高中数学立体几何重要知识点(经典)

立体几何知识点

1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。

（3）棱台：

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'

h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2

1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2

121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()

22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式

V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 23

1π=圆锥

'1()3

V S S h =+台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343

R π ； S 球面=24R π

1、平面及基本性质

公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,,

公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P

公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）

2、空间两直线的位置关系

共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线

3、异面直线

（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b

（2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P

★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形. ②向量法 |||||,cos |cos b a b a b a =><=θ （注意异面直线所成角的范围]2,0(π

）

（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；

②向量法 0=⋅⇔⊥b a b a

（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.

9.2 直线与平面的位置关系

1、直线与平面的位置关系

A a a a =⋂⊂ααα,//,

2、直线与平面平行的判定

（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )

（2）面面平行的性质：βαβα////a a ⇒⎭

⎬⎫⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质

b a b a a //,//⇒⎭

⎬⎫=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P ) ★4、直线与平面垂直的判定

（1）直线与平面垂直的定义的逆用 a l a l ⊥⇒⎭

⎬⎫⊂⊥αα,

（2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭

⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）

（3）αα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）

（5）面面平行是性质：βαβα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥l l // 5、射影长定理

★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜

9.3 两个平面的位置关系

1、空间两个平面的位置关系 相交和平行

2、两个平面平行的判定

（1）判定定理：

βαβαα//,,//,//⇒⎭⎬⎫=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ）

（2）βαβα//⇒⎭

⎬⎫⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 （3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题）

3、两个平面平行的性质

（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂

（2）面面平行的性质定理： b a b a //,//⇒⎭

⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线平行20P ） （3）性质2：βαβα⊥⇒⊥l l ,//

4、两个平面垂直的判定与性质

（1）判定定理：βααβ⊥⇒⊂⊥a a , （线面垂直，则面面垂直50P ）

（2）性质定理：面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）

9.4 空间角

1、异面直线所成角（9.1）

2、斜线与平面所成的角 )2,0(π

（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.

（2）向量法：设平面α的法向量为n ，则直线AB 与平面α所成的角为θ，则 |||||,cos |sin n AB n AB n AB =><=θ )2,0(π

θ∈

（3）两个重要结论

最小角定理48P ：21cos cos cos θθθ= ，,26P 例4 28P 第6题

9.5 空间距离

1、求距离的一般方法和步骤

（1）找出或作出有关的距离；

（2）证明它符合定义；

（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）

2、求点到面的距离常用的两种方法

（1）等体积法——构造恰当的三棱锥；

（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：||n d =

3、直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解

4、异面直线的距离

① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） ② 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离 向量法 ||n n AB d =A ，B 分别为两异面直线上任意一点，n 为垂直于两异面直线的向量）

注意理解应用：θcos 22222mn d n m l ±++= 重点例题：51P 和55P 例2