模块综合检测(一)

模块综合检测(一)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．设z ＝

10i

3＋i

，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3i

D ．1－3i

解析：选D ∵z ＝10i

3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )

＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.

2．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．锐角 C.π2

D ．钝角

解析：选D f ′(x )＝e x ·cos x ＋e x ·(－sin x )＝e x (cos x －sin x )．当x ＝1时，cos x －sin x ＜0，故f ′(1)＜0，所以倾斜角为钝角．

3．用反证法证明命题“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，那么|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于1

2

”时，反设正确的是( )

A ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都不小于1

2

B ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于1

2

C ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有两个小于1

2

D ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有一个小于1

2

解析：选B “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于1

2”的反设为“|f (1)|，|f (2)|，

|f (3)|都小于1

2

”．

4．设a ＝⎠⎛0

1x

13

-

d x ，b ＝1－⎠⎛0

1x 12

d x ，c ＝⎠⎛0

1x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( )

A ．a ＞b ＞c

B ．b ＞a ＞c

C ．a ＞c ＞b

D ．b ＞c ＞a

解析：选A由题意可得a＝

⎠⎛

1x

－

1

3d x＝

x

1

1

3

－＋

－1

3

＋1

1

＝3

2x

2

3

1

＝3

2

；b＝1－

⎠⎛

1x

1

2d x

＝1－x 3 2

3 21

＝1－⎝⎛⎭⎫

2

3

－0＝1

3

；c＝

⎠⎛

1x3d x＝

x4

4

1

＝1

4.综上，a＞b＞c.

5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()

A．②①③B．③①②

C．①②③D．②③①

解析：选B该“三段论”应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．

6．如下图，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面

图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×R＋r

2.所以，圆环的面积等于以线段

AB＝R－r为宽，以AB的中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×R＋r

2为长的

矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M＝{}

(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2(其中0

A．2πr2d B．2π2r2d

C．2πrd2D．2π2rd2

解析：选B平面区域M的面积为πr2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体类似于为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底，以O为圆心、d为半径的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr2×2πd＝2π2r2d.

7．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为()

A．3 125 B．5 625

C．0 625 D．8 125

解析：选D∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，

58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，

∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4.记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 015)＝f(502× 4＋7)＝f(7)，

∴52 015与57的末四位数字相同，均为8 125.

8．下面给出了关于复数的四种类比推理：

①复数的加、减法运算，可以类比多项式的加、减法运算法则；

②由向量a的性质|a|2＝a2，可以类比得到复数z的性质|z|2＝z2；

③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b2－4ac>0，类比可得方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b2－4ac>0；

④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．

其中类比得到的结论正确的是()

A．①③B．②④

C．②③D．①④

解析：选D②中|z|2∈R，但z2不一定是实数．③中复数集不能比较大小，不能用b2－4ac来确定根的个数．

9．设x＞0，y＞0，A＝

x＋y

1＋x＋y

，B＝

x

1＋x

＋

y

1＋y

，则A与B的大小关系为()

A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B

解析：选C

x

1＋x

＋

y

1＋y

＞

x

1＋x＋y

＋

y

1＋x＋y

＝

x＋y

1＋x＋y

.

10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()

解析：选C由函数f(x)在x＝－2处取得极小值可知x<－2，f′(x)<0，则xf′(x)>0；x>－2，f′(x)>0，则－20时，xf′(x)>0.