二面角的求法(精华版)

DB uuur
2,2,0,
uuur

OA1

2,0,2
1,1,0

1,1,2,

OC1 1,1,2
DB uuur
•uOuuAur1

2
1
2
（1）
0

2＝0
DB •OC1 2(1) 21 0 2 0
D1 z
C1
∴ A1O⊥BD，C1O⊥BD
∴

OA1, OC1
即为二面角A1-BD－C1
A1
B1
的平面角。


cos OA1,OC1
OA1 OC1
Fra Baidu bibliotek
1 3
D
y
C
OA1 OC1
A
O
1
∴
二面角A1－BD－C1的大小为
arc
c
os 3
x
B
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
2、三垂线法:在一个平面 内选一点A向另一平面 作 垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
3、垂面法: 过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥ 于C，面
ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
a

A
A

O B
A


B
a O
z
A1
D1
B1
C1
A
B
E
x
D
y
F
C
解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz
1.设DF x,则A0,0,0, B 1,0,0,C 1,1,0, D 0,1,0, A1 0,0,1,
B1
1,
0,1
,
C1
1,1,1
D1

0,1,1
,
E
1,
1 2
,
0
二面角－AB－
A
C
B
二面角－ l－

D
l

B
A
二面角C－AB－ D
F
E
A
B
D
C
二面角C－AB－ E
二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端
点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
l

P
B
A
P1
B1
A1
二面角的大小用它的平面角的大小来度量 ∠APB= ∠A1P1B1
A
C tan
∠
BDE=
BE DE
6
B
∴∠ BDE=arctan 6
几点说明：
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。
⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。
C
O a

B
例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且 PA=AB=a， 求二面角A-PC-B的大小。
三垂线法: 过B作BE⊥AC于E，过E作ED⊥PC于D，连结BD，
则∠BDE就是此二面角的平面角。
P
∵△ABC为正△，∴ BE=
3a 2
在Rt△PAC中，E为AC中点，
则DE= 2 a
D
4
E
在Rt△DEB中
二面角的大小。
DG C
D1 E
C1
A1
B1
A FEB
G
A1
C
D
A
F
C
B
cos SAFCG
SA1FCE
F
练习3：三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面 ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC （1）求二面角P-BC-A的大小； （2）求二面角A-PC-B的大小。
P D
cos SABC
D
cos SA1B1C1
SEB1C
A
C B
E D1
C1
A1
B1
练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中 点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐 二面角的大小。
D1 A1
E
C1
B1
G
DH
C
A
FB
DG C H
A FB
练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中
点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐
m n
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
αm
n
β
如图：二面角的大小等于<m ,n>
例4:在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，
AD=
0,1
Q 二面角C1 EF A为钝角
二面角C1

EF

A的大小为

arc
cos
1 3
1、二面角的定义 2、二面角的平面角的定义 3、二面角的平面角的求解：
①找（或作）出平面角
⑴定义法
⑵棱的垂面法
⑶三垂线定理法 ⑷向量法
②求解
解三角形或用向量的夹角公式
1 2
SA=AB=BC=1，
求面SCD与面SBA所成的二面角的大小.
z
解：以A为原点，如图 建立空间直角坐标系。
则：S 0,0,1,C 1,1,0,
D

0,
1 2
,
0

,
B

1,
0,
0
x
y
r
设平面SCD的法向量为n x, y, z
r uuur r uuur r uuur r uuur Q n SC, n SDn • SC 0, n • SD 0
QQc平SuouCusr面xnr2y,SuAAuyDur1Bz,的1z, 0法nrnr10••向,uAuASuuu量uDuDDururr y为x0uA0u2D6uz,r1z12,10nr10, 12361,,02,1
Q
n r
EF uuur
,
n
r
ECuu1uur
n • EF 0, n • EC1 0


1 2 1
x y
1 2
z
y
0
0
r n

1,1,

1 2

2
uuur
Q
平 cos面nAr ,EuAFuAu的r1 法向nrnr量•• uA为uAuuAuAurA1r1A1130,
SPBC
AE
C
B
二、向量法：
1、方向向量法:
将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内垂 直于二面角的棱且指向该面方向 的向量）所成的角。

D
B C l

A
二面角 l 中, B、C l, AB ,CD ,且
uuur uuur AB l,CD l，二面角的大小等于 BA,CD

,
F

x,1,
0

uuuur D1E

1,

1 2
, 1,
uuur AB1

1, 0,1,
uuur AF

x,1,0
uuuur uuur
D1E • AB1 11 0 D1E AB1
uuuur uuur
D1E 平面AB1F D1E AF D1E • AF 0
⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。
⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面 ABCD所成的二面角。
r uuur n, AD arc cos
6
2
因为二面角为锐角 。
3 二面角的大小为arc cos
6
3
练习：在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中， E是棱BC的中点，F是棱CD上的动点。
1.确定F的位置，使得DF1 平面AB1F；
2.当D1E 平面AB1F时，求二面角C1 EF A的大小。
1、掌握二面角的定义法； 2、掌握二面角的三垂线法； 3、掌握二面角的垂面法; 4、掌握二面角的射影面积法; 5、掌握二面角的向量法。
复 习: 二面角的定义:
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角
l

的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示方法

uuur uuur BA, CD
uuur uuur

arccos
BA • CD uuur uuur
BA CD
例3：在正方体AC1中，求二面角A1 BD C1的大小。
解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
不妨设正方体的棱长为2，BD的中点为O，则
B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0）
注意: 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角的范围: 0180
一、几何法：
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就 是此二面角的平面角。
x 1 0x 1
2
2

F是CD的中点，即F

1 2
，1，0 时，D1E

平面AB1F
uuur
2 .EF



1 2
,
1 2
, 0 ,
uuuur EC1


0,
1 2
,1
r
设r平面uuCur1ErF的u法uuur向量为n x, y, z