排列组合中的染色问题(教师版)

排列组合中的染色问题

辅导教师：朱屿 电话：150****8809

染色问题的基本要求：每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色; 染色问题的基本方法:先选色后涂色;

染色问题的注意事项;分清区域数量和可供选择的颜色种类。必要时可以对颜色或区域进行分类。

1.将A 、B 、C 三种不同的颜色，填到如图所示区域中，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，三种颜色都用到，则不同的涂法种数为（ 90种 ）

解：9061

21212121213=-C C C C C C （详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格

中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有1

21

21

21

21

21

3C C C C C C 种,但由于每种颜色都用到

,所以总计有:（90种,） 变式训练：1、如果方格数有变化，应该怎样解？2、如果颜色有变化呢？ 2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分不种同颜色的花，则不同的栽法种数为（120种 ）

解：先安排六个区域的中1、2、3有243

4=A 种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则余下的区域4、5、6的栽法有B-C-D ， B-D-C ， D-B-C ，D-B-D ，D-C-D 共计五种。所以共计有24*5=120种。

3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260种）

解法一：①.如果用4种颜色，有1204

5=A 种

5

6

23

4

1

②.如果用3种颜色，选色有103

5=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种，

③.用2色图，2022

5=⨯C ，综上共计120+120+20=260种。

解法二：从五种颜色中选出两种涂到1、3有A 52=20种，

然后涂4区域，分为两种情况：不妨假设1、3涂的是A 、B ，如果4中涂B ，4、2区域有4种涂法；如果4区域不是B ，4、2区域有3*3=9种涂法，所以总的涂法种数为A 52*（4+9）=260种。

4.用五种颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，有多少种不同的涂法？（180种） 解：

解法一：①.如果用3种颜色，先涂123，1区域的颜色与四相同，603

335=⨯A C ； ②. .如果用4种颜色，有1204

5=A 种。所以共计180种。

解法二：选出三种颜色涂到234区域中，有A 53=60种，然后涂1，有两类情况：与4同，一种；与4不同，2种；所以共有A 53*（1+2）=180种。

5.用六种广告色着色图中区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色。（480种）

1

43

2

B B

B

C C

C

A

A

A

B

C A

1

4

3

2

解法一：4804456=⨯⨯⨯种，解法二：与第4题类似，A 63(3+1)=480种 6.用n 种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，不同的图法种数为120种，则n=（120）。

解：因为A 44=24，所以n ≥5，相当于取出的所有颜色进行全排列，4n A =120，即

)123)(103(22+---n n n n =0，解得n=5。

7.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并且使同一条棱上的两端异色，若只有五种颜色可供选用，则不同的染色方案有多少种？（420种）

解法一：先染S 、A 、B ，（603

5=A ）然后涂C ，⎪⎩

⎪⎨⎧---)5/3(4)5/4/3(2)4/3(5D C D C D C 共七种，所以不同选

法种数为60*7=420种。

解法二：可以先考虑涂ABCD 四个顶点，（1）AC 同色且BD 同色，A 53；AC 同色且BD

不同色A 54；（2）AC 不同色且BD 同色A 54；AC 不同色BD 也不同色5！，共有A 53+A 54++A 54

+5！=420种。

8. 如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分颜色不同，则不同的栽法种数为（120种 ） 解：同第2题。

14

3

2

14

32

S

C

D

B

A

9.一个地区有五个行政区域，现给地图着色，有4种颜色可供选用，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂法种数为（ 72种）

解：①.如果用3种颜色，241

21334=⨯⨯C C C ；

②. .如果用4种颜色，有483

31214=A C C 种。所以共计72种。

10. 用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260种）

解法1：a 、c 同色，804415=⨯⨯C a 、c 不同色180332

5=⨯⨯A ，共计260种，本题与

第三题类似。

解法2：①.如果用4种颜色，有1204

5=A 种

②.如果用3种颜色，选色的103

5=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120

种，

③.用2色图，2022

5=⨯C ，综上共计120+120+20=260种。

1

4

3

2

5

6

14

3

2

5

b

d

c a