湖南省长沙市宁乡一中2020-2021学年高一上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{|21}A x x =-<≤，{|03}B x x =<≤，则A B = （）A ．(]2,3-B ．()2,0-C ．(]0,1D ．(]1,32．函数1()2f x x -的定义域为（）A ．2|2}3{x x x >≠且B ．2{|2}3x x x <>且C ．3{|2}2x x ≤≤D ．3{|2}2x x x ≥≠且3．已知()()5,62,6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()4f =（）A ．3B ．2C ．1D ．04．设x ∈R ，则“2x ≤”是“11x -≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．52t ≥B ．52t >C ．2t ≥D ．103t ≥6．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是A ．6B C ．4D ．237．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．a b c<<8．幂函数()()22251mm f x m m x+-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．{}0∅∈B ．集合{|2,Z}{|Z}2xx x n n x =∈=∈C ．集合{}{}3,44,3=D ．集合22{|}{|}x y x y y x ===10．已知20ax bx c ++>的解集是()2,3-，则下列说法正确的是（）A ．>0B ．不等式20cx bx a ++<的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1234b b ++的最小值是83D ．当2c =时，()236f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[]3,1-，则21n n -的取值范围是[]2,411．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当>0时，()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A ．()02f =-B ．()f x 的单调递增区间为()1,0-，()1,+∞C ．当0x <时，()21f x x x=+-D ．()0xf x <的解集为()()1,00,1-⋃三、填空题12．已知a b =，则ab ．(填“>”或“<”)13．已知()5311f x ax bx cx x=-+++，且()35f -=-，则()3f =.14．定义{},min ,=,>a a b a b b a b≤⎧⎨⎩，若函数(){}2min 33,33f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[],m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 长度的最大值为.四、解答题15．(1)计算：111224127()10()2004-+⨯⨯-（2）已知11223x x-+=，求22122x x x x --+-+-的值.16．若关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.(1)求a 的值；(2)设集合=2<<1−，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.17．函数()29x x ax f b--=是定义在区间()3,3-上的奇函数，且()11.4f =(1)确定()f x 的解析式，并用定义证明()f x 在区间()3,3-上的单调性;(2)解关于t 的不等式()()10.f t f t -+<18．某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （*,20x x ∈≤N ，单位：年）之间满足函数关系式为：228.t x x =+该机床每年的生产总收入为50万元.设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）.(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？(3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种：第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出.研究一下哪种处理方案较为合理请说明理由.（参考数据：70.960.751≈，80.960.721≈，90.960.693≈，100.960.665≈）19．定义：对于定义在区间I 上的函数()f x 和正数(01)αα<≤，若存在正数M ，使不等式()()1212|f x f x M x x |α-≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，则称函数()f x 在区间I 上满足α阶李普希兹条件.(1)判断函数y x =，3y x =在R 上是否满足1阶李普希兹条件;(2)证明函数y =[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件，并求出M 的取值范围;(3)若函数y =[)1,+∞上满足α阶李普希兹条件，求α的范围.。
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高一12月月考数学试题 答案和解析
由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线 ，则直线与函数的图象至多有一个交点，
根据题意，对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；
对于C图，当x=0时，有两个y值对应；
对于D中图象能表示y是x的函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的概念及其构成要素，明确函数的定义是关键，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．
【详解】
∵ ；则函数的定义域为：（0，+∞），即函数图象只出现在y轴右侧；
值域为：[1，+∞）即函数图象只出现在y＝1上方；
在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+∞）上递增的直线．
分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求．
故选C．
【点睛】
本题考查指数函数的图象和性质，解答关键是通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，属于基础题．
10．
【解析】
【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．
【详解】
对于①，由 ，可得 面 ，故可得出 ，此命题正确；
对于②，由正方体 的两个底面平行， 在平面 内，故 与平面 无公共点，故有 平面 ，此命题正确；
对于③， 为定值， 到 距离为定值，所以三角形 的面积是定值，又因为 点到面 距离是定值，故可得三棱锥 的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当 与 重合时，此时 与上底面中心为 重合，则两异面直线所成的角是 ，当 与 重合时，此时点 与 重合，则两异面直线所成的角是 ，此二角不相等，故异面直线 所成的角不为定值，此命题错误．
湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题
宁乡一中2021年上学期高二年级4月月考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}2230B x x x =--<，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1B.{}0,1,2C.{}0,1,2,3D.{}0,1,2,3,4 2.已知复数()211iz i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.南北朝时期的伟大数学家祖在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖原理：“幂势既同，则积不容异”其含义是火在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平而的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图.夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V 、2V ，被平行于这两个平面的仟意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则命题P ：“1V 、2V 相等”是命题q ：“1S 、2S 总相等”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.随机变量X 的分布列入表，若()2E x =，则()D X =（ ）A.5 B.3 C.4 D.25.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A.()21x f x x =-B.()221x f x x =+C.()221xf x x =- D.()2211x f x x +=-6.已知函数()sin 22cos f x x x =-，下列说法错误的是（ ） A.函数()f x 是周期函数 B.6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C.函数()f x 的增区间为()72,266k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZD.函数()f x7.“易经“是我国古代思想智慧的积累与结晶，它具有一套独特的、创新的图示符号，用“——”“——”两种“爻”的符号代表阴阳. “——”称为阳爻、“——”称为阴爻.阴阳两爻在三个位置的不同排列组成了八卦.两个八卦叠加而成64卦，比如图中损卦，即为阳爻占据1，5，6三个位置，阴爻占2，3，4位，从64卦中任取1卦，阳爻个数恰为2且互不相邻的概率（ ） A.12 B.38 C.516 D.5328.已知()223,1ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数()12y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.12⎛⎝ B.12⎡⎢⎣ C.1,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D.1,2e ⎛ ⎝⎦二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.2019年4月23日.国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是（ ）A.第一季度居民人均每月消费支出约为1633元B.第一度居民人均收入为4900元C.第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多D.第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元10.已知函数1()sin 0,0,022f x A x A πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>><< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，则（ ）A.该函数图象的一个对称屮心为(),0πB. ()22sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.该函数的单调递增区间是53,344k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D.把函数()2sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得函数()f x 的图象11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ，G 分别棱楼AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中正确的是（ ）A.四面体11ACB D 的体积等于312a B.1BD ⊥平面1ACB C.11//B D 平面EFGD.异面直线EF 与1BD所成角的正切值为212. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则（ ） A.在第9条斜线上，各数之和为55B.在第()5n n ≥条斜线上，各数自左往右先增大后减小C.在第n 条斜线上，其有()2114nn +--个数D.在第11条斜线上，最大的数是37C三、填空题（本题共4小题，每小題5分，共20分请把答案填在答题卡相应的位置上.） 13.已知平面向量()4,a m =，()2,1b =-，若()a b b -⊥，则实数m = .14.甲、乙、丙、丁四位冋学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m ，如下表：则 同学的试验结果体现A ，B 两变量有更强的线性相关.15.己知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为（2，3），则PA PM +的最小值是 . 16.已知数列{}n a ，令()()112*122n n n P a nN a a n -=+++∈，则称{}n P 为{}n a 的“伴随数列”，若数列{}n a 的件随数列{}n P 的通项公式为()1*2n n P n N +=∈，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，则实数k 取值范围为 .四、解答题（本题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤）17.（10分）在ABC △中，已知sin B C =，30A =︒，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）c 的值； （2）ABC △的面积.条件①：ab =sin 6a B =.注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.18.（12分）记知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且384S =，14a =. （1）求数列{}n a 的通项公式： （2）若0n a >，求数列(){}21nn a -⋅的前n 项和nT.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形.且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PB ，PD 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）若2PA AB ==，求CN 与平面PBD 所成角的正弦值.20.（12分）某商场为吸引客源推出了为期三天的优惠话动，全场物制满1000元减300元，即一次购物总金额（未享受优惠前）为x 元，若x <1000.付改时无优惠：若1000≤x <2000.付款时优惠300元：若2000≤x <3000，付軟时优惠600元……，以此类锥，某机构在该商场门口随机采访了100位购物的顾客，统计他们的购物金额如下表所示，并将购物总金额低于300元的顾客称为“理性购物者”，购物总金额不低于3000元的顾客称为“非理性购物者”.（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否为“理性购物者”与性别有关？（2）设甲、乙两名“非理性购物者"相互独立地来此商场购物，甲、乙两位顾客的购物总金额（单位：元）在[)3000,4000的概率分别为12，23，在[)4000,5000的概率分别为12，13.甲、乙两位顾客付款时的优患金额之和为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21.（12）记已知函数()ln ln 2f x x x =.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设()()1h x f x =-，求证：()h x 在[)1,+∞上有唯一零点.22.（12分）如图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F .过点1F 且与x 轴垂直的直线与圆222:O x y a +=交于点M （点M 在x 轴上方），与椭圆C 交于点N （点N 在x 轴下力，且满足11MF =.（1）若2MNF △的面积为4+，求椭圆C 的标准方程：（2）过点M 作椭圆C 的切线，与直线2NF 交于点(),Q m n ，其中n <0，试判断以线段2QF 为直径的圆是否经过点M ，并说明理由.参考答案1.B2.C3.B4.D5.C6.B7.D 【详解】4个阴爻隔开5个位置，2个阳爻在5个位置上：排列种数为2510C =，故所求概率为：1056432P ==. 8.C 【详解】由题意()12y f x kx =-+有4个零点，即()12f x kx =-有4个零点. 设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图. 由图象可知，当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，即12k =时，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点 当12k >时，若函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，则1y x'=，所以1k a =，所以1ln 12a a a+=，解得a =k =()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k e >时，两函数图象至多有两个交点.所以若要使函数()12y f x kx =-+有4个零点，则1,2k e ⎛∈ ⎝⎭.9.ACD 10.AB 11.BD12.BCD 【详解】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，其规律是12n n n a a a +++=，所以第9条斜线上各数之和为13+21-=34，故A 错误；第1条斜线上的数：00C ，第2条斜线上的数；11C ：第3条斜线上的数：01291C C ， 第4条斜线上的数：01292C C ，第5条斜线上的数：04C ，13C ，22C ，第6条斜线的数；05C ，149C ，23C ，……，依此规律，第n 条斜线上的数为：01n C -，12n C -，23n C -，34n C -，……，1k n k C --，()1k n k C -+，…… 在第11条斜线上的数为010C ，19C ，28C ，37C ，46C ，55C ，最大的数是37C ， 由上面的规律可知：n 为奇数时，第n 条斜线上共有12224n n ++=个数； n 为偶数时，第n 条斜线上共有224n n=个数， 所以第n 条斜线上共()2114nn +--，故C 正确；由上述每条斜线的变化规律可知：在第()5n n ≥条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故D 正确. 13.3 14.丁1 16.125,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】由题意得1112222n n n a a a n -++++=，所以()()212122122n n n a a a n n --+++=-≥，相减得()112212n n n n a n n -+=--，所以22n a n =+，1n =页满足.因此数列{}n a kn -的前n 项和为()()114226222n S n k n kn n k n kn =-++-=-+-，∴()207692222k k k -<⎧⎪-⎨≤≤⎪-⎩，∴12552k ∴≤≤ 17.【详解】选择条件①ab =（1）由正弦定理可得b =，2ab a a b c==⇒=由余弦定理可得：22222243cos302c c b c a bc++-==-，解得c =（2）由（1）可得b =a =111sin 2222ABC S bc A ===△选择条件②sin 6a B =（1）6sin 6sin a B B a =⇒=由正弦定理可得；2212sin 30sin sin 666a b b b ab ba b B B =⇒===⇒=⇒=︒sin B C b c =⇒=⇒==（2）111sin 12222ABC S bc A ==⨯⨯=△18.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则211184a a q a q ++=，又14a =，则2200q q +-=，解得q =4或q =-5.故数列{}n a 的通项公式为4nn a =或()145n n a -=⋅-，（2）若0n a >，则4nn a =，所以()()21214n n n a n -⋅=-⋅，所以()123143454214n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，()()23141434234214n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅，两式相减得()()()212311443424442144221414n nn n n T n n +++--=+⨯+++--⋅=+⨯--⋅-，化简得()16542099n n n T +-=+.19.【详解】（1）连结BD ，∵M ，N 分别是PB ，PD 的中点，∴//MN BD ， ∵MN ⊄平而ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴//MN 平面ABCD ：（2）如图，以点A 为原点，AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，()0,0,2P ， (2,0,0)B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,1,1N ，()2,0,2PB =-，()2,2,0PD =-，()2,1,1CN =--， 设平面PBD 的法向量(),,,n x y z =，则0PB n PD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =，∴平面PBD 的法向量()1,1,1n =，则21sin cos ,3||CN n CN n CN nθ⋅-⨯====所以CN 与平面PBD 所成角的正弦值是3. 20.【详解】（1）由题可得2K 的观测值()2100402525109009.890 6.6355050653591k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为理性购物者”与性别有关.（2）由题可得，购物总金额在[)3000,4000内，优惠300×3=900元，购物总金额在[)4000,5000内，优惠300×4=1200元，则随机变量X 的所有可能取值为1800，2100，2400，且()1211800233P X ==⨯=， ()11121210023232P X ==⨯+⨯=，()1112400236P X ==⨯=，所以X 的分布列为所以()1800210024002050326E X =⨯+⨯+⨯=.21.【详解】1）由题意，函数()ln ln 2f x x x =，可得()ln 2ln x xf x x x='+，则()1ln 2f '=，又由()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()ln 21y x =-； （2）由()()1ln ln 21h x f x x x =-=-，可得()()2ln 2ln ln 20x x x h x x x x+==>'， 令()0h x '>，可得2ln 20x >，即221x >，解得2x >，所以当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '>， 则()h x在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，又因为()110h =-<，当x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 在[)1,+∞上有唯一零点.22.【详解】（1）设()1,0F c -，则直线1MF的方程为x c =-， 与222x y a +=联立得：(),M c b -，由11MF =得：,N c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∵N 在椭圆C 上，∴2222121b c a b +=，解得：a =，∴2222b a c c =-=，即b c =，∴MN b =+==，又122F F c =，∴a =2b =，∴椭圆C 的标准方程为22184x y +=. （2）由（1）知：椭圆C 的方程为：222212x y b b+=，(),M b b -， 设切线MQ 的方程为()y b k x b -=+，由()222212y b k x b x y b b-=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()()()2221241220k x k k bx k k b +++++=，∴()()()22222Δ16181220k k b k k k b =+-++=，解得：0k =或2k =，当0k =时，不满足0n <，不合题意，又2012MF b k b b -==---，∴21MF k k ⋅=-，即 2MQ MF ⊥，∴以线段2QF 为直径的圆经过点M .。
2020-2021学年湖南省长沙市高一(上)12月月考数学试卷 (1)人教A版(2019)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯2020-2021学年湖南省长沙市高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1. 下列表示方法正确的是( )A.N∈QB.Q⊆RC.R⊆ZD.Z⊆N2. 与函数y=|x|为同一函数的是( )A.y=xB.y=√x2C.y={x，(x>0)−x，(x<0)D.y=a log a x3. 不等式x−2≥0的所有解组成的集合表示成区间是()A.(2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, 2)D.(−∞, 2]4. 函数y=log2(2x−4)+1x−3的定义域为( )A.(2, 3)B.(2, +∞)C.(3, +∞)D.(2, 3)∪(3, +∞)5. 设a=sin4π5，b=cosπ10，c=tan5π12，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b6. 函数y=sin(x+π3)的最小正周期为( )A.πB.2πC.3πD.4π7. 已知函数f(x)={2x, x≤0，−(12)x,x>0，则f(f(2))=( )A.−4B.−12C.12D.−88. 函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则f(11π24)的值为( )A.−√62B.−√32C.−√22D.−1二、多选题下列命题的否定中是全称命题，并且是真命题的是()A.∃x∈R，x2−x+14<0 B.∃x∈R，x2+2x+2=0C.所有的正方形都是矩形D.至少有一个实数x使得x3+1=0若角α=3rad，则下列说法正确的是( )A.sinα>cosαB.α是第三象限角C.sinα>0D.tanα>0下列四个不等式中解集为⌀的是( )A.−x2+x+1≤0B.2x2−3x+4<0C.x2+6x+9≤0D.−x2+4x−(a+4a)>0，(a>0)已知函数f(x)=sin4x+cos2x，则下列说法正确的是( )A.最小正周期为π2B.f(x)是偶函数C.f(x)在(−π4,0)上单调递增 D.x=π8是f(x)的图像的一条对称轴三、填空题已知sinα+cosαsinα−cosα=3，则tanα的值为________.已知集合A={x∈Z|−1≤x≤1}，则集合A的真子集个数为________.已知函数y=a2x−1+1(a>0且a≠1），若无论a取何值，函数图象都恒过一点，该点的坐标为________.不等式log12x>2的解集为________.四、解答题把下列弧度转化为角度.(1)π12；(2)5π3；(3)3π10；(4)π8；(5)−5π6.已知sin A=45，求5sin A+815cos A−7的值．有关部门计划2019年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问：该市在2025年应投入多少辆电力型公交车？已知log0.7(2m)<log0.7(m−1)，求m的取值范围.已知函数f(x)=2sin(2x−π3).(1)求f(x)的单调增区间；(2)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值．已知f(x)=3ax2−4x+3.(1)当a=1时，求函数f(x)的值域；(2)若f(x)有最大值81，求实数a的值．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省长沙市高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用常用数集以及之间的包含关系进行求解即可.【解答】解：A，N⊆Q，故该选项错误；B，Q⊆R，故该选项正确；C，Z⊆R，故该选项错误；D，N⊆Z，故该选项错误.故选B.2.【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】由题意利用查函数的三要素，判断两个函数是否为同一个函数．【解答】解：函数y=|x|的定义域为R，值域为[0,+∞)，A，函数y=x的定义域是R，对应关系和y=|x|不同，故A不符合题意；B，y=√x2=|x|的定义域为R，值域为[0,+∞)，对应关系也一样，故它和y=|x|为同一函数，故B符合题意；C，y={x，(x>0)−x，(x<0)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数，故C不符合题意；D，函数y=a log a x=x定义域为{x|x>0}，定义域不同，不是同一个函数，故D不符合题意.故选B.3. 【答案】B【考点】集合的含义与表示【解析】求解不等式，结果写成区间即可．【解答】解：不等式x−2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2,+∞).故选B.4.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】可看出，要使得原函数有意义，需满足{2x−4>0x−3≠0，然后解出x的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则{2x−4>0，x−3≠0，解得x>2且x≠3，所以原函数的定义域是(2, 3)∪(3, +∞)．故选D.5.【答案】C【考点】诱导公式正弦函数的单调性正切函数的单调性【解析】根据诱导公式知b=cosπ10=sin(π2−π10)=sin2π5，可由正弦函数单调性知a<b，由π2>5π12>π4知c=tan5π12>1，即可比较出大小．【解答】解：因为b =cos π10=sin (π2−π10)=sin 2π5，所以1>b =sin 2π5>a =sin π5.因为π2>5π12>π4，所以c =tan 5π12>1，所以c >b >a .故选C . 6. 【答案】 B【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】直接利用函数y =A sin (ωx +φ)的周期计算公式T =2π|ω|求解即可． 【解答】解：由题意得ω=1， 所以其最小正周期T =2πω=2π1=2π．故选B . 7.【答案】 D【考点】分段函数的应用 函数的求值【解析】本题主要是通过分段函数代入具体的函数值进行求解即可 【解答】解：∵f (2)=−(12)2=−14 ，且−14<0，∴f (−14)=2−14=−8，∴f(f (2))=−8. 故选D ． 8.【答案】D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】根据顶点的纵坐标求A ，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出φ的值，从而求得f(x)的解析式，进而求得f(11π24)的值 【解答】解：由图像可得A =√2， 2π4ω=7π12−π3，解得ω=2． 由五点法作图可得2×π3+φ=π，解得φ=π3，所以f(x)=√2sin (2x +π3)，所以f(11π24)=√2sin (2×11π24+π3)=√2sin (π+π4)=−√2sin π4=−√2×√22=−1． 故选D .二、多选题 【答案】 A,B【考点】全称命题与特称命题 命题的真假判断与应用 命题的否定【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由条件可知：原命题为特称量词命题， 所以排除C ；对于D 选项，当x =−1时，x 3+1=0，故原命题为真，排除D ；又因为x 2−x +14=(x −12)2≥0， x 2+2x +2=(x +1)2+1>0， 所以AB 均为假命题. 故选AB . 【答案】 A,C【考点】象限角、轴线角 【解析】由π2<3<π，得到3rad 是第二象限角，再利用第二象限内三角函数的符号求解即可.【解答】解：因为π2<3<π，所以3rad 是第二象限角，故B 错误；由正余弦函数图象可知sin α>cos α，sin α>0，tan α<0，故AC 正确，D 错误. 故选AC . 【答案】 B,D【考点】一元二次不等式的解法 【解析】分别求出选项中一元二次不等式的解集，即可得出正确的选项． 【解答】解：A ，不等式−x 2+x +1≤0可化为x 2−x −1≥0， 解集为(−∞,1−√52]∪[1+√52,+∞)，不是⌀；B ，不等式2x 2−3x +4<0中，Δ=9−32=−23<0，不等式的解集为⌀；C ，不等式x 2+6x +9≤0可化为(x +3)2≤0， 解集为{x|x =−3}，不是⌀；D ，不等式−x 2+4x −(a +4a )>0可化为x 2−4x +(a +4a )<0，Δ=16−4(a +4a )≤16−4×2√a ⋅4a =0，当且仅当a =2时取等号， 所以原不等式的解集为⌀.故选BD ． 【答案】 A,B,C【考点】余弦函数的周期性 余弦函数的奇偶性 余弦函数的单调性 余弦函数的对称性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题知f (x )=sin 4x +cos 2x =sin 4x +1−sin 2x=−sin 2x(1−sin 2x)+1 =1−sin 2x cos 2x =1−14sin 22x=1−14×1−cos 4x 2=18cos 4x +78， ∴ T =2π4=π2，∴ A 正确；∵ f (−x )=f (x )，x ∈R ，∴ f (x )是偶函数，∴ B 正确； 由余弦函数的单调性可知C 正确； 由4x =kπ，k ∈Z ，得x =kπ4，k ∈Z ，不能取到π8，∴ D 错误． 故选ABC . 三、填空题【答案】 2【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：sin α+cos αsin α−cos α=tan α+1tan α−1=3， 解得tan α=2. 故答案为：2. 【答案】 7【考点】子集与真子集子集与真子集的个数问题【解析】化简求解集合，利用真子集的定义，求出真子集个数；【解答】解：由题意得A={−1,0,1}，所以集合A中有3个元素，所以集合A的真子集个数为：23−1=7.故答案为：7.【答案】(12,2)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】解：令2x−1=0，解得x=12，则x=12时，函数y=a0+1=2，即函数图象恒过点(12,2).故答案为：(12,2).【答案】{x|0<x<1 4 }【考点】指、对数不等式的解法【解析】将不等式右边化为以12为底的对数，利用对数函数的单调性可得．【解答】解：∵12∈(0,1)，∴y=log12x在(0,+∞)上单调递减.∵不等式log12x>2的可化为log12x>log1214，∴0<x<14.故答案为：{x|0<x<14}．四、解答题【答案】解：(1)由π=180∘可得：π12×180∘π=15∘.(2)5π3×180∘π=300∘.(3)3π10×180∘π=54∘.(4)π8×180∘π=22.5∘.(5)−5π6×180∘π=−150∘.【考点】弧度与角度的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由π=180∘可得：π12×180∘π=15∘.(2)5π3×180∘π=300∘.(3)3π10×180∘π=54∘.(4)π8×180∘π=22.5∘.(5)−5π6×180∘π=−150∘.【答案】解：因为sin A =45，所以A 为第一或第二象限角， 所以cos A =±√1−sin 2A =±35. 当A 为第一象限角，即cos A =35时， 原式=5×45+815×35−7=122=6；当A 为第二象限角，即cos A =−35时， 原式=5×45+815×(−35)−7=12−9−7=−34．【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】由sin A 的值，利用同角三角函数间基本关系求出cos A 的值，把sin A 与cos A 的值代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：因为sin A =45，所以A 为第一或第二象限角， 所以cos A =±√1−sin 2A =±35. 当A 为第一象限角，即cos A =35时，原式=5×45+815×35−7=122=6；当A 为第二象限角，即cos A =−35时， 原式=5×45+815×(−35)−7=12−9−7=−34．【答案】解：由题意知在2020年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)辆，在2021年应投入的数量为128×(1+50%)×(1+50%)=128×(1+50%)2辆， 据此归纳可得，在2025年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)6辆， 即128×(32)6=1458（辆）．故该市在2025年应投入1458辆电力型公交车． 【考点】函数模型的选择与应用 【解析】根据题意一次列出各年的投入量，归纳总结即可得到结果 【解答】解：由题意知在2020年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)辆，在2021年应投入的数量为128×(1+50%)×(1+50%)=128×(1+50%)2辆， 据此归纳可得，在2025年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)6辆， 即128×(32)6=1458（辆）．故该市在2025年应投入1458辆电力型公交车． 【答案】解：设函数y =log 0.7x ，因为0<0.7<1，所以对数函数y =log 0.7x 在定义域上单调递减. 因为log 0.7(2m)<log 0.7(m −1)，所以2m >m −1且2m >0，m −1>0， 解得m >1.所以m 的取值范围为(1,+∞). 【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】由条件利用对数函数的定义域、单调性和特殊点，求得m 的取值范围． 【解答】解：设函数y =log 0.7x ，因为0<0.7<1，所以对数函数y =log 0.7x 在定义域上单调递减. 因为log 0.7(2m)<log 0.7(m −1)， 所以2m >m −1且2m >0，m −1>0， 解得m >1.所以m 的取值范围为(1,+∞). 【答案】解：(1)令A =2x −π3， ∵x ∈R ，∴A ∈R .且函数f (x )=2sin A 的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k ∈Z ，∴−π2+2kπ≤A ≤π2+2kπ，k ∈Z ， 即−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，化简得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴原函数的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z.(2)由(1)得当sin A取得最大值1时，f(x)取得最大值2×1=2，此时A=2kπ+π2，k∈Z，即2x−π3=2kπ+π2，k∈Z，化简得x=kπ+5π12，k∈Z，∴当x=kπ+5π12，k∈Z时，f(x)取得最大值2．【考点】正弦函数的单调性三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)令A=2x−π3，∵x∈R，∴A∈R.且函数f(x)=2sin A的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，∴−π2+2kπ≤A≤π2+2kπ，k∈Z，即−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，化简得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴原函数的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z.(2)由(1)得当sin A取得最大值1时，f(x)取得最大值2×1=2，此时A=2kπ+π2，k∈Z，即2x−π3=2kπ+π2，k∈Z，化简得x=kπ+5π12，k∈Z，∴当x=kπ+5π12，k∈Z时，f(x)取得最大值2．【答案】解：(1)∵f(x)=3ax2−4x+3，∴当a=1时，f(x)=3x2−4x+3=3(x−2)2−1，∴当x=2时，f(x)取得最小值，为f(2)=30−1=3−1=13，∴函数f(x)的值域为[13,+∞).(2)令t=ax2−4x+3，当a≥0时，t无最大值，不符合题意；当a<0时，t=ax2−4x+3=a(x−2a)2−4a+3，∴t≤3−4a.又∵f(t)=3t在R上是增函数，∴当t取得最大值3−4a时，f(x)取得最大值81，∴33−4a=81=34，即3−4a=4，解得a=−4，∴当f(x)取得最大值81时，a的值为−4.【考点】函数的值域及其求法函数的最值及其几何意义已知函数的单调性求参数问题二次函数在闭区间上的最值【解析】∵f(x)=3ax2−4x+3，当a=1时，f(x)=3x2−4x+3=3(x−2)2−1.∴当x=2时f(x)取得最小值f(x)=30−1=3−1=13，∴函数f(x)的值域为[13，+∞).令t=ax2−4x+3，当a≥0时，t无最大值，不符合题意.当a<0时t=ax2−4x+3=a(x−2a)2−4a+3，∴t≤3−4a.又∵f(t)=31在R上是一个增函数，∴当t取得最大值3−4a时f(x)取得最大值81，∴33−4a=81=34即3−4a=4，解得a=−4.∴当f(x)取得最大值81时a的值为−4.【解答】解：(1)∵f(x)=3ax2−4x+3，∴当a=1时，f(x)=3x2−4x+3=3(x−2)2−1，∴当x=2时，f(x)取得最小值，为f(2)=30−1=3−1=13，∴函数f(x)的值域为[13,+∞).(2)令t=ax2−4x+3，当a≥0时，t无最大值，不符合题意；当a<0时，t=ax2−4x+3=a(x−2a )2−4a+3，∴t≤3−4a.又∵f(t)=3t在R上是增函数，∴当t取得最大值3−4a时，f(x)取得最大值81，∴33−4a=81=34，即3−4a=4，解得a=−4，∴当f(x)取得最大值81时，a的值为−4.。
湖南省长沙市宁乡市2021-2022学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
湖南省长沙市宁乡市2021-2022学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}{}2|3,|560A x x B x x x =<=-+<，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B =∅C ．A B ⊆D ．A B =R2．命题“x R ∀∈，x x ≥-”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，x x <- B ．0x ∀≥，x x ≥- C ．x R ∃∈，x x <-D ．0x ∃<，x x =-3．已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<4．已知函数()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则()()2f f =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．05．设b aA a b=+，其中a 、b 是正实数，且a b ，242B x x =-+-，则A 与B 的大小关系是（ ） A ．A B ≥ B ．A B > C ．A B <D ．A B ≤6．下列函数中，值域是(0,)+∞的是A ．yB ．2((0,))1x y x x +=∈+∞+ C ．21()21y x N x x =∈++D ．1|1|y x =+7．设函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()3g x x =-的图象的交点为()00,x y ，则0x 所在的区间为( ) A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3D ．()3,48．已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象对应的函数解析式为（ ）A ．cos2x y =-B ．cos 2y x =C ．5sin(2)6y x π=+ D ．sin(2)6y x π=-二、多选题9．已知幂函数()f x 的图象经过点(，若()13f t +=，则（ ）A ．()2f x x =B ．()f x 的图象经过点()4,2C ．()f x 是增函数D ．8t =10．下列选项中，与11sin(6-π)的值相等的是（ ） A ．2o 2cos 151- B ．o o o o cos18cos 42sin18sin 42- C ．oo2sin15sin 75D ．o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数2()|2|,f x x ax b =-+R x ∈，给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A ．若20a b -≤，则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数 B ．存在R a ∈，使得()f x 为偶函数C ．若(0)(2)f f =，则()f x 的图象关于1x =对称D ．若220a b -->，则函数()()2h x f x =-的图像与x 轴有两个交点．12．已知函数2()2cos )cos 1f x x x x π=-+-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增C ．函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-D ．把函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度可得到函数()y f x =的图象 三、填空题 13．已知函数()231x f x a =++的零点为1，则实数a 的值为______．14．化简：(4010sin tan ︒︒＝ ________.15．奇函数()f x 是定义在[2,2]-上的减函数，若(21)(43)0f a f a ++->，则实数a 的取值范围是_______16．已知01,0a k <<≠，函数,0(){1,0x a x f x kx x ≥=+<，若函数()()g x f x k =－有两个零点，则实数k 的取值范围是________． 四、解答题17．已知集合{}02A x x =<<，{1B x x =<-或}1x >，{}3C x N x =∈≤. (1)求A B ，A B ； (2)求()R A C .18．正数x ，y 满足191x y+=.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．19．已知()()()22log 1log 1f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并加以说明； （3）求f ⎝⎭的值. 20．已知tan 2α=-42ππα<<，求：22cos sin 12)4ααπα--+的值21．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值3；当712x π=时，()f x 取得最小值3-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调减区间；（3）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2()1h x f x m =+-有两个零点，求实数m 的取值范围.22．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y 212x =-200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？参考答案：1．A 【解析】 【分析】解不等式化简集合B ，再逐一分析各个选项即可判断作答. 【详解】解不等式2560x x -+<得：23x <<，则有{|23}B x x =<<， 因此有{}{|23}|3x x x x <<⊆<，即B A ⊆，C 不正确，A 正确；A B B =≠∅，B 不正确；R A B A ⋃=≠，D 不正确. 故选：A 2．C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】命题“x R ∀∈，x x ≥-”为全称命题，该命题的否定为“x R ∃∈，x x <-”. 故选：C. 3．A 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数单调性及中间值比大小. 【详解】0.20.2log 2log 10a =<=，20.20.04b ==，0.20331c =>=，故a b c <<.故选：A 4．B 【解析】先求()2f 的值，再计算()()2f f 即可. 【详解】()2231f =-+=，()()2(1)112f f f ==+=， 故选：B 【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】利用基本不等式结合二次函数的基本性质可得出A 与B 的大小关系. 【详解】因为a 、b 是正实数，且ab ，则2b a A a b =+>=， ()2242222B x x x =-+-=--+≤，因此，A B >. 故选：B. 6．D 【解析】 【分析】分别求出各函数的值域，即可得到答案. 【详解】选项A 中1,y x ==- y 可等于零；选项B 中211,11x y x x +==+++ y 显然大于1；选项C 中x N ∈，()2211211y x x x ==+++ ，值域不是()0,+∞；选项D 中10x +>，故0y >.故选D. 【点睛】本题考查函数的性质以及值域的求法.属基础题. 7．C 【解析】 【详解】令()()133xh x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()()()58102,1,2,33927g g g g =-=-=-=，故()h x 的零点在()2,3内，因此两函数图象交点在()2,3内，故选C.【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点与函数零点的关系、零点存在定理的应用，属于中档题. 零点存在性定理的条件：（1）利用定理要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线；（2）要求()()0f a f b <；（3）要想判断零点个数还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性). 8．C 【解析】 【分析】根据给定图象求出函数()y f x =的解析式，再平移，代入计算作答. 【详解】观察图象得1A =，令函数()f x 周期为T ，有311341264T πππ=-=，解得T π=，则22Tπω==， 而当6x π=时，max ()1f x =，则有22,Z 62k k ππϕπ⨯+=+∈，又2πϕ<，则0,6k πϕ==，因此，()sin(2)6f x x π=+，将()y f x =的图象向左平移3π个单位得：5()sin(2)36f x x ππ+=+，所以将()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象对应的函数解析式为5sin(2)6y x π=+. 故选：C 9．BCD 【解析】 【分析】设()f x x α=，根据幂函数()f x 的图象经过点(，即可求得函数的解析式，再逐一分析判断各选项即可得出答案. 【详解】解：设()f x x α=，由27α=12α=，故()f x A 错误； ()42f =，()f x 是增函数，B ，C 正确； ()13f t +=，得8t =，D 正确. 故选：BCD. 10．BC 【解析】 【分析】先计算已知正弦值，再逐一计算选项，判断是否相等即可. 【详解】 首先111sin(sin 662π-π)==，下面计算选项：A 选项中，2o o 2cos 151cos30-==B 选项中，o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos(1842)cos602-=+==，相等； C 选项中，o o o o o 12sin15sin 752sin15cos15sin 302===，相等； D 选项中，o oo o otan 30tan15tan 4511tan 30tan15+==-，不相等； 故选：BC. 【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用，属于基础题. 11．AB 【解析】 【分析】配方去绝对值符号判断A ；取a =0，结合奇偶性定义判断B ；举反例说明判断C ；由函数()y f x =的图象与直线2y =的交点个数判断D 作答.【详解】对于A ，因20a b -≤，2222()|()|()f x x a b a x a b a =-+-=-+-，因此()f x 在区间[,)a +∞上是增函数，A 正确；对于B ，当0a =时，2()||f x x b =+是偶函数，B 正确；对于C ，当0,2a b ==-时，2()|2|f x x =-满足(0)(2)f f =，而()f x 的图象关于1x =不对称，C 不正确；对于D ，22()|()|f x x a b a =-+-，当220a b -->，即22a b ->时，作出函数()y f x =的图象，如图，显然直线2y =与函数()y f x =的图象有4个公共点，则方程()2f x =有4个不等根， 于是得函数()()2h x f x =-的图像与x 轴有4个交点，D 不正确. 故选：AB 12．BC 【解析】 【分析】先化简整理函数2()2cos )cos 12sin 26f x x x x x ππ⎛⎫=-+-=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图像与性质依次判断各选项，从而得到答案. 【详解】函数22()2cos )cos 12cos 1cos f x x x x x x x π=-+-=-+2cos 22sin 26π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭x x x对于A ，当3x π=时，52sin 22sin13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故图像不关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误； 对于B ，由222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k =时，知函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，故B 正确；对于C ，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知27666,x πππ⎛⎫⎡+ ⎤∈⎢⎥⎣⎪⎝⎦⎭，由正弦函数性质知sin 261,12x π⎛⎫+ ⎪⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎝⎦⎭，()[1,2]f x ∴∈-，故C 正确；对于D ，函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度可得到函数2sin 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误；故选：BC 【点睛】方法点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质： (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间. 13．12-【解析】 【分析】利用()10f =求得a 的值. 【详解】由已知得()10f =，即()121031f a =+=+，解得12a =-. 故答案为：12-【点睛】本小题主要考查函数零点问题，属于基础题. 14．－1 【解析】 【详解】原式sin10sin?40?(cos10＝︒︒︒()sin402sin40 sin1?0?0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝(1sin1?0?0)2︒︒ 2sin40sin80cos?401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝＝－.故答案为1－【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.15．1[41,)3【解析】利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“f ”，可转化为具体不等式，注意函数定义域．【详解】解：由(21)(43)0f a f a ++->得(21)(43)f a f a +>--，又()f x 为奇函数，得(43)(34)f a f a --=-，(21)(34)f a f a ∴+>-， 又()f x 是定义在[2-，2]上的减函数，2343421212a a a a -⎧⎪∴->+⎨⎪+-⎩解得：1143a <． 即11,43a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 故答案为：11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查转化思想，解决本题的关键是利用性质去掉符号“f ”．16．(0,1)【解析】【详解】由题意函数()()g x f x k =-有两个零点可得()()0g x f x k =-=,得()f x k =,令y k =与()y f x =，作出函数y k =与y f x =（）的图象如图所示：由图可知，函数()()g x f x k =-有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是(0,1).故答案为：(0,1).【点睛】本题考查分段函数的应用，函数零点的判断等知识，解题时要灵活应用数形结合思想． 17．(1){1A B x x ⋃=<-或}0x >，{}12A B x x ⋂=<<(2)(){}0,2,3R A C =【解析】【分析】（1）根据并集和交集定义即可求出；（2）根据补集交集定义可求.(1) 因为{}02A x x =<<，{1B x x =<-或}1x >， 所以{1A B x x ⋃=<-或}0x >，{}12A B x x ⋂=<<；(2){0R A x x =≤或}2x ≥，{}0,1,2,3C =，所以(){}0,2,3R A C =.18．(1)36；(2)19+【解析】【分析】(1)由基本不等式可得191x y =+≥，再求解即可；(2)由19292(2)1919y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭. 【详解】解：(1)由191x y =+≥xy ≥36，当且仅当19x y =，即2,18x y ==时取等号， 故xy 的最小值为36.(2)由题意可得19292(2)191919y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当29y x x y=，即2292x y =时取等号，故x ＋2y 的最小值为19+【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题. 19．(1) {}11x x -<< (2) 偶函数 (3)1-【解析】【详解】试题分析：（1）根据定义域的要求解出定义域即可；（2）奇偶性的证明首先定义域对称，再求解()f x -，得()() f x f x -=，所以为偶函数；（3）按照对数计算公式求解f ⎝⎭．试题解析：（1）由1010x x +>⎧⎨->⎩得11x -<< 所以函数()f x 的域为{}11x x -<<（2）因为函数()f x 的域为{}11x x -<<又()()()22log 1log 1f x x x ⎡⎤⎡⎤-=+-+--⎣⎦⎣⎦ ()()()22log 1log 1x x f x =-++=所以函数()()()22log 1log 1f x x x =++-为偶函数（3）22log 1log 1f ⎛⎛=+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭221log 11log 12⎛===- ⎝⎭⎝⎭20．3【解析】【分析】根据二倍角公式，结合题意，可求得tan α的值，根据降幂公式，两角和的正弦公式，化简整理，根据齐次式的计算方法，即可得答案.【详解】因为22tan tan 21tan ααα==--2tan 0αα-=，解得tan α=或tan α=． 因为42ππα<<，所以tan α=．则22cos sin 1cos sin 2sin cos cos sin 444ααααπππααα---=⎛⎫⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎭cos sin cos sin 1tan cos 3cos sin cos sin 1tan cos αααααααααααα---=====+++． 21．（1）()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈；（3）)1,7⎡⎣. 【解析】【分析】（1）根据函数在同一周期的最值，确定最小正周期和A ，再由最大值求出ϕ，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调递减区间列出不等式求解，即可得出结果；（3）根据自变量的范围，先确定()y f x =的范围及单调性，根据函数()h x 有两个零点，推出函数()y f x =与直线12m y -=有两不同交点，进而可得出结果. 【详解】（1）因为函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值3；当712x π=时，()f x 取得最小值3-，3A ∴=，7212122T πππ=-=，则T π=，所以22T πω==； 又312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22122k ππϕπ⨯+=+()k ∈Z ，解得23k πϕπ=+()k ∈Z ， 又||ϕπ<，所以3πϕ=，因此()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）由3222232k x k πππππ+≤+≤+()k Z ∈，解得71212k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈， ∴函数()f x 的单调递减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； （3）由222232k x k πππππ-+≤+≤+()k Z ∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+()k Z ∈， 即函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； ,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间,312ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；所以()max 312f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭又()2()1h x f x m =+-有两个零点，等价于方程1()2m f x -=有两不等实根， 即函数()y f x =与直线12m y -=有两不同交点，132m -≤<，解得17m ≤<，即实数m 的取值范围是)1,7⎡⎣【点睛】思路点睛：已知含三角函数的函数在给定区间的零点个数求参数时，一般需要分离参数，将问题转化为三角函数与参数对应的直线交点问题求解，利用三角函数的性质，确定其在给定区间的单调性与最值等，即可求解（有时需要利用数形结合的方法求解）.22．(1)400；(2)不能获利，至少需要补贴35000元.【解析】【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为y x ，利用基本不等式求解即得最低成本； (2)写出该单位每月的获利f (x )关于x 的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.(1) 由题意可知：()21200800003006002y x x x =-+≤≤， 每吨二氧化碳的平均处理成本为：800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当800002x x=，即400x =时，等号成立， ∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；(2)该单位每月的获利：()221110020080000(300)3500022f x x x x x ⎛⎫=--+=--- ⎪⎝⎭， 因300600x ≤≤，函数()f x 在区间[]300,600上单调递减，从而得当300x =时，函数()f x 取得最大值，即()max ()30035000f x f ==-， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.。
【开学考试】湖南2020年高一新生开学考试复习卷-数学 一(含答案)
2020年高一新生开学考试复习卷-数学一一、选择题1.下列说法正确的有（）①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号不同的两个数互为相反数；③有理数分为正数和负数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数．A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.一根铁丝正好围成一个长方形,一边长为2a+b,另一边比它长a﹣b,则长方形的周长为( )A.6aB.10a+3bC.10a+2bD.10a+6b4.下列实数中，是无理数的是（）A. B.﹣0.3 C. D.5.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）A. B. C D.6.如图所示，一辆汽车，经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角度为α，第二次转过的角度为β，则β等于（）A.αB.90°﹣αC.180°﹣αD.90°+α7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则( )A.40°B.30°C.20°D.10°8.如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A.20°B.30°C.35°D.40°9.如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，3），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线勻速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（）A. B. C. D.10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4，以C点为圆心， 2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是（）A.点O在⊙C外B.点O在⊙C上C.点O在⊙C内D.不能确定11.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m.设游泳池的长为x m，则可列方程( )A.x(x－10)=375B.x(x+10)=375C.2x(2x－10)=375D.2x(2x+10)=37512.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3＋5，33=7＋9＋11，43=13＋15＋17＋19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是（）A.9B.12C.11D.10二、填空题13.如果实数x、y满足方程组，那么x2– y2= ．14.某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。
2020-2021学年高一数学上学期入学考试试题
2020-2021学年高一数学上学期入学考试试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间120分钟。
分卷I一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)1.集合A＝{x∈Z|－2<x<3}的元素个数为( )A． 1B． 2C． 3D． 42.若集合，，则B中元素个数为( )A． 1B． 2C． 3D． 43.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B等于( )A． {1}B． {2}C． {－1,2}D． {1,2,3}4.若A＝，下列关系错误的是( )A．⊆B．A⊆AC．⊆AD．∈A5.已知二次函数图象的顶点坐标为(1,1)，且过(2,2)点，则该二次函数的解析式为( )A．y＝x2－1B．y＝－(x－1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1D．y＝(x－1)2－16.设集合A＝{－1,0,1}，B＝{x∈R|x>0}，则A∩B等于( ) A． {－1,0}B． {－1}C． {0,1}D． {1}7.已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|1<x<3}，则A∩B等于( ) A． {x|x>2}B． {x|x>1}C． {x|2<x<3}D． {x|1<x<3}8.设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A． (0,4]B． [0,4)C． [－1,0)D． (－1,0]9.下列命题是真命题的是( )A．∀x∈R，(x－)2＞0B．∀x∈Q，x2＞0C．∃x0∈Z，3x0＝812D．∃x0∈R，3－4＝6x010.下列命题中真命题有( )①p：∀x∈R，x2－x＋≥0；②q：所有的正方形都是矩形；③r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；④s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0.A． 1个B． 2个C． 3个 D． 4个分卷II二、填空题(共5小题,每小题4.0分,共20分)11.设A＝{x∈N|1≤x<6}，则A用列举法可表示为________．12.已知集合A＝，B＝，且9∈(A∩B)，则a的值为________．13.已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“p∧q为假命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．14.设p：x＞2或x＜；q：x＞2或x＜－1，则p是q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)15.函数y＝2x2－4x＋3在区间[0,3]上的最小值为________．三、解答题(共5小题,每小题8.0分,共40分)16.已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．(1)当a＝3时，求A∩B；(2)若A∩B＝，求实数a的取值范围．17.已知集合A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝{x|0<x<3}．(1)若a＝0，求A∩B；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．18.已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，()∪B，A∩()．19.已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪()＝A，求.20.已知集合A＝{x|a－1<x<2a＋1}，B＝{x|0<x<1}，若A∩B＝，求实数a的取值范围．2020-2021学年高一数学上学期入学考试试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间120分钟。
湖南省长沙市宁乡县第一高级中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷及解析
湖南省长沙市宁乡县第一高级中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合}|1A x x =>，{}|12=-<<B x x ，则A B =（ ）A.{}|12x x -<<B.{}|1x x >-C.{}|11x x -<<D.{}|12x x <<2.下列函数是偶函数的是（ ） A.)lgy x x =B.244y x x =++C.e x y x 2=+D.)2log y x =3.函数f (x )=ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是 （ ） A. (3，4)B. (2，e)C. (1，2)D. (0，1)4.国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如表：如果某人在西安要邮寄800 g 的包裹到距西安1 200 km 的某地，那么他应付的邮资是( )A. 5.00元B. 6.00元C. 7.00元D. 无法确定5.若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是( )A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1xf x e =-D. ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.0.914y =，20.5log 4.3y =， 1.5313y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A.312y y y >> B.213y y y >> C.123y y y >> D.132y y y >>7.若一次函数y ax b =+的图像经过第二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图像只可能是（ ）A. B. C. D.8.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高乘之，皆六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为 A. 392 B. 752 C. 39 D. 601169.设函数221()log (1)()2=+-xf x x ，则使得1()(31)2>-f f x 成立的的取值范围是 A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 11,62⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.111,,632⎛⎫⎡⎫-∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭10.已知函数2226,,(),,x mx x m f x x x m ⎧-+<=⎨≥⎩其中0m <.若存在实数k ，使得函数()()=-g x f x k 有三个零点，则实数m 的取值范围是A. (),3-∞-B. (,-∞C. )3,0⎡--⎣D. ()11.已知函数()[]()()2?1,(02){1,2x x x f x x --≤<==，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．设*n N ∈，定义函数()n f x ：()()1f x f x =， ()()()21f x ff x =， ，()()()()12n n f x f f x n -=≥，则下列说法正确的有（ ）个 ①y =的定义域为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②设{}0,1,2A =， ()3{|,}B x f x x x A ==∈，则A B =；③201620178813999f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④若集合()[]12{|,0,2}M x f x x x ==∈，则M 中至少含有8个元素． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第II 卷（非选择题）二、解答题12.（1）(4)−12+√(−3)44-√43×213；（2）lg 14-lg25+ln √e ．13.已知集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}． (1)当x∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)当x∈R 时，若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围．14.已知二次函数()()223f x ax b x =+-+，且-1，3是函数()f x 的零点.（1）求()f x 解析式，并解不等式()3f x ≤； （2）若()()223g x f x x =-+，求函数()g x 的值域.15.已知函数()421421x x x xk f x +⋅+=++. （1）若对任意的x ∈R ，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； （2）若()f x 的最小值为-2，求实数k 的值.16.定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()124xxf x a =+⋅+.（1）当1a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数，请说明理由；（2）若()f x 是(],0-∞上的有界函数，且()f x 的上界为3，求实数a 的取值范围. 17.某企业生产一种产品，根据经验，其次品率Q 与日产量x （万件）之间满足关系,1,12(12)1,<112x a x Q a x ⎧≤≤⎪-⎪=⎨⎪≤⎪⎩ （其中a 为常数，且<11a x ≤，已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元（注:次品率=次品数/生产量， 如0.1Q =表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品）.（1）试将生产这种产品每天的盈利额()P x （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润?三、填空题18.已知65x ++，则 ()f x =______ 19.函数f(x)=lg(4−x 2)x的定义域为__________．20.若函数211,12(){ln ,1xx f x x x x -<=≥，则函数1()8y f x =-的零点个数为______________．21.给出下列四个命题：①若函数2()22=++f x x mx 在区间[)1,+∞上单调递增，则1m ≥-；②若2log 13<a（0a >且1a ≠），则a 的取值范围是2(,)3+∞； ③若函数()xf x e =，则对任意的12,x x R ∈，都有1212()()()22++≤x x f x f x f ； ④若()log =a f x x （0a >且1a ≠），在区间(0,)+∞上单调递减，则(3)(2)->+f f a .其中所有正确命题的序号是______________.参考答案1.D【解析】1.利用交集的定义直接求出交集． ∵A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2} ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜2} 故选：D ． 2.A【解析】2.结合选项，逐项检验是否满足f （﹣x ）＝f （x ），即可判断．A ：令)()lgy f x x x ==，则有))()lg lg f x x x x x -=-=-由于))lg lg lg10x x +==，即))lg lg x x -=则))()lg lg ()f x x x x x f x -=-=⋅=，所以为偶函数；同理D ：令)2()log y f x x ==，则))22()log log f x x x -==-,为奇函数B ：244y x x =++，只有一条对称轴：x =﹣2，故不是偶函数；C ：()e x y f x x 2==+，则有()e ()x f x x f x -2-=+≠，不是偶函数． 故选：A ． 3.C【解析】3.212()0()1f x f x x x'=+>∴+单调递增 (1)ln 220,(2)ln310f f =-<=->所以零点所在的大致区间是(1，2)，选C. 4.C【解析】4.由题目所给表格中，不同距离的邮费可以直接确定选项.依题意，1000g 以下的1000公理到1500公理以内的邮资是7元，故选C . 5.A【解析】5.试题因为函数g(x)＝4x ＋2x －2在R 上连续，且113()20422g =-=<，1()212102g =+-=>，设函数的g(x)＝4x ＋2x －2的零点为0x ，根据零点存在性定理，有01142x <<，则011044x <-<，所以01144x -<，又因为f (x)＝4x －1的零点为14x =，函数f (x)＝(x －1)2的零点为x=1，f (x)＝e x －1的零点为0x =，f (x)＝ln(x －0．5)的零点为32x =，符合01144x -<为14x =，所以选A ． 6.D【解析】6.利用指数、对数函数的单调性即可得出． ∵0.91441y =>=，20.50.5log 4.3log 10y =<=， 1.503110133y ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则231y y y <<． 故选：D ． 7.C【解析】7.直接利用一次函数图像经过的象限得出a ，b 的符号，进而结合二次函数图像的性质得出答案.由一次函数y ax b =+的图像经过第二、三、四象限，得到00a b <<，， ∴二次函数2y ax bx =+的图像：开口向下，对称轴在y 轴左侧， 故选：C . 8.D【解析】8.根据定义列“刍童”的体积函数关系式，再根据二次函数性质求最值. 设下底面的长宽分别为x,y ，有2(x +y)=18,x +y =9.则“刍童”的体积为16×3[2(6+x)+(2x +3)y]=12(30+2xy +y)=12(−2x 2+17x +39),当x =174时，“刍童”的体积取最大值6018，选D.9.B【解析】9.根据题意，分析可得函数()f x 为偶函数且在(0,)+∞上为增函数，进而可以将()1312f f x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭转化为1|||31|2x >-，解可得x 的取值范围，即可得答案．根据题意，函数()()221log 12xf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()()221log 12xf x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭=f(-x), 则函数()f x 为偶函数，由题得()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以函数在（-0∞，）上为减函数. 因为()1312f f x ⎛⎫>-⎪⎝⎭， 所以1|||31|2x >-，解之得1162x <<. 故选：B ． 10.B【解析】10.作出函数()f x 的图象，依题意函数()y f x =与直线y k =有三个不同的交点，可得26m -20)m m <<（，解之即可．当0m <时，函数2226,(),x mx x m f x x x m ⎧-+<=⎨⎩的图象如图：x m <时，2()26f x x mx =-+222()66x m m m =-+->-，y ∴要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，必须226(0)m m m -<<， 即23(0)m m ><，解得m <m ∴的取值范围是(,-∞，故选：B ．11.C【解析】11.①()0x f x -≥，当01x ≤<时， []()()20,213x f x x x x ==-≤⇒≥，所以213x ≤<；当12x ≤<时， []()1,1x f x x x ==-≤成立，所以12x ≤<；当2x =时， ()12f x =≤成立，所以213x ≤<；因此定义域为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②()()()10,02,211f f f B===∴∈;()()()02,21,10,0f f f B===∴∈;()()()21,10,02,2f f f B ===∴∈，因此A B =;③因为8221414558,,,99999999f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即5188,499f f T ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此2016201720162017418882888810,999999999f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④由上可知821450,1,2,,,,9999为M 中元素，又2233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以M 中至少含有8个元素．综上共有3个正确说法，选C.12.（1）3；（2）−32【解析】12.（1）利用指数运算性质即可得出； （2）利用对数运算性质即可得出． （1）原式=2−2×(−12)+3-223×213=2+3-2=3．（2）原式=lg1425+12=-2+12=−32．13.（1）254；（2）2m <或4m >【解析】13.(1)当x∈Z 时，可得A 中元素的个数，进而可得A 的非空真子集的个数； （2）根据B ⊆A ，可分B=∅，和B≠∅两种情况讨论，即可得出实数m 的取值范围． (1)当x∈Z 时，A ＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254. (2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，则m<2； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得m>4.综上可得，实数m 的取值范围是m<2或m>4.14.（1）()223f x x x =-++,{x |x ≤0或x ≥2}（2）(],3-∞【解析】14.（1）求出a ，b 的值，求出f （x ）的解析式，求出不等式的解集即可；（2）根据换元法令2232t x x =-+≥，结合二次函数的性质求出函数的值域即可．（1）由题意得213313b a a -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩，∴14a b =-⎧⎨=⎩，∴()223f x x x =-++.∴2233x x -++≤，即220x x -≥，∴{x |x ≤0或x ≥2}.（2）令()2223122t x x x =-+=-+≥，()()214f t t =--+在[)2,+∞上递减，∴()3f t ≤，∴()g x 的值域为(],3-∞. 15.（1）2k >-（2）8k =-【解析】15.（1）将原题进行转化，找到等价的不等式，分离出参数k 后转化为求函数的最值问题即可； （2）利用换元法，得到等式y ()113k t t-=+≥，分情况讨论求出f （x ）的最小值，令其为﹣2即可求出k 值．（1）∵4x +2x +1＞0，∴f （x ）＞0恒成立，等价于4x +k •2x +1＞0恒成立， 即k ＞﹣2x ﹣2﹣x 恒成立，∵﹣2x ﹣2﹣x ＝﹣（2x +2﹣x ）≤﹣2，当且仅当2x ＝2﹣x 即x ＝0时取等号， ∴k ＞﹣2；（2）()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++， 令12132xx t =++≥，则()113k y t t-=+≥， 当1k >时，21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦无最小值，舍去； 当1k =时，1y =最小值不是﹣2，舍去； 当1k <时，2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，最小值为2283k k +=-⇒=-，综上所述，8k =-.16.（1）值域为()3,+∞，函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数,详见解析（2）51a -≤≤【解析】16.（1）利用函数的单调性得到函数的值域，从值域上观察不存在正数M ，即函数在x ∈（0，+∞）上不是有界函数．，（2）根据函数f （x ）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+2x +4x |≤3，换元以后得到关于t 的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a 的范围． （1）当1a =时，()124xxf x =++，因为()f x 在()0,∞+上递增，所以()()03f x f >=，即()f x 在()0,∞+的值域为()3,+∞，故不存在常数0M >，使()f x M ≤成立， 所以函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数.（2）由已知函数f （x ）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a 2x +4x |≤3设t ＝2x ，所以t ∈（0，1），不等式化为|1+at +t 2|≤3当012a -<＜时，12134a -≥-且2+a ≤3得﹣2<a ＜0 当02a -≤或12a -≥时，即a ≤﹣2或a ≥0时，得﹣5≤a ≤﹣2或0≤a ≤1， 综上有51a -≤≤.17.（1）2454,12(12)(),112x x x a x P x x a x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪<≤⎪⎩；（2）见解析.【解析】17.（1）运用每天的赢利为P （x ）＝日产量（x ）×正品率（1﹣Q ）×2﹣日产量（x ）×次品率（Q ）×1，整理即可得到P （x ）与x 的函数式；（2）当a ＜x ≤11时，求得P （x ）的最大值；当1≤x ≤a 时，设12﹣x ＝t ，利用基本不等式可得x ＝9时，等号成立，故可分类讨论得：当1＜a ＜3时，当x ＝11时，取得最大利润； 3≤a ＜9时，运用复合函数的单调性可得当x ＝a 时取得最大利润；当9≤a ≤11时，当日产量为9万件时，取得最大利润．（1）当1x a ≤≤时，12(12)Q x =-， ∴21454()2(1)212(12)2(12)2(12)x x x P x Q x Qx x x x x ⎡⎤-=--=--==⎢⎥---⎣⎦. 当11a x <≤时，12Q =， ∴111()121222P x x x x ⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪⎝⎭. 综上，日盈利额()P x （万元）与日产量x （万件）的函数关系式为2454,12(12)(),112x x x a x P x x a x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪<≤⎪⎩，（其中a 为常数，且111a <<）.（2）当11a x <≤时，()2x P x =，其最大值为55万元. 当1x a ≤≤时，2454()2(12)x x P x x -=-，设12t x =-，则1211a t -≤≤， 此时，2245(12)4(12)4513651927()22222t t t t P x t t t t ----+-⎛⎫===-+≤ ⎪⎝⎭， 显然，当且仅当3t =，即=9x 时，()P x 有最大值，为13.5万元. 令2454() 5.52(12)x x P x x -=<-，得214330x x -+>， 解得11x >（舍去）或3x <，则（i ）当13a <<时，日产量为11万件时，可获得最大利润5.5万元.（ii ）当39a ≤<时，1x a ≤≤时，函数()P x 可看成是由函数5192(1211)21y t a t ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝⎭与12(1)t x x a =-≤≤复合而成的.因为39a ≤<，所以3129a <-≤，故51922y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[12,1?1]a -上为减函数 又12t x =-在[1,]a 上为减函数，所以()P x 在[1,]a 上为增函数故当日产量为a 万件时，可获得最大利润2454()2(12)a a P a a -=-万元. （iii ）当911a ≤<时，日产量为9万件时，可获得最大利润13.5万元.18.()23f x x x =++【解析】18.方法一： ()()()22121213f x x x +=++++，∴()23f x x x =++， 即函数的解析式为()23f x x x =++。
2019-2020学年湖南省长沙市宁乡一中高一上学期入学考试数学试题(解析版)
【详解】
(1)
;
(2)∵ ， ，
∴ .
【点睛】
本题考查了完全平方式的几何背景，考查了公式的灵活应用，属于基础题.
21． 直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线 ( )经过点A，交x轴于另一点C，如图所示.
(1)求抛物线的解析式.
【答案】不公平
【解析】列举出所有情况，看两张卡片上的数字之和为偶数的情况占所有情况的多少即可求得到哥哥赢的概率，进而求得弟弟赢的概率，比较即可.
【详解】
列树状图得：
共有 种情况，和为偶数的有 种，
所以哥哥赢的概率是 ，那么弟弟赢的概率是 ，
所以该游戏对双方不公平.
故答案为：不公平
【点睛】
本题考查了列举法求基本事件，注意本题是放回实验，解题的关键是求出相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平，属于基础题.
A．30°B．25°C．20°D．15°
【答案】D
【解析】利用两直线平行同位角相等以及三角形的外角等于不相等的两个内角之和即可求解.
【详解】
，
，
又 ，
.
故选：D
【点睛】
本题考查了平行线间的性质以及三角形的性质，属于基础题.
7．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是( )
15．设 ，则 ，则m的取值范围是______
【答案】
【解析】将 的分子、分母分别因式分解、约分后可得 ，再根据 即可确定m的取值范围.
2020-2021学年湖南省五市十校高一上学期第一次联考试题(12月) 数学 PDF
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2020-2021学年湖南省长沙一中高一上学期第一次阶段性检测数学试题(解析版)
【详解】
解：根据题意得： ， ，
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查分段函数求函数值，考查运算能力，是基础题.
14．已知集合 ， ，若 ，则实数 的所有可能的取值组成的集合为________.
【答案】
【解析】确定集合 中的元素，由 得 ，由子集的定义求解．
A． ，
B． ，若 ，则
C． ，
D．不等式 的解集为 或
【答案】BCD
【解析】通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式 的解后可得不等式 的解集，从而可判断D正确与否.
【详解】
对于A， ，则 ，故 ，故A不成立.
对于B， ，则 ，
故 ，所以 ，故B成立.
对于C，设 ，其中 ，
对D：令 ，定义域为
所以函数为偶函数且在 单调递增，故D正确
故选：D
【点睛】
本题考查函数的性质，熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等，属基础题.
4．命题“ ， ”的否定是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由命题的否定的定义判断．
【详解】
命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
则 ， ，
若 ，则 ， ，故 ；
若 ，则 ， ，故 ，故C成立.
对于D，由不等式 可得 或 ，
故 或 ，故D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
三、填空题
13．已知函数 ，则 ________.
【答案】8
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。