高中立体几何中二面角经典求法

高中立体几何中二面角求法摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。

（一）、二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。

二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。

而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。

αβ(二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角；*2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。

4、空间坐标法求二面角的大小5、平移或延长（展）线（面）法6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。

例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。

∵PA ⊥α, аα ∴PA ⊥а同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB又∵OA 平面PAB ∴а⊥OA同理а⊥OB.∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,.OAB)AB lP.BA∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60° 2、 （3、三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。

例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中 由三垂线定理可得： CD CE=1, DE=53、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。

例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。

\解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．P又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAD ． A D 而CD平面PCD ， B C所以 平面PCD ⊥平面PAD ．ABCDA 1B 1C 1（EOCODE O C C ，连结，作过点⊥11DECO ⊥的平面角为二面角C DE C OC C --∠∴11的正方形是边长为又2ABCD CODE CE CD S CDE Rt CDE ⋅=⋅=∆∆2121中，在11=CC 又552tan 1=∠∴OC C 552tan arg 1=∠∴OC C 552=∴CO同理可证 平面PAB ⊥平面PAD ．因为 平面PCD ∩平面PAD ＝PD ，平面PAB ∩平面PAD ＝PA ，所以PA 、PD 与所求二面角的棱均垂直，即∠APD 为所求二面角的平面角，且∠APD ＝45°．5、平移或延长（展）线（面）法将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。

~例3、正三角形ABC 的边长为10，A ∈平面α，B 、C 在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC 与α所成的角的正弦值。

解：设E 、F 分别为B 、C 的射影，连EF 并延长交BC 延长线于D ，连AD ；AE ∵E 、F 是B 、C 射影 ∴BE 丄α； ∵CF 丄α ∴BE ∥CF 又CF ：BE=21，∴C 是BD 的中点 ∴BC=DC ， ∵ΔABC 是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°， 又∠ACB+∠ACD=180° ， ∴∠ACD=120°又AC=DC ， ∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD ，】∴∠BAD=90°，∴BA 丄AD ，又∵AE 是AB 在平面α上的射影，∴AE ⊥AD 又 BA ⊥AD ，平面ABC ∩平面α=A ， ∴∠BAE 是平面ABC 与α所成的角，∴BE ⊥平面α，∴ BE ⊥AE ， ∴ΔABC 是 Rt ΔSin ∠BAE=BE ：AB=52，即平面ABC 与α所成角的正弦值为52。

6、射影公式由公式S 射影=S 斜面cos θ，作出二面角的平面角直接求出。

运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

例4、如图，设M 为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD 与底面ABCD 所成的二面角的大小。

解：∵D 1D ⊥面ABCD ，C 1C ⊥面ABCD ，∴ ∆BMD 1在底面上的射影为∆BDC ，.设正方体的棱长a ，则S ∆BCD =21a 2，BD 1=3a所以∴MH=22a ，S ∆BMD1=46a 2由S ∆BDC =S ∆BMD1cos θ得θ=arccos367、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角例6、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ． (1) 求证:A 1C ⊥平面AEF ；若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理：“若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相等．”（2）、试根据上述定理，在AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5时，求平面AEF 与平面D 1B 1BD 所成角的大小的余弦值解：(1)∵A 1B ⊥BC 即A 1B 是A 1C 的射影又∵A 1B ⊥AE ∴A 1C ⊥AE 同理 A 1C ⊥AF ∴A 1C ⊥平面AEF (2) 的解法如下： 过C 作BD 的垂线交AB 于G ．又D 1D ⊥CG ，故CG ⊥平面BB 1D 1D ．# BCD A 1 B 1C 1D 1 FE；而A 1C ⊥平面AEF((1)已证)，设CG 与A 1C 所成的角为α，则α即为平面BB 1D 1D 与平面AEF 所成的角．Sin ∠BCG ＝Sin ∠ABD ＝53，，Cos ∠BCG ＝54，GC ＝415 BG=49，AG=47A 1G 2=A 1A 2+AG 2=16449，A 1C 2=AB 2+AD 2+AA 1 2=50 。

在∆A 1CG 中，由余弦定理得Cos ∠A 1CG=25212求二面角的大小还有很多的方法，这里只是列举了几个常用的方法，希望同学们能在解题的时候加以总结，争取在高考中旗开得胜！如何用空间向量求解二面角求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。

而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。

本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。

在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量→a 、→b ，有cos ＜→a ，→b＞=→→→→⋅⋅||||b a ba ．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题．例1 在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边 长为1，依题意得AB −−→= (0，1，0)，是面VAD 的法向量， 设n →= (1，y ，z)是面VDB 的法向量，则0,0.n VB n VB →−−→→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩⇒1,y z =-⎧⎪⎨=⎪⎩⇒n →= (1，－1，－3)。

∴cos ＜AB −−→，n →＞||||AB nAB n −−→→−−→→⋅⋅=－7， ！又由题意知，面VAD 与面VDB例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90︒，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ．、⑴求证CD ⊥平面BDM ；⑵求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的余弦值．解：⑴略⑵如图，以C 为原点建立坐标系.设BD 中点为G ，连结B 1G ，则依G(4，14，14)，BD −−→= (－2，12，12)，1B G −−→= (－4，－34，14)，∴BD −−→·1B G −−→= 0，∴BD ⊥B 1G ．又CD ⊥BD ，∴CD −−→与1B G −−→的夹角θ等于所求二面角的平面角．∴ cos θ=11||||CD B G CD B G −−→−−→−−→−−→⋅⋅=－3． 例3如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．求二面角C —PB —D 的大小：解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC =设点F 的坐标为000()x y z ，，，PA −−→=PB λ−−→，则000()()x y z a a a a λ-=-，，，，．从而000(1)x a y a z a λλλ===-，，．所以PE −−→=00011(,,)(,(),())2222a a x y z a a a λλλ---=---．由条件EF ⊥PB 知，PE −−→·PB −−→= 0，即yBB 1C 1A 1CADMx0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得31=λ．∴点F 的坐标为2()333a a a，，，且()366a a a PE −−→=--，，，2()333a a a FD −−→=---，，， ∴PB −−→·FD −−→22220333a a a =--+=，即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角． ∵PE −−→·FD −−→=222291896a a a a =-+=，且||PE −−→==，||FD a −−→==，∴21cos 2||||63a PE FDEFD PE FD −−→−−→−−→−−→⋅∠===，∴3π=∠EFD ． 所以，二面角C —PB —D 的大小为3π． 例 4 已知三棱柱OAB —1O A 1B 1中，平面11O OBB ⊥平面OAB ，∠AOB =︒90，∠OB O 1=︒60，且OB =1OO = 2，OA =3，求二面角1O —AB—O 的余弦值．解：以O 为原点，分别以OA ，OB 所在的直线为x ，y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．如图，则O (0，0，0)，1O (0，1，3)，A(3，0，0)，1A (3，1，3)，B(0，2，0)．∴−→−1AO = (－3，1，3)，−→−AB = (－3，2，0)． 显然−→−OZ 为平面AOB 的法向量，取→1n = (0，0，1)，设平面AB O 1的法向量为→2n = (x ，y ，z)，则→2n ·−→−1AO = 0，→2n ·−→−AB = 0．即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-023033y x z y x ，令y =3，x = 2，z = 1，则→2n = (2，3，1)．∴cos ＜→1n ，→2n ＞=||||2121→→→→⋅⋅n n n n =221=42， 故二面角1O —AB —O 的余弦值是42。