组合数学(18)PPT课件

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2
4
生成函数:g ( x) ( xe1 )( xe2 )( xe3 )
e1 1
e2 1
e3 1
可以展开得到。
7
7.4.1 组合的生成函数
与组合问题有关的计数常使用生成函数。
命题: 设多重集S={r1·e1, r2·e2, …, rm·em},
且r1 + r2 +…+ rm=n, 则S的k可重复组合数ck对应
e1 0
e2 0
e3 0
中xn的系数就等于方程e1+e2+…+ek=n非负整
wk.baidu.com
数解的个数(见P44):
n
k n
1
5
将这个例子应用到更一般的情况中去 例:(1 x x2 x3 x4 x5)(1 x x2)(1 x x2 x3 x4)
是什么样的序列的生成函数?
解:设
xe1是(1 x x2 x3 x4 x5 )的典型项 xe2是(1 x x2 )的典型项 xe3是(1 x x2 x3 x4 )的典型项
e1 0
e2 0
e3 0
其中xe1是第一个因子的典型项, xe2是第二个因
子的典型项,…… xek是第k个因子的典型项,
将这些典型项乘起来,当 e1+e2+…+ek=n时 同底数项乘指数相加,就得到:
4
xe1 xe2 xe3 .........xek x n
于是公式:
( xe1 )( xe2 )( xe3 )...........
序列{ck}的生成函数为:
G( x)
m
ri
x j
i1 j0
其中,k可重复组合数ck为G(x)展开式中xk的系数。
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证明: 令G(x)中各∑的项分别对应诸元素的某种
可能取法。 例如, 对i=t, xr表示元素et选取 了r次。依次类推。
显然G(x)展开式中的项xk具有一般形式
其中
xk xk1 xk2 xkm
n
1x k
1 (1 x)k
由再牛将顿生二成项函式数定展理开(来P9分4)我析们:可以求出上述幂级
(1
1数x)k的收(敛11函x数) 为(1:1
x)
........
(1
1
x)
(k个)
3
1 (1 x)k
(1 x x2 ...)(1 x x2 ...)......
( xe1 )( xe2 )( xe3 )...........
其组合数ck为G(x)展开式中xk的系数
推论2 无0≤ki≤ri, i=1, c2k,
P44定理3.5.1) 即知:
…,mm限kk 制1, 由书中(见
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推论 3 设S={∞·e1, ∞·e2, …, ∞·em},则S的每


素G至(x少) 取(一次x j的)m j 1
k(无(1 限xmx))可m 重复组合数
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推论 1 设S={e1, e2, …, em},则S的k可重复 组合数ck对应序列{ck}
G(x)=(1+x)m
m
其组合数ck为G(x)展开式中xk的系数 k
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推论2设S={∞·e1, ∞·e2, …, ∞·em},则S的k (无限)
可重复G组(x合) 数 jc0k对x j 应m 序 (列1 {1cxk)}m的生 m成函kk 数1为 :
ck(k≥m)对应序列{ck}的生成函数为:
m k
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G其这(x组 是) 合 由xm数 于k0c:km为Gkk (x1)展xk 开 k式0 中mxkkk的换1系元x数mk

k
m
k k
1 m
x
k
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推论 4 设S={∞·e1, ∞·e2, …, ∞·em},且S的每个
元素出现非负偶数次,则S的k(无限)可重
0 e1 5 0 e2 2 0 e3 4
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则原式的典型项记为:
x n x x x e1 e2 e3
假设 e1+e2+e2=n ,可见乘积中xn的系数是 方程e1+e2+e2=n的整数解的个数 hn ;
其中 0≤e1≤5 , 0≤e2≤2 , 0≤e3≤4 ,
当 n ≥5+2+4=11 时, hn = 0
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例:设k是整数,并且序列 h0, h1, h2, …, hn, … 定hn义hn等n 于nk方程1:用e和1+式 e2+公…式+ek记=生n 成函数
为解: :的由非于g负方(x整程) 数的n解非0的负 n个整数数nk ,解求1的生x个成k 数函(数见。P44)为:
2
g(x)
nk
n0
第七章 递推关系和生成函数
7.4.0 生成函数
上次课我们讲到由数列生成函数。
由数列h0 , h1 , h2 , ……,hn ,…. 生成函数为: g(x) =h0 + h1x+h2x2+……+hnxn+….
hn是系数,x按照幂级数升幂排列。 称函数g(x) 是序列{hn}的。 下面我们将介绍与组合问题有关的生成函数
k1+k2+…+km=k, 0≤ki≤ri, i=1, 2, …, m
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对此方程的一非负整数解(k1,k2, …, km)(在 前提0≤ki≤ri, i=1, 2, …, m下),乘积
x k1 x k2 x km
就对应了诸元素e1, e2, …, em的一种可重复取 法。合并同类项后,xk的系数就表示了从多重集 S中取出k个元素的所有可能的可重组合数ck。
ck对应序列{ck}的生成函数为:
G ( x)
(
j 1
x 2 j1 )m
xm (1 x2 )m
其组合数ck为G(x)展开式中xk的系数,即:
ck
m
k m 2
k m
2
1 当k
m为偶数时
0
当k m为偶数时 15
推论 6 设S={∞·e1, ∞·e2, …, ∞·em},若限
定元素ei出现的次数集合为Pi(1≤i≤n),则从S
组复合G数(xc)k对 应( j序0 x列2 j{)cmk}的(生1成1x函2 )数m 为:
其组合数ck为G(x)展开式中xk的系数,即
m (k / 2) 1
ck
k /2
当k为偶数时
0
当k为奇数时
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推论 5 设S={∞·e1, ∞·e2, …, ∞·em},则S的每个
元素出现奇数次的k(无限)可重复组合数
中取出k个G元素( x的) 组合m数(ck对应x 序j ) 列{ck}的生成
函数为:
i 1 jpi
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推论 7 设多重集S={r1·e1, r2·e2, …, rm·em},且
r1+r2+…+rm=n,则S中的每个元素ei至少
出现ki(i=1, 2, …, m)次的r可重组合数cr对应序列
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