不等式选讲高考专题复习

不等式选讲

[知识点复习]

1、不等式的基本性质

①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+

（同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0,

⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d

>><

⑥（平方法则）

0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b

a b a b a b a 110;110>?<<

>> 2、几个重要不等式 ①()22

2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22

.2a b ab +≤

②（基本不等式） 2

a b +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.

变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +??≤ ???

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）

3

a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222

a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤333

3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则

（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b

<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1 其中(000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22

.x a x a a x a

3、几个著名不等式

①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. （即调和平均 ≤ 几何平均 ≤ 算术平均 ≤ 平方平均）.

变形公式：

2

22;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n

+++≥

+++ ③二维形式的三角不等式：

≥1122(,,,).x y x y R ∈

④二维形式的柯西不等式： 22222

()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈

当且仅当ad bc =时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式： 2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++

⑥一般形式的柯西不等式：

2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++

⑦向量形式的柯西不等式： 设,αβu r u r 是两个向量，则,αβαβ?≤u r u r u r u r 当且仅当βu r 是零向量，或存在实数k ，使k αβ=u r u r 时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）：

设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则

12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和） 当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.

4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242

a a ++

>+ ②将分子或分母放大（缩小），如

211,(1)k k k <- 211,(1)k k k >+ ==< *,1)

k N k >∈>等. 1.不等式|5||3|10x x -++≥的解集为

（A ）[-5.7] （B ）[-4,6]

（C ）(,5][7,)-∞-?+∞ （D ）(,4][6,)-∞-?+∞ 【答案】D

二、填空题

1.已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ??=∈++-≤=∈=+∈+∞????

，则集合A B ?=________.

3.不等式130x x +--≥的解集是______.

4．（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 解答题:

1．选修4-5：不等式选讲

已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.

（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.

2.不等选讲 设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}

1-≤x x ，求a 的值。

3.选修4-5：不等式选讲

解不等式：|21|3x x +-<

4．选修4-5：不等式选讲 设不等式11-x 2＜的解集为M ．

（I ）求集合M ；（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小．

20XX 年试题：

一、填空题：

1． (不等式选做题)不等式的解集为 .

二、解答题：

1．选修4-5：不等式选讲

已知函数。

（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

2．选修4-5：不等式选讲

设a、b是非负实数，求证：。

4．选修4-5：不等式选讲

已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。20XX年试题：

1.解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

2.设函数。

（1）若解不等式；（2）如果,,求的取值范围。

3．选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.

（1）将y表示成x的函数；

（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？