给出了位势井内外在
空间
H
1 0
Hale Waihona Puke 中的结构，最后用位势井方法的到了问题(1)~(3)整体弱解的存在性。
在本文中，记| ||Lp ( ) || ||p ， || ||2 || || ， (u,v)
uvdx 。
1 位势井的定义
在本文中研究问题(1)~(3)，其中 Rn 是有界域，且满足：
f (u) a u p1 u b u q1 u 1 p ， q 当 n 1, 2
(6)
定义：
1 p，q≤ n 2 当n≥3 n2
E
t
1 2
ut
2
1 2
u
2
a p
1
||
u
||pp
1 1
究的基本模型方程：
utt ut u a u p1 u b u p1 u t 0 ， x
其中 a 0 ， b 0 ， p q 。 1968 年，Sattinger[3]首次提出位势井理论，用以证明不具有正定能量方程的整体解存在性问题。至
此，有很多作者用位势井理论研究了非线性发展方程中整体解的性质，并被众多数学家推广应用至今[4]。
(2)
u 0
t≥0
(3)
其中 Rn n 1, 2,3 是有界域。此问题的基本模型方程是：
utt ut u u p1 u
(4)
由于能量是正定的，故用 Galerkin 方法与能量估计方法得到整体解。
收稿日期：2019-06-04 基金项目：国家自然科学基金项目(11572146) 作者简介：陈 帅(1994-)，男，辽宁沈阳人，硕士生。
第 39 卷第 5 期 2 0 1 9 年 10 月
辽宁工业大学学报(自然科学版)
Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition)
Vol.39, No.5 Oct. 2019
DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2019.05.001
一类非线性异号源项波动方程弱解的存在性
陈 帅，宋玉坤
（辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 121001）
摘 要：研究了一类非线性异号源项波动方程的初边值问题。由于能量是非正定的，传统的 Galerkin 方法无 法得到先验估计。应用位势井方法得到了不具有正定能量情况下问题整体弱解的存在性。证明了对于非线性项 的指数在一定条件下，问题存在整体弱解，补充和推广了现有结论。
关键词：波动方程；位势井；整体弱解；存在性 中图分类号：O175.26 文献标识码：A 文章编号：1674-3261(2019)05-0281-04
Existence of Weak Solutions for a Class of Nonlinear Signs of Source Terms
CHEN Shuai, SONG Yu-kun
（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）
Abstract: In this paper, the initial boundary value problem for a class of nonlinear wave equation with different sign source terms is studied. However, the energy is non-positive, it is hard to obtain the priori estimate by using the traditional Galerkin method. Therefore, the application of the potential well method gives the existence of the overall weak solution of the problem without positive energy. It is proved that there is a global weak solution for the exponential of nonlinear term under certain conditions. The existing conclusions are supplemented and generalized.