排列组合中的染色问题(教师版)

排列组合中的染色问题
辅导教师：朱屿 电话：150****8809
染色问题的基本要求：每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色; 染色问题的基本方法:先选色后涂色;
染色问题的注意事项;分清区域数量和可供选择的颜色种类。

必要时可以对颜色或区域进行分类。

1.将A 、B 、C 三种不同的颜色，填到如图所示区域中，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，三种颜色都用到，则不同的涂法种数为（ 90种 ）
解：9061
21212121213=-C C C C C C （详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格
中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有1
21
21
21
21
21
3C C C C C C 种,但由于每种颜色都用到
,所以总计有:（90种,） 变式训练：1、如果方格数有变化，应该怎样解？2、如果颜色有变化呢？ 2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分不种同颜色的花，则不同的栽法种数为（120种 ）
解：先安排六个区域的中1、2、3有243
4=A 种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则余下的区域4、5、6的栽法有B-C-D ， B-D-C ， D-B-C ，D-B-D ，D-C-D 共计五种。

所以共计有24*5=120种。

3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260种）
解法一：①.如果用4种颜色，有1204
5=A 种
5
6
23
4
1
②.如果用3种颜色，选色有103
5=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种，
③.用2色图，2022
5=⨯C ，综上共计120+120+20=260种。

解法二：从五种颜色中选出两种涂到1、3有A 52=20种，
然后涂4区域，分为两种情况：不妨假设1、3涂的是A 、B ，如果4中涂B ，4、2区域有4种涂法；如果4区域不是B ，4、2区域有3*3=9种涂法，所以总的涂法种数为A 52*（4+9）=260种。

4.用五种颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，有多少种不同的涂法？（180种） 解：
解法一：①.如果用3种颜色，先涂123，1区域的颜色与四相同，603
335=⨯A C ； ②. .如果用4种颜色，有1204
5=A 种。

所以共计180种。

解法二：选出三种颜色涂到234区域中，有A 53=60种，然后涂1，有两类情况：与4同，一种；与4不同，2种；所以共有A 53*（1+2）=180种。

5.用六种广告色着色图中区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色。

（480种）
1
43
2
B B
B
C C
C
A
A
A
B
C A
1
4
3
2
解法一：4804456=⨯⨯⨯种，解法二：与第4题类似，A 63(3+1)=480种 6.用n 种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，不同的图法种数为120种，则n=（120）。

解：因为A 44=24，所以n ≥5，相当于取出的所有颜色进行全排列，4n A =120，即
)123)(103(22+---n n n n =0，解得n=5。

7.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并且使同一条棱上的两端异色，若只有五种颜色可供选用，则不同的染色方案有多少种？（420种）
解法一：先染S 、A 、B ，（603
5=A ）然后涂C ，⎪⎩
⎪⎨⎧---)5/3(4)5/4/3(2)4/3(5D C D C D C 共七种，所以不同选
法种数为60*7=420种。

解法二：可以先考虑涂ABCD 四个顶点，（1）AC 同色且BD 同色，A 53；AC 同色且BD
不同色A 54；（2）AC 不同色且BD 同色A 54；AC 不同色BD 也不同色5！，共有A 53+A 54++A 54
+5！=420种。

8. 如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分颜色不同，则不同的栽法种数为（120种 ） 解：同第2题。

14
3
2
14
32
S
C
D
B
A
9.一个地区有五个行政区域，现给地图着色，有4种颜色可供选用，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂法种数为（ 72种）
解：①.如果用3种颜色，241
21334=⨯⨯C C C ；
②. .如果用4种颜色，有483
31214=A C C 种。

所以共计72种。

10. 用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260种）
解法1：a 、c 同色，804415=⨯⨯C a 、c 不同色180332
5=⨯⨯A ，共计260种，本题与
第三题类似。

解法2：①.如果用4种颜色，有1204
5=A 种
②.如果用3种颜色，选色的103
5=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120
种，
③.用2色图，2022
5=⨯C ，综上共计120+120+20=260种。

1
4
3
2
5
6
14
3
2
5
b
d
c a
11.用4种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色，要求相邻的两个面涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法（96种）
解：①.如果用3种颜色，考虑正方体有三对面，三对面的颜色一定是同色，这样相当于涂共顶点的三个面，如B ，243
4=A ；
②.如果用4种颜色，必有两种对面同色，余下的两个面再涂不同色，有722*2
324=A C 种。

所以共计96种。

变式：颜色都用完4种颜色，有722*2
324=A C 种。

12.1*6矩形长条中，涂红，黄，蓝三种颜色，每种颜色限涂两个格，相邻格不涂同一色，则不同的涂法有（30 ）
解法1:直接法:两种红色,两种黄色,两种蓝色排成一排,(同种颜色不加区分)且相同
颜色不相邻可以用插空的办法302
523=⋅C C （种），图解：设ABC 代表红，黄，蓝，则
有ABAB ；BCBC ；CACA 每种中都有五个空，用余下的第三种颜色两个去插空。

解法2.分类法:先将六个小格排上号1—6号,先涂1号有1
3C 种,不妨设为红色,,再涂料2号有1
2C 种,不妨设为黄色,3号则需要讨论如下:
(1):若为红色,则4号和6号必为蓝色,且5号为黄色,可以满足题意,故只有一种涂法, (2):若为蓝色,则后三格必为3种颜色全用,4号有1
2C 种,5-6号有2
2A 种,所在总的排法
种数为C 31∙C 11∗（1
+4）=30种.
13.用六种不同的颜色涂如图所示的四个方格，要求最多使用三种颜色，相邻格不涂同一390 ）
解：用2色：3022
6=C ；用3色：3603221336=⋅⋅A C C ，所以共计390种。

D1C1
B1
A1
C
D B
A
14.在平面内，直线x=0，y=x ，分圆42
2=+y x 成四个区域，用五种不同的颜色给四个区域涂色，要求相邻的两个面涂不同的颜色，则不同的涂法种数为（ 260） 与第三题相类似。

15.(2008浙江杭州)如图,用六种不同的颜色把图中的ABCD 四块区域分开, 相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂法种数为( 480种 )
解析:先涂A,B,C 有1203
336=⋅A C ,然后再涂D 区域,在余下的三种颜色中再加上A 区域的颜色共四种中选择一种涂上，共有41
4=A ；总的涂法种数4801
43336=⋅⋅A A C 种。

16. 一个地区有五个行政区域，现给地图着色，有4种颜色可供选用，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂法种数为（ 72）
17.(2008重庆高考题)某人有4种颜色的灯泡,(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的六个点各装一个灯泡,要求同一条线段的两个端点的灯泡不同色,
则每种颜色的灯泡都至少
A
B
C
D
1
2
3
4
5
用一个的安装方法有 (216 )种.
解析:把图中剪开, 同一条线段的两个端点的灯泡不同色,且1A 、A 也不同，按下列顺序安装灯泡，1A ---C ---1B ---B ----1C ----A ,四种颜色不妨设为红,黄,蓝,绿
情形１：1B 与C 同色，方法有24+48＝72种；
可分为两种情形
(1) B 、C 1同色：可以从红,黄,蓝,绿四种颜色的灯炮中任选二个（不妨选中红黄两种）安装在B 、B 1两个位置上，由于1B 与C 同色，且B 、C 1同色，有A 42种安法,接下安装A 与A 1，由于各种颜色的灯炮至少用一个，且同一条线段的两个端点的灯泡不同色，只能从余下的（蓝,绿）二种颜色中任选二种，有二种安装方法，根据分步计数原理共有A 42∗2=24种；
（2）B 、C 1不同色：可以从红,黄,蓝,绿四种颜色的灯炮中任选一个安装在1B 与C 上（如红色）有A 41，接下来安装B 、C 1，由于B 、C 1不同色，可以从余下的三种颜色中二种，选法A 32种， 再安装A 、A 1，在保证四种颜色至少用一种的基础上,有二种安装方法,所以
不同的安装方法数A 41A 32
∗2=48种；则（1）（2）可知，共有24+48＝72种； 情形2：1B 与C 不同色：48+96=144种；
（1）、B 、C 1同色：与情形1（2）相同，48种；再安装A 、A 1 （2）、B 、C 1不同色：红,黄,蓝,绿四种颜色的灯炮全选有4！种，各有两种安装方法，所以共有4！*4=96种；
所以共有72+144=216种。

18、（2012广州综合测试）现在四种不同的颜色，对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不同涂同一种颜色，则不同的着色方法共有（48种）
C 1
A 1
B 1
B
A
C
C 1
A 1
B 1
A
B
C
19、（2012广东佛山二摸）假设佛山的五个行政区划图如图所示，测绘局想要给地图着色，相邻区域不能涂相同颜色，有四种不同的颜色供选择，则不同的涂法种数为（ 144种）
20．（2007山东菏泽）将某个城市分为四个区域，如图所示，现有五种不同的颜色，图中1234每个区域只涂一种颜色，且相邻两个区域必须涂不同颜色（不相邻两个区域所涂的颜色不限）则2区域涂成红色的概率
A ．1/5 B.1/240 C.2/5 D.3/5
21.(2008年全国卷理)如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48
A
B
C
D
顺德
禅城
高明
南海
三水
4
3
2
1。