大学精品课【单辉祖PPT】大学工程力学课件_单辉祖主编第15章__压杆稳定问题

w k 2w 0
10
③、微分方程的解： w Asin kx B coskx
④、确定微分方程常数： w(0) w(L) 0
B 0,
sin kL 0.
(w sin kx)
Kl n （n=0、1、2、3……）
k n Fcr
L
EI
Fcr
n2 2EI
L2
临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
61.6
a=20/d ＝20/0.16=125＞λp,
b=14/d ＝14/0.16=87.5＜λp
Fcra
2EI (L)2
2E 2
A
2 210 103
125 2
1 160 2
4
2663 (kN)
Fcrb
crb
A
(304
1.12)
A
(304
1.1287.5)
1 4
1602
4115
.4(kN)
22
给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；
无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。
（它是稳定与不稳定的转折点）。
8
压杆的临界压力:Fcr（ 稳定平衡的极限荷载）
临界状态
稳 定 平过
对应的
衡
压力
不 稳 度定 平 衡
四、判断压杆稳定的标志——Fcr 稳定的平衡状态—— F Fcr 临界的平衡状态—— F Fcr 不稳定的平衡状态（失稳）—— F Fcr
29
四、提高压杆稳定的措施
F Fຫໍສະໝຸດ Baidur nst
Fcr
2EI (l)2
2E 2
A
l
i
i
I A
1、选择合理的截面形状： I Fcr
2、改变压杆的约束形式： 约束的越牢固 Fcr
3、选择合理的材料： E Fcr
但是对于各种钢材来讲，弹性模量的数值相差不大。 （1）大柔度杆——采用不同钢材对稳定性差别不大； （2）中柔度杆——临界力与强度有关，采用不同材料
比较大；
2.已知：d =160 mm。
求：二杆的临界载荷
7m
解：1、判断临界荷载大小
= l / i ,
a=（1*5）/（d/4）=20/d ,
b= （0.5*7）/（d/4）= 14/d .
a ＞b
Fcra ＜ Fcrb
21
2、计算各杆临界力的大小
P
2E
P
2 210103
100 206
s
304 235 1.12
nst
2
28
2、折减系数法
l 1 3.4100 145 .9
i
79.94
14.73
查表——λ =140，φ=0.349；λ=150，φ=0.306。
145.9 0.349 0.349 0.306 5.9 0.33
10
F A
60 103 14.73102
40.7(MPa)
0.33140 46.2(MPa)
§15－5 压杆的稳定计算及提高压杆稳定的措施
一、稳定条件
1、安全系数法:
F
Fst
Fcr nst
2、折减系数法:
F Fcr nst
F A
st
cr
nst
二、稳定计算
1、校核稳定性；2、设计截面尺寸；3、确定外荷载。
三、注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别
强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅与 材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。23
cr a b
P
2E
cr
2
o
s
P
L
i
18
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。 2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时，
其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
例：一压杆长L=1.5m，由两根 56566等边角钢组成，两端铰 支，压力 F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或经验公式 求临界压力和安全系数 σcr=304-1.12λ(MPa) 。 解：一个角钢： A1 8.367cm2, I y1 23.63cm4
例：图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直 径为： d = 0.3m，试求此杆所能承受的最大压力。（xy面两端 视为铰支；zx面一端视为固定，一端视为自由）
木杆 : 80时, 3000 2
B
解：折减系数法
①、最大柔度 F1
x y面内， =1.0
F2
A
W
xy
1
第十五章 压杆稳定问题
§15—1 概述 §15—2 两端铰支细长压杆的临界力 §15—3 其它支承下细长压杆的临界力 §15—4 临界应力、欧拉公式的适用范围 §15－5 压杆的稳定计算及提高压杆稳定的措施 压杆稳定小结
2
§15—1 概述
3
FP
4
短粗压杆——
max
FN A
（保证具有足够的强度）
两根角钢图示组合之后 I y I z
Imin I y 2I y1 2 23.63 47.26cm149
i Imin 47.26 1.68cm A 28.367
l
i
150 1.68
89.3p
100
所以，应由经验公式求临界压力。
σcr=304-1.12λ=304-1.12*89.3=204（MPa）
9
§15—2 两端铰支细长压杆的临界力
假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，
如图，从挠曲线入手，求临界力。
w
Fcr
w
Fcr
x
L
M Fcr
wx
①、弯矩：
M (x) Fcrw
Fcr ②、挠曲线近似微分方程：
EIw M (x)
Fcrw w Fcr w 0
EI
令 : k 2 Fcr EI
F Fcr
给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；
无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。
（它是稳定与不稳定的转折点）。
三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。 31
重点 四、临界力、临界应力的计算及欧拉公式的使用范围
1：大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。 p ( p )
Fcr
2EI (l)2
Fc r
2 EI m in L2
11
§15—3 其它支承下细长压杆的临界力
Fcr
2 EI min (l)2
——临界力的欧拉公式
（μ——长度系数，L——实际长度，μL——相当长度）
公式的应用条件： 1、理想压杆； 2、线弹性范围内；
12
13
例：求下列细长压杆的临界力。(xz面失稳两端铰支，长L2；xy 面失稳一端固定，一端铰支，长L1）
L
i
164 0.3
80
y
z x面内， =2.0
o
x
z
zx
L
i
264 0.3
160
24
②、求折减系数
木杆 : 80时, 3000 2 3000 1602 0.117
③、求最大压力
FAB
A
FAB
A
0.32 4
0.117
11 10 6
91(kN)
25
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，
s p ( p s )
cr a b ——直线型经验公式
s
a
s
b
cr a1 b12
——抛物线型经验公式
s
a1 s
b1 17
3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
cr s
FN
A
s ( s )
三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。
cr
S
cr 压杆容易失稳
16
二、欧拉公式的适用范围
p
cr
p
cr
2E 2
p
2E p
p
2E （临界柔度） A3(Q235)钢λp=100，λs=61.6
p
则1：大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。
Fcr
2EI (l)2
cr
2E 2
p ( p )
2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。
F
解：图（a）
FP
I min
50 103 12
10 12
4.17
10 9 m4
10
Fcr
2IminE (1l)2
2 4.17 10 9 200 106
(0.7 0.5)2
50
z
y
L
图（b）
67.14kN Imin I z 3.89 108 m4
图（a）
图（b）
Fcr
2IminE (2l)2
I y 2[I y1 A1(z0 a / 2)2 ]
2 [25.6 12.74 (1.52 a / 2)2 ]
即 : 198 .3 25.6 12.74(1.52 a / 2)2时合理
a=4.32cm
26
2、求临界力：
L 0.7 6
i
Iz
2 A1
0.7 6 396.6 108
2
3.89 10 8 200 (2 0.5)2
10 6
76.8kN
15
§15—4 临界应力、欧拉公式的适用范围
一、临界应力
cr
Fcr A
2EI (l)2 A
2E (l)2
i2
2E ( l )2
2E 2
i
l
i
——临界应力的欧拉公式。 ——压杆的柔度（长细比）
i I A
——惯性半径
1、nst=2； 2、〔σ〕=140 MPa
解：1、安全系数法：
l
i
1 3.4100 79.94
145 .9
p
100
14.73
Fcr
2EI (L)2
2E 2
A
2 210 103 14.73 10 2
145 .9
143 .3(kN)
Fcr 143 .1 71.7(kN) F 60kN
解：①、绕
y 轴，两端铰支： =1.0，I y
b3h 12
,
Fcry
②、绕z=轴0.7，，左端I z 固 定b1h2，3 ,右端F铰cr支z ：(0.27ELI1)z 2
2EIy L22
③、压杆的临界力 Fcr min( Fcry , Fcrz )
14
例：求下列细长压杆的临界力。（L=0.5m，E=200 MPa）
细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念： 在外力作用下，压杆保持原有直线平衡 状态的能力。
小 球 的 稳 定 与 不 稳 定 平 衡
F F
——稳定平衡
5
——不稳定平衡
—— 稳定平衡和不稳定平衡
6
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳定平衡
不稳定平衡
7
压 杆 不 稳 定 平 衡
↓ 失 稳
三、临界的平衡状态：
s ( s )
32
重点 五、压杆的稳定计算
1、稳定条件
（1）、安全系数法:
F
Fst
Fcr nst
（2）、折减系数法:
F Fcr nst
F A
st
cr
nst
2、稳定计算
（1）、校核稳定性； （2）、设计截面尺寸； （3）、确定外荷载。
六：注意的问题
首先确定压杆的柔度，判断用哪个公式计算临界力和临界应
对稳定性有一定的影响； （3）小柔度杆——属于强度问题，采用不同材料有影响。
30
小结
一、压杆稳定性的概念： 在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、判断压杆稳定的标志——Fcr
稳定的平衡状态—— F Fcr
临界的平衡状态—— F Fcr
重点
不稳定的平衡状态（失稳）—— 临界的平衡状态：
106.5 p
2 12.74 104
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
Fcr
2EI ( l ) 2
2
200 (00.7
396 .6 6)2
10
443 .8(kN)
27
例：一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4， E=210 GPa，F=60 kN，材料为A3钢，两端为铰支座。 试进行稳定校核。
力，然后用相应的计算公式计算临界力、临界应力及稳定计算。 33
34
Fcr A cr 2 8.367 10 2 204 314 .4(kN)
安全系数 n Fcr 314.4 2.1 F 150
20
例：如图所示圆截面压杆， E=210GPa，σp=206MPa， σs
=235MPa ,σcr=304-1.12λ(MPa) 1.分析哪一根压杆的临界载荷
上端为球铰支座，试问 a=？时立柱的临界压力最大,最大值为
多少？ F
解：1、对于单个10号槽钢，形心在c1点。
A1 12.74cm2, z0 1.52cm,
I z1 198.3cm4 , I y1 25.6cm4
两根槽钢图示组合之后，
（z1） I Z 2I Z1 2 198.3 396.6cm4
cr
2E 2
p
2E （临界柔度）
p
2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。
s p ( p s )
cr a b ——直线型经验公式
s
a
b
s
cr a1 b12 ——抛物线型经验公式 s
3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
a1 s
b1
cr s
F
A