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立体几何二面角的求法
立体几何二面角的求法立体几何是数学的一个重要分支，研究的是空间中的图形和其性质。
其中，二面角是立体几何中的一个重要概念，它是由两个平面所围成的角。
本文将介绍二面角的定义、性质以及求法。
一、二面角的定义二面角是由两个平面所围成的角，其中一个平面称为顶面，另一个平面称为底面，二面角的两个边分别位于顶面和底面上。
二面角常用字母α表示。
二、二面角的性质1. 二面角的大小是以顶点为中心，两个边所围成的平面角的大小，即α=∠POQ。
2. 二面角的大小是由顶面和底面的位置关系决定的，与边的长度无关。
3. 二面角的度量范围是0到180度。
4. 如果两个平面平行，则它们所围成的二面角为0度。
5. 如果两个平面相互垂直，则它们所围成的二面角为90度。
6. 如果两个平面相交于一条直线，则它们所围成的二面角为180度。
三、二面角的求法1. 通过向量法求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值可以通过两个法向量的点乘公式求解：cosα=n1·n2/(|n1||n2|)，其中·表示点乘，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模。
2. 通过平面法向量求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值等于两个法向量的模的乘积与它们的点乘的商：cosα=(|n1|·|n2|)/(n1·n2)。
3. 通过平面方程求解二面角：设顶面的平面方程为Ax+By+Cz+D1=0，底面的平面方程为Ax+By+Cz+D2=0，二面角的余弦值等于两个平面方程的D1、D2的差值与它们的模的乘积的商：cosα=(D1-D2)/(√(A^2+B^2+C^2)·√(A^2+B^2+C^2))。
四、二面角的应用1. 二面角常用于计算空间中的体积和表面积。
2. 在物理学中，二面角常用于描述力的方向和大小。
3. 在几何光学中，二面角常用于计算光的反射和折射。
4. 在工程中，二面角常用于计算材料的强度和稳定性。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。
本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。
它利用向量的夹角来表示二面角。
首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。
通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。
二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。
它利用坐标系中的点来表示二面角。
我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。
三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。
它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。
通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。
四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。
五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。
六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。
它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。
通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。
不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。
总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。
二面角大小的几种求法(归类总结分析)
二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
I. 寻找有棱二面角的平面角的方法 ( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 ) 一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。
例 空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。
解：过PC 上的点D 分别作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，连EF.∴∠EDF 为二面角B-PC-A 的平面角，设CD=a ，∵∠PCA=∠PCB=600， ∴CE=CF=2a ，DE=DF=a 3，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=31328332222=⋅-+a a a a1. 在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
PB α CA E FD2. 如图，已知二面角α-а-β等于120°，PA ⊥α，A ∈α，PB ⊥β，B ∈β，求∠APB 的大小。
3. 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
二面角求法总结
二面角求法总结一、定义法定义法是求二面角的基本方法，它通过定义二面角的平面角来求解。
具体来说，如果两个平面相交，那么它们会在交线上形成一个角，这个角就是二面角的平面角。
通过找到这个角的两边，我们可以使用三角函数来求解这个角的大小。
二、垂线法垂线法是一种常用的求二面角的方法，它通过找到一个垂直于两个平面的交线的直线，并将这个直线延长到一个已知点，然后使用三角函数来求解这个角的大小。
这个方法的关键在于找到正确的垂线，并且这个垂线应该是垂直于交线的。
三、射影面积法射影面积法是一种利用射影面积定理求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两条射线和它们之间的夹角，我们可以使用射影面积定理来求解这个角的大小。
这种方法需要先找到正确的射线和夹角，然后使用射影面积定理来计算结果。
四、三垂线定理法三垂线定理法是一种利用三垂线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的直线与另一个平面垂直，那么这个直线与第一个平面的交点与第二个平面的交点的连线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的三垂线定理的应用条件，并且正确地应用三垂线定理来计算结果。
五、角平分线法角平分线法是一种利用角平分线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的角平分线与另一个平面垂直，那么角平分线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的角平分线的应用条件，并且正确地应用角平分线定理来计算结果。
六、向量法向量法是一种利用向量的数量积和向量积来求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两个向量，我们可以使用向量的数量积和向量积来计算这两个向量的夹角，这个夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于正确地找到两个向量，并且正确地应用向量的数量积和向量积来计算结果。
七、坐标法坐标法是一种利用坐标系来求解二面角的方法。
通过建立适当的坐标系，我们可以将二面角的问题转化为求解一个几何量的值的问题。
这种方法的关键在于建立正确的坐标系，并且正确地使用代数方法来计算结果。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法一、引言二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。
求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。
对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。
二、向量法向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。
具体步骤如下：2.1 确定两个平面首先，我们需要确定需要求解的两个平面。
平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。
2.2 求解法向量找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。
2.3 计算二面角的余弦值通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值：cosθ=n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥2.4 计算二面角通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值：θ=arccos(cosθ)三、三角函数法三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。
具体步骤如下：3.1 确定两个平面同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。
3.2 求解法向量和对应边长求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。
3.3 计算三角函数的值根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。
3.4 计算二面角通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。
四、三边长法三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。
具体步骤如下：4.1 确定三个边长根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。
数学二面角的求法总结
数学二面角的求法总结数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。
它是一个重要的几何概念，在计算机图形学、物理学、化学等领域都有广泛的应用。
本文将总结数学二面角的求法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、定义数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。
具体来说，设平面P1和平面P2相交于一条直线L，将P1和P2分别沿着L旋转，直到它们重合为止。
此时，P1和P2的夹角就是它们的二面角。
二、求法1. 余弦定理法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：cosθ =(n1·n2) / (|n1|·|n2|)其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模长。
由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。
因此，上式可以简化为：cosθ = n1·n2这个式子就是余弦定理。
它告诉我们，两个向量的点积等于它们的模长乘以夹角的余弦值。
因此，我们可以通过求出n1和n2的点积来计算二面角的余弦值，然后再用反余弦函数求出夹角。
2. 向量叉积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：sinθ = |n1×n2| / (|n1|·|n2|)其中，×表示向量的叉积。
由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。
因此，上式可以简化为：sinθ = |n1×n2|这个式子就是向量叉积的模长公式。
它告诉我们，两个向量的叉积的模长等于它们的模长乘以夹角的正弦值。
因此，我们可以通过求出n1和n2的叉积的模长来计算二面角的正弦值，然后再用反正弦函数求出夹角。
3. 三角形面积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：sinθ = 2·S / (|P1|·|P2|)其中，S表示P1和P2的交线段所在的平面的面积，|P1|和|P2|分别表示P1和P2的面积。
二面角及其求法总结
二面角及其求法总结一、二面角及其平面角的概念 二面角：二面角的平面角：二、作二面角的常用方法 ①定义法②三垂线定理法 ③垂面法三、射影面积法设θ为所求二面角的大小， S 为二面角的一个面内的平面图形的面积， S'为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则'cos S Sq = α βια-ι-βABOβαlgια βα β ι α βι四、平面法向量法练 习：(1)如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上任一点，则二面角P-BC-A 的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.∠APCD.都不是(2)在正方体ABCD-A 'B 'C 'D '中，求作二面角B-B 'C-A 的平面角. (3)在正四面体ABCD 中，求作二面角A-BC-D 的平面角.ABCPB A CD B A C D A 'AB 'C'C D 'D B经典例题:如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，PA=AC=1，BC=2.求（1）二面角A-PC-B 的大小；（2）求二面角A-PB-C 的大小.思路1：思路2：思路3：思路4： P B A C PBACPBAC练习：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，BC ，C 1D 1，B 1C 1的中点，求二面角M-EF-N 的大小.五、二面角大小求法总结：１、通过求平面角；２、向量法；３、射影面积法. 六、课后巩固1、四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥面ABCD,PD=AD.求面PAD 和面PBC 所成二面角的大小.2、如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1=2AB=4，点E 在CC 1上且C 1E=3EC 。
（Ⅰ）证明：A 1C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角A 1-DE-B 的大小．MA C 1B 1A 1N FE D CB D 1 PADBCA 1 D 1 C 1B 1 ABCE D。
求二面角的6种方法【自己总结全面】
a O课题3：二面角求法总结一、知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、 二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍. 5、二面角做法：做二面角的平面角主要的方法有： 6、 （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； 7、 （2）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。
（3）射影法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。
（4）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（5）无交线的二面角处理方法（6）向量法二、二面角的基本求法及练习1、定义法（从两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线可以相交也可异面，从而面面角就转化为线线角来求）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
求二面角的五种方法
求二面角的五种方法一、定义法：由图形的特殊条件按定义直接作出. 如在空间四边形ABCD 中, AB =AC , DB =DC , 求二面角A -BC -D 的大小.例1如图, 过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD , 设PA =A B=a ,求二面角B -PC -D 的大小.例2二面角α-BC -β大小为120°, A ∈α,B ∈β, 且AB ⊥BC , BC ⊥CD ,AB =BC =CD =1, 求二面角A -BD -C 的正切值.例3如图, 已知四面体SABC 中, ∠ASB =2π,∠ASC =α(0<α<2π), ∠CSB =β(0<β<2π), 二面角A -SC -B 的大小为θ, 求证：θ=π-arccos(cos α·cot β).二、垂面法：通过作二面角棱的垂面, 此垂面与二面角的两个面所交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.例4⑴空间三条射线PA ,PB ,PC 不共面, 若∠APC =∠APB =60°,∠BPC =90°, 则二面角B -PA -C 的大小是______；⑵已知∠AOB =90°, 过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC , 使它与OA ,OB 分别成45°,60°的角, 则二面角A -OC -B 的余弦值为______.例5如图, 在△ABC 中, AB ⊥BC , SA ⊥平面ABC , DE 垂直平分SC , 且分别交AC ,SC 于D ,E , 又SA =AB , SB =BC , 求二面角E -BD -C 的大小.三、延伸法：若所求的两个面只有一个公共点是已知的, 因此要把两个面延伸面得到二面角的棱, 然后再求出它的平面角.例6直角梯形ABCD 中, AB ⊥AD , AD ⊥CD , AB =2, CD =4, 平面PAD ⊥平面ABCD , △PBC 是边长为10的正三角形, 求平面PAD 和平面PBC 所成二面角的大小.例7设正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为AA1中点, 求平面B1DE和底面ABCD所成二面角的大小.四、垂线法：利用三垂线定理或其逆定理作出平面角.例8已知由O点出发的三条射线OA,OB,OC不共面,且∠AOB=∠AOC, 求证：二面角A-OB-C与二面角A-OC-B相等.例9二面角M-CD-N中, A为平面M上一定点, △ADC的面积为定值S, DC=a,B为平面N内一点, AB⊥CD, 若AB与平面N成30°角, 求面积△BCD的最大值, 并求此时二面角M-CD-N的大小.五、射影法：若多边形面积为S, 它在一个平面上的射影的面积为S0, 则多边形所在平面与这个平面所成的二面角θ, 满足S0=S cosθ, 利用这个公式求二面角的方法称“射影法”, 射影法对于解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.例10过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD, 若AB=PA, 则平面ABP与平面CDP所成的二面角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°例11 P是正方形ABCD所在平面外一点, △PAB是正三角形, 且平面PAB⊥平面ABCD,求二面角P-AC-B的大小.友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
求二面角的方法
解题宝典空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.求二面角的大小是一类常见的问题.本文重点介绍求二面角大小的四种方法:定义法、向量法、面积投影法、三垂线定理法.一、定义法过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义来求解.首先在二面角的棱上选取一点，在两个面内作棱的垂线，则两条垂线的夹角，即为二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B-EC-C1正弦值．图1图2解：（1）略；（2）由（1）知∠BEB1=90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=45°，故AE=AB，AA1=2AB．如图2所示，在平面BCE内过B点作BM⊥CE于点M，取棱CC1的中点N，连结MN,EN.因为EC1=EC，所以EN⊥CC1，所以ΔCEN为直角三角形.因为BC⊥BE，所以ΔCEB为直角三角形.令AB=1，则BC=NC=1,BE=EN=2,CE=3，所以RtΔBEC≌RtΔNEC，所以MN⊥EC，则∠BMN即为二面角B-EC-C1的平面角.在RtΔBEC中，sin∠BCE=BE CE=BM BC，所以BM=，MN.在ΔBMN中，cos∠BMN=BM2+MN2-BN22BM∙MN=-12，则sin∠BMN=，故二面角B-EC-C1正弦值.利用定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角.在作图的过程中要充分利用题目条件中隐含的垂直关系，如等腰三角形三线合一的性质、菱形或正方形的对角线相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在构造二面角的平面角时，常用的方法还有垂面法，即经过两个面的垂线的平面与两个平面的交线所夹的角即为二面角的平面角.二、三垂线法三垂线法是指利用三垂线定理求作二面角的平面角，求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角时，需过其中一个面内的一点作另一个面的垂线，再经过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上的垂足，进而构造出与二面角的平面角相关的角，再结合图形中的垂直关系求得二面角的大小.以上述例题为例.解：如图3，连接BD,AC，交点为O，过点O作CE的垂线，垂足为P，连接BP.由三垂线定理可知BP垂直于CE，所以∠BPO即为所求二面角平面角的补角.设AB=1，由（1）可知AE=1，所以BE=2，CE=3.因为BC⊥BE，所以ΔBCE为直角三角形，所以RtΔBCP∽RtΔBCE.陈秀林图342解题宝典所以BP.在Rt△BOP 中，sin ∠BPO =BC BP=，即所求二面角正弦值为.此法与定义法的不同之处是将所求二面角的相关角置于直角三角形中，从而使解题的过程更加简洁.三、向量法向量法是通过空间向量的坐标运算，将所求的二面角转化为两个平面的法向量的夹角的方法.解题的思路是通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量的数量积公式求出夹角，再利用法向量的夹角与二面角的关系来确定二面角的大小.值得说明的是，二面角的平面角与法向量的夹角的关系是相等或互补.以上述例题为例.解：（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB =45°，故AE =AB ，AA 1=2AB ．以D 为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1)，所以 CB =(1,0,0)，CE =(1,-1,1)，CC 1=(0,0,2)．设平面BCE 的法向量为n =(x ,y ,z )，则ìíî CB ∙n =0,CE ∙n =0,即{x =0,x -y +z =0,令y =-1,得n =(0,-1,-1).设平面ECC 1的法向量为m =(x ,y ,z )，则ìíî CC 1∙m =0,CE ∙m =0,即{2z =0,x -y +z =0,令x =1得m=(1,1,0)．于是cos m,n =m ∙n |m |∙|n |=-12.所以二面角B -EC-C 1平面角正弦值为．向量的引入降低了立体几何问题的难度，但对同学们的运算能力提出了更高的要求.求法向量的原则是先找后求，即如果存在一条已知的直线与二面角的某一个平面垂直，则该直线的方向向量即可视为此平面的法向量.四、投影法投影法，即为构造出二面角的两个平面中的一个平面在另外一个平面内的投影，从而利用此平面与其投影的夹角θ来判断所求二面角的大小的方法.若该平面与其投影的面积分别为S 1,S 2，则cos θ=S 1S 2.θ与所求二面角的关系有两种，即相等或互补.以上述例题为例.解：如图5，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，所以点B 在面C 1CE 内的投影，三角形EOC 为ECB 的投影.设棱AB =1，由（1）可知AE =1，则AC =BE =2，EC =3，所以三角形OCE 的面积为S 1=12∙OC ∙AE =12，三角形BCE 的面积为S 2=12BC ∙BE =12×1×2.所以S 2S 1=42=12.所以面BCE 与面ECC 1所成锐二面角的余弦值为12，故二面角的正弦值为.在本题中，三角形ECB 与其在面ECC 1上的投影EOC 的夹角即为所求二面角的补角，而两角互补，则其正弦值相等，所以可直接利用投影法来求解.一般地，求二面角的问题主要有两类，即求有棱二面角的大小和无棱二面角的大小，虽然图形有所不同，但解题的方法基本上一致.同学们在解题的过程中要注意仔细审题，择优而用.（作者单位：江苏省大丰高级中学）图5图443。
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
求二面角的六种常规方法
求二面角的六种常规方法二面角是指两个平面或两条直线的交角，常见的二面角有以下六种常规方法：1.夹角法：即利用两个平面的夹角来计算二面角。
给定两个平面，可以通过计算它们的法向量之间的夹角来得到二面角。
这个方法常用于计算两个平面的夹角，如计算棱镜的二面角、计算物体的棱角二面角等。
2.夹线法：这种方法主要用于计算两条直线的交角。
给定两条直线，可以通过计算它们的斜率之差来得到交角。
这个方法常用于计算直线的交角，如计算两个平面的交线的二面角、计算两个物体的接触面边缘的二面角等。
3.余角法：这种方法是在夹角法的基础上进行的改进。
给定两个平面或两条直线的夹角，可以通过计算其余角来得到二面角。
余角是指二面角的补角，即与二面角相加等于180度的角。
通过计算余角，可以得到二面角的大小和方向。
4.三角函数法：利用三角函数的性质，可以通过已知的边长或角度来求解二面角。
根据已知的边长和角度，可以使用正弦、余弦或正切函数等来求解二面角。
这个方法在计算复杂的三维图形或角度时非常有效。
5.矢量法：这种方法利用矢量的性质来计算二面角。
给定两个平面或两条直线的法向量，可以通过计算它们的夹角来得到二面角。
矢量法常用于计算立体图形的面角二面角、计算两个物体的平行面边缘的二面角等。
6.投影法：这种方法利用到给定的图形在投影面上的投影来计算二面角。
给定两个平面或两条直线的投影面，可以通过计算它们的投影线之间的夹角来得到二面角。
投影法常用于计算物体的棱角二面角、计算物体在投影面上的映射角等。
以上六种常规方法是计算二面角常用的方法，根据具体情况选择合适的方法进行计算，可以提高计算的准确性和效率。
二面角的求法(精华版)
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
2.平面法向量法:
求二面角的大小, 先求出两个半平面的法向量 的夹角, 然后根据二面角与其大小相等或互补 求出二面角的大小。
αm
n
β
如图：二面角的大小等于<m ,n>
例4:在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，
AD=
⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式, 然后指出平面的垂线, 射影关系, 再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角, 但计算较繁, 所以不常用。
练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为棱AA1的中点, 求平面EB1C和平面 ABCD所成的二面角。
D
cos SA1B1C 1
⑶三垂线定理法 ⑷向量法
②求解
解三角形或用向量的夹角公式
n
1,1,
1 2
平面AEF的法向量为AA1 0, 0,1
cos
n, AA1
n • AA1 n • AA1
1 3
二面角C1 EF A为钝角
二面角C1
EF
A的大小为
arc
cos
1 3
1、二面角的定义 2.二面角的平面角的定义 3.二面角的平面角的求解：
①找（或作）出平面角
⑴定义法
⑵棱的垂面法
注意: 二面角的平面角必须满足:
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角的范围: 0180
一、几何法:
1.定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点, 在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB, 则∠AOB就 是此二面角的平面角。
二面角求法(总结)
弦值．
2
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谢谢大家的合作 祝大家学习进步
再见
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答：相等或互补
α
β
互补
m
α
β m
相等
第四页，编辑于星期日：二十一点 四分。
探究一：
试一试： S
例1、如图：在三棱锥S-ABC中，
E
SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,
分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=
D
a.
2
A
C
求：平面BDE和平面BDC所成的二面
角的大小。
B
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请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：
试一试：
S
例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA⊥
E
平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分别
交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=
D
a.
2
A
C
求：平面BDE和平面BDC所成的二面角
的大小。
B
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点评：这种解法叫做“射影面积法” 在选择和填空题中有时候用起来会很好
D1 A1
F
D A
C1
B1
C B
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总一总：求二面角的方法你都学
会了哪些？每一种方法在使用上 要注意什么问题？
请同学们先自己思考，然后小组 内交流学习一下。
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规范训练一 1、（本小题为2007年山东高考试卷理科19题
(完整版)找二面角的平面角的方法汇总
找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点.对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法.我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型.一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1在60 :的二面角:-a的两个面内，分别有A和B两点•已知A和B到棱的距离分别为2和4,且线段AB =10，试求：(1)直线AB与棱a所构成的角的正弦值；(2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60 :角在哪儿•如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半.根据题意，在平面1内作AD — a ；在平面:-内作BE —〉，CD//EB，连结BC、AC •可以证明CD_a，则由二面角的平面角的定义，可知• ADC为二面角:-a —的平面角•以下求解略.二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2如图，在平面一：内有一条直线AC与平面-成30 ?, AC与棱BD成45:，求平面〉与平面：的二面角的大小.分析：找二面角的平面角，可过A作AF - BD ; AE -平面-■,连结FE .由三垂线定理可证BD _ EF，则/ AFE为二面角的平面角.总结：(1)如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足.应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.(2 )在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作AF丄BD ”、“连结EF ”、“证明EF丄BD ”.三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知P为〉- CD -:内的一点，PA—：•于A点，PB —:于B点，如果/APB二n ［试求二面角:--CD -：的平面角.图1第1页共3页图2UiJ C cPA丄an PA 丄CD分析： c n CD丄平面PAB.PB 丄B = PB 丄CD因此只要把平面PAB与平面〉、1的交线画出来即可•证明• AEB为〉-CD - 一：的平面角，.AEB =180 ：-n :（如图2）.注意：这种类型的题，如果过A作AE _ CD，垂足为E，连结EB，我们还必须证明EB _ CD，及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦.例4已知斜三棱柱ABC - A1B1C1中，平面AB!与平面AG构成的二面角的平面角为830 ［平面AB i与平面BC i构成的二面角为70匚试求平面AC i与平面BG构成的二面角的大小.分析：作三棱柱的直截面，可得△ DEF , 其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角.总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角.四、平移平面法例5如图，正方体ABCD-A i BQ i D i中，E为AA的中点，H为CC i上的点，且CH : C I H =i：2 .设正方体的棱长为a，求平面D I EH与底面A I B I C I D I构成的锐角的正切.分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点D i，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难.根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角.有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了.如图，过点E作EM //AD i与D i D相交于M点，过M点作MN —CP，与D i H相交于N点.可证平面EMN //平面ABiGD i .这样，求平面D i EH与平面ABQ i D i的二面角的平面角就转化为求平面D i EH与平面EMN的二面角的平面角.显然EN 为这两个平面的交线，过点M作MF - EN , F为垂足，连结D i F , 可证— EN .则.D i FM为本题要寻找的二面角.五、找垂面，作垂线例6 如图，正方体ABCD - A I B i C i D i中，M为棱AD的中点，求平面B i C i CB和平面BC i M所构成的锐二面角的正切.分析：平面AC与二面角M -BG-C的一个面B i C垂直，与另一个平面MBC i相交，过M点作MP — BC，垂足为P，过P作PN — BC，交BC i于N点，连结MN，由三垂线定理可证MN — BC i ,则• MNP为二面角M - BC i -C的平面角.总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平第2页共3页面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线•根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角.再如图，要找:-a--所构成的二面角的平面角，可找平面-一：，且咐「二=b , =丨，过b上任何一点A作AB _ I ,垂足为B，过B作BC _ ：,垂足为C ,连结AC , 可证ACB 为:-a--的平面角.六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1•三线合一例7 如图，空间四边形ABCD中，AB = AD=3 , BC=CD=4, BD = 2, AC =5 .试求A- BD - C二面角的余弦值.分析：如图1 , AB二AD , BC二CD，则△ ABD和A BDC为等腰三角形.过A作AE - BD ,垂足为E ,连结CE .根据三线合一，且E为BD 中点，可证CE _ BD，则• AEC为二面角A- BD - C的平面角.2.全等三角形——"■ I 一 1 ■「• r in i. ■ i ■ i例8 如图，已知空间四边形ABCD , AB二BC二6 , AD二DC二4 , BD二8 ,AC =6 .试求A-BD-C的余弦值.分析：过A作AE - BD，垂足为E，连结CE .根据已知条件，△ AED和△ CED全等，可证CE — BD ,则•AEC为二面角A-BD-C的平面角.3.二面角的棱蜕化成一点**!、**■、匸r・rir 、•匸—r例9 如图，四棱锥A- BCED中，DB和EC与面ABC垂直，△ ABC为正三角形.（1 ）若BC = EC = BD时，求面ADE与面ABC的夹角；（2）若BC =EC =2BD时，求面ADE与面ABC的夹角.分析：如图，面ADE与面ABC的交线蜕化成一点，但面ADE与面ABC与面DC相交.如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2 ）一条交线；（3 ）三条交线互相平行.在图1中，两条交线BC与DE互相平行，所以肯定有过A且平行于DE的一条交线.可过A作AM // DE，平面ADE与平面ABC的交线即为AM .过A作AN _ DE 于N，过A作AF _ BC 于F .可证AN _ AM , AF _ AM , 则• NAF 为面ADE与面ABC的夹角.如图，DE与BC不平行且相交.根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点.延长ED、CB相交于G点，连结AG . AG即为平面ADE与平面ABC的交线，通过一些关系可证CAE为平面ADE与平面ABC的夹角.通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了.只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解.第3页共3页。
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四
E
C1 B1
3
1.法向量 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题
时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。 例 4：（天津卷理）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD//BC//FE，AB AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 1 AD
（I）证明：M 在侧棱 SC 的中点 （II）求二面角 S AM B 的大小。
练习 1:（山东）如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD， ABC 60 ,E，F 分别是 BC, PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6 ，求二面角 E—AF—C 的余弦值.
4
5
角的大小。
例 3（北京理）如图，在三棱锥 P ABC 中， AC BC 2 ， ACB 90 ，
P
AP BP AB ， PC AC ．
（Ⅰ）求证： PC AB ；
（Ⅱ）求二面角 B AP C 的大小；
A
B
C
练习 3： 如图，E 为正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角的余弦值.
2
1
二、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点 P 在一个半平面上
则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例 2．(山东卷理) 如图，在直四棱柱 ABCD-A1 B1 C1 D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AD、AA1 、AB 的中点。
（1）证明：直线 EE1 //平面 FCC1 ； （2）求二面角 B-FC -C 的余弦值。
1
AA1 =2,
E、E1 、F 分别是棱
练习 2（天津）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形． 已 （Ⅰ）证明 AD 平面 PAB ； （Ⅱ）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小；
2
(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小； (II) 证明平面 AMD 平面 CDE； 求二面角 A-CD-E 的余弦值。
练习 4：（湖北）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC 侧面 A1ABB1 . （Ⅰ）求证： AB BC ； （Ⅱ）若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 ,二面角 A1 BC A 的大小为 ，试判断 与 的大小关系，并予以证明.
知 AB 3, AD 2, PA 2, PD 2 2, PAB 60 ．
2
（Ⅲ）求二面角 P BD A的大小．
三、射影面积法（ cos q = s射射 ） S
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos S射 ）求出二面
S斜
二面角求法总结 一、定义法：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分 别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例 1:（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ， AD 2 ， DC SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上， ABM =60°