具有非零解的齐次线性方程组基础解系

cr +1η1 + cr + 2η2 +
+ cnηn 也是方程组(1)的解. 记 cr +1η1 + cr + 2η2 +
⎛ d1 ⎞ ⎜d ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + cnηn = ⎜ d r ⎟ . ⎜ cr +1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ n ⎠
⎛ c1 ⎞ ⎛ d1 ⎞ ⎜c ⎟ ⎜d ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎛ c1 ⎞ ⎛ d1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜c ⎟ ⎜d ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 于是， ⎜ cr ⎟ 和 ⎜ d r ⎟ 均满足（3）. 这说明 ⎜ ⎟ 和 ⎜ ⎟ 均为 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ cr +1 ⎟ ⎜ cr +1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ cr ⎠ ⎝ d r ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜c ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⎪a x + a x + ⎪ 21 1 22 2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ar1 x1 + ar 2 x2 + + a1r xr = − a1r +1cr +1 − + a2 r xr = − a2 r +1cr +1 − + arr xr = − arr +1cr +1 − − a1n cn , − a2 n cn , − arn cn ,
ε1 , ε 2 , … , ε n 就是方程组的基础解系.
（II）下设 r > 0. 此时可设 A 的行向量组有含 r 个向量的极大无关组，不妨设为前 r 行.于 是方程组(1)同解于
⎧ a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0, ⎪ a x + a x + + a x = 0, ⎪ 21 1 22 2 2n n (2) ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ar1 x1 + ar 2 x2 + + arn xn = 0 注意到（2）的系数矩阵 B 的秩为 r ，我们知 B 的列向量有一个含 r 个元素的极大无关组. 不妨设为前 r 列.这样，我们得到矩阵 ⎛ a11 ⎜ C=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a r1 ⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⎪a x + a x + ⎪ 21 1 22 2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ar1 x1 + ar 2 x2 +
⎛ c1 ⎞ ⎜c ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎛ xr +1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ r +2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎜ 为 ， ， …， ⎜ cr ⎟ 为（2）的解，从而是（1）的一个解. 于是，分别令 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ cr +1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎜ ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ n ⎠
则可得方程组(1)的 n − r 个解:
⎛ c11 ⎞ ⎛ c21 ⎞ ⎛ cn − r ,1 ⎞ ⎜c ⎟ ⎜c ⎟ ⎜c ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎜ 22 ⎟ ⎜ n − r ,2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c1r ⎟ c2 r ⎟ cn − r ,r ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ η1 = ,η = , …… ,ηn − r = . ⎜ 1⎟ 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠
(3)
, xr 的方程组(暂时把后面 n − r 个未知量看成常数)，由 Cramer 法则知
⎛ xr +1 ⎞ ⎛ cr +1 ⎞ ⎛ c1 ⎞ ⎜c ⎟ ⎜x ⎟ ⎜c ⎟ r +2 ⎟ r +2 ⎟ 2 一组值 ⎜ ，就能唯一的一组值 ⎜ ⎟ 使得 方程组(3)有唯一解.也就是说，任意给 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ cr ⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ cn ⎠
我们断定，上述 n − r 个解构成方程组(1)的基础解系. (i)
η1 ,η2 , … ,ηn − r 线性无关.
⎛ c1 ⎞ ⎜c ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (ii) 任 意 取 一 个 解 η = ⎜ cr ⎟ . ⎜ cr +1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ n ⎠
一方面，由
η1 ,η2 , … ,ηn − r 是 方 程 组 (1) 的 解 知
⎛ c1 ⎞ ⎛ d1 ⎞ ⎜c ⎟ ⎜d ⎟ 2 2 的解. 注意到该方程组系数行列式不为零，故它有唯一解.于是 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ .故 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ cr ⎠ ⎝ d r ⎠
cr +1η1 + cr +2η2 +
+ cnηn =η.
推论 设某 n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 r, 且 r < n. 1. 该方程组存在基础解系,且基础解系中含元素的个数加上该方程系数矩阵的秩 r 等于该 方程组未知数的个数 n . 2. 方程组的任意 n − r 个线性无关的解都构成这个方程组的一个基础解系.
具有非零解的齐次线性方程组基础解系 存在性的证明
定理 具有非零解的齐次线性方程组必有基础解系.若该齐次线性方程组系数矩阵的秩为 r , 则它的基础解系中含元素个数为 n − r. (以下将看到， n − r 也就是自由未知量的个数). 证明 由于方程组有非零解，故 r < n. （ I ） 当 r = 0 时 ， 方 程 组 变 为 0 = 0. 此 时 ， 任 意 n 维 列 向 量 均 为 方 程 组 的 解 ， 此 时
将(3)看成 x1 , x2 ,
a1r ⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ a rr ⎠ − a1n xn , − a2 n xn ,, − arn xn ,
显然 C 的秩为 r, 从而其行列式不为零.将(2)变形，得
+ a1r xr = − a1r +1 xr +1 ห้องสมุดไป่ตู้ + a2 r xr = − a2 r +1 xr +1 − + arr xr = − arr +1 xr +1 −