正交试验设计简介
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把放因子的列中的数字改为因子的真实水 平，便成为一张试验计划表
表4.9 L8（27）的交互作用表
表4.10 试验计划
（二）数据分析
1. 数据的方差分析 在二水平正交表中一列的偏差平方和有 一个简单的计算公式：
其中T1j、T2j分别是第j列一水平与二水平 数据的和，n是正交表的行数。
表4.11 例4.3的计算表
Se2=3.788， fe2=24， Ve2=0.1578
F1=2.715>F0.90(4,24)=2.19
由于S3特别大，从实际考虑，因子A与B有交互 作用，重新作方差分析表如下：
表4.16 方差分析表
A:充磁量
B:定位角度 C:定子线圈匝数
由于正交表的特点，使试验条件均 匀分布在试验空间中，因此使数据间具 有整齐可比性，上述的直观分析可以进 行。但是极差大到什么程度可以认为水 平的差异确实是有影响的呢？
2. 数据的方差分析 要把引起数据波动的原因进行分解，数据
的波动可以用偏差平方和来表示。
正交表中第j列的偏差平方和的计算公式：
得率 (a)
(b)
(c)
90
B2
B2
80
70
B1
B1
B1
60
B2
A1 A2
A1 A2 A1 A2
（1）试验的设计
• 明确试验目的； • 明确试验指标； • 确定试验中所考虑的因子与水平，并确
定可能存在并要考察的交互作用； • 选用合适的正交表，进行表头设计，列
出试验计划。
例2 为提高某种农药的收率，需要进行 试验。
“L”表示正交表，“9”是行数，在试验中表示试验 的条件数，“4”是列数，在试验中表示可以安排的因 子的最多个数，“3”是表的主体只有三个不同数字， 在试验中表示每一因子可以取的水平数。
正交表具有正交性，这是指它有如下两个特 点：
（1）每列中不同的数字重复次数相同。 在表L9(34)中，每列有3个不同数字：1,2,3
所以二水平因子应该用二水平正交表，三水 平因子应该用三水平正交表。
二水平因子的交互作用的自由度为1，所以在 二水平正交表上占一列。
三水平因子的交互作用的自由度为4，所以在 三水平正交表上占两列。
选择正交表时必须满足下面一个条件：“ 所考察的因子与交互作用自由度之和≤n－1”，其 中n是正交表的行数。
表4.12 例4.3的方差分析表
表4.13 A×B的搭配表
（三）避免混杂现象——表头设计的一 个原则
在进行表头设计时一列上只能放一个因子或 放一个交互作用。
若在一列上有两个因子或两个交互作用或一 个因子一个交互作用称为混杂,混杂应该避免,否则 数据分析要产生问题。
在用正交表安排试验时要求： 因子与所在列的自由度相等 交互作用与所占列的自由度的和相等
不过在存在交互作用的场合，这一条件满 足时还不一定能用来安排试验，所以这是一个必 要条件。
例3 给出下列试验的表 头设计：
（1）A、B、C、D为二水平因子，同时考察 交互作用A×B，A×C
（2）A、B、C、D为二水平因子，同时考察 交互作用A×B，C×D
（3）A、B、C、D、E为三水平因子，同时 考察交互作用A×B
在一次试验中每个因子总取一
个特定的水平，称各因子水平的一个
组合为一个处理或一个试验条件。
试验指标与试验结果
• 衡量试验条件好坏的特性（可以是质量特性也 可以是产量特性或其它）称为指标，用y表示。 由于y是一个随机变量，因此可以假定它有
如下的结构式：y=μ+ε 其中μ是一个依赖于试验条件的常量，随试
其中yi为第i个条件数据的和，其自由度n-1
第j列的偏差平方和为：
在二水平正交表中
其中Tij为第j列第i水平数据的和，q为该列水 平数，其自由度为q-1
第二类误差的偏差平方和为 其自由度为n(m-1)
表4.15 例4.5的计算表
Se1=S3+S5+S6+S7=1.714
fe1=4， Ve1=0.4285
9个试验点的分布
3 5
C3
2
C2
4
1
C1 A1
A2
7 9
6
8
B3
B2
A3 B1
（二）做试验，并记录试 验结果
在进行试验时，要注意几点： 1. 除了所考察的因子外的其它条件，尽
可能保持相同 2. 试验次序最好要随机化 3. 必要时可以设置区组因子
（三）数据分析
1. 数据的直观分析
（1）寻找最好的试验条件 在A1水平下进行了三次试验：#1，#2，#3，而
试验目的：提高农药的收率 试验指标：收率 确定因子与水平以及所要考察的交互作用：
还要考察因子A与B的交互作用
选表：首先根据因子的水平数，找出一类正交 表
再根据因子的个数及交互作用个数确定具 体的表。
把因子放到表的列上去，但是要先放有交 互作用的两个因子，并利用交互作用表，标出交 互作用所在列，以便于今后的数据分析。
在本例中 ：
试验目的：提高磁鼓电机的输出力矩 试验指标：输出力矩 确定因子与水平：
选表：首先根据因子的水平数，找出一 类正交表，再根据因子的个数确定具体的表， 把因子放到表的列上去，称为表头设计。
把放因子的列中的数字改为因子的真实 水平，便成为一张试验计划表， 每一行便是一 个试验条件。
在正交设计中n个试验条件是一起给出的 的，称为“整体设计”，并且均匀分布在试验空 间中。
（四）验证试验
对A2B2C1进行三次试验，结果为： 234，240，220，平均值为231.3此结果是 满意的。
三、有交互作用的正交设计与数据分析
交互作用
一个因子的水平好坏或好坏的程度受另 一因子水平制约的情况，称为因子A与B的交 互作用。
其直观表示如下面的图(b)与(c)所示。
两个因子的不同水平搭配下的得率
•
T1=y1+y2+y3=160+215+180=555,
•
T2=y4+y5+y6=168+236+190=594,
•
T3=y7+y8+y9=157+205+140=502,
同理
对因子B与C将数据分成三组分别比较 所有计算列在下面的计算表中
（2）各因子对指标影响程度大小的分析 极差的大小反映了因子水平改变时对试验
验条件的变化而改变，ε是一个随机变量，常假定 它服从正态分布N（0,σ2）。
正交表
• 选择部分条件进行试验，再通过数据分析 来寻找好的条件，这便是试验设计问题。通 过少量的试验获得较多的信息，达到试验的 目的：发现那些因子对试验结果确有影响， 因子的什么水平组合是最好的。
• 利用正交表进行试验设计的方法就是正交 试验设计。
如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等这 类正交表可以考察因子间交互作用
（2）另一类正交表的行数，列数，水平数 之间不满足上述的两个关系
如： L12(211)， L18(37)，L36(313)等
二、无交互作用的正交设计与数据 分析
试验设计一般有四个步骤： 1. 试验设计 2. 进行试验获得试验结果 3. 数据分析 4. 验证试验
正交试验设计简介
一、试验设计的基本概念与正交表
多因素试验遇到的最大困难是试验次
数太多，若十个因素对产品质量有影响，
每个因素取两个不同状态进行比较，有
210=1024、 如果每个因素取三个不同
状态310=59049个不同的试验条件
在多因素试验中，有人采用“单因 素轮换法”，但是这种方法不一定能找 到好的条件
因此选用L16(215)，表头设计如下：
（3）由于因子均为三水平的，故选用三水平正交 表，又因子与交互作用的自由度之和为：
fA+fB+fC+fD+fE+fA×B=2+2+2+2+2+4=14 故所选正交表的行数应满足：n≥14+1=15，所以选 L27(313)，表头设计如下：
四、有重复试验的情况
其中Tij为第j列第i水平的数据和，T为数 据总和，n为正交表的行数，q为该列的水平 数。该列表头是哪个因子，则该Sj即为该因子 的偏差平方和，譬如SA=S1
正交表总的偏差平方和为： 在这里有：
表4.6 例4.1的方差分析表
3. 最佳条件的选择
对显著因子应该取最好的水平 对不显著因子的水平可以任意选取，在实际 中通常从降低成本、操作方便等角度加以选择。 上面的例子中对因子A与B应该选择A2B2，因 子C可以任选，譬如为节约材料可选择C1
譬如：考察两个因子，先固定A在A1， 发现B3好，再固定B3，发现A1好，但是实际上好 的条件是A2B2。
B1
B2
B3
A1 50 56 62
A2 56 70 60
A3 54 60 58
因子 与水 平
• 试验中要加以考察而改变状态的因素称 为因子，常用大写英文字母A、B、C…等 表示。因子在试验中所取的状态称为水平 。因子A的水平用代表因子的字母加下标 表示，记为A1，A2，…Ak.。
例4 某厂为提高零件内孔研磨工序质量进 行工艺参数的选优试验，考察孔的锥度值，希 望其越小越好。
在试验中考察的因子水平如下：
表4.14 因子水平表
采用正交表L8(27)安排试验，表头设计如 下：
各偏差平方和的计算公式如下：
其中T为数据总和，n为正交表行数，m为每 一条件重复数，其自由度为mn-1
在这三次试验中因子B的三个水平各进行了一次试 验，因子C的三个水平也各进行了一次试验。
在A2水平下进行了三次试验：#4，#5，#6，在 这三次试验中因子B与C的三个水平各进行了一次 试验。
在A3水平下进行了三次试验：#7，#8，#9，在 这三次试验中因子B与C的三个水平各进行了一次 试验。
将全部试验分成三个组，那么这这三组数 据间的差异就反映了因子A的三个水平的差异， 为此计算各组数据的和与平均：
结果的影响大小。这里因子的极差是指各水平平 均值的最大值与最小值之差，譬如对因子A来讲 ：
RA=198－167.3=30.7 其它的结果也列在上表中
（3）各因子不同水平对指标的影响图
因子各水平对输出力矩的影响
输出力矩
220 210
200
190
RB
RA
180
Hale Waihona Puke Baidu
RC
170
160 900 1100 1300 10 11 12 70 80 90
例1 磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的 关键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于 210g.cm。某生产厂过去这项指标的合格率较 低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高 磁鼓电机的输出力矩。
（一）试验的设计
在安排试验时，一般应考虑如下 几步： （1）明确试验目的； （2）明确试验指标； （3）确定因子与水平； （4）选用合适的正交表，进行表头设计 ，列出试验计划。
，每一个出现3次。 （2）将任意两列的同行数字看成一个数对，
那么一切可能数对重复次数相同。
在表L9(34)中，任意两列有9种可能的数对 ：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每 一对出现一次。
常用的正交表有两大类
（1）一类正交表的行数n，列数p，水平数 qn=qk, k=2,3,4,…, p=(n-1)/(q-1)
它们分别要用L8（27），L16（215），L27（313）
解 （1）由于因子均为二水平的，故选用二水平 正交表，又因子与交互作用的自由度之和为：
fA+fB+fC+fD+fA×B+fA×C=1+1+1+1+1+1=6 故所选正交表的行数应满足：n≥6+1=7，所以选 L8(27)，表头设计如下：
（2）由于因子均为二水平的，故仍选用二水平正 交表，又因子与交互作用的自由度之和为6，故所选 正交表的行数应满足：n≥6+1=7，但L8(27)无法安排 这四个因子与两个交互作用，因为不管四个因子放 在哪四列上，两个交互作用或一个因子与一个交互 作用总会共用一列，从而产生混杂，譬如：
表4.9 L8（27）的交互作用表
表4.10 试验计划
（二）数据分析
1. 数据的方差分析 在二水平正交表中一列的偏差平方和有 一个简单的计算公式：
其中T1j、T2j分别是第j列一水平与二水平 数据的和，n是正交表的行数。
表4.11 例4.3的计算表
Se2=3.788， fe2=24， Ve2=0.1578
F1=2.715>F0.90(4,24)=2.19
由于S3特别大，从实际考虑，因子A与B有交互 作用，重新作方差分析表如下：
表4.16 方差分析表
A:充磁量
B:定位角度 C:定子线圈匝数
由于正交表的特点，使试验条件均 匀分布在试验空间中，因此使数据间具 有整齐可比性，上述的直观分析可以进 行。但是极差大到什么程度可以认为水 平的差异确实是有影响的呢？
2. 数据的方差分析 要把引起数据波动的原因进行分解，数据
的波动可以用偏差平方和来表示。
正交表中第j列的偏差平方和的计算公式：
得率 (a)
(b)
(c)
90
B2
B2
80
70
B1
B1
B1
60
B2
A1 A2
A1 A2 A1 A2
（1）试验的设计
• 明确试验目的； • 明确试验指标； • 确定试验中所考虑的因子与水平，并确
定可能存在并要考察的交互作用； • 选用合适的正交表，进行表头设计，列
出试验计划。
例2 为提高某种农药的收率，需要进行 试验。
“L”表示正交表，“9”是行数，在试验中表示试验 的条件数，“4”是列数，在试验中表示可以安排的因 子的最多个数，“3”是表的主体只有三个不同数字， 在试验中表示每一因子可以取的水平数。
正交表具有正交性，这是指它有如下两个特 点：
（1）每列中不同的数字重复次数相同。 在表L9(34)中，每列有3个不同数字：1,2,3
所以二水平因子应该用二水平正交表，三水 平因子应该用三水平正交表。
二水平因子的交互作用的自由度为1，所以在 二水平正交表上占一列。
三水平因子的交互作用的自由度为4，所以在 三水平正交表上占两列。
选择正交表时必须满足下面一个条件：“ 所考察的因子与交互作用自由度之和≤n－1”，其 中n是正交表的行数。
表4.12 例4.3的方差分析表
表4.13 A×B的搭配表
（三）避免混杂现象——表头设计的一 个原则
在进行表头设计时一列上只能放一个因子或 放一个交互作用。
若在一列上有两个因子或两个交互作用或一 个因子一个交互作用称为混杂,混杂应该避免,否则 数据分析要产生问题。
在用正交表安排试验时要求： 因子与所在列的自由度相等 交互作用与所占列的自由度的和相等
不过在存在交互作用的场合，这一条件满 足时还不一定能用来安排试验，所以这是一个必 要条件。
例3 给出下列试验的表 头设计：
（1）A、B、C、D为二水平因子，同时考察 交互作用A×B，A×C
（2）A、B、C、D为二水平因子，同时考察 交互作用A×B，C×D
（3）A、B、C、D、E为三水平因子，同时 考察交互作用A×B
在一次试验中每个因子总取一
个特定的水平，称各因子水平的一个
组合为一个处理或一个试验条件。
试验指标与试验结果
• 衡量试验条件好坏的特性（可以是质量特性也 可以是产量特性或其它）称为指标，用y表示。 由于y是一个随机变量，因此可以假定它有
如下的结构式：y=μ+ε 其中μ是一个依赖于试验条件的常量，随试
其中yi为第i个条件数据的和，其自由度n-1
第j列的偏差平方和为：
在二水平正交表中
其中Tij为第j列第i水平数据的和，q为该列水 平数，其自由度为q-1
第二类误差的偏差平方和为 其自由度为n(m-1)
表4.15 例4.5的计算表
Se1=S3+S5+S6+S7=1.714
fe1=4， Ve1=0.4285
9个试验点的分布
3 5
C3
2
C2
4
1
C1 A1
A2
7 9
6
8
B3
B2
A3 B1
（二）做试验，并记录试 验结果
在进行试验时，要注意几点： 1. 除了所考察的因子外的其它条件，尽
可能保持相同 2. 试验次序最好要随机化 3. 必要时可以设置区组因子
（三）数据分析
1. 数据的直观分析
（1）寻找最好的试验条件 在A1水平下进行了三次试验：#1，#2，#3，而
试验目的：提高农药的收率 试验指标：收率 确定因子与水平以及所要考察的交互作用：
还要考察因子A与B的交互作用
选表：首先根据因子的水平数，找出一类正交 表
再根据因子的个数及交互作用个数确定具 体的表。
把因子放到表的列上去，但是要先放有交 互作用的两个因子，并利用交互作用表，标出交 互作用所在列，以便于今后的数据分析。
在本例中 ：
试验目的：提高磁鼓电机的输出力矩 试验指标：输出力矩 确定因子与水平：
选表：首先根据因子的水平数，找出一 类正交表，再根据因子的个数确定具体的表， 把因子放到表的列上去，称为表头设计。
把放因子的列中的数字改为因子的真实 水平，便成为一张试验计划表， 每一行便是一 个试验条件。
在正交设计中n个试验条件是一起给出的 的，称为“整体设计”，并且均匀分布在试验空 间中。
（四）验证试验
对A2B2C1进行三次试验，结果为： 234，240，220，平均值为231.3此结果是 满意的。
三、有交互作用的正交设计与数据分析
交互作用
一个因子的水平好坏或好坏的程度受另 一因子水平制约的情况，称为因子A与B的交 互作用。
其直观表示如下面的图(b)与(c)所示。
两个因子的不同水平搭配下的得率
•
T1=y1+y2+y3=160+215+180=555,
•
T2=y4+y5+y6=168+236+190=594,
•
T3=y7+y8+y9=157+205+140=502,
同理
对因子B与C将数据分成三组分别比较 所有计算列在下面的计算表中
（2）各因子对指标影响程度大小的分析 极差的大小反映了因子水平改变时对试验
验条件的变化而改变，ε是一个随机变量，常假定 它服从正态分布N（0,σ2）。
正交表
• 选择部分条件进行试验，再通过数据分析 来寻找好的条件，这便是试验设计问题。通 过少量的试验获得较多的信息，达到试验的 目的：发现那些因子对试验结果确有影响， 因子的什么水平组合是最好的。
• 利用正交表进行试验设计的方法就是正交 试验设计。
如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等这 类正交表可以考察因子间交互作用
（2）另一类正交表的行数，列数，水平数 之间不满足上述的两个关系
如： L12(211)， L18(37)，L36(313)等
二、无交互作用的正交设计与数据 分析
试验设计一般有四个步骤： 1. 试验设计 2. 进行试验获得试验结果 3. 数据分析 4. 验证试验
正交试验设计简介
一、试验设计的基本概念与正交表
多因素试验遇到的最大困难是试验次
数太多，若十个因素对产品质量有影响，
每个因素取两个不同状态进行比较，有
210=1024、 如果每个因素取三个不同
状态310=59049个不同的试验条件
在多因素试验中，有人采用“单因 素轮换法”，但是这种方法不一定能找 到好的条件
因此选用L16(215)，表头设计如下：
（3）由于因子均为三水平的，故选用三水平正交 表，又因子与交互作用的自由度之和为：
fA+fB+fC+fD+fE+fA×B=2+2+2+2+2+4=14 故所选正交表的行数应满足：n≥14+1=15，所以选 L27(313)，表头设计如下：
四、有重复试验的情况
其中Tij为第j列第i水平的数据和，T为数 据总和，n为正交表的行数，q为该列的水平 数。该列表头是哪个因子，则该Sj即为该因子 的偏差平方和，譬如SA=S1
正交表总的偏差平方和为： 在这里有：
表4.6 例4.1的方差分析表
3. 最佳条件的选择
对显著因子应该取最好的水平 对不显著因子的水平可以任意选取，在实际 中通常从降低成本、操作方便等角度加以选择。 上面的例子中对因子A与B应该选择A2B2，因 子C可以任选，譬如为节约材料可选择C1
譬如：考察两个因子，先固定A在A1， 发现B3好，再固定B3，发现A1好，但是实际上好 的条件是A2B2。
B1
B2
B3
A1 50 56 62
A2 56 70 60
A3 54 60 58
因子 与水 平
• 试验中要加以考察而改变状态的因素称 为因子，常用大写英文字母A、B、C…等 表示。因子在试验中所取的状态称为水平 。因子A的水平用代表因子的字母加下标 表示，记为A1，A2，…Ak.。
例4 某厂为提高零件内孔研磨工序质量进 行工艺参数的选优试验，考察孔的锥度值，希 望其越小越好。
在试验中考察的因子水平如下：
表4.14 因子水平表
采用正交表L8(27)安排试验，表头设计如 下：
各偏差平方和的计算公式如下：
其中T为数据总和，n为正交表行数，m为每 一条件重复数，其自由度为mn-1
在这三次试验中因子B的三个水平各进行了一次试 验，因子C的三个水平也各进行了一次试验。
在A2水平下进行了三次试验：#4，#5，#6，在 这三次试验中因子B与C的三个水平各进行了一次 试验。
在A3水平下进行了三次试验：#7，#8，#9，在 这三次试验中因子B与C的三个水平各进行了一次 试验。
将全部试验分成三个组，那么这这三组数 据间的差异就反映了因子A的三个水平的差异， 为此计算各组数据的和与平均：
结果的影响大小。这里因子的极差是指各水平平 均值的最大值与最小值之差，譬如对因子A来讲 ：
RA=198－167.3=30.7 其它的结果也列在上表中
（3）各因子不同水平对指标的影响图
因子各水平对输出力矩的影响
输出力矩
220 210
200
190
RB
RA
180
Hale Waihona Puke Baidu
RC
170
160 900 1100 1300 10 11 12 70 80 90
例1 磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的 关键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于 210g.cm。某生产厂过去这项指标的合格率较 低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高 磁鼓电机的输出力矩。
（一）试验的设计
在安排试验时，一般应考虑如下 几步： （1）明确试验目的； （2）明确试验指标； （3）确定因子与水平； （4）选用合适的正交表，进行表头设计 ，列出试验计划。
，每一个出现3次。 （2）将任意两列的同行数字看成一个数对，
那么一切可能数对重复次数相同。
在表L9(34)中，任意两列有9种可能的数对 ：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每 一对出现一次。
常用的正交表有两大类
（1）一类正交表的行数n，列数p，水平数 qn=qk, k=2,3,4,…, p=(n-1)/(q-1)
它们分别要用L8（27），L16（215），L27（313）
解 （1）由于因子均为二水平的，故选用二水平 正交表，又因子与交互作用的自由度之和为：
fA+fB+fC+fD+fA×B+fA×C=1+1+1+1+1+1=6 故所选正交表的行数应满足：n≥6+1=7，所以选 L8(27)，表头设计如下：
（2）由于因子均为二水平的，故仍选用二水平正 交表，又因子与交互作用的自由度之和为6，故所选 正交表的行数应满足：n≥6+1=7，但L8(27)无法安排 这四个因子与两个交互作用，因为不管四个因子放 在哪四列上，两个交互作用或一个因子与一个交互 作用总会共用一列，从而产生混杂，譬如：