二面角的几种方法及例题

二面角大小的求法（例题）

二面角的类型和求法可用框图展现如下：

一、定义法：

直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.

O OA PA OB PAOB OA

AOB AOB=120APB=60OB PB PB βαβ⊥⊥∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∠∠︒∠︒

做交线，交于点，连接平面交线同理交线又交线交线面交线即可得为面的二面角，所以

例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 提示：PAB PCD ≅，而且是直角三角形

j

A D

P

H

P

O

B

A

二、三垂线定理法：

已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的tag 大小。

A AH BC BC H PH ABCD PA A

B PA B

C PHA PHA H ABH=30AB=a AH=a/2tag PHA 2

PA BC AB ⊥⊥∴⊥⊥∴⊥∴∠∠︒∴∴∠=过做，交于，连接面，面为二面角在中

，

例：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.

提示：CO ⊥DE ，而且是长方体！！！

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

E

O

例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。

求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小

提示：角PAB是二面角，找到每个面的直角！！！

射影，那么PM为面ＡＢＣ的垂线！

例、如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小.

提示：ＡＡ１与ＢＢ１互相垂直

ＡＦ是辅助线且垂直ＡＢ，ＦＥ平行ＢＢ１

图4 B1

A

α

β

A1

B L

E F

四、射影法：（面积法）

利用面积射影公式S射＝S原cosθ,其中θ为平面角的大小，此

方法不必在图形中画出平面角；

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA ＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

五、平移或延长（展）线（面）法

对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。