(完整)高中立体几何二面角的几种基本求法例题

C1

C1

B

二面角的基本求法例题

一、平面与平面的垂直关系

1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

例1．在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别是AD、DC、CA的中点。

求证：BEF BDG

^

平面平面。

例2．AB BCD BC CD

^=

平面，，90

BCD°

?，E、F分别是AC、AD的中点。

求证：BEF ABC

^

平面平面。

2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线

垂直于另一个平面。

例3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。

二、二面角的基本求法

1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。

例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

求（1）二面角

11

A B C A

--的大小；

（2）平面

11

A DC与平面

11

ADD A所成角的正切值。

练习：过正方形ABCD的顶点A作PA ABCD

^平面，设PA=AB=a，

求二面角B PC D

--的大小。

2．三垂线法

例5．ABCD ABEF ABCD

^

平面平面，是正方形，ABEF是矩

AF=

1

2

AD=a，G是EF的中点，

（1）求证：AGC BGC

^

平面平面；

（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；

C

（3）求二面角B AC G --的大小。

例6．点P 在平面ABC 外，ABC V 是等腰直角三角形，90ABC

°?，PAB V 是正三角形，PA BC ^。

（1）求证：^平面PA B 平面A B C ； （2）求二面角P AC B --的大小。

练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1A BD P --的大小。

B1

B

A

3．垂面法

例7．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，， （1）求证：SB BC ^；

（2）求二面角C SA B --的大小；

（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。

4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱

例8．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ， 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。

（2）射影面积法（cos s S

q =

射影）

例9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱1AA 的中点， 求平面11PB C 与平面ABCD 所成二面角的大小。