01随机过程与差分方程
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二、时间序列模型
时间序列模型：用数学方程形式表现经济变量自 身或经济变量之间随时间变化的特征和内在规律
很多经济理论的自然表现形式即为时间序列模型
例1：随机游走假说
yt1 yt t1
其中，yt表示某支股票在时期t的价格；εt+1表示均 值为0随机干扰项。
更一般形式： yt1 0 1 yt t1
10
二、时间序列模型
消费ct的简化型方程：ct yt1 ct
投资it的简化型方程：
it ( yt1 ct ct1) it yt1 ct1 ct it
实际GDP的简化型方程：
yt yt1 ct (ct ct1) it (1 ) yt1 yt2 (1 )ct it ct1
11
二、时间序列模型
例3：远期和即期价格 假设某外汇的即期价格为st美元，未来一期的远期
交割价为ft美元，无偏远期汇率（UFR）假说认为 投机行为的期望收益为零。形式上，该假设认为 远期和即期汇率具有如下关系：
st1 ft t1
建立回归模型： st1 0 1 ft t1
如果能证明α0=0，α1=1，并且回归残差εt+1的均值 为零，那么，UFR假设成立。
随机游走假说意味着：α0=α1=0，拒绝该约束条件 即拒绝该理论。
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二、时间序列模型
例2：凯恩斯宏观经济模型
yt ct it
ct yt1 ct
0 1
it (ct ct1) it 0
其中yt ，ct ，it分别表示t期的实际GDP，消费和投 资。
简化型方程：将内生变量表述成自身滞后变量、 外生变量及随机干扰项的函数
random walk
0
2000
-5 1800
-10
1600 -15
-20
1400
-25 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
1200
由随机游走过程产生时间序列
50
100
150
200
深圳股票综合指数
250
300
5
一、随机过程与时间序列 ②随机游走(Random Walk)过程
其中 , 2 和 ij2为常数，不随 t, k的变化而变化，则称
该随机过程 {yt} 为二阶平稳过程(协方差平稳过程)。
如果严平稳过程的二阶矩为有限常数值，则其一 定是宽平稳过程。反之，一个宽平稳过程不一定 是严平稳过程。但对于正态随机过程而言，严平 稳与宽平稳是一致的。这是因为正态随机过程的 联合分布函数完全由均值、方差和协方差所惟一 确定。
时间序列数据是该过程的一次实现，该过程可称 为时间序列的数据生成过程(DGP)
{y11, y21, …, yT-11, yT1} {y12, y22, …, yT-12, yT2}
{y1s, y2s, …, yT-1s, yTs }
随机过程
样本空间
3
一、随机过程与时间序列
两种基本的随机过程
DJ P Y
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
日元百度文库美元汇率的收益率序列 4
一、随机过程与时间序列
两种基本的随机过程
②随机游走(Random Walk)过程
定义： yt = yt-1 + ut，其中ut是白噪声过程 由随机游走过程产生的时间序列如下图
5
2200
定义： yt = yt-1 + ut，其中ut是白噪声过程 yt的均值和方差分别为：
E( yt ) E(ut ut1 L ) 0
Var( yt ) Var(ut ut1 L ) 2 2 L
6
一、随机过程与时间序列
随机过程的平稳性
严(强)平稳过程：一个随机过程中若随机变量的任意子 集的联合分布函数与时间无关，即无论对T的任何时间 子集（t1, t2, …, tn）以及任何实数k, (ti+k) T, i = 1, 2, …, n 都有F(y(t1), y(t2), …, y(tn)) = F(y(t1+k), y(t2+k), …, y(tn+k)) 成立，其中F(·) 表示n个随机变量的联合分布函数，则 称其为严平稳过程或强平稳过程。
几乎所有宏观经济变量都可以构成时间序列，因 此，“时间序列计量经济学”实际上已成为“实 证宏观经济学”的同义词
2
一、随机过程与时间序列
描述时间序列的随机性：随机过程(stochastic process)
了解随机过程就是要从理论高度来认识时间序列
由随机变量组成的有序序列称为随机过程，如{y1， y2，}，简记为{yt，t = 1, 2, …}
第一讲 随机过程与差分方程
一、随机过程与时间序列 二、时间序列模型 三、差分方程及其解法 四、稳定性条件
一、随机过程与时间序列
时间序列：随时间而发生变化的事件的结果
如：记变量y在t期的值为yt，则 {y1，y2，...}就为一时间 序列
经济时间序列：随时间变化而观察到的经济变量 的取值
如：1978-2007年的GDP序列
①白噪声(White Noise)过程
定义：E(yt) = 0, Var (yt) = 2 Cov(yt,yt+k) = 0
由白噪声过程产生的时间序列如下图
3
4
2 2
1
0
0
-1
-2 -2
white noise
-3
-4
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
由白噪声过程产生的时间序列
宽(弱)平稳过程：如果一个随机过程的m阶矩以下的矩 的取值全部与时间无关，则称该过程为m阶平稳过程。
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一、随机过程与时间序列
例：二阶宽平稳过程
如果E[y(ti)] = E[y(ti+k)] = < , Var[y(ti)] =Var[y(ti+k)] = 2 < , Cov[y(ti),y(tj)] = Cov[y(ti+k), y(tj+k)] = ij2 < ,
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二、时间序列模型
例3：远期和即期价格
当εt+1=0时，即期和远期市场可被认为处于长期均 衡。无论何时st+1表现出与ft不一致，后期都必然 会进行某种调整以恢复均衡。考虑以下调整过程
st2 st1 (st1 ft ) st2 ft1 ft (st1 ft ) ft1
0 0
二、时间序列模型
时间序列模型：用数学方程形式表现经济变量自 身或经济变量之间随时间变化的特征和内在规律
很多经济理论的自然表现形式即为时间序列模型
例1：随机游走假说
yt1 yt t1
其中，yt表示某支股票在时期t的价格；εt+1表示均 值为0随机干扰项。
更一般形式： yt1 0 1 yt t1
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二、时间序列模型
消费ct的简化型方程：ct yt1 ct
投资it的简化型方程：
it ( yt1 ct ct1) it yt1 ct1 ct it
实际GDP的简化型方程：
yt yt1 ct (ct ct1) it (1 ) yt1 yt2 (1 )ct it ct1
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二、时间序列模型
例3：远期和即期价格 假设某外汇的即期价格为st美元，未来一期的远期
交割价为ft美元，无偏远期汇率（UFR）假说认为 投机行为的期望收益为零。形式上，该假设认为 远期和即期汇率具有如下关系：
st1 ft t1
建立回归模型： st1 0 1 ft t1
如果能证明α0=0，α1=1，并且回归残差εt+1的均值 为零，那么，UFR假设成立。
随机游走假说意味着：α0=α1=0，拒绝该约束条件 即拒绝该理论。
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二、时间序列模型
例2：凯恩斯宏观经济模型
yt ct it
ct yt1 ct
0 1
it (ct ct1) it 0
其中yt ，ct ，it分别表示t期的实际GDP，消费和投 资。
简化型方程：将内生变量表述成自身滞后变量、 外生变量及随机干扰项的函数
random walk
0
2000
-5 1800
-10
1600 -15
-20
1400
-25 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
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由随机游走过程产生时间序列
50
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150
200
深圳股票综合指数
250
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一、随机过程与时间序列 ②随机游走(Random Walk)过程
其中 , 2 和 ij2为常数，不随 t, k的变化而变化，则称
该随机过程 {yt} 为二阶平稳过程(协方差平稳过程)。
如果严平稳过程的二阶矩为有限常数值，则其一 定是宽平稳过程。反之，一个宽平稳过程不一定 是严平稳过程。但对于正态随机过程而言，严平 稳与宽平稳是一致的。这是因为正态随机过程的 联合分布函数完全由均值、方差和协方差所惟一 确定。
时间序列数据是该过程的一次实现，该过程可称 为时间序列的数据生成过程(DGP)
{y11, y21, …, yT-11, yT1} {y12, y22, …, yT-12, yT2}
{y1s, y2s, …, yT-1s, yTs }
随机过程
样本空间
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一、随机过程与时间序列
两种基本的随机过程
DJ P Y
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
日元百度文库美元汇率的收益率序列 4
一、随机过程与时间序列
两种基本的随机过程
②随机游走(Random Walk)过程
定义： yt = yt-1 + ut，其中ut是白噪声过程 由随机游走过程产生的时间序列如下图
5
2200
定义： yt = yt-1 + ut，其中ut是白噪声过程 yt的均值和方差分别为：
E( yt ) E(ut ut1 L ) 0
Var( yt ) Var(ut ut1 L ) 2 2 L
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一、随机过程与时间序列
随机过程的平稳性
严(强)平稳过程：一个随机过程中若随机变量的任意子 集的联合分布函数与时间无关，即无论对T的任何时间 子集（t1, t2, …, tn）以及任何实数k, (ti+k) T, i = 1, 2, …, n 都有F(y(t1), y(t2), …, y(tn)) = F(y(t1+k), y(t2+k), …, y(tn+k)) 成立，其中F(·) 表示n个随机变量的联合分布函数，则 称其为严平稳过程或强平稳过程。
几乎所有宏观经济变量都可以构成时间序列，因 此，“时间序列计量经济学”实际上已成为“实 证宏观经济学”的同义词
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一、随机过程与时间序列
描述时间序列的随机性：随机过程(stochastic process)
了解随机过程就是要从理论高度来认识时间序列
由随机变量组成的有序序列称为随机过程，如{y1， y2，}，简记为{yt，t = 1, 2, …}
第一讲 随机过程与差分方程
一、随机过程与时间序列 二、时间序列模型 三、差分方程及其解法 四、稳定性条件
一、随机过程与时间序列
时间序列：随时间而发生变化的事件的结果
如：记变量y在t期的值为yt，则 {y1，y2，...}就为一时间 序列
经济时间序列：随时间变化而观察到的经济变量 的取值
如：1978-2007年的GDP序列
①白噪声(White Noise)过程
定义：E(yt) = 0, Var (yt) = 2 Cov(yt,yt+k) = 0
由白噪声过程产生的时间序列如下图
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-2 -2
white noise
-3
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20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
由白噪声过程产生的时间序列
宽(弱)平稳过程：如果一个随机过程的m阶矩以下的矩 的取值全部与时间无关，则称该过程为m阶平稳过程。
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一、随机过程与时间序列
例：二阶宽平稳过程
如果E[y(ti)] = E[y(ti+k)] = < , Var[y(ti)] =Var[y(ti+k)] = 2 < , Cov[y(ti),y(tj)] = Cov[y(ti+k), y(tj+k)] = ij2 < ,
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二、时间序列模型
例3：远期和即期价格
当εt+1=0时，即期和远期市场可被认为处于长期均 衡。无论何时st+1表现出与ft不一致，后期都必然 会进行某种调整以恢复均衡。考虑以下调整过程
st2 st1 (st1 ft ) st2 ft1 ft (st1 ft ) ft1
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