高一数学必修一模块综合检测(附详细答案解析)

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高一数学必修一综合测试题(含答案)

高一数学必修一综合测试题(含答案)一、选择题（每题5分，共50分）1、已知集合M={0,1,2},N={xx=2a,a∈M}，则集合MN=A、{ }B、{0,1}C、{1,2}D、{0,2}答案：B解析：将M中的元素代入N中得到：N={2,4,8}，与M 的交集为{0,1}，故MN={0,1}。

2、若f(lgx)=x，则f(3)=（）A、lg3B、3C、10D、310答案：C解析：将x=3代入f(lgx)=x中得到f(lg3)=3，又因为lg3=0.477，所以f(0.477)=3，即f(3)=10^0.477=3.03.3、函数f(x)=x−1x−2的定义域为（）A、[1，2)∪(2，+∞）B、(1，+∞）C、[1，2)D、[1，+∞)答案：A解析：由于分母不能为0，所以x-2≠0，即x≠2.又因为对于x<1，分母小于分子，所以x-1<0，即x<1.所以定义域为[1,2)∪(2,+∞)。

4、设a=log13,b=23，则（）.A、a<b<cB、c<b<aC、c<a<bD、b<a<c答案：A解析：a=log13=log33-log32=1/2-log32，b=23=8，c=2^3=8，所以a<b=c。

5、若102x=25，则10−x等于（）A、−15B、51C、150D、0.2答案：B解析：由102x=25可得x=log10(25)/log10(102)=1.3979，所以10^-x=1/10^1.3979=0.1995≈0.2.6、要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为A.t≤−1B.t<−1C.t≤−3D.t≥−3答案：B解析：当x=0时，y=1+t，要使图像不经过第二象限，则1+t>0，即t>-1.又因为g(x)的斜率为正数，所以对于任意的x，g(x)的值都大于1+t，所以t< -1.7、函数y=2x,x≥1x,x<1的图像为（）答案：见下图。

2019-2020学年高中数学(苏教版必修一)模块综合测评 Word版含解析

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．已知集合A ＝{}0，1，2，3，4，B ＝{}x||x|<2，则A ∩B ＝________. 【解析】 B ＝{}x||x|<2＝{}x|－2<x<2，A ∩B ＝{}0，1. 【答案】 {}0，12．如果集合P ＝{x |x >－1}，那么下列结论成立的是________．(填序号) (1)0⊆P ；(2){0}∈P ；(3)∅∈P ；(4){0}⊆P .【解析】元素与集合之间的关系是从属关系，用符号∈或∉表示，故(1)(2)(3)不对，又0∈P ，所以{0}⊆P .【答案】 (4)3．设集合B ＝{a 1，a 2，…，a n }，J ＝{b 1，b 2，…，b m }，定义集合B⊕J ＝{(a ，b )|a ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，b ＝b 1＋b 2＋…＋b m }，已知B ＝{0,1,2}，J ＝{2,5,8}，则B ⊕J 的子集为________．【解析】因为根据新定义可知，0＋1＋2＝3,2＋5＋8＝15，故B ⊕J 的子集为∅，{(3,15)}．【答案】 ∅，{(3,15)}4．若函数f (x )＝错误!的定义域为A ，g (x )＝错误!的定义域为B ，则∁R (A ∪B )＝________. 【解析】由题意知，⎩⎨⎧x －1>0，2－x>0⇒1<x <2.∴A ＝(1,2)．错误!⇒x ≤0.∴B ＝(－∞，0]， A ∪B ＝(－∞，0]∪(1,2)， ∴∁R (A ∪B )＝(0,1]∪[2，＋∞)．【答案】 (0,1]∪[2，＋∞)5．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a ＋b 的值为________．【解析】设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0，f (－1)＝1>0，所以a ＝－2，b ＝－1，则a ＋b ＝－3.【答案】－36．已知函数y ＝g (x )与y ＝log ax 互为反函数，f(x )＝g (3x －2)＋2，则f(x )的图象恒过定点________．【解析】由题知g (x )＝a x ，∴f (x )＝a 3x －2＋2，由3x －2＝0，得x ＝23，故函数f (x )＝a 3x －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，37．已知函数f(x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f(x )在(－5，－2)上是________．(填序号)①增函数；②减函数；③非单调函数；④可能是增函数，也可能是减函数．【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴m ＝0，即f (x )＝－x 2＋3在(－5，－2)上是增函数．【答案】 ① 8．已知函数f(x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a ＝________.【解析】依题意，函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性，因此a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.【答案】 29．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1，x≤0，2x ，x>0，若f (x )＝10，则x ＝________.【解析】当x ≤0时，令x 2＋1＝10，解得x ＝－3或x ＝3(舍去)；当x >0时，令2x ＝10，解得x ＝5.综上，x ＝－3或x ＝5. 【答案】－3或510．若y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log2 13＝________.【解析】 ∵f (x )是奇函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log2 13＝f (－log 2 3)＝－f (log 2 3)．又log 2 3>0，且x >0时，f (x )＝2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log2 13＝－4.【答案】－411．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝错误!则f (3)的值为________．【解析】 ∵3>0，且x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，所以f (3)＝－f (0)，又∵x ≤0时，f (x )＝log 2 (4－x )，∴f (3)＝－f (0)＝－log 2 (4－0)＝－2.【答案】－212．函数y ＝f (x )的图象如图1所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是________．(填序号)图1【解析】设y ＝log 12u ，u ＝f (x )，所以根据外层函数是单调减函数，所以看函数u ＝f (x )的单调性，在(0,1)上u ＝f (x )为减函数，所以整体是增函数，u >1，所以函数值小于0，在(1,2)上u ＝f (x )为增函数，所以整体是减函数，u >1，所以函数值小于0，所以选③.【答案】 ③13．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.【解析】 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＝错误!∴画图象可知－1≤m <0. 【答案】 [－1,0) 14．已知f(x )＝x 2－2ax ＋2(a ≤－1)，若当x∈[－1，＋∞)时，f(x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】函数f (x )的对称轴为直线x ＝a ，当a ≤－1，x ∈[－1，＋∞)时， f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .又f (x )≥a 恒成立，所以f (x )min ≥a ，即3＋2a ≥a ，解得a ≥－3. 所以－3≤a ≤－1. 【答案】 [－3，－1] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log2 3＋23log2 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2log3 2＋32log3 2＋log3 2＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5＝53log 2 3·92log 3 2＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝152＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＝152＋lg 2＋lg 5＝152＋1＝172.16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2 x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2 x >1}＝{x |x >2}，A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．17．(本小题满分14分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元时，甲、乙两种商品可分别获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线P 1：y 1＝ax n ，P 2：y 2＝bx ＋c 如图2所示．图2(1)求函数y 1，y 2的解析式；(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资？【解】由题图知P 1：y 1＝ax n过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 54＝a·1n ，52＝a·4n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝54，n ＝12，∴y 1＝54x ，x ∈[0，＋∞)．P 2：y 2＝bx ＋c 过点(0,0)，(4,1)，∴⎩⎨⎧0＝0＋c ，1＝4b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝14，∴y 2＝14x ，x ∈[0，＋∞)． (2)设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x )万元，则y ＝54x ＋14(10－x )＝－14x ＋54 x ＋52＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋6516(0≤x ≤10)，当且仅当x ＝52即x ＝254＝6.25时，y max ＝6516，此时投资乙商品为10－x ＝10－6.25＝3.75万元，故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润． 18．(本小题满分16分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x )＝a x －1.其中a ＞0且a ≠1.(1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)解关于x 的不等式－1＜f (x －1)＜4，结果用集合或区间表示．【解】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)，即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (－x )＝a －x －1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－a －x ＋1(x ＜0)． ∴所求的解析式为 f (x )＝错误! (3)不等式等价于⎩⎨⎧x －1＜0，－1＜－a －x ＋1＋1＜4，或⎩⎨⎧x －1≥0，－1＜ax －1－1＜4，即⎩⎨⎧ x －1＜0，－3＜a －x ＋1＜2或⎩⎨⎧x －1≥0，0＜ax －1＜5. 当a ＞1时，有⎩⎨⎧x ＜1，x ＞1－loga2或⎩⎨⎧x≥1，x ＜1＋loga5，注意此时log a 2＞0，log a 5＞0，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)．同理可得，当0＜a ＜1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)；当0＜a ＜1时，不等式的解集为R .19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)， (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．【解】 (1)函数f (x )有意义，则a x －1>0，当a >1时，由a x －1>0，解得x >0；当0<a <1时，由a x －1>0，解得x <0. ∴当a >1时，函数的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，函数的定义域为(－∞，0)．由函数单调性定义知：当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上是单调递增的.20．(本小题满分16分)设函数y ＝f (x )是定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，且当x >0时，f (x )>0.(1)求f (0)的值； (2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围．【解】 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是R 上的奇函数． (3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则x 2－x 1>0， ∴f (x 2)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)>0.∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2.∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )] ＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，得2x ＋2<23，解得x <－23. 故x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.。

新人教A版必修12021学年高中数学模块综合评估测评含解析

模块综合评估时间：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合M ＝{x|x<3}，N ＝{x|log 2x>1}，则M ∩N 等于( D ) A ．∅ B ．{x|0<x<3} C ．{x|1<x<3} D ．{x|2<x<3}解析：N ＝{x|x>2}，∴用数轴表示集合可得M ∩N ＝{x|2<x<3}，选D .2．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x<2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f[f(2)]等于( C ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：∵f(2)＝log 3(22－1)＝1， ∴f[f(2)]＝f(1)＝2e 1－1＝2.3．与函数y ＝10lg (x －1)相等的函数是( C ) A ．y ＝x －1B ．y ＝|x －1|C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x －12D ．y ＝x 2－1x ＋1解析：y ＝10lg (x －1)＝x －1(x>1)，故选C . 4．函数y ＝ln (2x －1)2－x的定义域为( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(－∞，2)解析：要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x>0，解得12<x<2，即函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，故选B .5．已知函数f(x)＝m＋log2x2的定义域是[1,2]，且f(x)≤4，则实数m的取值范围是(A)A．(－∞，2] B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)解析：本题考查函数的定义域、函数的单调性及参数取值范围的探求．因为f(x)＝m＋2log2x在[1,2]是增函数，且由f(x)≤4，得f(2)＝m＋2≤4，得m≤2，故选A.6．已知函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则以下结论正确的是(D)A．函数|f(x)|为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增B．函数|f(x)|为奇函数，且在(－∞，0)上单调递增C．函数f(|x|)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增D．函数f(|x|)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增解析：函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，不妨令f(x)＝x，则|f(x)|＝|x|，f(|x|)＝|x|；∴函数|f(x)|为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，∴选项A，B错误；函数f(|x|)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，∴选项C错误、D正确．故选D.7．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b 为常数)，则f(－1)＝(A)A．－3 B．－1C．1 D．3解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，∴20＋b＝0，b＝－1.当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1.∴f(1)＝21＋2×1－1＝3.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.8．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( B )解析：由f (x )＝lg(|x |－1)，知x >1或x <－1.排除C ，D. 当x >1时，f (x )＝lg(x －1)在区间(1，＋∞)上为增函数．故选B. 9．函数y ＝x 2－3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( C )A ．1.55B ．1.65C ．1.75D ．1.85解析：经计算知函数零点的近似值可取为1.75.10．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( C )A ．125B ．100C ．75D ．50解析：由已知得49a ＝a ·e －50k ，即e －50k＝49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232.∴827a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233·a ＝(e －50k )32·a ＝e －75k ·a ， ∴t ＝75.11．设函数F (x )＝f (x )－1f (x )，其中x －log 2f (x )＝0，则函数F (x )是( A )A ．奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数B ．奇函数且在(－∞，＋∞)上是减函数C ．偶函数且在(－∞，＋∞)上是增函数D ．偶函数且在(－∞，＋∞)上是减函数解析：由x －log 2f (x )＝0，得f (x )＝2x ， ∴F (x )＝2x－12x ＝2x －2－x .∴F (－x )＝2－x －2x ＝－F (x )，∴F (x )为奇函数，易知F (x )＝2x －2－x在(－∞，＋∞)上是增函数．12．已知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x ＋a ，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，则实数a 的取值范围是( D )A ．a <0B ．a ≤0C ．a ≤1D ．a ≤0或a ＝1解析：由于f (x )为奇函数，且y ＝x 是奇函数，所以g (x )＝f (x )－x 也应为奇函数，所以由函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，可得两零点必定分别在(－∞，0)和(0，＋∞)上，由此得到函数g (x )＝x 2－2x ＋a 在(0，＋∞)上仅有一个零点，即函数y ＝－(x －1)2＋1与直线y ＝a 在(0，＋∞)上仅有一个公共点，数形结合易知应为a ≤0或a ＝1，选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝－3.解析：∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}． ∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴m ＝－3.14．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，则实数m 的取值是0或13.解析：由题意得m ＝0或Δ＝4－12m ＝0，即m ＝0或m ＝13.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围为(0,1)．解析：如图，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，作出直线y ＝m .由图可知，该函数的图象与直线y ＝m 有三个交点时，需m ∈(0,1)，此时函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点．16．下列说法中：①y ＝a x ＋1(x ∈R )的图象可以由y ＝a x 的图象平移得到(a >0，且a ≠1)；②y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称； ③方程log 5(2x ＋1)＝log 5(x 2－2)的解集是{－1,3}； ④函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )为奇函数．正确的是①④.解析：将函数y ＝a x 的图象向左平移1个单位即得函数y ＝a x ＋1的图象，故①正确；y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称，故②错；当x ＝－1时，log 5(x 2－2)无意义，故③错；由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，∴函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是奇函数，故④正确．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设U ＝R ，A ＝{x |2x －3≤1}，B ＝{x |2<x <5}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}(a 为实数)．(1)求A ∩B ；(2)若B ∪C ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)∵2x －3≤1，∴x ≤3. ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}． (2)由B ∪C ＝B ，得C ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a ＋1<5，即2<a <4. 18．(12分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的表达式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．解：(1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2. 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝x 2＋2x －2.又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2， x <0，0， x ＝0，－x 2＋2x ＋2， x >0.(2)先画出y ＝f (x )(x >0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x <0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．19．(12分)已知函数f (x )＝2x 2＋2x ＋a (－2≤x ≤2)． (1)写出函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值为64，求f (x )的最小值．解：(1)f (x )＝2(x ＋1)2＋a －1(－2≤x ≤2)， ∴在[－2，－1]上，f (x )为减函数；在[－1,2]上，f (x )为增函数．即f (x )的减区间是[－2，－1]，f (x )的增区间是[－1,2]． (2)设U (x )＝(x ＋1)2＋a －1(－2≤x ≤2)，则U (x )的最大值为U (2)＝8＋a ，最小值为U (－1)＝a －1.故f (x )的最大值为f (2)＝28＋a ，最小值为f (－1)＝2a －1. ∵28＋a ＝64， ∴a ＝－2.∴f (x )的最小值为f (－1)＝2－2－1＝18.20．(12分)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n (m ，n ∈R ，m >0)的图象关于原点对称．(1)求m ，n 的值；(2)若函数h (x )＝f (2x)－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2x ＋1－2x在(0,1)内存在零点，求实数b的取值范围．解：(1)函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n (m ，n ∈R ，m >0)的图象关于原点对称，所以f (－x )＋f (x )＝0，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－mx －x ＋1＋n ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫－mx －x ＋1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n ＝1，即[(m ＋n )2－1]x 2＋1－n 2x 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－n 2＝0，(m ＋n )2－1＝0，m >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－1，m ＝2.(2)由h (x )＝f (2x)－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2x ＋1－2x ＝lg 2x －12x ＋1－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2x ＋1－2x ＝lg 2x －1b －(2x )2－2x ，由题设知h (x )＝0在(0,1)内有解，即方程2x－1＝b －(2x )2－2x 在(0,1)内有解．b ＝(2x )2＋2x ＋1－1＝(2x ＋1)2－2在(0,1)内递增，得21时，f (x )<0.(1)求证：1是函数f (x )的零点； (2)求证：f (x )是(0，＋∞)上的减函数； (3)当f (2)＝－12时，解不等式f (ax ＋4)>－1.解：(1)证明：对于任意的正实数m ，n 都有f (mn )＝f (m )＋f (n )成立，所以令m ＝n ＝1，则f (1)＝2f (1)．∴f (1)＝0，即1是函数f (x )的零点． (2)证明：设0<x 1<x 2， ∵f (mn )＝f (m )＋f (n )， ∴f (mn )－f (m )＝f (n )． ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因0<x 1<x 2，则x 2x 1>1.而当x >1时，f (x )<0，从而f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )在(0，＋∞)上是减函数． (3)因为f (4)＝f (2)＋f (2)＝－1，所以不等式f (ax ＋4)>－1可以转化为f (ax ＋4)>f (4)．因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<ax ＋4<4. 当a ＝0时，解集为∅；当a >0时，－4<ax <0，即－4a <x <0，解集为{x |－4a <x <0}；当a <0时，－4<ax <0，即0<x <－4a ，解集为{x |0<x <－4a }．22.(12分)已知指数函数y ＝g (x )满足：g (3)＝8，定义域为R 的函数f (x )＝1－g (x )m ＋2g (x )是奇函数．(1)确定y ＝f (x )和y ＝g (x )的解析式； (2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)若对于任意x ∈[－5，－1]，都有f (1－x )＋f (1－2x )>0成立，求x 的取值范围．解：(1)设g (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则a 3＝8， ∴a ＝2.∴g (x )＝2x .∵f (x )＝1－2x2x ＋1＋m.又f (－1)＝－f (1)，∴1－12m ＋1＝－1－24＋m ⇒m ＝2；经检验，满足题意． ∴f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1.f (x )在定义域R 上是减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈R ，设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 1＋1)(2x 2＋1). ∵函数y ＝2x 在R 上是增函数，且x 1<x 2， ∴2x 1－2x 2<0，又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，从而由不等式f (1－x )＋f (1－2x )>0，得f (1－x )>－f (1－2x )，即f (1－x )>f (2x －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x <2x －1，－5≤1－x ≤－1，－5≤1－2x ≤－1，解得2≤x ≤3.故x 的取值范围是[2,3]．。

新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析

人教B 选择性必修第一册综合测验第一章空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin ,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。

20192020学年人教版A版高中数学必修一模块综合检测一Word版含解析

模块综合检测〔一〕(时间120 分钟，总分值150 分)一、选择题(本大题共12小题，每题4分，共48分)2＋1，x∈A}，那么A∩B为( ) 1．会集A＝{x |y＝1－x2，x∈Z} ，B＝{ y|y＝xA．?B．{1}C．[0，＋∞) D．{(0,1)}剖析：选 B 由1－x2≥0 得，－1≤x≤1，∵x∈Z ，∴A＝{－1,0,1}．当x∈A 时，y＝x2＋1∈{2,1}，即B＝{1,2}，∴A∩B＝{1}．x＋3x的零点所在的一个区间是( )2．函数f(x)＝2A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)剖析：选 B ∵f (x)＝2x＋3x，∴f(－1)＝－5<0，f(0)＝1>0，应选B.23．假设函数f(x)＝错误!那么f(log43)＝( )1 3 A.1 4 B.C．3 D．4剖析：选 C ∵log43∈(0,1)，∴f(log43)＝4 log 3 ＝3，应选 C.44.高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面以以下图，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，假设鱼缸水深为h时水的体积为v，那么函数v＝f(h)的大体图象是( )剖析：选 B 水流速度恒定，开始鱼缸中水的高度下降快，逐渐越来越慢，到达中间，尔后高度下降又越来越快，故消除选项A，C，D，选 B.5．实数a＝2，b＝log 2，c＝( 2)的大小关系正确的选项是( ) A．a<c<b B．a<b<cC．b<a<c D．b<c<a剖析：选 C 依照指数函数和对数函数的性质，b＝log 20.2<0< a＝2<1< c＝( 2).6．设α∈{－1,1，12，3}，那么使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为( )α的定义域为R且为奇函数的所有α的值为( )A．1,3 B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3－1＝1剖析：选 A 当α＝－1 时，y＝x ，定义域不是R；x当α＝1,3 时，满足题意；当α＝12时，定义域为[0，＋∞)．7．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，假设f(a)≤f(2)，那么实数a的取值范围是( ) A．(－∞，2]B．[－2，＋∞)C．[－2,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)剖析：选 D ∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f (x)在[0，＋∞)上是减函数，由f( a)≤f(2)，得f(| a|)≤f(2)．∴|a|≥2，得a≤－ 2 或a≥2.8．函数f(x)＝4x＋ 1的图象( ) 2xA．关于原点对称B．关于y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称剖析：选 D ∵f(x)＝4x＋ 1＝2x＋2－x，x＋2－x，2x∴f(－x)＝ 2－x＋2x＝f(x)．∴f(x)为偶函数．1 9．函数f(x)＝log x，那么方程2 12|x |＝|f(x)|的实根个数是( )A．1 B． 2 C．3 D．2 006剖析：选 B 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝12 |x |及y＝|log12x|的图象如图，易得B.10．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递加，且f 13 ＝0，那么满足f(log18x)＞0的x的取值范围是( )12A．(0，＋∞) B. 0，∪(2，＋∞)18 C. 0，∪12，2 D. 0，12剖析：选B 由题意知f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，所以f(|log18 x|)＞f13 ，由于f(x)在[0，＋∞)上递加，所以|log18 x|＞1 1，解得0＜x＜或x＞2.3 211．函数f(x)＝|log3x|，0＜x≤9，－x＋11，x＞9，假设a，b，c均不相等，且f(a)＝f( b)＝f( c)，那么abc的取值范围是( )A．(0,9) B．(2,9)C．(9,11) D．(2,11)剖析：选C 作出f(x)的图象，可知f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,9)上是增函数，在(9，＋∞)上是减函数．∵a，b，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f( c)，且f(1)＝0，∴不如设a＜b＜c，那么0＜a＜1＜b＜9＜c＜11，又∵f(a)＝f (b)，∴－log3a＝log3b，∴ab＝1，∴abc＝c∈(9,11)，应选C.12．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采用“满一百送二十，连环送〞的酬宾促销方式，即顾客在店内花销满100元(能够是现金，也能够是奖励券或二者合计)，就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券；满300元，就送60元奖励券⋯⋯当日花销最多的一位顾客共花现金70040元，若是依照酬宾促销方式，他最多能获取优惠( )A．17 000元B．17 540元C．17 500元D．17 580元剖析：选C这位顾客花的70 000 元可得奖励券700×20＝14 000(元)，只有这位顾客连续把奖励券消费掉，才能获取最多优惠，当他把14 000 元奖励券花销掉可得140×20＝2 800(元)奖励券，再花销又可获取28×20＝560(元)奖励券，560 元花销再加上先前70 040 中的40 元共花销600 元应得奖励券6×20＝120(元)，120 元奖励券花销时又得20 元奖励券．所以他总合会获取14 000＋2 800＋560＋120＋20＝17 500(元)优惠．二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分)2＋3，g(x＋1)＝f(x)，那么g(3)＝________.13．设f( x)＝2x剖析：∵g(x＋1)＝f(x)＝2x2＋3∴g(3)＝f(2)＝2×22＋3＝11.答案：111，那么f(x)＝________，g(x)＝________. 14．设f( x)为奇函数，g( x)为偶函数，又f(x)＋g(x)＝x－ 1剖析：∵f( x)为奇函数，∴f(－x)＝－f( x)，g(x)为偶函数，∴g(－x)＝g(x)．又∵f(x)＋g(x )＝1，①x－1∴f(－x)＋g(－x)＝1－x－ 1即－f(x)＋g(x )＝错误!②1①＋②得2g(x)＝－ x－ 11 2＝，x＋1 x2－1∴g(x )＝1. x2－1①－②得2f(x)＝1 1＋＝x－1 x＋12x，x2－1∴f(x)＝x. x2－1答案：xx2－11x2－115．设P，Q是两个非空会集，定义会集间的一种运算“⊙〞：P ⊙Q＝{ x|x ∈P ∪Q，且x ?x，x>0}，那么P⊙Q＝________.P∩Q}，若是P＝{ y|y＝4－x2}，Q＝{ y|y＝ 4剖析：P＝[0,2]，Q＝(1，＋∞)，∴P⊙Q＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：[0,1]∪(2，＋∞)16．函数f (x)＝2x＋1，x<1，x2＋ax，x≥1，假设f( f(0))＝4a，那么实数a等于________．剖析：∵0<1，∴f(0)＝20＋1＝2. ∵2>1，∴f(2)＝4＋2a，∴f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.答案： 217.如图是偶函数y＝f(x)的局部图象，依照图象所给信息，有以下结论：①函数必然有最小值；②f(－1)－f(2)>0；③f(－1)－f(2)＝0；④f(－1)－f(2)<0；⑤f(－1)＋f(2)>0.其中正确的结论有________(填序号)．剖析：由于所给图象为函数的局部图象，所以不能够确定函数必然有最小值；由图象知函数y＝f(x)在区间[1,3]上是增函数，那么f(1)－f(2)<0.又∵函数y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，∴f(－1)－f(2)<0.∵f(－1)＝f(1)>0，f(2)>0 ，∴f(－1)＋f(2)>0.答案：④⑤x－b)( b为常数)，假设x ∈18．函数f (x)＝lg(2[1，＋∞)时，f (x)≥0恒成立，那么b的取值范围是________．剖析：∵要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)上，恒有f(x)≥0，∴有2x－b≥1 在x∈[1，＋∞)上恒成立，即 2x≥b＋1 恒成立．又∵指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数．∴只要2≥b＋1 成马上可，解得b≤1.答案：(－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．)19．(12分)全集为实数集R，会集A＝{ x|y＝x－1＋3－x}，B＝{ x|log2x＞1}．(1)求A∩B，(?R B)∪A；(2)会集C＝{ x|1＜x＜a}，假设C?A，求实数a的取值范围．解：(1)由得A＝{ x|1≤x≤3}，B＝{ x|log2x＞1}＝{ x|x＞2}，所以A∩B＝{x|2＜x≤3}，(?R B)∪A＝{ x|x≤2}∪{ x|1≤x≤3}＝{ x|x≤3}．(2)①当a≤1 时，C＝?，此时C?A；②当a＞1 时，假设C?A，那么1＜a≤3.综合①②，可得 a 的取值范围是(－∞，3]．x＋2，x≤－1，x2，－1<x<2，20．(12分)函数f(x)＝2x，x≥2.(1)求f[ f( 3)]的值；(2)假设f( a)＝3，求a的值．解：(1)∵－1< 3<2，∴f( 3)＝( 3) 2＝3.而3≥2，∴f[f ( 3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a≤－1 时，f(a)＝a＋2，又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；当－1<a<2 时，f(a)＝a2，又f(a)＝3，∴a＝±3，其中负值舍去，∴a＝3；当a≥2 时，f(a)＝2a，又f(a)＝3，3∴a＝(舍去)．综上所述，a＝3.21＋2x＋4xa，且当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求实数a的取值范围．21．(12分)设f( x)＝lg3解：当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，须1＋2x＋4x a>0 恒成立，也就是a>－x＋4x a>0 恒成立，也就是a>－12x＋14x (x≤1)恒成立．令u(x)＝－12 x＋14 x .∵u( x)＝－12x＋14x 在(－∞，1]上是增函数，∴当x＝1 时，[u(x)]max＝－3 4.3于是可知，当a>－时，满足题意，43即 a 的取值范围为－，＋∞.422．(12分)设函数f(x)的定义域为(－3,3)，满足f(－x)＝－f(x)，且对任意x，y，都有f(x)－f(y)＝f (x－y)，当x<0时，f(x)>0，f(1)＝－2.(1)求f(2)的值；(2)判断f(x)的单调性，并证明；(3)假设函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)，求不等式g(x)≤0的解集．解：(1)在f(x)－f(y)＝f (x－y)中，令x＝2，y＝1，代入得：f(2)－f (1)＝f(1)，所以f(2)＝2f(1) ＝－4.(2) f(x)在(－3,3)上单调递减．证明以下：设－3< x1<x2<3，那么x1－x2<0，所以f( x1)－f(x2)＝f(x1－x2)>0，即f( x1)> f(x2)，所以f(x)在(－3,3)上单调递减．(3)由g(x)≤0 得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，所以f( x－1)≤－f(3－2x)．又f( x)满足f(－x)＝－f(x)，所以f( x－1)≤f(2x－3)，又f( x)在(－3,3)上单调递减，－3<x－1<3，－3<2x－3<3，所以解得0<x≤2，x－1≥2－x 3，故不等式g(x)≤0 的解集是(0,2]．23．(12分)设函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f( x＋y)＝f(x)＋f(y)，f 13 ＝1，当x>0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)若是f(x)＋f(2＋x)<2，求x的取值范围．解：(1)令x＝y＝0，那么f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.(2)令y＝－x，得f(0) ＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是R 上的奇函数．(3)任取x1，x2∈R，x1<x2，那么x2－x1>0.∵f(x2)－f(x1)＝f( x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f( x1)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，∴f(x1)< f(x2)．故f( x)是R 上的增函数．∵ f 13 ＝1，∴ f 23 ＝ f13＋13 ＝f13 ＋f13 ＝2，∴f(x)＋f(2＋x)＝f[x＋(2＋x)]＝f(2x＋2)< f 23 .又由y＝f(x)是定义在R 上的增函数，2 2得2x＋2< ，解之得x<－.3 3故x∈－∞，－2 3 .24．(12分)为了保护环境，睁开低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转变成一种可利用的产品．该单位每个月办理二氧化碳最少为400吨，最多为600吨，月办理本钱y(元)与月办理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝122－200x＋80x000，且每办理1吨二氧化碳获取可利用的化工产品价值为100元．(1)假设该单位每个月本钱支出不高出105 000元，求月办理量x的取值范围．(2)该单位每个月能否盈利？若是盈利，求出最大利润；若是不盈利，那么国家最少需要补贴多少元才能使该单位不损失？解：(1)设月办理量为x 吨，那么每个月办理x 吨二氧化碳可获化工产品价值为100x 元，那么每个月本钱支出 f (x) 为12－200x＋80 000－100x，x∈[400,600]．f(x)＝2x假设f( x)≤105 000，即122－300x－25 000≤0，x即(x－300)2≤140 000，∴300－100 14≤x≤100 14＋300.∵100 14＋300≈674>600，且x∈[400,600]，∴该单位每个月本钱支出不高出105 000 元时，月办理量x 的取值范围是{x|400≤x≤600}．(2) f(x)＝122－300x＋80 000 x＝12－600x＋90 000)＋35 000 (x2＝12＋35 000，x∈[400,600]，(x－300)2∵12＋35 000>0，(x－300)2∴该单位不盈利．由二次函数性质适合x＝400 时，f( x)获取最小值．f(x)min＝12＋35 000＝40 000. 2(400－300)∴国家最少需要补贴40 000 元才能使该单位不损失．。

2020_2021学年高中数学模块综合测评含解析新人教A版必修1

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )A ．A ⊆BB ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}D [A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D.]2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(2x －1)，x ≥2，则f (f (2))等于( ) A ．0B ．1C ．2D ．3C [∵f (2)＝log 3(22－1)＝1，∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.] 3．函数f (x )＝2x ＋x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)B [∵f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝20＝1>0，且f (x )单调递增，故零点在(－1,0)内，选B.]4．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )A B C DD [函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.]5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝12xD ．f (x )＝x 2－2x ＋1B [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，故选B.]6．若10m ＝2，10n ＝6，则n －2m ＝( )A ．－lg 2B ．lg 2C ．－lg 3D ．lg 3D [∵10m ＝2，10n ＝6，∴m ＝lg 2，n ＝lg 6，∴n －2m ＝lg 6－2lg 2＝lg 6－lg 2＝lg 62＝lg 3，故选D.] 7．设f (x )＝ax 2＋bx ＋2是定义在[1＋a,2]上的偶函数，则(－3)b ＋3－1－a 的值为( )A.109B.19 C ．10 D ．不能确定 A [由偶函数的定义知，1＋a ＝－2，即a ＝－3.由f (x )＝f (－x )恒成立，得b ＝0.所以(－3)b ＋3－1－a ＝(－3)0＋3－1－(－3)＝109.故选A.] 8．设x >y >1,0<a <1，则下列关系正确的是( )A ．x －a >y －aB ．ax <ayC ．a x <a yD ．log a x >log a yC [对于A ，由0<a <1，可知－1<－a <0，因此函数y ＝x －a 为减函数，所以由x >y >1得到x －a <y －a ，A 不正确；对于B ，由x >y >1,0<a <1，得ax >ay ，B 不正确；对于C 、D ，由于0<a <1，所以函数y ＝a x 以及y ＝log a x 均为减函数，所以由x >y >1可得a x <a y 及log a x <log a y ，所以C 正确，D 不正确．所以选C.]9．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( ) A ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x )C [∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C.] 10．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的零点时，其参考数据如表所示．A ．1.55B ．1.56C ．1.57D ．1.58B [由表可知，f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.002 9<0，所以函数f (x )＝3x －x －4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上，故函数的一个零点的近似值(精确到0.01)为1.56.]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ，x ≤2，log a (x －1)＋3，x >2是R 上的单调增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1，3)B ．(5－1，3)C ．[3－3，2)D ．(1,3－3)C [若函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ，x ≤2log a (x －1)＋3，x >2是R 上的单调增函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >1，a >1，(3－a )2≤log a (2－1)＋3，解得3－3≤a <2.故选C.]12．若函数f (x )＝a x －x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)C [函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象的交点的个数，如图，a >1时，两函数图象有两个交点；0<a <1时，两函数图象有一个交点．故a >1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设A ∪{－1,1}＝{－1,1}，则满足条件的集合A 共有________个．4 [∵A ∪{－1,1}＝{－1,1}，∴A ⊆{－1,1}，满足条件的集合A 为：∅，{－1}，{1}，{－1,1}，共4个．]14．计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝________. 13 [lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278 ＝lg ⎝⎛⎭⎫12×85×252－2lg 33lg 2×3lg 23lg 3＝lg 10－23＝1－23＝13.] 15．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上是增函数，则实数m 的最小值等于________．1 [由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的对称轴为x ＝1，∴a ＝1，∴f (x )＝2|x －1|，又∵f (x )在[1，＋∞)上是单调递增的，∴m ≥1.]16．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．(－2,2) [因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，则f (x )<0的x 的取值范围是(－2,2)．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．[解] (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x >1}＝{x |x >2}．A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ；②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点；(2)若f (x )有零点，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1.令f (x )＝0，即2·(2x )2－2x －1＝0，解得2x ＝1或2x ＝－12(舍去)．所以x ＝0，所以函数f (x )的零点为x ＝0.(2)若f (x )有零点，则方程2a ·4x －2x －1＝0有解，于是2a ＝2x ＋14x ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋122－14.因为⎝⎛⎭⎫12x >0，所以2a >14－14＝0，即a >0. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2x. (1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．[解] (1)由已知得g (x )＝1－a －2x， ∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2－x＝－⎝⎛⎭⎫1－a －2x ，解得a ＝1. (2)函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 1－⎝⎛⎭⎫1－2x 2＝2(x 1－x 2)x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，从而2(x 1－x 2)x 1x 2＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝2－x 2＋x ＋2x －2的定义域为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求函数f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x 的最大值．[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (2－x )(x ＋2)≥0，2x －2≥0，x ≠－2.解得1≤x ≤2，故M ＝{x |1≤x ≤2}．(2)f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x ，令t ＝log 2x ，t ∈[0,1]，可得g (t )＝2t 2＋at ，t ∈[0,1]，其对称轴为直线t ＝－a 4，当－a 4≤12，即a ≥－2时，g (t )max ＝g (1)＝2＋a ，当－a 4>12，即a <－2时，g (t )max ＝g (0)＝0. 综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ≥－2，0，a <－2.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由；(3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )＞0.[解] (1)要使函数有意义，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1>0，1－2x >0，解得－12<x <12. ∴函数F (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <12. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2x ＋1)－log a (1－2x )，F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－log a (1＋2x )＝－F (x )．∴F (x )为奇函数．(3)∵f (x )－g (x )＞0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )＞0，即log a (2x ＋1)＞log a (1－2x )．①当0＜a ＜1时，有0<2x ＋1<1－2x ，∴－12<x <0. ②当a ＞1时，有2x ＋1>1－2x >0，∴0<x <12. 综上所述，当0＜a ＜1时，有x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0，使得f (x )－g (x )＞0；当a ＞1时，有x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，使得f (x )－g (x )＞0. 22．(本小题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数解析式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大利益，其最大利益是多少万元？[解] (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，所以f (1)＝18，得k 1＝18，g (1)＝12，得k 2＝12，即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资债券类产品为x 万元，则投资股票类产品为(20－x )万元，依题意得y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，y max ＝3万元．则投资债券类产品16万元，股票类产品4万元，能使投资获得最大利益，其最大收益是3万元．。

高一数学必修模块1综合考试卷(人教A版)附答案.doc

一、选择题（每小题5分，共60分）1.设集合A 二{3的倍数}, B 二{2的倍数}・则AUB 是（）.A. {偶数}B. {被2或3整除的数}C. {6的倍数}D. {2和3的公倍数}2•若 U 二 R,集合 A 二{x I xNl,或 x<-l},B 二{x I xW-l}・则 BQ （C L A ）为（）.A. 0B. {x | x<-l}C. {x | —lWx 〈l}D. {-1}3.已知集合A={x | aTWxWa+2}, B={x | 3<x<5}.则能使AoB 成立的实数a p 二 07. 若集合A 二{x | kx?+4x+4二0, XGR}只有一个元素.则集合A 中实系数k 的值为（）・A. 1B. 0C. 0或1D.以上答案都不对8. 已知集合A={x | -2<x<4） ,B={x | x^a}，若AGB 二0,且AUB 中不含元素6•则下列值中a 可能是（）.A. 4B. 5C. 6D. 7 9•已知集合A, B, C 满足A 尝古则下列各式中错误的是( ).A. (AUB^ CB. AAC $C. A (BPC) 隅(AUC) B的取值范圉是（A. {a I 3<aW4} 4. 满足条件MU {2, 3} = {1, 2, 3}的集合M 的个数是（A. 1B. 25. 下列集合中，只有一个子集的集合是（ A. {x | x'WO} B. {x I x'WO}6•已知集合A 、B 、C 为非空集合，M 二AQC, A. 一定有 c n p=c B . 一定有 c n P =P)・ B. {a I C ・{a I 3<a<4}C. 3 )・C. {x | x 2<0} N=BAC, P=MU Nc. 一定有 cnp=cup )・ D. 0 D. 4 D. {x | x 3<0} ( )・ D.—定有CQ 10.设全集I 二{（x, y) I x, yWR},集合 M 二{(x, y) N 二{(x, y) | y Hx+1}・那么Ci (M UN)等于(A. 0B. {(2, 3)}D. {(x, y) | y 二x+1} ). C. (2, 3)11.已知1］二匕 A={x | x>3 V2 }, a=—— ・贝lj (2-V3 ).A. a c Ci AB. Ci AC. {a} G A C.A12 •设A,B非空集合，且A QB二0,若M二{A的子集},W二{x | x 15}・则（).A.MPW= 0B. APB^MUW c.Mnw={ 0 } D. AUB^MnW二、填空题(每小题4分，共16分)13•方程x2-3ax + 2a2=0 (aHO)的解集为______________________________ 。

2020-2021学年北师大版高中数学必修一模块综合测评(二)及答案解析

最新（新课标）北师大版高中数学必修一模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{y|y ＝2x}，P ＝{y|y ＝x －1}，则M ∩P ＝( ) A ．{y|y ＞1} B ．{y|y ≥1} C ．{y|y ＞0}D ．{y|y ≥0}【解析】 M ＝{y|y ＝2x }＝{y|y ＞0}， P ＝{y|y ＝x －1}＝{y|y ≥0}．故M ∩P ＝{y|y ＞0}．【答案】 C2．(2016·江西南昌二中高一期中)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，(x ≤1)，log 2x ，(x ＞1).则f(1)＋f(4)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 f(1)＋f(4)＝21＋1＋log 24＝5. 【答案】 A3.(2016·天津市南开大附中高一期中)已知幂函数y ＝f(x)的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f(4)的值为( )A ．16B ．2C.12D.116【解析】设幂函数为y ＝x α，∵幂函数y ＝f(x)的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，∴22＝2α，解得α＝－12.y ＝x －12.f(4)＝4－12＝12.故选C.【答案】 C4．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0或1D ．－1,0或1【解析】由题意可得，集合A 为单元素集，(1)当a ＝0时，A ＝{x|2x ＝0}＝{0}，此时集合A 的两个子集是{0}，∅， (2)当a ≠0时，则Δ＝0解得a ＝±1，当a ＝1时，集合A 的两个子集是{1}，∅，当a ＝－1，此时集合A 的两个子集是{－1}，∅. 综上所述，a 的取值为－1,0,1.故选D. 【答案】 D5．(2016·河南南阳市五校高一联考)下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f(x)＝x 2，g(x)＝(x)2 B ．f(x)＝1，g(x)＝x 2C ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，g(t)＝|t|D ．f(x)＝x ＋1，g(x)＝x 2－1x －1【解析】 A 选项中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同；B 选项中的两个函数的对应法则不一致；D 选项中的两个函数的定义域分别是R 和{x|x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C 选项中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g(x)＝|x|，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．故选C.【答案】 C6．(2016·山东滕州市高一期中)令a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【解析】 a ＝60.7＞60＝1，b ＝0.76＞0且b ＝0.76＜0.70＝1，c ＝log 0.76＜log 0.71＝0.【答案】 D7．(2016·湖南长沙一中高一期中)当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a－x与y ＝log a x 的图像( )A ． B.C ． D.【解析】 ∵函数y ＝a －x可化为y ＝(1a)x，其底数大于0小于1，是减函数，又y ＝log a x ，当a ＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A.【答案】 A8．设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x ，则满足f(x)＜0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】由题意f(x)的图像如图所示，故f(x)＜0的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．【答案】 D9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x|(0＜x ≤9)，－x ＋11(x ＞9)，若a ，b ，c 均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )【导学号：04100087】A ．(0,9)B ．(2,9)C ．(9,11)D ．(2,11)【解析】作出f(x)的图像：则log 3a ＝－log 3b ， ∴ab ＝1.设f(a)＝f(b)＝f(c)＝t ，则a ＝3－t ，b ＝3t ， c ＝11－t.由图可知0＜t ＜2， ∴abc ＝11－t ∈(9,11)．【答案】 C10．(2016·吉林延边州高一期末)函数f(x)＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则f(x)的定义域为( )A ．(－1,1)∪[2,4]B ．(0,1)∪[2,4]C ．[2,4]D ．(－∞，0)∪[1,2]【解析】设t ＝2x，则t ＞0，且y ＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34≥34.∵函数f(x)＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴函数y ＝t 2－3t ＋3的值域为[1,7]．由y ＝1得t ＝1或2，由y ＝7得t ＝4或－1(舍去)，则0＜t ≤1或2≤t ≤4，即0＜2x ≤1或2≤2x ≤4，解得x ＜0或1≤x ≤2， ∴f(x)的定义域是(－∞，0]∪[1,2]，故选D. 【答案】 D11．(2016·黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f(x)＝2x －P ·2－x ，则下列结论正确的是( )A ．P ＝1，f(x)为奇函数且为R 上的减函数B ．P ＝－1，f(x)为偶函数且为R 上的减函数C ．P ＝1，f(x)为奇函数且为R 上的增函数D ．P ＝－1，f(x)为偶函数且为R 上的增函数【解析】当P ＝1时，f(x)＝2x －2－x ，定义域为R 且f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∵2x 是R 上增函数，2－x 是R 的减函数，∴f(x)＝2x －2－x 为R 上的增函数．因此选项C 正确．当P ＝1时，f(x)＝2x ＋2－x ，定义域为R 且f(－x)＝2－x ＋2x ＝f(x)，∴f(x)为偶函数．根据1＜2，f(1)＜f(2)可知f(x)在R 上不是减函数；根据－2＜－1，f(－2)＞f(－1)可知f(x)在R 上不是增函数．因此选项B 、D 不正确．故选C.【答案】 C12．若关于x 的方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－a －2＝0有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－1,2]C ．(－2,1]D ．[－1,2)【解析】令f(x)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－2，∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|≤1，∴－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－2≤－1，则1≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22<4，故f(x)∈[－1,2)．由方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－a －2＝0有实数根，得a ∈[－1,2)．故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f(x)＝ax 2＋(b ＋13)x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a]，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵函数f(x)＝ax 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a]，由偶函数的定义域关于原点对称可得(a －1)＋2a ＝0，解得a ＝13，所以函数f(x)＝13x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3.由题意可得f(－x)＝f(x)恒成立，即13(－x)2＋(b＋13)(－x)＋3＝13x2＋⎝⎛⎭⎪⎫b＋13x＋3对任意的实数x都成立，所以有b＋13＝0，解得b＝－13，所以a＋b＝0.【答案】014．(2016·福建龙岩高一期末)函数f(x)＝log 12(x2－2x－3)的单调递增区间为________．【解析】函数f(x)的定义域为{x|x＞3或x＜－1}．令t＝x2－2x－3，则y＝log 1 2 t.因为y＝log 12t在(0，＋∞)单调递减，t＝x2－2x－3在(－∞，－1)单调递减，在(3，＋∞)单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(－∞，－1)．【答案】(－∞，－1)15．(2016·安徽合肥八中高一段考)将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________. 【导学号：04100088】【解析】设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r＝1－x 2π，∴S正＝(x4)2＝x216，S圆＝π·(1－x)24π2，∴S正＋S圆＝(π＋4)x2－8x＋416π(0＜x＜1)，∴当x＝4π＋4时有最小值．【答案】4π＋416．(2016·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一月考)已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，则不等式f(－1)＜f(ln x)的解集是________．【解析】由已知f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，在区间(0，＋∞)上是单调增函数，当ln x ＞0，f(1)＜f(ln x)，则1＜ln x ，有x ＞e ，当ln x ＜0，f(－1)＜f(ln x)，则－1＞ln x ，有0＜x ＜1e综上，不等式f(－1)＜f(ln x)的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·山东滕州市高一期中)计算下列各式的值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2 (2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72.【解】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫942－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322×12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝12.(2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.18．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2≤2x≤16，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | log 3x ＞1.(1)分别求A ∩B ，(∁R B)∪A ；(2)已知集合C ＝{x|1＜x ＜a}，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由已知得A ＝{x|1≤x ≤4}， B ＝{x|x ＞3}，∴A ∩B ＝{x|3＜x ≤4}，∴(∁R B)∪A ＝{x|x ≤3}∪{x|1≤x ≤4}＝{x|x ≤4}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，由C ⊆A 得1＜a ≤4. 综上，a 的取值范围为(－∞，4]．19．(本小题满分12分)(2016·河南许昌市四校高一联考)已知函数f(x)＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z)为偶函数，且f(3)＜f(5)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝log a [f(x)－ax](a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)∵f(x)为偶函数， ∴－2m 2＋m ＋3为偶数．又f(3)＜f(5)，∴3－2m 2＋m ＋3＜5－2m 2＋m ＋3，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫35－2m 2＋m ＋3＜1，∴－2m 2＋m ＋3＞0，∴－1＜m ＜32.又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1.当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数(舍去)；当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数，符合题意． ∴m ＝1，f(x)＝x 2.(2)由(1)知，g(x)＝log a [f(x)－ax]＝log a (x 2－ax)(a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数．令u(x)＝x 2－ax ，y ＝log a u ，①当a ＞1时，y ＝log a u 为增函数，只需u(x)＝x 2－ax 在区间[2,3]上为增函数，即⎩⎨⎧ a 2≤0，u (2)＝4－2a ＞0，1＜a ＜2；②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 为减函数，只需u(x)＝x 2－ax 在区间[2,3]上为减函数，即⎩⎨⎧a 2≥3，u (3)＝9－3a ＞0，a ∈∅，综上可知，a 的取值范围为(1,2)．20．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)设函数f(x)＝a x －a －x(a>0且a ≠1)，(1)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t 的取值范围；(2)若f(1)＝32，g(x)＝a 2x ＋a －2x －2mf(x)且g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．【解】 (1)f(x)＝a x －a －x (a>0且a ≠1)，∵f(1)<0，∴a －1a <0，又a>0，且a ≠1，∴0<a<1.∵a x 单调递减，a －x 单调递增，故f(x)在R 上单调递减．不等式化为f(x 2＋tx)<f(x －4)，∴x 2＋tx>x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t<5.(2)∵f(1)＝32，∴a －1a ＝32，2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g(x)＝22x ＋2－2x －2m(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m(2x －2－x )＋2. 令t ＝f(x)＝2x －2－x ，由(1)可知f(x)＝2x －2－x 为增函数．∵x ≥1，∴t ≥f(1)＝32，令h(t)＝t 2－2mt ＋2＝(t －m)2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥32.若m ≥32，当t ＝m 时，h(t)min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2.若m<32，当t ＝32时，h(t)min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去．综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2016·山东滕州市高一期中)设函数f(x)＝log 3(9x)·log 3(3x)，且19≤x ≤9.(1)求f(3)的值；(2)令t ＝log 3x ，将f(x)表示成以t 为自变量的函数，并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x 的值. 【导学号：04100089】【解】 (1)f(3)＝log 327·log 39＝3×2＝6.(2)因为t ＝log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴－2≤log 3x ≤2，即－2≤t ≤2.由f(x)＝(log 3x ＋2)·(log 3x ＋1)＝(log 3x)2＋3log 3x ＋2＝t 2＋3t ＋2. 令g(t)＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14，t ∈[－2,2]．①当t＝－32时，g(t)min＝－14，即log3x＝－32，则x＝3－32＝39，∴f(x)min ＝－14，此时x＝39；②当t＝2时，g(t)max ＝g(2)＝12，即log3x＝2，x＝9，∴f(x)max＝12，此时x＝9.22．(本小题满分12分)(2016·山东青州市高一期中)已知指数函数y＝g(x)满足：g(3)＝8，定义域为R的函数f(x)＝1－g(x)m＋2g(x)是奇函数．(1)确定y＝f(x)和y＝g(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若对于任意x∈[－5，－1]，都有f(1－x)＋f(1－2x)＞0成立，求x的取值范围．【解】(1)设g(x)＝a x(a＞0且a≠1)，则a3＝8，∴a＝2，∴g(x)＝2x.因为f(x)＝1－2x2x＋1＋m，又f(－1)＝－f(1)，∴1－12m＋1＝1－24＋m⇒m＝2，经检验，满足题意，所以f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1.(2)f(x)为减函数，证明如下：由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1.任取x1，x2∈R，设x1＜x2则f(x2)－f(x1)＝12x2＋1＝12x1＋1＝2x1－2x2(2x1＋1)(2x2＋1)，因为函数y＝2x在R上是增函数且x1＜x2，∴2x1－2x2＜0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0∴f(x 2)－f(x 1)＜0即f(x 2)＜f(x 1)， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，从而由不等式f(1－x)＋f(1－2x)＞0得 f(1－x)＞－f(1－2x)即f(1－x)＞f(2x －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜2x －1，－5≤1－x ≤－1，－5≤1－2x ≤－1，解得2≤x ≤3，即x 的取值范围是[2,3]．。

2019版高中数学人教A版必修1：模块综合检测含解析

1.A.{1,4}:由已知可得U={1,2,3,4,5},A ∪B={1,3,5},故∁U (A ∪B )={2,4}.:C2.函数y=-1+l ≥4)的值域是( )og 14x (xA.(-∞,-2]B.(-∞,0]C.[-2,+∞)D.[2,+∞):∵函数y=-1+l [4,+∞)上单调递减,og 14x 在≤-1+log 144=‒2,所求函数的值域为(-∞,-2].:A3.A.(-∞4.5.(12) B .(12,1) C .(1,32) D .(32,2):∵f(12)=e 12‒2<0,f (1)=e ‒1>0,·f (1)<0,∴函数f (x )=e x12)‒1x 的零点所在的区间是(12,1).:B6.设a=70.3,b=0.37,c=log 70.3,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a:∵a=70.3>1,0<b=0.37<1,c=log 70.3<0,7.A.f (∴f(x)的图象关于y轴对称.又当x<0时,y=f(x)是减函数,∴当x>0时,y=f(x)是增函数.∴当|x1|<|x2|时,f(|x1|)<f(|x2|),即f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0.答案:A8.已知一次函数f(x)=kx+b的图象过第一、第二、第三象限,且f(f(x))=9x+8,则f(2)等于( )A.-10B.-4C.2D.8解析:∵f(x)=kx+b,∴f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.又f(f(x))=9x+8,∴{k2=9,kb+b=8,解得{k=3,b=2或{k=-3,b=-4.∴f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.又f(x)的图象过第一、二、三象限,∴f(x)=3x+2,∴f(2)=8.答案:D9.已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1解析:由题图,可知函数f(x)在R上单调递增,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log a b),由题图可知-1<log a b<0,得a-1<b<1.综上,0<a-1<b<1,选A.答案:A10.给出下列集合A到集合B的几种对应:其中,是从A到B的映射的有( )A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④解析:根据映射的定义知,③中集合A中的元素a对应集合B中的两个元素x,y,则此对应不是映射;④中集合A中的元素b在集合B中没有对应元素,则此对应也不是映射.仅有①②符合映射的定义,故①②是映射.答案:A11.某企业去年销售收入1 000万元,年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元,则税率p%为( )A.10%B.12%C.25%D.40%解析:利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1 000×2%=180(万元),纳税180·p%万元,12.①② B.②③ C.③④ D.①④:分别画出它们的图象,可知函数y y=log 2x 满y=x 2与函数=x 与函数足f(x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2;函数满足f(x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2.:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若幂函数f (x )的图象过点(3,427),则f (x )的解析式是____________________.:设f (x )=x α,则由已知得3α=427=334,=3,∴f (x )=x 34.14.解析15.x<0时,f (x )=-1-ln(-x ).:-1-ln(-x )16.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,且函数ℎ(x )=f (x )+x ‒a 有且只有一个零点,则实数a 的取值范围是___________________.:由题意可画出函数f (x ),如图所示,函数h (x )=f (x )+x-a 有且只有一个零点,={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0的图象)的图象与y=a-x 的图象有且只有一个交点,显然当a>1时满足条件.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.18.(1)当若(∁R A )∩B=B ,求实数m 的取值范围.(1)1<x ≤3,即集合A=(1,3];由{x -1>0,3-x ≥0,得-4≤0,得2x ≤22,x ≤2,即集合B=(-∞,2].∩B=(1,2],A ∪B=(-∞,3].由(1)得∁R A={x|x>3,或x ≤1}.R A )∩B=B ,∴B ⊆∁R A.B=⌀,则m ≥0;B ≠⌀,则m<0,∴2x ≤-m.∴x ≤log 2(-m ).19.680(0≤x ≤210).(x ‒220)2+1f (x )在区间[0,210]上是增函数,所以当x=210时,f (x )有最大值680=1 660.故当年产量为210吨时,可获得最大利为‒15(210‒220)2+11 660万元.20.(12分)已知函数f (x )是定义在区间[-1,1]上的奇函数,若当x ,y ∈[-1,1],x+y ≠0时,有(x+y )·[f (x )+f (0.比较f(12)与f (13)的大小;判断f (x )的单调性,并加以证明;0≤x{-1≤x +12≤1,-1≤1-2x ≤1,x +12<1-2x ,解得<16.即不等式f (x +12)<f (1‒2x )的解集为[0,16).21.(12分)设f (x )=l .og 121-ax x-1为奇函数,a 为常数(1)求a 的值;证明f (x )在区间(1,+∞)内单调递增;若对于区间[3,4]上的每一个x 的值,不等式f (x )>+m 恒成立,求实数m 的取值范围.(12)x (1)∵f (-x )=-f (x ),<0,1)(x 2+1)0<<1,lo >0,(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)g 12(x 1+1)(x 2-1)(x1-1)(x 2+1)x 1)>f (x 2).x )在区间(1,+∞)内单调递增.设g (x )=lo,则g (x )在区间[3,4]上为增函数.∴g (x )>m 对x ∈[3,4]恒成立,g 12x +1x-1‒(12)x m<g (3)=-.98实数m 的取值范围是m<-.9822.①有且仅有故只需{Δ=4m 2-4(3m +4)>0,(x 1+1)+(x 2+1)>0,(x 1+1)(x 2+1)>0⇔{m 2-3m -4>0,-2m +2>0,3m +4+(-2m )+1>0⇔{m <-1或m >4,m <1,m >-5.故m 的取值范围是-5<m<-1.(2)F (x )=|4x-x 2|+a 有4个零点,即|4x-x 2|+a=0有4个实数根,即|4x-x 2|=-a 有4个实数根.令g (x )=|4x-x 2|,h (x )=-a.在同一坐标系中作出g (x )和h (x )的图象,如图所示.由图象可知要使|4x-x 2|=-a 有4个实数根,则需g (x )的图象与h (x )的图象有4个交点,故0<-a<4,即-4<a<0.所以实数a 的取值范围为-4<a<0.。

高中数学模块综合测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题

模块综合测评(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}B [由题意知A ∪B ＝{1，2，4，6}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．] 2．函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增函数D.先递增再递减函数C [作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知图象开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.]3．函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，0)∪(0，1]B ．(－1，1]C ．(－4，－1]D ．(－4，0)∪(0，1]A [由⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，lg （x ＋1）≠0，x ＋1>0，得－1<x <0或0<x ≤1，所以函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1]，故选A.]4．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧X 问题，已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )A ．40B ．30C ．20D ．36A [由题意，每个个体抽到的概率为90360＋270＋180＝19，其中甲社区有360户低收入家庭，所应从甲社区抽取低收入家庭的户数为360×19＝40户．]5．2019年10月1日在庆祝中华人民某某国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为13，14，16，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为( )A ．13 B ．512 C ．712D ．23C [由题知三名同学都没有被选上的概率为23×34×56＝512，所以这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为1－512＝712.]6．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的大致图象是( )A B C DB [当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.]7．“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [记集合A ＝{x |x >2}，由x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，记集合B ＝{x |x <－4，或x >2}．因为A B ，所以“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的充分不必要条件．故选B.]8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，3)B ．(0，3)C ．(3，＋∞)D ．(1，3)B [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，所以f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，所以f (2log 3a )>f (2).因为2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，所以0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.故选B.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应不同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差ABC [只有标准差不变，众数、平均数和中位数都加2.]10．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系不可能为( )A ．a log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a .]11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，0＜a ＜b ＜c ，f (a )f (b )f (c )＜0，实数d 是函数f (x )的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是( )A ．0＜d ＜aB ．c ＞d ＞bC ．d ＞cD ．b ＜d ＜cABD [由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x 在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，当0＜a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (b )＞f (c )，又因为f (a )f (b )f (c )＜0，f (d )＝0，所以①f (a )，f (b )，f (c )都为负值，则a ，b ，c 都大于d ，②f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，则a ，b 都小于d ，c 大于d .综合①②可得d ＞c 不可能成立．]12．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是( )A ．等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立B ．函数f (x )的值域为(－1，1)C ．若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)D ．函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点ABC [易知函数的定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )，故函数为奇函数，故A 正确；当x＞0时，f (x )＝x 1＋x ＝11＋1x，该函数在(0，＋∞)上递增，且当x →0时，f (x )→0；当x →＋∞时，f (x )→1.结合奇偶性，作出f (x )的图象如图所示：易知函数的值域是(－1，1)，故B 正确；结合函数f (x )为定义域内的增函数，所以C 正确；当x ≥0时，g (x )＝f (x )－x ＝x1＋x －x ＝－x 21＋x ，令g (x )＝0得x ＝0，故此时g (x )只有一个零点0，g (x )显然是奇函数，故该函数只有一个零点，所以D 错误．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．命题“∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是________． ∀x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 [特称命题的否定为全称命题．]14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________．12 [依题意得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f (x )是奇函数，得f (2)＝－f (－2)＝12.]15．计算：(0.027)－13－log 32·log 83＝________．3 [ (0.027)－13－log 32·log 83＝(0.3)－13×3－log 32·1log 38＝103－log32·13log32＝103－13＝3.]16．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．0．1[这组数据的平均数x＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s2＝（4.7－5.1）2＋（4.8－5.1）2＋（5.1－5.1）2＋（5.4－5.1）2＋（5.5－5.1）25＝0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.165＝0.1.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？[解](1)因为x2 000＝0.19，所以x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：482 000×500＝12(名).18．(本小题满分12分)某市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，实行奖惩制度．通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等级，并根据等级给予相应的奖惩(如下表).某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等级的概率分别为12，13，18，124，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、－5万元．(1)在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格及其以上等级的概率是多少？ (2)求该企业当年因改造而增加的利润为0的概率．[解](1)设该企业能被抽到且被评为合格及其以上等级的概率为P ，则P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋18×12＝2348.(2)依题意，该企业当年因改造而增加的利润为0的概率为13×12＝16.19．(本小题满分12分)某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．[解] 设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P (A )＝716.(2)由(1)知两个小球相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2). 两个小球相加之和等于6的取法有1种：(3，3). 则中奖概率为P (B )＝7＋2＋116＝58.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)某某数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，某某数a 的取值X 围． [解](1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示 )知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值X 围是(1，3].21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R . (1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值X 围．[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值X 围是(－∞，1).22．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．[解](1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2；当4≤x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，显然v ＝ax ＋b 在[4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．。

2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：模块综合测评(A) Word版含解析

21
f(x) a - 1.58 b - - -
-
1
5.68 39.42 109.19 227
(1)计算上述表格中的对应值 a 和 b. (2)从上述对应值表中,可以发现函数 f(x)在哪几个区间内有零点?说明理由. 解(1)由题意可知 a=f(-2)=log2(-2+3)-2×(-2)3+4×(-2)=0+16-8=8,b=f(1)=log24-2+4=4.
( ) 解析 log28+lg 0.01+ln
e + 2 - 1 + log23+lg52+2lg
2-
1 2
-1
11
=3-2+2 + 2×3+1-2=2.
答案 2
14.函数 f(x)=log1(x2-2x-3)的单调递增区间为 .
2
解析函数 f(x)的定义域为{x|x>3 或 x<-1}.
∴f(-1)=-f(1)=-3.
答案 A 9.函数 f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )
解析由 f(x)=lg(|x|-1),知 x>1 或 x<-1.排除 C,D.
当 x>1 时,f(x)=lg(x-1)在区间(1,+∞)上为增函数.故选 B.
答案 B
10.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为 a,经过 t 天后体积 V 与天数 t
4
8
的关系式为 V=a·e-kt.已知新丸经过 50 天后,体积变为9a.若一个新丸体积变为27a,则需经过的天数为
( )
A.125
B.100
C.75
D.50
( ) 4

高中数学模块综合测评(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学试题

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |2x 2－x ≥0}，B ＝{y |y ＞－1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，0] B ．(－1，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B [A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥12，∴A ∩B ＝(－1，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.故选B.]2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式¬p 为( ) A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2 B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2 C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2D [全称量词命题的否定是存在量词命题，不等号要改变，故选D.]3．已知p ：x －a ＞0，q ：x ＞1，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)D [已知p ：x －a ＞0，x ＞a ，q ：x ＞1，若p 是q 的充分条件，根据小X 围推出大X 围得到a ≥1.故选D.]4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( )A ．－14B ．14C ．32D ．－32A [令12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.令4m ＋7＝6，得m ＝－14.故选A.]5．函数f (x )＝x ＋1＋1x －3的定义域为( ) A ．(－3，0]B ．(－3，1]C ．[－1，3)∪(3，＋∞)D ．[－1，3)C [由条件知⎩⎨⎧x ＋1≥0x －3≠0，∴x ≥－1且x ≠3，故选C.]6．函数f (x )＝mx 2＋(m －1)x ＋1在区间(－∞，1]上为减函数，则m 的取值X 围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C [当m ＝0时，f (x )＝1－x ，满足在区间(－∞，1]上为减函数，当m ≠0时，因为f (x )＝mx 2＋(m －1)x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝1－m2m ，且函数在区间(－∞，1]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m 2m ≥1，解得0＜m ≤13.综上，0≤m ≤13.故选C.]7．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱( )A ．8元B ．16元C ．24元D ．32元D [设方形巧克力每块x 元，圆形巧克力每块y 元，小明带了a 元钱， ⎩⎨⎧3x ＋5y ＝a ＋8，①5x ＋3y ＝a －8，②①＋②，得8x ＋8y ＝2a ，∴x ＋y ＝14a ， ∵5x ＋3y ＝a －8，∴2x ＋(3x ＋3y )＝a －8， ∴2x ＋3×14a ＝a －8，∴2x ＝14a －8，∴8x ＝a －32，即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选D.]8．已知函数f (x )＝mx ＋1的零点在区间(1，2)内，则m 的取值X 围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．()－∞，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B [根据题意，函数f (x )＝mx ＋1，当m ＝0时，f (x )＝1，没有零点，当m ≠0时，f (x )为单调函数，若其在区间(1，2)内存在零点，必有f (1)f (2)＜0，即(m ＋1)(2m ＋1)＜0，解得－1＜m ＜－12，即m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故选B.]二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题中是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，2x 2－3x ＋4＞0 B ．∀x ∈{1，－1，0}，2x ＋1＞0 C ．∃x ∈N ，使x ≤xD ．∃x ∈N *，使x 为29的约数 ACD [对于A ，这是全称量词命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以2x 2－3x ＋4＞0恒成立，故A 为真命题；对于B ，这是全称量词命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1＞0不成立，故B 为假命题；对于C ，这是存在量词命题，当x ＝0时，有x ≤x 成立，故C 为真命题；对于D ，这是存在量词命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以D 为真命题．]10．有以下说法，其中正确的为( ) A ．“m 是有理数”是“m 是实数”的充分条件 B ．“x ∈A ∩B ”是“x ∈A ”的必要条件 C ．“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件 D ．“x ＞3”是“x 2＞4”的充分条件ACD[A正确，由于“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确．因为“x∈A”“x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确．由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x ＝3”的必要条件；D正确．由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．]11．已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，若f(a)·f(－a)＝4，则实数a的值可为()A．－3 B．－1C．1 D．3BC[∵f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，①当a＞0时，f(a)·f(－a)＝[f(－a)]2＝(－a－1)2＝4，解得，a＝1或a＝－3(舍)；②当a＜0时，f(a)·f(－a)＝[f(a)]2＝(a－1)2＝4，解可得，a＝－1或a＝3(舍)，综上可得，a＝－1或1，故选BC.]12．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是()A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)B．1f（x）在[a，b]上有最小值f(a)C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－cD．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)CD[A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数1f（x）在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)－c，C正确；D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a ，b ]上有最小值cf (a )，D 正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．不等式－2x 2＋x ＋3＜0的解集为________．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞[化－2x 2＋x ＋3＜0为2x 2－x －3＞0，解方程2x 2－x－3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，所以不等式2x 2－x －3＞0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.]14．已知函数f (x )＝5－xx ，则f (1)＝________，函数y ＝f (x )的定义域为________．(本题第一空2分，第二空3分)2 (－∞，0)∪(0，5][函数f (x )＝5－x x ，则f (1)＝5－11＝2，令⎩⎨⎧5－x ≥0，x ≠0，解得x ≤5且x ≠0， ∴函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，5].]15．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值X 围为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54[y ＝⎩⎨⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，∴1＜a ＜54.]16．设函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题： ①f (x )一定是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图像一定关于直线x ＝1对称；③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |.其中正确命题的序号是________．③[若a ＝1，b ＝1，则f (x )＝|x 2－2x ＋1|＝x 2－2x ＋1，显然f (x )不是偶函数，所以①错误；若a ＝－1，b ＝－4，则f (x )＝|x 2＋2x －4|，满足f (0)＝f (2)，但显然f (x )的图像不关于直线x ＝1对称，所以②错误；若a 2－b ≤0，则f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝x 2－2ax ＋b ，此时函数f (x )的图像是开口向上的抛物线，且抛物线的对称轴是直线x ＝a ，所以f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以③正确；显然函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )没有最大值，所以④错误．故填③.]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4－2x x －7＞0，B ＝{x |x 2－4x ＋4－m 2≤0，m ＞0}．(1)若m ＝3，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝B ，某某数m 的取值X 围．[解](1)若m ＝3，解得：A ＝(2，7)，B ＝[－1，5]，所以A ∩B ＝(2，5]；(2)由题意得：B ＝[2－m ，2＋m ]，又因为A ∪B ＝B ，有A ⊆B ，则有：2－m ≤2①；2＋m ≥7②；m ＞0③；同时成立． ∴m ≥5.18．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值X 围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值． [解](1)依题意，得Δ＝b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12.(2)法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.因为k≤1 2，所以k1＝k2＝1不合题意，舍去．②当x1＋x2<0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1).解得k1＝1，k2＝－3.因为k≤12，所以k＝－3.综合①②可知k＝－3.法二：依题意，可知x1＋x2＝2(k－1).由(1)可知k≤12，所以2(k－1)<0，即x1＋x2<0.所以－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.因为k≤12，所以k＝－3.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋1x＋1，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0).(1)判断函数f(x)在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；(2)若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g(m0)＝f(m)成立，某某数a 的取值X围．[解](1)函数f(x)在[0，1]上单调递增，证明如下：设0≤x1＜x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1＋1－x2－1x2＋1＝(x1－x2)＋x2－x1（x1＋1）（x2＋1）＝（x1－x2）（x1x2＋x1＋x2）（x1＋1）（x2＋1）.因为x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1x 2＋x 1＋x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[0，1]上单调递增． (2)由(1)知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.因为a ＞0，g (x )＝ax ＋5－2a 在[0，1]上单调递增，所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5－2a ，5－a ]. 依题意，只需⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆[5－2a ，5－a ]所以⎩⎪⎨⎪⎧5－2a ≤1，5－a ≥32，解得2≤a ≤72，即实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－mx ＋2m －4(m ∈R ). (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当x ＞2时，不等式f (x )≥－1恒成立，求m 的取值X 围． [解](1)因为m ＝1，所以f (x )＝x 2－x －2. 所以x 2－x －2≥0，即(x －2)(x ＋1)≥0，解得x ≤－1或x ≥2.故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}．(2)当x ＞2时，不等式f (x )≥－1恒成立等价于m ≤x 2－3x －2在(2，＋∞)上恒成立．因为x ＞2，所以x －2＞0，则x 2－3x －2＝（x －2）2＋4（x －2）＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋4≥2（x －2）·1x －2＋4＝6.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．故m 的取值X 围为(－∞，6].21．(本小题满分12分)某商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值X 围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？[解](1)根据题意，得y ＝(2400－2000－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋4×x 50，即y ＝－225x 2＋24x ＋3 200.(2)由题意，得－225x 2＋24x ＋3 200＝4 800，整理得x 2－300x ＋20 000＝0，解得x ＝100或x ＝200，又因为要使消费者得到实惠，所以应取x ＝200，所以每台冰箱应降价200元．(3)y ＝－225x 2＋24x ＋3 200＝－225(x －150)2＋5 000，由函数图像可知，当x ＝150时，y max ＝5 000，所以每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5 000元．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，且f (x )同时满足以下条件：①f (x )在D 上是单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a ，b ]D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值集合也是[a ，b ].那么，我们称函数y ＝f (x )(x ∈D )是闭函数．(1)判断f (x )＝－x 3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由；(2)若f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，某某数k 的取值X 围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)[解](1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也是[a ，b ]，则⎩⎨⎧－a 3＝b ，－b 3＝a ，解得a ＝－1，b＝1，所以存在区间[－1，1]满足②，所以f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数．(2)f (x )＝k ＋x ＋2是[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足② 即：⎩⎪⎨⎪⎧k ＋a ＋2＝a ，k ＋b ＋2＝b .即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根， a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根．且a ≥k ，b >k .令f (x )＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2，得⎩⎪⎨⎪⎧f （k ）≥0，Δ>0，2k ＋12>k ，解得－94<k ≤－2，所以实数k 的取值X 围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2.。

2019秋高中数学模块综合评价(一)(含解析)新人教A版必修1.doc

模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞b ，则下列正确的是( ) A ．a 2＞ b 2B ．ac ＞ bcC ．ac 2＞ bc 2D ．a －c ＞ b －c解析：A 选项不正确，因为若a ＝0，b ＝－1，则不成立；B 选项不正确，c ≤0时不成立；C 选项不正确，c ＝0时不成立；D 选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．答案：D2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45°D ．30°解析：因为A ＝60°，a ＝43，b ＝42，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin Aa＝42×3243＝22. 因为a ＞b ，所以A ＞B ，所以B ＝45°. 答案：C3．数列1，－3，5，－7，9，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)C ．a n ＝(－1)n(2n －1) D ．a n ＝(－1)n(2n ＋1)解析：将a 1＝1，a 2＝－3，a 3＝5，a 4＝－7，a 5＝9代入各选项中的通项公式验证，可知B 选项正确．答案：B4．若集合M ＝{x |x 2＞4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－x x ＋1＞0，则M ∩N ＝( ) A ．{x |x ＜－2}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |x ＜－2或x ＞3}D ．{x |x ＞3}解析：由x 2＞4，得x ＜－2或x ＞2，所以M ＝{x |x 2＞4}＝{x |x ＜－2或x ＞2}．又3－xx ＋1＞0，得－1＜x ＜3，所以N ＝{x |－1＜x ＜3}；所以M ∩N ＝{x |x ＜－2或x ＞2}∩{x |－1＜x ＜3}＝{x |2＜x ＜3}．答案：B5．下列各函数中，最小值为2的是( ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x －2x ＋3解析：A 中，当x <0时，y <0，不合题意；B 中，y ＝sin x ＋1sin x ≥2，等号成立时，sinx ＝1sin x ，即sin x ＝1，与x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾；C 中，y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，等号成立时，x 2＋2＝1x 2＋2，得x 2＝－1，不合题意；D 中，y ＝(x －1)2＋2≥2.答案：D6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：因为a sin A ＝bsin B ＝2R ，即a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以a cos B ＝b cos A 变形得：sin A cos B ＝sin B cos A ，整理得：sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0. 又A 和B 都为三角形的内角，所以A －B ＝0，即A ＝B ，则△ABC 为等腰三角形．答案：A7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤3，x ＋y ≥1，则S ＝2x ＋y －1的最大值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：作出不等式组对应的平面区域(如图阴影部分)，由图可知，当目标函数过图中点(2，3)时取得最大值6.答案：A8．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90解析：因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 24＝a 3a 7，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，整理得2a 1＋3d ＝0.① 又因为S 8＝8a 1＋562d ＝32，整理得2a 1＋7d ＝8.②由①②联立，解得d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60.答案：C9．在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322D ．2解析：该不等式组所表示的平面区域是如图所示的阴影部分，可求得A (0，1)，B (0，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，D (－1，－2)，所以S △ACD ＝S △ABD ＋S △ABC ＝12·|AB |·|x D |＋12|AB |·|x C |＝32.答案：B10．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝3n－1 C ．a n ＝22n －1D ．a n ＝6n －4解析：a n ＋1＝3a n ＋2⇒a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)⇒a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 所以数列{a n ＋1}是以首项为a 1＋1＝3，公比为3的等比数列．所以a n ＋1＝3×3n －1＝3n，所以a n ＝3n－1.答案：B11．一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C .( )A ．北偏东50°；10 2B ．北偏东40°；10 3C ．北偏东30°；10 3D ．北偏东20°；10 2解析：由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝300，所以AC ＝10 3.答案：B12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，A ＝π3，则该三角形面积的最大值是( )A ．2 2B ．3 3C ．4 3D ．4 2解析：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时取等号，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×16×sin π3＝8×32＝4 3.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝________．解析：由sin 2A ＝2sin A cos A ＞0，可知A 是锐角，所以sin A ＋cos A ＞0，又(sin A ＋cos A )2＝1＋sin 2A ＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 答案：15314．已知a ＜b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值为________．解析：因为ab ＝50＞0，所以a 、b 同号，从而|a ＋2b |＝|a |＋2|b |≥2|a |·|2b |＝22·|ab |＝20，其中“＝”成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝5.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝－5. 又因为a ＜b ∈R ，所以a ＝－10，b ＝－5. 所以|a ＋2b |的最小值为20. 答案：2015．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.答案：1416．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界，则函数y ＝2－3x －4x(x >0)的上确界为________．解析：因为x >0，所以3x ＋4x≥23x ·4x ＝43(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4x ，x >0，即x ＝233时取等号)．所以y ＝2－3x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－43，当且仅当x ＝233时取等号．故y 的上确界为2－4 3.答案：2－4 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知实数a >0，解关于x 的不等式a （x －1）x －3>1.解：原不等式可转化为[(a －1)x －(a －3)](x －3)>0. 因为a －3a －1－3＝a －3－3a ＋3a －1＝－2aa －1，且a >0，所以当0<a <1时，a －1<0，－2a a －1>0，即a －3a －1－3>0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3<x <a －3a －1. 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x >3}．当a >1时，a －1>0，－2a a －1<0，即a －3a －1－3<0，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >3或x <a －3a －1. 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13，所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)·(a 7＋1)得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)·(a 1＋13)，解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)，1S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）. 19．(本小题满分12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?解：(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x （x －1）2·2－50，(0＜x ≤10，x ∈N)，即y ＝－x 2＋20x －50，(0＜x ≤10，x ∈N)，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋52，而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出．所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y －＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时取得等号．即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求内角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k ，1)(k >1)，m·n 的最大值为5，求k 的值．解：(1)由正弦定理及(2a －c )cos B ＝b cos C ，得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，整理得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，故cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)m·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1，其中A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，设sin A ＝t ，t ∈(0，1]，则m·n ＝－2t 2＋4kt ＋1＝－2(t －k )2＋1＋2k 2. 由于k >1，故当t ＝1时，m·n 取得最大值．由题意得－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝32.21．(本小题满分12分)已知x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列．又数列{a n }(a n ＞0)中，a 1＝3 ，此数列的前n 项的和S n (n ∈N *)对所有大于1的正整数n 都有S n ＝f (S n －1)．(1)求数列{a n }的第n ＋1项； (2)若b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，且T n 为{b n }的前n 项和，求T n .解：因为x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，所以f （x ）2×2＝x ＋ 3.所以f (x )＝(x ＋3)2. 因为S n ＝f (S n －1)(n ≥2)，所以S n ＝f (S n －1)＝(S n －1＋3)2. 所以S n ＝S n －1＋3，S n －S n －1＝ 3. 所以{S n }是以3为公差的等差数列．因为a 1＝3，所以S 1＝a 1＝3.所以S n ＝S 1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝3n . 所以S n ＝3n 2(n ∈N *)．所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3. (2)因为数列b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，所以(b n )2＝1a n ＋1·1a n，所以b n ＝1a n ＋1a n＝13（2n ＋1）·3（2n －1）＝118(12n －1－12n ＋1)．所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝118[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1]＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n9（2n ＋1）.22．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b－c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2.(1)求角B 的大小；(2)若等差数列{a n }的公差不为零，且a 1cos 2B ＝1，a 2，a 4，a 8是等比数列，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋1的前n 项和S n .解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.因为0<A <π，所以A ＝π6.所以由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，所以sin B ＝1＋cos C ，所以cos C <0，则C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.又因为B ＋C ＝π－A ＝56π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－C ＝1＋cos C ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1.解得C ＝23π.故B ＝π－A －C ＝π6.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得a 1＝1cos 2B ＝2.因为a 2，a 4，a 8是等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，整理，得d (d －2)＝0.又因为d ≠0，所以d ＝2，所以a n ＝2n ，所以4a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。

新教材高中数学模块综合测评含解析北师大版必修第一册

模块综合测评(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪y ＝12－x ，B ＝{x ∈N |x 2－5x －6<0}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪y ＝12－x＝{x |2－x >0}＝{x |x <2}，B ＝{x ∈N |x 2－5x －6<0}＝{x ∈N |－1<x <6}＝{0,1,2,3,4,5}，所以A ∩B ＝{0,1}，所以A ∩B 中元素的个数为2，故选C.]2．命题“∀x ∈R ，sin x ＋1≥0”的否定是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＋1<0 B ．∀x ∈R ，sin x ＋1<0 C ．∃x ∈R ，sin x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，sin x ＋1≤0A [把全称量词改为存在量词，并否定结论，则原命题的否定为“∃x ∈R ，sin x ＋1<0”，故选A.]3．已知a ，b 均为非零实数，则“ab >0且a 0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A [由ab >0且a 1b ，得1a －1b >0，反之，1a －1b>0ab >0且a 0，b <0，所以“ab >0且a 0”的充分不必要条件．故选A.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 22＋x，－2<x <1，2x，x ≥1，则f (－1)＋f (log 25)＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6D [因为f (－1)＝1＋log 2(2－1)＝1，f (log 25)＝2log 25＝5，所以f (－1)＋f (log 25)＝6.]5．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是( )A ．12B ．23C ．14D ．13D [从4个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有两种：4,6和2,8，∴能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率P ＝26＝13.故选D.]6．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，并按下表的折扣率累计计算．可以享受折扣优惠的金额折扣率不超过500元的部分 5% 超过500元的部分10%若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则该顾客购物实际所付金额为( )A ．1 500元B ．1 550元C ．1 750元D ．1 800元A [设顾客在此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，由题设可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤800，0.05x －800，800<x ≤1 300，0.1x －1 300＋25，x >1 300，因为y ＝50>25，所以x >1 300，所以0.1(x －1 300)＋25＝50，解得x ＝1 550，故该顾客购物实际所付金额为1 550－50＝1 500(元)，故选A.]7．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )，且x ∈[0,1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)．若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．a >c >bB [由f (x ＋1)＝f (x )可得，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.易知函数f (x )在x ∈[0,1)上是增函数，由13<12<23，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，即c <a <b ，故选B.]8．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，当x 1，x 2∈(－∞，0]且x 1≠x 2时，(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0成立．若f (2ax )<f (2x 2＋3)对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－6，6)B ．(－∞，6)C ．(－∞，6)D ．(6，＋∞)A [∵定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．∵x 1，x 2∈ (－∞，0]且x 1≠x 2时，(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0成立，∴f (x )在(－∞，0]上是减函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是增函数．f (2ax )<f (2x 2＋3)对任意的x ∈R 恒成立，等价于|2ax |<2x2＋3对任意的x ∈R 恒成立，当x ＝0时，不等式成立；当x ≠0时，|a |<2x 2＋32|x |＝|x |＋32|x |恒成立，∵|x |＋32|x |≥2|x |×32|x |＝6，∴|a |<6，解得－6<a < 6.故选A.]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法正确的是( )A ．样本中支出在[50,60)元的频率为0.03B ．样本中支出不少于40元的人数为132C ．n 的值为200D ．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50,60)元BC [样本中支出在[50,60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A 错误；样本中支出不少于40元的人数为0.0360.03×60＋60＝132，故B 正确；n ＝600.3＝200，故C正确；若该校有2 000名学生，则可能有0.3×2 000＝600人支出在[50,60)元，故D 错误．故选BC.]10．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12ACD [设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，则P (A 1)＝13，P (A 2)＝12，且A 1，A 2独立．在A 中，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为13×12＝16，A 正确；在B 中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为56，B错误；在C 中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P (A －)P (B －)＝1－23×12＝23，C 正确；2个球中恰有1个红球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选ACD.]11．若f (x )是奇函数，则下列说法正确的是( ) A ．|f (x )|一定是偶函数 B ．f (x )·f (－x )一定是偶函数 C ．f (x )·f (－x )≥0 D ．f (－x )＋|f (x )|＝0AB [∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．A 中，|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，∴|f (x )|是偶函数，故A 正确；B 中，令g (x )＝f (x )·f (－x )，则g (－x )＝f (－x )·f (x )＝g (x )，∴f (x )·f (－x )是偶函数，故B 正确；C 中，f (x )·f (－x )＝－[f (x )]2≤0，故C 错误；D 中，f (－x )＋|f (x )|＝|f (x )|－f (x )＝0不一定成立，故D 错误．故选AB.]12．关于函数f (x )＝x 2－x 4|x －1|－1，下列描述正确的是( )A ．f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]B ．f (x )的值域为(－1,1)C ．f (x )在定义域上是增函数D ．f (x )的图象关于原点对称ABD [由题设有⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－1≠0，x 21－x 2≥0，解得－1≤x <0或0<x ≤1，故函数的定义域为[－1,0)∪(0,1]，故A 正确．当x ∈[－1,0)∪(0,1]时，f (x )＝|x |1－x2－x，此时f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，故其图象关于原点对称，故D 正确．f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，0，－1－x 2，x ∈0，1]，当x ∈[－1,0)时，0≤f (x )<1；当x ∈(0,1]时，－1<f (x )≤0，故f (x )的值域为(－1,1)，故B 正确．由f (－1)＝f (1)＝0可得f (x )不是定义域上的增函数，故C 错误．故选ABD.]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上． 13．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层随机抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是________．20 [高三年级的人数为900－240－260＝400，所以在高三抽取的人数为45900×400＝20.]14．在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为________．15[由题意，可知若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为20－14＝6.从1,2,3,4,5中任取两个数字的所有情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，而其中数字之和为6的情况有(1,5)，(2,4)，共2种，所以所求概率P ＝15.]15．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋1－x )，若对任意的正数a ，b ，满足f (a )＋f (3b －1)＝0，则3a ＋1b的最小值为________．12 [因为x 2＋1－x >x 2－x ≥x －x ＝0，所以函数f (x )的定义域为R .因为f (－x )＝log 2(x 2＋1＋x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．又f (a )＋f (3b －1)＝0，所以f (a )＝f (1－3b )，a ＝1－3b ，即a ＋3b ＝1，所以3a ＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (a ＋3b )＝9b a ＋a b ＋6.因为9b a ＋ab≥29b a ·a b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝12，b ＝16时，等号成立，所以3a ＋1b ≥12.] 16．已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．(1,4) (1,3]∪(4，＋∞) [若λ＝2，则当x ≥2时，令x －4<0，得2≤x <4；当x <2时，令x 2－4x ＋3<0，得1<x <2，综上可知1<x <4，所以当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集为(1,4)．令x －4＝0，解得x ＝4；令x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4.]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,1]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．[解] 集合A ＝{x |－3≤x ≤1}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2，m ∈R }． (1)因为A ∩B ＝[0,1]，所以m －2＝0且m ＋2≥1，解得m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2，m ∈R }，由于A ⊆∁R B ，从而m －2>1或m ＋2<－3，解得m >3或m <－5，故m 的取值范围是(－∞，－5)∪(3，＋∞)．18．(本小题满分12分)p ：函数y ＝lg(－x 2＋4ax －3a 2)(a >0)有意义，q ：实数x 满足x －3x －2<0.(1)当a ＝1时，若p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围； (2)若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． [解] (1)由－x 2＋4ax －3a 2>0得x 2－4ax ＋3a 2<0，即(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，得a <x <3a ，a >0，则p ：a <x <3a ，a >0. 若a ＝1，则p ：1<x <3. 由x －3x －2<0得2<x <3，即q ：2<x <3.因为p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <3，2<x <3，解得2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)因为q 是p 的充分不必要条件，所以(2,3)是(a,3a )的真子集．所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥3，a ≤2，且3a ＝3，a ＝2不能同时成立，解得1≤a ≤2，故实数a 的取值范围为[1,2]．19．(本小题满分12分)已知a >2，函数f (x )＝log 4(x －2)－log 4(a －x )． (1)求f (x )的定义域；(2)当a ＝4时，求不等式f (2x －5)≤f (3)的解集．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，a －x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x <a .因为a >2，所以2<x <a ，故f (x )的定义域为(2，a )．(2)因为a ＝4，所以f (2x －5)＝log 4(2x －7)－log 4(9－2x )，f (3)＝log 41－log 41＝0. 因为f (2x －5)≤f (3)，所以log 4(2x －7)－log 4(9－2x )≤0，即log 4(2x －7)≤log 4(9－2x )，从而⎩⎪⎨⎪⎧2x －7>0，9－2x >0，2x －7≤9－2x ，解得72<x ≤4，故不等式f (2x －5)≤f (3)的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤72，4. 20．(本小题满分12分)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出折线图：(1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值； (2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．①若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率； ②试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好．[解] (1)甲厂这批轮胎宽度的平均值为x －甲＝195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋19710＝195(mm)．乙厂这批轮胎宽度的平均值为 x －乙＝195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋19310＝194(mm)．(2)甲厂这批轮胎宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195. ①所选的轮胎是标准轮胎的概率P ＝610＝35.②甲厂标准轮胎宽度的平均数为195，方差为23.乙厂这批轮胎宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195，平均数为195，方差为13.由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差较小，所以乙厂的轮胎相对更好． 21．(本小题满分12分)某水果经销商销售某种水果，售价为每千克25元，成本为每千克15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每千克10元处理完．根据以往的销售情况，按[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图计算该种水果日需求量的平均数x －(同一组中的数据用该组区间中点值代表)；(2)该经销商某天购进了250千克该种水果，假设当天的需求量为x 千克(0≤x ≤500)，利润为y 元．求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1 750元的概率．[解] (1)x －＝50×0.001 0×100＋150×0.002 0×100＋250×0.003 0×100＋350×0.002 5×100＋450×0.001 5×100＝265.故该种水果日需求量的平均数为265千克．(2)当日需求量不低于250千克时，利润y ＝(25－15)×250＝2 500(元)，当日需求量低于250千克时，利润y ＝(25－15)x －(250－x )×5＝15x －1 250(元)，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧15x －1 250，0≤x <250，2 500，250≤x ≤500.由y ≥1 750，得200≤x ≤500，所以P (y ≥1 750)＝P (200≤x ≤500)＝0.003 0×100＋0.002 5×100＋0.001 5×100＝0.7. 故估计利润y 不小于1 750元的概率为0.7.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－4x ＋2，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13f (x )．(1)若函数f (x )在(－∞，2]和[2，＋∞)上的单调性相反，求f (x )的解析式；(2)若a <0，不等式g (x )≤9在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，求a 的取值范围； (3)已知a ≤1，若函数y ＝f (x )－log 2x8在区间[1,2]内有且只有一个零点，试确定实数a的范围．[解] (1)由题意知，函数f (x )＝ax 2－4x ＋2为二次函数，其图象的对称轴为直线x ＝－－42a ＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2－4x ＋2.(2)依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫13f (x )≤9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，转化为ax 2－4x ＋2≥－2在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，即ax 2－4x ＋4≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，转化为a ≥4x －4x 2＝4x －4x 2在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立．令1x＝t (t ≥2)，则问题可转化为a ≥4t －4t 2在t ∈[2，＋∞)上恒成立，即a ≥(4t －4t 2)max (t ∈[2，＋∞))，所以a ≥－8，所以a 的取值范围是[－8,0)． (3)y ＝f (x )－log 2x8＝ax 2－4x ＋5－log 2x ，设r (x )＝ax 2－4x ＋5，s (x )＝log 2x (x ∈[1,2])，则由题意知函数r (x )与s (x )的图象在区间[1,2]内有唯一交点．当a ＝0时，r (x )＝－4x ＋5在[1,2]上为减函数，s (x )＝log 2x 在[1,2]上为增函数，且r (1)＝1>s (1)＝0，r (2)＝－3<s (2)＝1，所以函数r (x )与s (x )的图象在区间[1,2]内有唯一的交点．当a <0时，r (x )的图象开口向下，对称轴为直线x ＝2a<0，所以r (x )在[1,2]上为减函数，又s (x )＝log 2x 在[1,2]上为增函数，由题意知，需⎩⎪⎨⎪⎧r 1≥s 1，r2≤s 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，4a －3≤1，得－1≤a ≤1，所以－1≤a <0.当0<a ≤1时，r (x )的图象开口向上，对称轴为直线x ＝2a≥2，所以r (x )在[1,2]上为减函数，又s (x )＝log 2x 在[1,2]上为增函数，由题意知，需⎩⎪⎨⎪⎧r1≥s 1，r 2≤s 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，4a －3≤1，得－1≤a ≤1，所以0<a ≤1.综上，a 的取值范围为[－1,1]．。

2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册模块综合测评 Word版含解析

模块综合测评（时间:120分钟,满分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝｛1，2，6}，B＝｛2，4｝，C＝{x∈R｜－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝（)A．｛2｝B．{1,2，4}C．｛1,2，4，6} D．｛x∈R|－1≤x≤5}B[由题意知A∪B＝｛1，2，4,6｝，所以(A∪B）∩C＝｛1,2,4}．］2．函数y＝x2－5x－6在区间[2,4]上是( ）A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增函数 D.先递增再递减函数C[作出函数y＝x2－5x－6的图象（图略)知图象开口向上,且对称轴为x＝错误!，在［2，4]上先减后增．故选C。

］3．函数f (x)＝错误!的定义域为( )A．(－1，0）∪(0,1] B．(－1，1］C．(－4,－1］D．（－4，0）∪（0，1]A［由错误!得－1<x〈0或0〈x≤1,所以函数f (x)的定义域为(－1,0）∪(0，1］,故选A。

]4．当前,国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题,已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为（)A．40 B．30C．20 D．36A[由题意，每个个体抽到的概率为错误!＝错误!，其中甲社区有360户低收入家庭,所应从甲社区抽取低收入家庭的户数为360×错误!＝40户．]5．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中,被誉为“最强大脑"的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为错误!，错误!，错误!，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C［由题知三名同学都没有被选上的概率为错误!×错误!×错误!＝错误!，所以这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为1－错误!＝错误!。

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高一数学必修一模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U={x|x<6,且x∈N*},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)等于()A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故∁U(A∪B)={2,4}.2.函数y=-1+lo x(x≥4)的值域是()A.(-∞,-2]B.(-∞,0]C.[-2,+∞)D.[2,+∞)函数y=-1+lo x在[4,+∞)上单调递减,∴y≤-1+lo4=-2,∴所求函数的值域为(-∞,-2].3.函数y=--的定义域为()A.(-∞,0]B.[1,+∞)C.[0,1)D.[0,1)∪(1,+∞)--解得x≥0,且x≠1.故函数定义域为[0,1)∪(1,+∞).4.下列函数中,在区间(0,+∞)内是增函数的是()A.y=x2-2xB.y=C.y=logπxD.y=-A,函数y=x2-2x在区间(0,1)内递减,在(1,+∞)内递增,故A不正确,B,D在(0,+∞)内为减函数;对于C,因为π>1,所以y=logπx在(0,+∞)内为增函数.5.函数f(x)=e x-的零点所在的区间是()A. B. C. D.f-2<0,f(1)=e-1>0,∴f·f(1)<0,∴函数f(x)=e x-的零点所在的区间是.6.设a=70.3,b=0.37,c=log70.3,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<aa=70.3>1,0<b=0.37<1,c=log70.3<0,∴c<b<a.7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,y=f(x)是减函数,若|x1|<|x2|,则()A.f(x1)-f(x2)<0B.f(x1)-f(x2)>0C.f(x1)+f(x2)<0D.f(x1)+f(x2)>0f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称.又当x<0时,y=f(x)是减函数,∴当x>0时,y=f(x)是增函数.∴当|x1|<|x2|时,f(|x1|)<f(|x2|),即f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0.8.已知一次函数f(x)=kx+b的图象过第一、第二、第三象限,且f(f(x))=9x+8,则f(2)等于()A.-10B.-4C.2D.8f(x)=kx+b,∴f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.又f(f(x))=9x+8,∴解得或--∴f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.又f(x)的图象过第一、二、三象限,∴f(x)=3x+2,∴f(2)=8.9.已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x(a>0,且a≠1).若f(1)g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是()f(1)=a>0,f(1)g(2)<0,∴g(2)<0,∴0<a<1.∴f(x)与g(x)在定义域内都为减函数,故选C.10.给出下列集合A到集合B的几种对应:其中,是从A到B的映射的有()A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④,③中集合A中的元素a对应集合B中的两个元素x,y,则此对应不是映射;④中集合A中的元素b在集合B中没有对应元素,则此对应也不是映射.仅有①②符合映射的定义,故①②是映射.11.某企业去年销售收入1 000万元,年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元,则税率p%为()A.10%B.12%C.25%D.40%300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1 000×2%=180(万元),纳税180·p%万元,共纳税300·p%+180·p%=120(万元),故p%=25%.12.如果函数f(x)对其定义域内的任意两个实数x1,x2都满足不等式f,那么称函数f(x)在定义域上具有性质M.给出函数:①y=;②y=x2;③y=2x;④y=log2x.其中具有性质M的是() A.①② B.②③ C.③④ D.①④,可知函数y=与函数y=log2x满足f;函数y=x2与函数y=2x满足f.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若幂函数f(x)的图象过点(3,),则f(x)的解析式是.f(x)=xα,则由已知得3α=,∴α=,∴f(x)=.(x)=14.已知集合A={-1,3,6m-9},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m=.m2=6m-9,∴(m-3)2=0,∴m=3.15.已知f(x)=-则f(f(1))=.f(1)=-2,∴f(f(1))=f(-2)=(-2)2+1=5.16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,并且当x∈(0,+∞)时,f(x)=1+ln x,则当x<0时,f(x)=.t<0,则-t>0.∵当x∈(0,+∞)时,f(x)=1+ln x,∴f(-t)=1+ln(-t).又f(x)是定义在R上的奇函数,∴-f(t)=1+ln(-t),∴f(t)=-1-ln(-t).∴当x<0时,f(x)=-1-ln(-x).1-ln(-x)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算下列各式的值:(1)---;(2)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0.原式=----+1-1=2×-=2.(2)原式=log3+lg 100+2+1=+2+2+1=.18.(12分)设全集是实数集R,集合A={x|y=log a(x-1)+-},B={x|2x+m≤0}.(1)当m=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁R A)∩B=B,求实数m的取值范围.由--得1<x≤3,即集合A=(1,3];由2x-4≤0,得2x≤22,x≤2,即集合B=(-∞,2].故A∩B=(1,2],A∪B=(-∞,3]. (2)由(1)得∁R A={x|x>3,或x≤1}.∵(∁R A)∩B=B,∴B⊆∁R A.①若B=⌀,则m≥0;②若B≠⌀,则m<0,∴2x≤-m.∴x≤log2(-m).∵B⊆∁R A,∴log2(-m)≤1,即log2(-m)≤log22,因此0<-m≤2,-2≤m<0.综上所述,实数m的取值范围是[-2,+∞).19.(12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(单位:万元)与年产量x(单位:吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8 000,已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时,其生产的总成本最低?最低成本是多少?(2)如果每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?由y=-48x+8 000=(x-120)2+5 120(0≤x≤210),所以当年产量为120吨时,其生产的总成本最低,最低成本为5 120万元.(2)设该工厂年获得总利润为f(x)万元,则f(x)=40x-y=40x-+48x-8 000=-+88x-8 000=-(x-220)2+1 680(0≤x≤210).因为f(x)在[0,210]上是增函数,所以当x=210时,f(x)有最大值为-(210-220)2+1 680=1 660.故当年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元.20.(12分)设f(x)=lo--为奇函数,a为常数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在区间(1,+∞)内单调递增;(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,不等式f(x)>+m恒成立,求实数m的取值范围.∵f(-x)=-f(x),∴lo--=-lo--=lo--.∴----,即(1+ax)(1-ax)=-(x+1)(x-1),∴a=-1.(2)由(1)可知f(x)=lo-.任取x1>x2>1,则f(x1)-f(x2)=lo--lo-=lo--.由x1>x2>1易知(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)·(x2+1)>0,现比较--与1的大小.---1=----=--<0,所以0<--<1,lo-->0,即f(x1)>f(x2).故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.(3)设g(x)=lo-,则g(x)在[3,4]上为增函数.∴g(x)>m对x∈[3,4]恒成立, ∴m<g(3)=-.∴实数m的取值范围是m<-.21.(12分)已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,若当x,y∈[-1,1],x+y≠0时,有(x+y)·[f(x)+f(y)]>0.(1)比较f与f的大小;(2)判断f(x)的单调性,并加以证明;(3)解不等式f<f(1-2x).令x=,y=-,因为-≠0,由-->0,得f>-f-,所以f>f.(2)f(x)在[-1,1]上是增函数.证明如下:在[-1,1]上任取x1,x2,且x1<x2,则x2-x1>0.由题意(x2-x1)[f(x2)+f(-x1)]>0,因为f(x)为奇函数,所以(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0.所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).所以f(x)在[-1,1]上是增函数.(3)由(2)知,f(x)在[-1,1]上是增函数,所以----解得0≤x<.即不等式f<f(1-2x)的解集为.22.(12分)(1)当m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有1个零点?②有2个零点,且均比-1大?(2)若函数F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.①若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有1个零点,则等价于Δ=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1.②设2个零点分别为x1,x2,且x1>-1,x2>-1,x1≠x2,则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4,故只需-⇔ ----⇔-或-故m的取值范围是-5<m<-1.(2)若F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,即|4x-x2|+a=0有4个实数根,即|4x-x2|=-a有4个实数根.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.则在同一坐标系中作出g(x)和h(x)的图象,如图所示.由图象可知要使|4x-x2|=-a有4个实数根,则需g(x)的图象与h(x)的图象有4个交点, 故0<-a<4,即-4<a<0.所以实数a的取值范围为-4<a<0.。