北京科技大学matlab大作业

《数学实验》报告

实验名称MATLAB在研究物体振动方面的应用学院

专业班级

姓名

学号

2015年 1月

一、【实验目的】

物体振动这样一个看似简单但又包含着很多复杂计算的运动中，在人为的计算时是很难精确的实现，而通过MATLAB可以处理诸多科学中的许多问题，利用它来研究物理学中的机械振动，不仅特别方便还非常有效。

二、【实验任务】

本列举振动的一些实例，用matlab语言编制计算机程序进行仿真以达到研究简谐振动以及振动的合成，振动的计算以及受迫振动。

三、【实验程序】

（一）简谐振动介绍

最简单和最基本的振动是简谐振动．任何复杂的振动，都可以看成为许多简谐振动的合成．

1．特点

质点作简谐振动的条件是：在任何时候所受到的力与质点离开平衡位置的位移成正比，其指向与位移相反，始终指向平衡位置．所受的力与位移的关系表示为

（1）

式中为正的常数．对于弹簧振子，就是弹簧劲度系数

2．运动的微分方程及其解

根据牛顿第二定律，作简谐振动的质点的微分方程写成

即

（2）

式中。如下面的（3）和（4）所示，是简谐振动的圆频率。

微分方程（2）的解是

（3）

或

（4）

式（7.3）也可以表为复数形式

（5）

但要约定取其实数部分．

利用三角公式，很容易导出A ，和B，C之间的关系

即（6）

3．速度和加速度

作简谐振动的质点，它的速度和加速度很容易得到．只要将（7.3）对时间分别求导一次和求导两次即可，

（7）

（8）

式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是判别一个系统是否作简道振动的依椐．

4．圆频率、周期和频率之间的关系

，，（9）

，，三者不是独立的，只要知道其中一个，就可以由（7.9）求出其余两个。它们是由振动系统的固有性质决定，常称为固有圆频率，固有周期和固有频率．

5．振幅和初周相

（3）中和是两个积分常数，可由初始条件决定．将初始条件：“，，”代入（3）和（7），得

（10）

解得

（11）

求解质点作简谐振动的具体运动情况，也就是要确定（7.3）中的，，三个值．其中和由

初始条件决定，因此一般来说，首先必须确定初始值和，而根据（7.10）或（7.11）求出和值．至于（或或），它是由系统固有性质决定的，与初始情况无关．例如对于弹簧振子，，完全由弹簧劲度系数和物体质量所决定．弹簧的大（即所谓硬的弹簧），振动的圆频率也就

大。而物体的质量m大，就小．

6．简谐振动系统的能量

作简谐振动的质点动能为

（12）

振动系统弹性势能为

（13）

因此系统总机械能为

（14）

系统的动能和势能各随时间作周期性变化，在振动过程中动能和势能互相转换，而总机械能保持不变．这是简谐振动的一个特性．总机械能E与振动的振幅平方A 2，振动的圆频率平方成正比．

动能和势能在一个周期内对时间的平均值分别是

（15）

注意和在一周期内对时间的平均值均等于1／2．这样，

（16）

7.振动的合成

一个质点同时参与两个振动方向相同、频率相同的简谐振动，

合振动仍为简谐振动

（17）

利用振幅矢量图示法容易求得

（18）

二个振动方向相同、频率略有差异的简谐振动，其合振动不为简谐振动，产生“拍”现象．拍频为

（

，

为两分振动频率）． （19）

二个振动方向互相垂直的简谐振动合成：

（1）若二振动频率相同，合振动轨迹一般为一椭圆.

（2）若二振动频率成整数比，合振动轨迹为规则的稳定的闭合曲线，称利萨如图．但若不成整数比，轨迹为不闭合的复杂曲线.

（二）实际运用

例1.关于物体振动的计算的应用

质量为1kg 的物体，以振动1x10^-4m 作简谐运动，其最大加速度为4.0m/s.求：（1）震动的周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等；

2

max a A ω=

max

a A ω=

2T πω=

通过平衡位置时的速度最大，所以得：

max 222

max 11

22k E mv m A ω==⨯ max

k E E = 当

k p

E E =时，可得x 的位置

即： 2

22p

E x m ω=

程序如下：

m=1; %m 为物体的质量

amax=4.0; %amax 为最大加速度 A=1.0*10^-4; %A 为振幅 W=sqrt(amax/A); %求角速度 T=2*pi/W; %求周期

Ekmax=1/2*m*W*W*A*A; %求最大动能 E=Ekmax; %求总能量 Ep=1/2*E; %求势能

x=sqrt(2*Ep/m/W/W); %求动能和势能相等时的位移

例2 振动图

以质量为0.01kg 的物体作简谐运动，其振幅为0.08m ，周期为4s ，起始时刻物体在x=0.04m 处，向OX 轴负方向运动，试求：画出此时刻的0到8π的振动图形。

解: cos()x A t y ω=+ A=0.08m T=4s

2T π

ω=

T=0时，x=0.04；

得 0.04=0.08cosy

(0.08)cos[]

23x t ππ

=+ 程序： t=0:pi/200:8*pi;

x=0.08*cos(pi/2*t+pi/3); plot(t,x,'rp')

legend('x=0.08*cos(pi/2*t+pi/3') 结果如下图：