高中数学立体几何经典大题训练.

高中数学立体几何大题训练

1. 如图所示,在长方体 1111ABCD A B C D -中, AB=AD=1, AA 1=2,

M 是棱 CC 1的中点

(Ⅰ求异面直线 A 1M 和 C 1D 1所成的角的正切值;

(Ⅱ证明:平面 ABM ⊥平面 A 1B 1M 1

2. 如图, 在矩形 ABCD 中,点 , E F 分别在线段 , AB AD 上, 243

AE EB AF FD ===

=. 沿直线 EF 将 AEF V 翻折成 ' A EF V , 使平面 ' A EF BEF ⊥平面 . (Ⅰ求二面角 ' A FD C --的余弦值;

(Ⅱ点 , M N 分别在线段 , FD BC 上,若沿直线 MN 将四边形

MNCD 向上翻折,使 C 与 ' A 重合,求线段 FM 的长。

3. 如图, 直三棱柱 111ABC A B C -中,

AC BC =, 1AA AB =, D 为 1BB 的中点, E 为 1AB 上的一点, 13AE EB =.

(Ⅰ证明:DE 为异面直线 1AB 与 CD 的公垂线;

(Ⅱ设异面直线 1AB 与 CD 的夹角为 45°,求二面角

111A AC B --的大小.

4. 如图,在四棱锥 P — ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA ⊥平面 ABCD , AP

=AB , BP =BC =2, E , F 分别是 PB , PC 的中点 .

(Ⅰ证明:EF ∥平面 PAD ;

(Ⅱ求三棱锥 E — ABC 的体积 V.

5. 如图,棱柱 111ABC A B C -的侧面 11BCC B 是菱形, 11B C A B ⊥

(Ⅰ证明:平面 1

ABC ⊥平面 11A BC ; (Ⅱ设 D 是 11AC 上的点, 且 1//A B 平面 1B CD , 求 11 :A D DC 的值 .

6. 已知三棱锥 P -ABC 中, PA ⊥ ABC , AB ⊥ AC , PA=AC=½AB ,

N 为 AB 上一点, AB=4AN,M,S分别为 PB,BC 的中点 . (Ⅰ证明:CM ⊥ SN ;

(Ⅱ求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 .

A

C D

E F

7. 如图△ BCD 与△ MCD 都是边长为 2的正三角形,平面MCD ⊥平面 BCD , AB ⊥平面 BCD

, AB =

(1 求点 A 到平面 MBC 的距离;

(2 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。

8. 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形, AB=2EF=2, EF ∥AB,EF ⊥ FB, ∠ BFC=90°, BF=FC,H为 BC 的中点,

(Ⅰ求证:FH ∥平面 EDB;

(Ⅱ求证:AC ⊥平面 EDB;

(Ⅲ求四面体 B — DEF 的体积;

9. 如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, C E ⊥ AC,EF ∥

CE=EF=1.

(Ⅰ求证:AF ∥平面 BDE ; (Ⅱ求证:CF ⊥平面 BDE ; (Ⅲ求二面角 A-BE-D 的大小。

10. 已知正方体 ABCD -A ' B ' C ' D ' 的棱长为 1,点 M 是棱 AA ' 的中点,点 O 是对角线 BD ' 的中点 .

(Ⅰ求证:OM 为异面直线 AA ' 和 BD ' 的公垂线; (Ⅱ求二面角 M -BC ' -B ' 的大小;

(Ⅲ求三棱锥 M -OBC 的体积 .

参考答案

1.

2. (Ⅰ解:取线段 EF 的中点 H ,连结 ' A H ,因为 ' A E =' A

F 及 H 是 EF 的中点,所以 ' A H

EF ⊥, 又因为平面 ' A EF ⊥平面 BEF . 如图建立空间直角坐标系 A-xyz 则 ' A (2, 2

, , C (10, 8, 0 ,

A C

M A '''

F (4, 0, 0 , D (10, 0, 0 .

故' FA →

=(-2, 2,

, FD →=(6, 0, 0 . 设n →=(x,y,z 为平面 ' A FD 的一个法向量,

所以

取 z =(0,n =-。

又平面 BEF 的一个法向量 (0,0,1m =,

故 cos , 3

n m n m n m 〈〉==。 (Ⅱ解:设 , FM x =则 (4,0,0 M x +,

因为翻折后, C 与

A 重合,所以 ' CM A M =, 故, 222222(6 80=22x x -++--++( (,得 214x =, 经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 214FM

=。方法二:

(Ⅰ解:取线段 EF 的中点 H ,

AF 的中点 G , 连结 ' , ' , A G A H GH 。因为 ' A E =

' A F 及 H 是 EF 的中点,所以 ' A H EF ⊥又因为平面

' A EF ⊥平面 BEF ,所以 ' A H ⊥平面 BEF , 又 AF ⊂平面 BEF , 故 ' A H ⊥AF

, 又因为 G 、 H 是

AF 、 EF 的中点, 易知 GH ∥ AB ,所以 GH ⊥AF ,于是 AF ⊥面 ' A GH ,

所以 ' A GH ∠为二面角

' A DH C --的平面角, 在 ' Rt A GH 中, ' A H =GH =2, ' A G =所以 cos ' A GH ∠=.

故二面角

' A DF C --