第43题+平面向量中的范围、最值问题-2018精品之高中数学(理)黄金100题系列+Word版含解析
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第 43题 平面向量中的范围、最值问题
I .题源探究·黄金母题
【例1】给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为90.点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动,若OC xOA yOB =+,其中,x y ∈R ,则
xy 的范围是________.
【解析】由2
2
2
222OC xOA yOB OC x OA y OB xyOA OB =+?=++?,又
1,0OC OA OB OA OB ===?=,∴2212x y xy =+≥,得1
2
xy ≤
,而点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动,得,[0,1]x y ∈,于是1
02xy ≤≤.
精彩解读
【试题来源】人教A 版必修4P 102习题2.3B 组T 4改编.
【母题评析】本题考查平面向量基本定理、平面向量系数的取值
范围、重要不等式,考查考生的
分析问题解决问题的能力. 【思路方法】平面向量中涉及系数的范围问题时要注意利用向量
的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围.
II .考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考新课标2理12】已知ABC ?是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ?+的最小是 ( ) A .2- B .32- C .4
3
- D .1- 【答案】B
【解析】解法一(几何法):如图所示,2PB PC PD +=(D 为BC 中点),则
()
2PA PB PC PD PA ?+=?,要使PA PD ?最小,则PA ,PD 方向相反,即P 点在线段AD 上,则min 22PD PA PA PD ?=-?,即求PD PA ?最大值,
又2PA PD AD +==
,则2
2324PA PD PA PD ??+
??≤ ?????
==,则min 33
2242
PD PA ?=-?
=-.故选B .
【命题意图】这类题主要考查平面向量数量积或模或夹角或系数的取值范围、最值问题,考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
【考试方向】这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题的形式出现,难度中等. 【难点中心】平面向量中有关范
围最值问题的求解通常有两种思路:
①“形化”,即利用平面向量的几何 意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;
解法二(解析法):如图,以BC 为x 轴,BC 的垂直平分线DA 为y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,
则(A ,()1,0B -,()1,0C ,设(),P x y ,
所以()
PA x y =-,()1,PB x y =---,()1,PC x y =--,所以
()2,2PB PC x y +=--,
(
)
)
222222(PA PB PC x y
y x y ?+=-=+
-
233
222
-≥-,当30,P ?? ??
时,所求的最小值为3
2-,故选B .
【例3】【2017高考新课标3理12】在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λAB +μAD ,则λ+μ的最大值为 ( ) A .3
B .
C
D .2
【答案】A
【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.
设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,
②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利 用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
根据等面积公式可得圆的半径r =
,即圆C 的方程是()2
2425x y -+=,
()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=,若满足AP AB AD λμ=+,即21x y μλ=??
-=-?
,,12x y μλ==-,所以12x y λμ+=-+,设12x
z y =-+,即
102x y z -+-=,点(),P x y 在圆()2
2425
x y -+=上,所以圆心到直线的距离d r ≤,
≤
,解得13z ≤≤,所以z 的最大值是3,即λμ+的最大值是3,故选A .
【例3】【2017高考浙江14】已知向量a ,b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________,最大值是_______. 【答案】4
,【解析】设向量,a b 的夹角为θ
,由余弦定理有:
212a b -=
+=
212a b +
=+=
54cos a b a b ++-=+
θθcos 45cos 45-++=y ,则[]21016,20y =+,
据此可得:()
()
max
min
2025,164a b a b
a b a b
++-==+
+-=,即
a b a b ++-的最小值是4,最大值是
III .理论基础·解题原理
(1)平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.
(2)三角不等式:-≤?≤a b a b a b ;-≤±≤+a b a b a b .
IV .题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题的形式出现,难度中等. 【技能方法】
向量中的最值、范围问题,实质是给我们过去熟悉的函数的最值、值域问题戴上了一层面纱,却往往让我们找不到问题的切入点,这类问题的解决关键是揭开面纱,转化为函数、不等式或解析几何处理,发现“庐山真面目”. 求数量积的最值,一般要先利用向量的线性运算,尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量,利用向量的数量积运算建立目标函数,利用函数知识求解最值. 【易错指导】
(1)在运算时需注意向量数量积运算不满足交换律和消去律,防止出错.
(2)两个向量夹角的范围是[]0,π,在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不能反向共线.
V .举一反三·触类旁通
考向1 平面向量数量积的范围、最值问题
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θcos a b θ??叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ?.即
a b ?=cos a b θ??,规定00a ?=,数量积的表示一般有三种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法
求解,即a b ?=cos a b θ??;(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2;(3)运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算. 【例1】【2018华南师范大学附属中学高三综合测试】如图,半径为1的扇形AOB 中,23
AOB π
∠=
,P 是弧AB 上的一点,且满足OP OB ⊥,,M N 分别是线段,OA OB 上的动点,则PM PN ?的最大值为( )
A .
2
B .2
C .1
D 【答案】C
【例2】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ?的取值范围为 .
【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED 分别表示,结合已知条件设|AE |x =(02x ≤≤),将
ED EB ?用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题.
【名师点睛】将ED EB ?用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性.
【例3】【2018江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中,3AB =,1AD =,若M ,N 分别在边BC ,
CD 上运动(包括端点,且满足
BM CN BC
CD
=
,则AM AN ?的取值范围是__________.
【答案】[1,9]
【跟踪练习】
1.【2018贵州贵阳花溪清华中学高三月考】已知圆C 的方程2
2
(1)1x y -+=,P 是椭圆22
143
x y +=上一点,过P 作圆的两条切线,切点为A ,B ,则PA PB ?的取值范围为( ) A .3
[,)2
+∞ B
.3,)+∞ C
.563,9?????? D .356,29??
????
【答案】C
【解析】设(,)P x y ,设22222
1,(1,0),||||1(1)1244
CPA CPB C PA PC x y x x θ∠=∠==-=-+-=
-+ 2
222122
114sin cos 212sin 11||242444
x x PC x x x x θθθ-+?==?=-=
-+-+, 设22
1124(4)44
t x x x =-+=-,由又
2min (2)2||cos 2(1)
3223,2,()t PA
PB PA t t t PA PB t t θ-?==-=+-≥-=?
=max 56
3,9,()9
t PA PB =?
=?PA PB ?的取值范围为563,9?
?-???
?,故选C .
2.如图,边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴,y 轴正半轴上移动,则?的最大值是 .
【答案】2
3.【2018江苏南京市盐城高三一模考】在ABC ?中,已知AB =3
C π
=
,则CA CB ?uu r uu r
的最大值为
.
【答案】
32
【解析】1cos 2CA CB ba C ab ?==uu r uu r ,由余弦定理得:22
32cos 23
a b ab ab ab ab π=+-≥-=,所以
3
2
CA CB ?≤uu r uu r ,当且仅当a b =时取等号.
4.【2018浙江杭州地区重点中学高三上学期期中考试】已知△ABC 中,4AB =,2AC =,|(22)|AB AC λλ+-
(R λ∈)的最小值为P 为边AB 上任意一点,则PB PC ?的最小值是 . 【答案】9
4
-
【解析】令()f λ=2
2
2
2
2
|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-?=2
16λ+
24(22)λ-+2(22)8cos A λλ-?=216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+,当cos 0A =时,()f λ=
221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥,因为>2
A π
=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,
(4,0),(0,2)B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(,2)PC x =-,所以PB PC ?=(4)x x --=
2(2)4x --;当c o s 0A ≠时,()f λ=2116[(22cos )()2A λ--+
1cos ]2A +≥88cos 12A +=,解得1
cos 2
A =,所以3
A π
=,则建立直角坐标系,(0,0)A
,(4,0),B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-
,
(1PC x =-,所以PB PC ?=(4)(1)x x --=259()24x --.综上所述,当5
2
x =时,PB PC ?取得最小值
94
-. 考向2 平面向量模的取值范围、最值问题 设(,)a x y =,则2
2a a x ==
+,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线
段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求. 【例4】【2016高考四川卷】在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足DA =DB =DC ,DA ?DB =DB ?DC =DC ?DA =-2,动点P ,M 满足AP =1,PM =MC ,则2
BM 的最大值是 ( )
A .
434 B .49
4
C
D
【答案】B
方的1
4
,(
)
2
2
max
149
144BM
?∴==??
,故选B .
【例5】【2018浙江省台州市高三上学期期末】已知m ,n 是两个非零向量,
且1m =,23m n +=,则m n n ++
的最大值为
A B C .4 D .5 【答案】B
【例6】已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为
4
π
,()()1c a c b -?-=-,则c a -的最大
值为( )
(A 1
2
(B )12+ (C )12 (D 1 【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点(向量),确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.
【解析】设===,,;以OA 所在直线为x ,O 为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵4,22,
a b ==a 与b 的夹角为
4
π
,则A (4,0),B (2,2),设C (x ,y )
∵()()1c a c b -?-=-,∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心,以1为半径的圆,
c a -表示点A ,C 的距离即圆上的点与点A (4,0)的距离.
∵圆心到B 的距离为2)01()43(22=
-+-,∴c a -的最大值为12+,故选:D .
【名师点睛】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键. 【跟踪练习】
1.【2018河北省定州中学高中毕业班上学期期中】设向量,,a b c 满足2a b ==,
2a b ?=-,,c 60a c b --=?,
则c的最大值等于()
A.4 B.2 C D.1
【答案】A
2.【2018湖南师大附中高三上学期月考】已知,a b为单位向量,且a b
⊥,向量c满足2
c a b
--=,则c的范围为()
A.1,1
?
?B.22
?
?C.D.3
?-+
?
|||222||22
OA a b c
=+=?-≤≤+,故选
和OB满足OA a
=,OB b
=,且221
a b
+=,
0OA OB ?=,若向量(),R OC OA OB λμλμ=+∈,且()()22
2221214a b λμ-+-=,则OC 的最大值为
__________. 【答案】32
【解析】
4.已知向量)sin ,(cos θθ=a ,)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值,最小值分别是_________. 【答案】4,0
5.【2018湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为
3
π
,2b =,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,则()2
a
tb a tb t R -+-
∈的最小值是__________.
【解析】
()(
1,0,,A B ()(1,0,1,3a b ∴=-=- (12
a
tb a tb t ∴-+-=
-
== 212?,
表示(),0P t 与11,48M N ??
????
的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有
22MN ==. 考向3 平面向量夹角的取值范围、最值问题
设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则2
cos a b a b
x θ?=
=
?+.
【例7】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→
→
→
→
→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值,
当01
05
t <<
时,夹角θ的取值范围为( ) A .0,
3π??
??
?
B .,32ππ??
??? C .2,23
ππ?? ??? D .20,3
π
??
???
【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ 1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ,转化为求二次函数的最小值
问题,当θ
θ
cos 45cos 210++=
t 时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解.
【名师点睛】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解. 【跟踪练习】
1.【2018辽宁省沈阳东北育才学校高三上二模】已知非零向量,a b 满足2a b =,若函数
3211
().132
f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为( )
A .0,
6π?????? B . ,3ππ?? ??? C .2,33ππ?? ??? D . ,3ππ??
????
【答案】B 【解析】()'
2f
x x a x a b =++?,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以2
40a a b ?=-?>,即
2
4cos 0a a b θ?=-??>,即1cos 2θ<
,所以,3πθπ??
∈ ???
. 2.非零向量b a
,满足b a ?2=2
2b a
,2||||=+b a
,则b a
与的夹角的最小值是 .
【答案】
3
π 【解析】由题意得22
12
a b a b ?=,()
2
4a b
+=,整理得22
422a b a b a b +=-?≥?,即1a b ?≤
11cos ,22a b a b a b a b
?=
=
?≤,,3a b ππ∴≤≤,夹角的最小值为3
π.
3.【2018福建福州外国语学校高三上学期期中】已知向量a,b r r 满足0≠r r
,且关于x 的函数
3
2f(x)=2x +3|a|x +6a bx+7?r r r 在实数集R 上单调递增,则向量a,b r r
的夹角的取值范围是( )
A .π[0,
]6 B .π[0,]3 C .π[0,]4 D .ππ[,]64
【答案】
C
考向4 平面向量系数的取值范围、最值问题
平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围.
【例8】【2018安徽省淮南市高三第一次(2月)模拟】已知G 是ABC 的重心,过点G 作直线MN 与AB ,AC 交于点,M N ,且AM xAB =,AN y AC =,(),0x y >,则3x y +的最小值是( ) A .
83 B .72 C .52 D .4333
+ 【答案】D
【解析】
如图
M N G ,, 三点共线,MG GN λ∴=,
AG AM AN AG λ∴-=-(), ∵G 是ABC 的重心,
1
3
AG AB AC ∴=+(),
1133AB AC xAB y AC AB AC λ∴+-=-+()(()), 11
33
{ 1133
x y λ
λλ--∴-=,= 解得,31311x y --=()(); 结合图象可知111122x y ≤≤≤≤,;
令1
131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤,,(,); 故11133
m n
mn x y ++==
=,,;
故144431333333n n x y m m ++=++
=++≥+=+,当且仅当m n ==D . 【例9】【2018山西省芮城中学高三上学期期中】长度都为2的向量OA ,OB 的夹角为3
π
,点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上,OC mOA nOB =+,则m n +的最大值是( )
A .
B
C .3
D .33 【答案】B
【例10】已知()2,λ=,()5,3-=,且与的夹角为锐角,则λ的取值范围是 . 【分析】与的夹角为锐角等价于0a b ?>,且与不共线同向,所以由0a b ?>,得3
10
<
λ,再除去与共线同向的情形.
【解析】由于与的夹角为锐角,0>?∴,且与不共线同向,由01030>+-?>?λ,解得3
10
<
λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-
=λ,因此λ的取值范围是3
10
<λ且56-≠λ.
【名师点睛】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量
夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>. 【跟踪练习】
1.【2018辽宁省丹东市高三上学期期末】已知扇形OAB 的圆心角是60?,半径是1,C 是弧AB 上不与A ,B 重合的一点,设OC xOA yOB =+ (),x y R ∈,若u x y λ=+存在最大值,则实数λ的取值范围为 A .1
(,2)2 B .1(,1)2 C .1(,3)3
D .()1,3 【答案】A
2.【2018河北沧州一中高三上周测】如右图所示,已知点G 是ABC ?的重心,过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点,且,AM x AB AN y AC ==,则2x y +的最小值为( )
A .2
B .13 C
.33+ D .3
4
【答案】C
【解析】因为,,M N G 三点共线,所以()
,MG GN AG AM AN AG λλ=-=-,因为G 是ABC ?重心,所以
()13AG AB AC =+,()()
1133AB AC xAB y AC AB AC λ??+-=-+ ???,所以1
133
113
3x y λλλ
?-=-????=-??,化简得
()()31311x y --=,解得题目所给图像可知
11
1,122
x y ≤≤≤≤.由基本不等式得 ()()2
3162231622x y x y -+-??
=--≤ ???
,即(
)3232x y x y +-≥+≥.当且仅当
3162x y -=-,即x y =
= 3.【2018上海市杨浦区高三数学一模】设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点,
且满足0AB AC ?=,0AC AD ?=,0AD AB ?=,用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ?、ACD ?、ABD ?的面积,则123S S S ++的最
大值是( ) A .
1
2
B .2
C .4
D .8 【答案】B
4.【2018辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】直角梯形ABCD 中,CB CD ⊥,AD BC ,ABD 是边长为2的正三角形,P 是平面上的动点,1CP =,设AP AD AB λμ=+(λ,R μ∈),则λμ+的最大值为__________.
【答案】
96
+ 【解析】
以C 为原点,CD 为x 轴,BC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系,1,CP =∴可设
()()()
cos ,,1,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-,(,,AC =-
(
cos 2,,AP AC CP sin αα=+=-因为AP AD AB λμ=+,所以
(
()cos 2,32sin ααλμ-+=--
122{
{
11
2
2
sin cos sin cos λαλμααμαα=
+--=-?=+=-+
,)133
cos =26232sin λμααα?+=-++-+
32≤
+=
,即λμ+
. 5.如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,且2DC BD =,用向量,AB AC 表示向量AD ;若
||:||:||3:A B A D A C k =,求实数k 的取值范围.
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学平面向量测试题及答案[001]
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。