概率与概率分布

• 中心极限定理论证了如果总体变量存在 有限的平均数和方差，那么，不论这个 总体的分布如何，随着样本容量n的增加 样本平均数的分布便趋于正态分布。
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P（B） P（Ai）P（B / Ai）
2、逆概率公式（贝叶斯公式）
与全概公式解决的问题相反，逆概公 式用于已知结果发生的条件下，求这一 结果是由哪种原因引起的条件概率。
贝叶斯公式：设事件A 1A2 …A n是样本空
间Ω的一个划分,B是任一具有正概率的 事件，则
P（AiB） P（Ai）P（B / Ai） P（Ai / B） P（B） P（Ai）P（B / Ai）
二、自学指数分布与均匀分布
三、 分布、t 分布和 F 分布
2
要求：P86-88
• 掌握三种精确分布的定义和性质； • 了解三种精确分布的密度曲线图； • 会查表求值。
“大数定律与中心极限定理”
大数定律与中心极限定理
• 大数定律和中心极限定理是概率论中最 为重要的两个定理，也是统计推断的数 理基础。 • 大数定律证明了随着样本容量n的增加， 抽样平均数接近于总体均值（或试验的 频率接近于概率）的趋势，几乎是具有 实际的必然性。
4、正态分布的分布函数和数字特征 5、标准正态分布及查表
p X x 1 x x 1 x x p X x
6、正态分布的标准化 X ~ N u， 2 若随机变量 则随机变量
Z X u

~ N 0， 1
例1：P74（4-14） 例2： P79（4.11） 7、正态分布的3σ 准则 8、二项分布的正态近似 二项分布 ，当n很大，p和 X ~ bn，p q都不太小时，不能用泊松分布近似计算。 一般当np，nq皆大于5时，就可以对二项 分布作正态近似。其中u=np，σ2 =npq
四、概率的性质与运算法则：
（一）基本性质： 性质一： 0≤P（A）≤1
性质二：P（Ω）=1；P（Φ）=0
性质三：设A、B是两个互不相容的事件，则
P（AUB）=P（A）+P（B）
推广：事件A 1A2 …A n 两两互不相容
性质四：
P（A） 1 P（A）
P（A－B）=P（A）－ P（B）
性质五：设事件A包含事件B，
推广：
P（ABC） P（A）P（B / A）P（C / AB）
3、独立性（事件独立性）
对于任意两个随机事件A、B，如果有
P（AB） P（A）P（B）
则称随机事件A、B相互独立（统计独立）， 即事件A的发生不影响事件B发生的概率。 例：两个互不发生影响的事件相互独立
（三）全概公式和逆概公式
2、离散型随机变量的概率分布 ①概念与性质 ②分布函数
F ( x) P( X x) P( xi ) E ( x) u xip xi
2 2
③数学期望：随机变量的均值。
④方差：随机变量离差平方的均值。
D( x) Exi E x xi u P( xi )
3、泊松分布的最可能值（众数） 4、数字特征
例：P69（4-13）
如何查泊松分布表？ P366
三、超几何分布 若有N个产品，其中有M个次品。从 中随机抽取n个，则这个样本中含有次品 的个数X是一个离散型随机变量，其概率 分布为： k nk
CM C N M P( X k ) n CN
三、随机事件的概率 1、古典概型：一般运用演绎方法计算得到 2、统计概率（试验概率） 注意：试验概率比较容易理解，但也存在一些问 题，例如，重复n+1次试验的频率不一定比重 复n次试验的频率更接近真实的概率，而且试 验也不可能无限制地进行下去。 3、主观概率： 注意：对同一事件，主观概率因人而异（乐观、 悲观）。主观概率并非由个人主观随意猜测， 而是依据一定的理论知识、实际经验和对问题 的分析作出的判断。
3、二项分布最可能“成功”的次数（众数）
Mo n 1 p
4、二项分布的数字特征 ：
E ( x) u np
D( x) npq
2
5、两点分布（ 0－1分布）
X ~ b1 p ，
二、泊松分布
若离散型随机变量X的概率分布为
P( X k )
e
k

k!
K=0，1，2，……，n
二、概率分布
1、概率分布：由随机变量取值的概率所形成的 分布，称为概率分布。它表明随机变量分布的 规律，因此又称为理论分布。 分析：我们研究一个随机变量Χ ，首先要知道它 可能取哪些值，其次要知道它取这些值的可能 性是多少。 我们知道频率分布是根据实际统计数据整 理而形成的分布，它给出了随机变量取值的频 率，因此又称为经验分布。 所以，我们通常用频率近似表示概率；用 频率分布近似表示概率分布
第四节 几种常见的连续型分布
一、正态分布（高斯分布） 若连续性随机变量X的概率密度为
f x
X ~ N u， 2
1 e 2
x u 2
2 2
则称X服从参数为u、σ2的正态分布，记为


注意：p72 正态分布是最重要的一种连续性随机变量分布。
2、正态曲线f（x） 3、正态分布的性质 ①若随机变量X服从正态分布，则对任意常 数a（a≠ 0）、b，随机变量Z=aX+b也服 从正态分布。 ②若随机变量X，Y皆服从正态分布，则对 任意常数a、b （a，b不全为 0） ，随机 变量Z=aX+bY也服从正态分布 ③推广：n个随机变量
2、二项分布： 在n重贝努里试验中，“成功”（我们关 注的事件）的次数X是一个离散型随机变量， X的概率分布为
P( X k ) C p q
k n k
nk
K=0，1，2，……，n 我们称X服从参数为n，p的二项分布，记 为 X ~ bn，p
说明：
①样本空间Ω所含样本点数为2n ； ②p：一次试验成功概率； K：n次试验有K次成功； k P( X k ) Cn p k q n k 1 ③ ④P越接近0.5或n越大，分布越趋于对称； ⑤随着n的增大，二项分布趋近于正态分布。 推广： P(X≥K) ，P(X≤K)
K=0，1，2，……，min（M，n）
则称X服从超几何分布。
2、近似计算 当N很大，n相对N很小（一般只要n/N≤ 0.1 即可）时，可以用二项分布近似计算超几何分 布。 理由：从抽样角度解释 任取n件如看作是不放回的抽取n次，每次 一件，则X服从超几何分布；若放回的抽取n件 （ n重贝努里试验 ），则X服从二项分布。 当N很大，n相对较小时，放回地抽取n次， 产品被重复抽到的可能性很小，近似于不放回 抽样。
二、随机事件的关系 1、包含与相等 2、并（和） 3、交（积） 4、差 5、互不相容（互斥） 6、逆（对立） 7、分配律 8、德•摩根律
例：A、B、C是Ω 中的随机事件，则 ① A与B不发生， C发生 ② A、B、C恰好发生一个 ③ A、B、C至少发生两个 ④ A、B、C至多发生两个 注意：遇到“至少、至多”考虑用对立事 件
第四章
第一节 第二节 第三节 第四节
概率及概率分布
概率基础 随机变量及其分布 几种常见的离散型分布 几种常见的连续型分布
第一节
概率基础
一、随机实验与随机事件 1、确定性现象和随机现象 2、统计规律性：对于随机现象，仅从一次 观察来看似乎没有什么规律，但通过大 量观察会发现其有明显规律，这种规律 性通常被称为统计规律性。 3、随机实验 4、随机事件
（二）概率的运算法则
1、加法定理（公式）
当A、B为任意两个随机事件时：
P（A+B）=P（A）＋P（B）－P（AB）
如A、B互斥,则P（AB）=0 即为性质三。 推广：任意三个随机事件A、B、C
2、条件概率与乘法定理
①条件概率
P（AB） P（B / A） P（A）
②乘法定理（公式）
P（AB） P（A）P（B / A）
第二节 随机变量及其分布
一、随机变量的有关概念 1、随机变量：（P66 ）随机变量就是随机事件的数 量表现。 2、随机变量的两个特点： 取值的随机性，即事先不能确定Χ取哪个值； 取值的统计规律性，即完全可以确定Χ取某个值或 Χ在某一区间内取值的概率。 3、按取值特点不同分类 离散型随机变量：随机变量的取值可以一一列举； 连续型随机变量：随机变量的取值充满某一区间。
2
注意：数学期望和方差的性质
3、连续型随机变量的概率分布
①概率密度 ②分布函数
③性质：
④数学期望和方差
E( x) u xf ( x)dx


D( x)
2
xi u

2
f ( x)dx
第三节 几种常见的离散型分布
一、二项分布 1、n重贝努里试验 ①每次试验只有“成功”或“失败”两种 可能结果； ②每次试验“成功”的概率为p，“失败” 的概率为q，且每次试验的p 不变； ③n次试验是相互独立的，即n次独立重复 试验。
1、全概率公式（由乘法公式导出） 我们先引入一个定义， 设事件A 1A2 …A n 满足如下条件： ①两两互不相容 ② A 1 + A2 + … + A n = Ω ③ P（A i）﹥ 0 则称事件A 1A2 …A n是样本空间Ω的一个划分。 全概率公式：设事件A 1A2 …A n是样本空间Ω的一个 划分,B是任一事件，则
其中λ＞0（常数）则称X服从参数为λ的 泊松分布，记作 P（ λ ）。
2、近似计算： 当二项分布中的n大，p小（一般只要 n≥20，P≤0.05即可）时，可用泊松分布 近似计算其概率，其中λ= np。
n p k q nk e k k!
k

泊松分布可作为稀有事件（小概率事 件）发生次数X的概率分布模型。