清华大学大学物理电磁学

库仑定律不成立！
+
+v
基本假定：对于运动电荷， 高斯定理也成立。
qi
S(t)
E
S(t)
dS
1
0
qi
(S(t ))
更一般地假定：
在任何情况，包括在变化的电磁场中，凡是
电场，都服从高斯定理，即
S
E
dS
1
0
qi
(S)
4
§2.2 在无磁场情况下电场的变换
z z'
S系
S‘系：只有电场,无磁场。
E
Q
1 2
rˆ
4 0r 2
(1
2
sin2 )3
2
z
E
P
r
Q v
x
注意： 是 r和 v的夹角
若 v c 得
E
Q
4 0r 2
rˆ
低速情况回到库
仑定律。
14
E
Q
1 2
rˆ
4 0r 2 (1 2 sin2 )3 2
E 0,
Q
4 0r 2
(1 2 )
E
2
Q
4 0r 2
(1
1
2 )1
sin d
4 0
0
(1 2 sin2 )3 2
0
Q(1 2 ) 2 1
d(cos )
4 0
1 (1 2 2 cos2 )3 2 16
查积分表：
1
d(cos )
2
1 (1 2 2 cos 2 )3 2 1 2
代入得
S
E dS
Q(1 4 0
2 ) 2
代入场强变换公式得
Q x
Q( x ct)
E x 4 0 ( x2 z2 )3 2 4 0[ 2 ( x ct )2 z 2 )]3 2
Ez
4
0
Q z
(x2 z2
)3
2
4
0 [
2
(x
Qz
ct )2
z2
)]3
2
11
Ex
4
0[
Q( x ct) 2 ( x ct )2
z2
)]3
2
1、横向场强增大到 倍。
v
S系
E
E
v
静电场 E 0
S系
E
0
0
E
6
2、纵向场强不变
E
E
v
S系
S系
E E
7
§2.3 匀速直线运动点电荷的电场
z
S系
E ?
？ P(x, y, z,t)
r
vt
x
OQv
8
电荷系S' 中 P( x, y, z, t)点电场(静电场)：
z S'系 Ez
P(x, y, z,t)
rz
vt
OQv
x
Ex
E x E x
Q x
4 0 ( x2 z2 )3 2
E z E z
x
Q z
4 0 ( x 2 z 2 )3 2
再由场点的变换 ( x, y, z, t) ( x, y, z, t) , 得S
系中运动电荷的电场。
10
场点的变换：
x ( x ct), z z, t (t x c) 1 12 , v c
2
E 2 E0,
Q+ v
15
证明：对匀速运动电荷电场高斯定理成立
E
Q
1 2
rˆ
4 0r 2
(1
2
sin2 )3
2
Q(1 2 )
rˆ dS
E dS
(S)
4 0
r 2(1 2 sin2 )3 2
Q(1 2 ) 4 0
d
(1 2 sin2 )3 2
Q(1 2 ) 2 d
点电荷 dx 在P点的电场：
dE
dx 4 0r 2
(1
1 2 2 sin2 )3
2
rˆ
19
dEy
P
ra
x
dx u 0
dE dEx
对称性 dEx 0
E
dE y
dx 4 0r 2
(1
1 2 2 sin2
)3
2
sin
r2
a2
sin2
,
x a ctg ,
a d dx sin2
1
1 (1
d(cos ) 2 2 cos2
)3
2
2 0a
21
§2.4 电场对运动电荷的作用力
电场对运动电荷q的作用力（电力）,与该电
荷的运动速度无关。即 F qE
用特例说明：
S参考系：无磁场；电场（ Ex,Ey,Ez ）；q运动。
S'(q静止)参考系：
变换到S系，为
Ex E x
Ey E y
P(x, y, z,t)
r z
O Q
x
E
E x
Q
4 0r2
cos
Qx
4 0 ( x2 z2 )3 2 E x
E z
Q
4 0r2
sin
x
4
Qz 0(x2
z2 )3
2
9
S'系P(x, y, z,t) S系P( x, y, z, t) ，P 点电场：
z S系 Ez
E 轴对称，由电场的变换得
Qz Ez 4 0[ 2 ( x ct )2 z 2 )]3 2
E 2 Ex 2 Ez2
2Q2 ( x ct)2 z2
(4 0 )2 2 ( x ct )2 z2
3
r 2 2 sin2
Q 2 (1 2 )2
(4 0 )2
( x ct )2 z 2
2 1
Ez Ez
Fx qEx qEx
20
E
dx 4 0r 2
(1
1 2 2 sin2
)3
2
sin
注意
(1 4 0
2)
sin dx
r 2 (1 2 sin2
)3
2
r 2 a2 , dx a d
sin2
sin2
E
(1 2 ) 4 0a
0
sin d (1 2 sin2
)3
2
(1 4
2
0a
)
v
E'
x'
求S系电场 E = ? x
结论：E x Ex , E y Ey , Ez Ez
1 1v2 c2
纵向场强不变，横向场强增加到 倍。 5
电场可以独立于电荷存在，则可用任意电荷 分布来说明上述结论。为 避 开 场 点 的 相 对 论 变
换，用平板电容器间的均匀静电场的变换这一 特例来说明。
电磁学（第三册）
第2章 运动电荷的电场
2005年春季学期 陈信义编
1
目录 §2.1 高斯定理与运动电荷 §2.2 在无磁场情况下电场的变换 §2.3 匀速直线运动点电荷的电场 §2.4 电场对运动电荷的作用力
2
§2.1 高斯定理与运动电荷
静止点电荷的电场 运动点电荷的电场
球对称
轴对称
库仑定律成立
2
1 2
Q
0
对匀速运动电荷的电 场，高斯定理成立。
r
Q+
v
S
17
【例】一无限长带电直线，沿线的方向以速度u
运动，运动直线的线电荷密度为 。求与直线
距离为 a 的P点的电场。
P
a
u
解：1、用高斯定理计算
a
u
L
2aL E
L 0
,
E
2 0a
18
2、用运动电荷电场公式wenku.baidu.com算
dEy dE
P
dEx
ra
x
dx u 0
(
x
2z2 ct )2
3
z
2 12
z
S系
Ez
E
( x ct )2 z2
( x vt )2 z2
P Ex
rz
vt O Qv
x
x
r2
z2
( x ct )2 z2
z2 r2
sin2
Ez z tg
Ex x vt
因此，E 沿由点电荷引向P点的矢径方向。 13
匀速直线运动点电荷的电场：