数学物理方程有限差分法

数学物理方法课程报告

题目:声波有限差分法数值模拟

学生姓名:xxx

学号:xxx

学院:地球科学与技术学院

专业班级:xxxx

教师:xxx

2016年 4月12日

声波有限差分法数值模拟

Xxx

(地球科学与技术学院研15级学号:xxx)

摘要:数值模拟就是最常用的正演模拟的方法。它通过给出的结构模型与物理参数,模拟地震波的传播轨迹,了解其规律以及过程,然后通过计算来推断观测点的地震记录。根据求解方法,地震波方程数值解法可分为有限元法、伪谱法、有限差分法。根据本门课程的要求,并且有限差分法具有内存占用较小,精度较高等优点,本文主要采用这种方法进行模拟。关键词:数值模拟,声波,有限差分

正文

1、引言

在勘探过程中,数值模拟的作用很大。例如:1、采集上,可用于设计或者优化

野外观测系统;2、处理上,可以通过数值模拟来检验就是否采用了正确的反演方法。将正演反演不断的逼近,从而使结果更加准确;3、解释上,还可以检测一下解释的资料就是否正确。

而有限差分法就是数值模拟最常用的方法,本文利用有限差分法,通过对声波进行正演模拟,来了解其在地下的传播规律及特点。

2、 二维各向同性介质声波方程数值模拟 使用规则网格差分对二阶方程进行求解。 具体过程:

在x 方向上,关于0x 对称分布的2N 个网格节点的坐标分别为x q x N ∆-0, x q x N ∆--10,……,x q x ∆-10,x q x ∆+10,……x q x N ∆+-10,x q x N ∆+0。其 中,x ∆表示节点间的最小间距;i q 表示任意正整数。2N 个网格节点所对应的函 数值已知,分别为()x q x f N ∆-0,()x q x f N ∆--10,……,()x q x f ∆-10,

()x q x f ∆+10……,()x q x f N ∆+-10,()x q x f N ∆+0。利用Taylor 级数展开求解 ()x f 在点0x 处的一阶导数近似值。

()()()()()()()()()()()()()[]120220220100!

21

!

21

+∆+∆+

+∆+

∆+=∆+N i N N i i i i x q O x f x q N x f x q x f x q x f x q x f

()()()()()()()()()()()()()[

]

120220220100!

21

!

21

+∆+∆+

+∆+

∆-=∆-N i N N i i i i x q O x f x q N x f x q x f x q x f x q x f

其中,i=1,2,…,N

将上述两式相加,省略式中的误差项,得到

()()()[]()()()()()()()()()()022*********!

21

!41!21221

x f x q N x f x q x f x q x q x f x f x q x f N N i i i i i ∆+

+∆+∆=∆-+-∆+

(1)

将相减后得到的式子整理成矩阵形式,有

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆-+-∆+∆-+-∆+∆-+-∆+∆=⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x x f x N x f x x f q q q q q q q q q N N N N N N N

N

N N

000200201001020222042

0224

2224

22

22141

2

122221!21!41!

21

(2) 为了简化矩阵,可以记作

⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=N N N

N

N N

q q q q q q q q q A 242224222

214

1

21 ,()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆-+-∆+∆-+-∆+∆-+-∆+∆=x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x D N N 00020020100102

22221

同时,构造两个简单矩阵,辅助计算

N

N I ⨯⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=111 整理的, 1001⨯⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=N E 假设存在1-A ,使得I AA =-1,也可得()

I A A T T

=-1

;即()T

A 1-为T A 的逆,得到

()

I A A T

T =-1

。式子两边右乘向量E 就可得

()

E E A A T

T =-1 (3)

由式(2)可得

()

()D A E x f T 1022

1-= (4)

同时,假设

()

()T

N T T

c c c C E A ,,,211 ==-

(5)

将()N c c c C ,,,21 =带入式(4),得

()()()

()()()[]x q x f x f x q x

f c x x f n n N

n n ∆-+-∆+∆=∑=000

1

2

0222121

(6)

整理得 ()()

()()()()[]x q x f x q x f c x f c x f

x n n N

n n ∆-+∆++=∆∑=001

00022

可结合式(3)与式(5),可得到矩阵计算式:

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢

⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00121222

21

4424

12

2

2

2

1 N N N N N N N c c c q q q q q q q q q

(7)