(word完整版)高中数学《排列组合染色问题》典例讲解

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排列组合中的染色问题

排列组合中的染色问题作者：林维祥来源：《学校教育研究》2018年第02期引言组合计数问题是组合数学的重要内容，也是竞赛数学不可或缺的重要组成部分，而染色问题是数学竞赛中常见的一类问题，也是与实际生活联系最为直接的内容. 若能顺利解决此类问题则其他排列组合问题也就迎刃而解了.解决组合计数问题的主要方法有枚举法、利用计数原理及基本公式、递推方法、容斥原理等，其中蕴含着分类讨论、转化和化归、函数与方程等数学思想。

在平时遇到的某些计数问题（如染色问题）看似排列组合类应用题，但又复杂万分，若从元素递增的角度考虑，建立递推数列就能迎刃而解.例：如图1所示，将一个城市划分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，有4种不同颜色可供选择，不同的着色方法有多少？解：（1）先给B、D着相同的颜色，有种方法，再依次给A、C、E着色，有种方法，共有种方法；（2）先给B、D着不同颜色，有种方法，再依次给A、C、E着色，有种方法，共有种方法。

所以，不同的着色方法共有 + =72（种）。

例题中的图形我们可以将其抽象为图2，即把图形分成如图的五块，则改变图形至图3，即将图形分成n+1块，有命题1 如图3所示的一个图形被分成n+1块小块，现将其染色，要求相邻的小块不得使用同一种颜色，有四种颜色可供选择，则有种方法。

分析：如图3中第O块与每个小块都相邻，则其所涂的颜色必与剩余的任何一个小块的颜色不同；因此，当O块涂了四种颜色中的一种后，就只剩下三种颜色可供剩余的小块涂色，根据此分析，我们有如下证明：证明：第O小块可以从四种颜色中任意选一种有种，设n个小块区域、、… 的涂法总数为，整个图形的涂法总数为。

不难算出、；、。

现寻找的递推关系：当、、… 区域涂色完毕后，区域的涂色有两种情况：第一种情况：与颜色一样的涂法为，区域有2种涂色方法；第二种情况：与颜色不一样的涂法为，区域只有一种涂色方法。

命题2 如图3所示的一个图形被分成n+1块小块，现将其染色，要求相邻的小块不得使用同一种颜色，有m种颜色可供选择，则有种方法。

排列组合中的涂色问题(二)

变式1 如下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．
按S—A—B—C—D的顺序进行涂色，对S、A、B涂色，有4×3×2=24种.由于 C的颜色可能与A同色或异色，这影响到D的颜色的选取方法数，故分类讨论：
变式2 如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为________种.
按A—B—C—D的顺序进行涂色，对A、B涂色，有4×3=12种. 由于C的颜色可能与A同色或异色，这影响到D的颜色的选取方法数，故分类讨论： ①C与A同色时，D应与A(C)不同色，有3种选择，即有1×3=3种涂色方法； ②C与A异色时，C有2种选择颜色，D也有2种颜色可供选择，即有2×2=4种涂色方法. 因此，对C、D有1×3+2×284种.
思考题将一个四棱锥P-ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
龟壳模型将5种不同的颜色涂在如图5个区域，每个区域内只能涂一种颜色，且相邻两个区域的颜色不同，则不同的涂色方法共有________种.
龟壳模型将5种不同的颜色涂在如图5个区域，每个区域内只能涂一种颜色，且相邻两个区域的颜色不同，则不同的涂色方法共有________种.
按S—A—B—C—D的顺序进行涂色，对S、A、B涂色，有5×4×3=60种. 由于C的颜色可能与A同色或异色，这影响到D的颜色的选取方法数，故分类讨论： ①C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)、S不同色，有3种选择，即有1×3=3种涂色方法； ②C与A异色时，C有2种选择颜色，D也有2 种颜色可供选择，即有2×2=4种涂色方法. 因此，对C、D有1×3+2×2=7种涂色方法。从而对如图5个区域总的涂色方法有60×7=420种.

排列组合题型全归纳专题06 染色问题(原卷版)

专题06染色问题【方法技巧与总结】涂色问题常用方法：(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.k 种颜色圆周染色问题如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用k 种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有(1)(1)(1)n n n a k k =-+-⨯-种方法.正常着色定理如图，用k （k 为正整数）种颜色给图的n 个顶点着色，则正常着色的方法为：,(1)(1)(1),2n n n k F k k n =-+--≥，1,k F k =.【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A．72B．48C．36D．24例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（）A．480B．600C．720D．840例3．（2023·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（）种不同的染色方案.A．96B．144C．240D．360例4．（2023·全国·高三专题练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）A．1512种B．1346种C．912种D．756种例5．（2023·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）A．720种B．2160种C．4100种D．4400种例6．（2023·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A．120种B．720种C．840种D．960种例7．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（）A ．6B ．10C ．16D ．20例8．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（）A ．1440B ．720C ．1920D ．960例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，用五种不同的颜色给图中的O ，A ，B ，C ，D ，E 六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A ．480B ．720C ．1080D ．1200例10．（2023·全国·高三专题练习）用五种不同颜色给三棱柱111ABC A B C -的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A ．840种B ．1200种C ．1800种D ．1920种例11．（2023·全国·高三专题练习）正方体六个面上分别标有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A ．420B ．600C ．720D ．780例12．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种例13．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A．192B．336C．600D．以上答案均不对例14．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．35例15．（2023·全国·高二专题练习）如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有______种.例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.例17．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．例18．（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.例19．（2023·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.例20．（2023秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.例21．（2023·高二课时练习）如图，用5种不同的颜色给图中的A、B、C、D、E、F6个不同的点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.例22．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．例23．（2023·全国·高二专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．例24．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个正方形花圃被分成5份．(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？例25．（2023·全国·高三专题练习）用()3,n n n N *≥∈种不同的颜色给如图所示的A 、B 、C 、D 四个区域涂色．（1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？（2）若相邻区域不能用同一种颜色，当6n =时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？（3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有180种不同的涂色方案，求n 的值．例26．（2023·全国·高二专题练习）如图所示的A ，B ，C ，D 按照下列要求涂色．（1）用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？（2）若恰好用3种不同颜色给A，B，C，D四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？例27．（2023·全国·高二专题练习）（1）从5种颜色种选出3种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种；（2）从5种颜色种选出4种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种．。

排列组合中涂色问题

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的根本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各局部涂色，每局部只涂一种颜色，相邻局部涂不同颜色，那么不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、〔2003卷〕四种不同的颜色涂在如下列图的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：〔1〕②与⑤同色、④与⑥同色，那么有44A ；〔2〕③与⑤同色、④与⑥同色，那么有44A ；〔3〕②与⑤同色、③与⑥同色，那么有44A ；〔4〕③与⑤同色、② 与④同色，那么有44A ；〔5〕②与④同色、③与⑥同色，那么有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、〔2003年全国高考题〕如下列图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 领先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； ① ②③ ④ ⑤⑥3) 当用四种颜色时，假设区域2与4同色，4) 那么区域3与5不同色，有44A 种；假设区域3与5同色，那么区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

高中数学《排列组合染色问题》典例讲解

排列组合染色问题的探究上饶县二中徐凯在任教高二数学教学时，有许多同学被排列组合题的灵活性所困惑，甚至有学生向我询问有没有公式之类的解决途径，每道题都去分析似乎很累。

其实就某些特殊的排列组合问题是可以抽象出数学模型来加以研究的，比如说下面我们所要提到的染色问题。

一、一个结论。

若把一个圆（除中间同心圆外的圆环部分）分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 那么共有S)1()1()1(--+-=m m n n 种染色方法。

例：在一个圆形花坛种颜色花卉，现有4种颜色可供选择，要求相邻两个区域不同色，则共有多少种方法？解：从图中可以发现除同心圆部分外的圆环部分被分成了n=5份，因为有4种颜色可供选择，我们先给同心圆①染色有4种方法，那么圆环部分有3种颜色可供选择，即m=3,所以圆环部分共有S=()30232)13()1(1355=-=--+-种染色方法，从而整个圆形花坛共有120304=⨯种染色方法。

用常规方法同学们是否也能做到那么快和准确呢？二、结论的证明。

把圆(除中间同心圆部分)分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻。

部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 求不同的染色方法总数。

(1) 当m = 2时, n 为偶数时有2种栽种法,n 为奇数时无解。

(2) 当m > 2时设把圆分成的n 部分为n n T T T T T 、、、、1321...-。

开始时,1T 有m 种不同的染色法;1T 染好后, 2T 有m - 1 种染色法;21T T 、染好后,3T 也有m - 1种染色法; 这样依次下去, 染色的方法总数为1)1(--n m m 。

但是在这些染色方法中, 包括1-n T 与n T 染同种颜色的情况,若某种染色法使1-n T 与n T 同色, 拆去1-n T 与n T 的边界后, 就是分圆为n-1部分, 相邻部分染不同颜色的方法。

2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题06 染色问题含解析

2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题6染色问题例1．如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种例2．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种例3．现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A ．720种B ．1440种C ．2880种D ．4320种例4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．A．420B．180C．64D．25例5．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A．120种B．720种C．840种D．960种例6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种例7．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A．240B．360C．420D．960方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相例8．如图所示，将3333邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为()A．33B．56C．64D．78的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点例9．如图给三棱柱ABC DEF不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.例10．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法例11．如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．例12．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.例13．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有_________种例14．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有_______种．例15．现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有__________种(用数字作答).例16．四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为__________例17．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公.共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种例18．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）例19．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.例20．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）例21．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.例22．如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．专题6染色问题例1．如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【解析】先涂三棱锥P ABC -的三个侧面，有1113216C C C =种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有1112112C C C =种情况，共有6212⨯=种不同的涂法．故选：C ．例2．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种【解析】由题意，点E ，F ，G 分别有4，3，2种涂法，（1）当A 与F 相同时，A 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有3种涂色方法；②若C 与F 不同，则D 有2种涂色方法.故此时共有()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.（2）当A 与G 相同时，A 有1种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有2种涂色方法；②若C 与F 不同，则C 有2种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有1种涂色方法.故此时共有()4321122221192⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种涂色方法.（3）当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种涂色方法.①若B 与F 相同，则C 与A 相同时，D 有2种涂色方法，C 与A 不同时，C 和D 均只有1种涂色方法；②若B 与F 不同，则B 有1种涂色方法，（i ）若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法；（ii ）若C 与F 不同，则必与A 相同，C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法.故此时共有()()43211121111212168⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦种涂色方法.综上，共有240192168600++=种涂色方法.故选：C.例3．现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A．720种B．1440种C．2880种D．4320种【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；⨯⨯⨯⨯⨯=种.所以不同的涂色方法：6543434320故选：D.例4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．A．420B．180C．64D．25【解析】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域A有5种涂法，B有4种涂法，⨯⨯⨯=种，A，D不同色，D有3种，C有2种涂法，有5432120⨯⨯=种，A，D同色，D有1种涂法，C有3种涂法，有54360共有180种不同的涂色方案．故选：B．例5．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A ．120种B ．720种C ．840种D ．960种【解析】法一：A 有5种颜色可选，B 有4种颜色可选，D 有3种颜色可选，若CA 同色，E 有4种颜色可选；若CB 同色，E 有4种颜色可选；若C 与A 、B 都不同色，则C 有2种颜色可选，此时E 有4种颜色可选，故共有()5434424960⨯⨯⨯++⨯=种．法二：当使用5种颜色时，有55120A =种涂色方法；当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是AC ，BC ，AE ，BE ，CE ，共有455600A =种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是AC 同色且BE 同色，AE 同色且BC 同色，ACE 同色，BCE 同色，共有354240A =种涂色方法，∴共有120600240960++=种涂色方法.故选：D.例6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有177C =种方法，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有66A种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有66725202A⨯=种不同的涂法.故选：D.例7．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A．240B．360C．420D．960【解析】由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360⨯⨯=种染色方法.设5种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607420⨯=（种）.故选：C例8．如图所示，将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为()A．33B．56C．64D．78【解析】记分隔边的条数为L，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L =，其次证明：56L ≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,B B B ，行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有j c 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ，所以()()()()()()()3333331111,,iiiji j j i i i j n A n B A c B c n c δδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑，由于染j c 色的格有21333633⨯=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定再这个a行和b 列的交叉方格中，从而363ab ≥，所以()()3839(1,2,3)j j n c a b n c j =+≥≥⇒≥=①，由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，于是至少有()1i n A -条分隔边，类似的，在列i B 中有()i n B 种颜色的方格，于是至少有()1i n B -条分隔边，则()()()()()()()3333113311166iiiii i i L n A n B n A n B ===≥-+-=+-∑∑∑②()3166j j n c ==-∑③下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=④由①③④得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥，从而，由式②知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56.故选：B.例9．如图给三棱柱ABC DEF -的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.【解析】首先先给顶点,,A B C 染色，有3424A =种方法，再给顶点D 染色，①若它和点B 染同一种颜色，点E 和点C 染相同颜色，点F 就有2种方法，若点E 和点C 染不同颜色，则点E 有2种方法，点F 也有1种方法，则,,D E F 的染色方法一共有2214+⨯=种方法，②若点D 和点B 染不同颜色，且与点C 颜色不同，则点D 有1种方法，点E 与点C 颜色不同，则点E 有1种方法，则点F 有1种方法，此时有1种方法；若最后E 与C 相同，则F 有2种方法，则共有2种方法；点D 与点C 颜色相同，则点D 有1种方法，则点E 有2种方法，则点F 有2种方法，共有224⨯=种方法，所以点D 和点B 染不同，颜色共有1247++=种方法，所以点,,D E F 的染色方法一共有4711+=种，所以共有2411264⨯=种方法.故答案为：264例10．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法【解析】先排I ，有5种方法；然后排II,IV ，最后排III ：①当II,IV 相同时，方法有44⨯种，故方法数有54480⨯⨯=种.②当II,IV 不同时，方法有433⨯⨯种，故方法数有5433180⨯⨯⨯=种.综上所述，不同的着色方法数有80180260+=种.故答案为：260例11．如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．【解析】分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有4424A =种涂法；（2）用三种颜色涂色，有34248A =种涂法；（3）用两种颜色涂色，有2412A =种涂法；所以共有涂色方法24481284++=.故答案为：84例12．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.【解析】从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类：一类是，前三个圆用3种颜色，有336A =种方法，后3个圆也有3种颜色，有11224C C =种方法，此时不同方法有6×4=24方法；二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有11326C C =方法.综上可知，所有的涂法共有()4246120⨯+=种方法.故答案为：120例13．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有_________种【解析】先对E 部分种植，有4种不同的种植方法；再对A 部分种植，又3种不同的种植方法；对C 部分种植进行分类：①若与A 相同，D 有2种不同的种植方法，B 有2种不同的种植方法，共有432248⨯⨯⨯=（种），②若与A 不同，C 有2种不同的种植方法，D 有1种不同的种植方法，B 有1种不同的种植方法，共有4321124⨯⨯⨯⨯=（种），综上所述，共有72种种植方法．故答案为：72.例14．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有_______种．【解析】依题意，I 、II 、III 区域有共同边颜色互不相同，按I 、II 、III 、IV 顺序着色，则区域I 有5种着色方法，区域II 有4种着色方法，区域III 有3种着色方法，IV 只与II 、III 相邻，因此区域IV 有3种着色方法，根据分步乘法计数原理，不同的着色方法种数为5433180⨯⨯⨯=.故答案为：180例15．现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有__________种(用数字作答).【解析】当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有12224A A = ，当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有122A =，则不同的涂法种数共有426+=种．故答案为：6．例16．四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为__________【解析】设五个区域分别为,,,,A B C D E ，依题意由公共边的两个区域颜色不同，用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同，可以是A 与C ，A 与E ，B 与E 同色，有涂色方法44372A =；或用三种颜色涂色，则有2组颜色同色，为A 与C 同色，B 与E 同色，有涂色方法3424A =，根据分类加法原理，共有涂色方法722496+=.故答案为：96.例17．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.【解析】对于1，有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有322112⨯⨯⨯=；若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有()322118⨯⨯+=⎡⎤⎣⎦，综上可知，共有121830+=种染色方法.故答案为：30.例18．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有4424A =种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；所以共有482448120++=种栽种方法.故答案为：120例19．给图中A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.【解析】解：要完成给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即AF 同色，BD 同色，CE 同色，则从四种颜色中取三种颜色有344C =种取法，三种颜色染三个区域有336A =种染法，共4624⨯=种染法；第二类是用四种颜色染色，即AF ，BD ，CE 中有一组不同色，则有3种方案(AF 不同色或BD 不同色或CE 不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有2412A =种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有312272⨯⨯=种染法．∴由分类加法原理得总的染色种数为247296+=种．故答案为：96．20．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）例21．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.【解析】（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1143C C 种，再对C 染色：①当C 同B 时，有1122C C 种；②当C 同A 时，有111322C C C + 种；③当C 不同A 、B 时，有111232()C C C +种；综合①②③共有11111111114322322232[()]252C C C C C C C C C C ++++= 种；（2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1154C C 种，再对C 染色：①当C 同B 时，有1133C C 种；②当C 同A 时，有111433C C C + 种；③当C 不同A 、B 时，有11113423()C C C C +种；综合①②③，共有1111111111154334333423[()]1040C C C C C C C C C C C ++++= 种.故答案为：252；1040.例22．如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有3344576A A =；（2）若B '，A '，A ，C 用四种颜色，则有4424A =；若B '，A '，A ，C 用三种颜色，则有33442222192A A ⨯⨯+⨯⨯=；若B '，A '，A ，C 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=.所以共有2419248++=264种．故答案为：①576；②264.。

排列组合中的染色问题

排列组合中的染色问题作者：林维祥来源：《学校教育研究》2017年第14期引言组合计数问题是组合数学的重要内容，也是竞赛数学不可或缺的重要组成部分，而染色问题是数学竞赛中常见的一类问题，也是与实际生活联系最为直接的内容. 若能顺利解决此类问题则其他排列组合问题也就迎刃而解了.解决组合计数问题的主要方法有枚举法、利用计数原理及基本公式、递推方法、容斥原理等，其中蕴含着分类讨论、转化和化归、函数与方程等数学思想。

所以，不同的着色方法共有 + =72（种）。

分析：如图3中第O块与每个小块都相邻，则其所涂的颜色必与剩余的任何一个小块的颜色不同；因此，当O块涂了四种颜色中的一种后，就只剩下三种颜色可供剩余的小块涂色，根据此分析，我们有如下证明：分析：图4中的图形相对图3增加了n个外面的半圆，而外面的半圆的染色数目只与相邻的小块颜色有关（如的颜色只与有关，即与颜色不相同）。

当里面的小块已经染色完毕后，还有m-1种颜色可供选择，同理均有m-1种颜色可供选择。

所以根据乘法原理共有种方法。

从上可知，常规的方法不仅繁杂而且容易遗漏；但是若能熟练运用式（*）或（**），则问题就变得简单易解，而且在解题过程中不会出现重复或遗漏的情况。

排列组合中涂色问题的常见方法及策略

排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，① ②③ ④ ⑤ ⑥2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

排列组合专题之染色问题通法(公式)

排列组合专题之染色问题通法（公式）排列组合专题之染色问题【引例】引例1(在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物(现有四种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案(引例2(某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种((以数字作答)1【分析】首先栽种第1部分，有种栽种方法; C4然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分(如右图所示)，此问题和引例1是同一题型，因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。

【剖析】为了深入探讨这一题型的解法，(1)让我们首先用m(m?3)种不同的颜色(可供选择)，去涂4个扇形的情形(要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色)，如图所示以1和3(相间)涂色相同与否为分类标准:?1和3涂同一种颜色，有m种涂法;2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法, ? 共有种涂法。

mmm,,,,(1)(1)2?1和3涂不同种颜色，有种涂法;2有m-2种涂法，4也有m-2种涂法， Am 2? 共有种涂法。

Amm,,,,(2)(2)m2432综合?和?，共有+种涂法。

mmm,,,,(1)(1)Amm,,,,(2)(2),,，,mmmm463m(,)下面来分析引例1以A、C、E(相间)栽种植物情况作为分类标准:?A、C、E栽种同一种植物，有4种栽法;B、D、F各有3种栽法，? 共有4×3×3×3,108 种栽法。

2222?A、C、E栽种两种植物,有种栽法(是4种植物中选出2 CCAC443222 种，是A、C、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物，是 CA32选出的2种植物排列)，B、D、F共有3×2×2 种栽法(注:若A、C栽种同一种植物，则B有3 种栽法，D、F各有2种栽法)，222 ？，，，,共有种栽法。

排列与组合中的涂色问题例析

排列与组合中的涂色问题例析北京师大燕化附中（102500）钱月华史树德在排列与组合的练习、检测和高考试题中，近年来多次出现了某些涂色问题。

拨云破雾、还其本来面目，实质是用分类或分步计数原理导航，通过深入缜密分析题意，将原题化归成熟悉的排列、组合或其综合题型、逐类分步推理求解。

一、带状区域的涂色题带状区域的涂色问题的解法，与推导排列数公式m n A 的思想方法类似，可构造排好顺序的m 个空位（格），从n 个不同元素中任取m （n m ≤）个填充.此类涂色题一般可转化成有限制条件的排列或组合问题.例1 用红黄绿三种颜色给图1的5个带状格子涂色.要求每格涂一种颜色、且相邻格子不能图同一种颜色，共有多少种不同的涂法？解析：从满足一格一颜色、邻格不同色的限制条件入手，分成三类：一类是左边三个邻格从红黄绿中任取3色涂法有33A 种，且右面两相邻格涂法有12A 种.共有121233=⋅A A 种.二类是左起4格涂成红绿红绿的类似模式有33A 种，末一格涂法有12A 种，共有121233=⋅A A 种.三类是左起4格涂成红绿红黄的类似模式有44A 种，其中产生与一类重复的有6种（如红绿红黄绿与一类的红绿红黄绿）.综上得：42)6(4412331233=-++A A A A A （种）.点评：本例由03年全国高考试题改稿而成，形异质同，也可先排在左起2格，再排第3格、4格、5格、采用逐类相加的解法。

例2 用4种不同颜色给图1的5个格子涂色，要求每个格涂一种颜色，若涂完后同颜色的格子恰有3个，则有多少种不同涂色方法？解析：首先考虑同色的三个格子排列法有35C 种，且任选4种颜色之一涂色，共有35C 4种。

第二步，将已涂色的三格视为一个整体与未涂色两格作全排列有33A 种，共有(35C •4) •33A =240种。

点评：注意到题中没有相邻两格不同色的约束条件，放宽要求后使问题解法简化，某同学列出算式35C 34A 时否？为什么？例3 用6种不同的颜色给图2的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法共有多少种？（07天津市理科高考16题）图2解析：题中最多使用3种颜色的言外之意是最少使用2种颜色（用1种颜色不合题意），启示我们把解法分成两类：一类是用2种颜色涂有26C 种选法，满足相邻格异色、一个一色的4个格子涂法有22A 种，共有26C 22A =30种。

解决排列组合中涂色问题专题讲座(有详细答案)

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；①②③④ ⑤⑥（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)

排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。

根据分步计数原理，不⨯⨯⨯=种。

同的涂色方法有54342402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。

例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：34、根据相间区域使用颜色分类讨论。

例5、如图，6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法?解析：①当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，有4种着色方法，此时B 、D 、F 各有3 种着色方法，共有4333108⨯⨯⨯=种方法。

②当相间区域A 、C 、E 着两种不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F有322⨯⨯种着色方法，共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种方法。

③当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法，共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。

总计有108432192732++=种不同的涂色方法。

5、用数列递推公式解决扇形区域涂色问题。

例6、把一个圆分成()2n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种不同的染色方法？解析：设n 个扇形分别为1A 、2A 、、n A ，分成n 个扇形时的染色方法有n a 种，则①当2n =时1A 、2A 有2412A =种染色方法，即212a =。

8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)

排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。

根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=种。

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。

例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：㈠②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种；㈡③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种；㈢②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A 种；㈣③与⑤同色、②与④同色，则有44A 种；㈤②与④同色、③与⑥同色，则有44A 种。

根据分类计数原理得涂色方法总数为445120A =。

例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。

现有4解析：依题意至少要用3种颜色。

①若用3种颜色，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，故有34A 种；②若用4种颜色，则区域2与4同色，区域3与5不同色，有44A 种；或区域3与5同色，区域2与不同色，有4种。

共有4种。

根据分类计数原理得满足题意的着色方法共有3444272A A +=。

3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。

从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。

例4、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解析：可把问题分为三类：①四格涂不同的颜色，有34A 种；②有且仅有两个区域颜色相同，即只有一组对角小方格涂相同的颜色。

排列组合中染色问题(精华版)

练习2:(05全国卷Ⅱ)在由数字0，1，2，3，4，5所
组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数
共有
个.
简单的着色问题
例 3 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂
上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但
相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为
( A)
A. 180
B. 160
C. 96
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44 （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有 A44
（4）③与⑤同色、②与④同色，则有 A44
（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 A44
所以根据加法原理得涂色方法总数为
例8、（全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供；涂 4 色：C12 A54 240 ；
涂
5
色：
A55
120 ，∴共有 60
240
120
420
图7
种
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例7、（江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色
排列组合典型例题
排队”，“染色”问题
典例回顾:
例1. 4男3女坐成一排, 1).共有多少种排法? 2).某人必须在中间,有多少种排法? 3).某二人只能在两端,有多少种排法? 4).某人不在中间和两端,有多少种排法? 5).甲乙必相邻,有多少种排法? 6)甲乙不相邻,有多少种排法? 7).甲乙两人间必相隔一人,有多少种排法? 8)4男必相邻,有多少种排法? 9)4男相邻,3女也相邻,有多少种排法? 10)3女不相邻,有多少种排法? 11)4男不相邻,有多少种排法? 12)4男不在两端有多少种排法? 13)甲在乙的左边有多少种排法? 14)4男不等高,按高矮顺序排列,有多少种排法? 解题回顾:本题是处理排队问题的经典类型,从中体会不同的限制条件下的求解方法.

2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解

2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解【典型例题】例1．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36B．48C．54D．72【答案】D【解析】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即48种方案；43212区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即24种方案；43211所以符合条件的涂色方案共有72种，故选：D．例2．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480 B．720 C．1080 D．1200【答案】D【解析】先给O涂色，有15C种方法，接着给A涂色，有14C种方法，接着给B涂色，有13C 种方法，①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，最后E有2种涂色方法；②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法．综上，涂色方法总数为15C 14C []13C 1322(1322)1200⨯⨯+⨯⨯+⨯=故选：D例3．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥V ABCD −的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A ．72种B ．36种C ．12种D ．60种【答案】A【解析】如下表。

组合数学中有关图形染色问题

组合数学中有关图形染色问题在优化组合中，有一类关键问题为染色问题，最为出名的则是”四色定理”，也就是用四种不相同的颜色将地图上各个国家标出，保证相邻的国家颜色互不相同。

染色问题针对的模型就是给n个区域染色，有N种颜色可供选择，要求相邻的区域颜色不同，一共有多少种不同染色方法？关于解法无非有具体针对的两类。

一，颜色备用型，就是颜色可以不用完。

1，如果是直链型，第一个有N种剩下的都为N-1种，则直链型共有N乘以(N-1)的（n-1）次方。

2，如果区域是地图型，如一个大圆，里边还有一个小圆，将圆环分为四个部分，给这五个区域染色，推导过程:（1），给公共相邻的区域先染色，共有N种不同方法。

（2），给其中一个区域染色，则共有N-1种方法。

（3），给另一个区域染色。

则共有N-2种方法。

（4），给再一个区域染色则当与第二个区域相同时，则有一种方法，与第二个不同时，则有N-3种方法。

（5），给最后一个区域染色，则与上个与第二个相同时，则有N-3种方法，当不同时则有N-3种方法。

综上则根据加法与乘法原理得共有N(N-1)(N-2)[(N-2)+(N-3)(N-3)]。

3，当图形为正方体时，给六个面染色时，利用上面相同的推导原理，根据加法与乘法原理得染色计算方法运算关系为N(N-1)(N-2)(N-2)+2N(N-1)(N-2)(N-3)+N(N-1)(N-3) (N-4)(N-4)种不同染色方法。

二，颜色用完型，也就是颜色必须用完，对于此类问题N必须小于等于n，如是区域种植问题，还是上面第一类图形，大圆中有个小圆，圆环有四部分，用四种颜色图，共有多少种不同染色方法，根据推导过程，根据乘法与加法原理得共有48种不同染色问题。

区域种植问题还是上面第一类图形，大圆中有个小圆，圆环有五部分，用四种颜色图，共有多少种不同染色方法，根据推导过程，根据乘法与加法原理得共有120种不同染色问题。

如果是直链型，如三种作物种五块地，根据乘法与加法原理得共有42种不同染色问题。

有关重复的排列组合和涂色问题讲义(精品文档)_共6页

有关重复的排列组合问题我们常见的排列、组合问题，其中的元素通常是不可重复的，下面我们看几类可重复的排列、组合问题。

一. 有重复排列–––分步计数原理例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？二. 不尽相异元素的排列–––组合法例2. 小麦、大麦品种各1种，种在5种不同土质的试验田里，3块种小麦，2块种大麦，有多少种种法？三. 相同元素分组––––隔板法例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里，每盒至少有1个，共有多少种放法？例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里（盒子可空），共有多少种放法？相关练习：1.某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，每班至少1人，不同的分配方案有几种？2. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，不同的分配方案有几种？四. 平均分组问题––––平均分给几组，除以几的阶乘例5. 将6个同学平均分成3组有多少种分法？排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题技巧性强且灵活多变，故这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与解决问题的能力，高考试卷中时有出现,一般是选择题或填空题的最后一题,有一定的难度。

例1如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．例2）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种.例3将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如S ABCD 果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.6个区域，且相邻两个区域不能同色,则不同的着色方法共有______种.2.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色.要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种(用数字作答).3. 用六种颜色给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点A BCD 的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？4.从0，2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )(A)24(B)18 (C)12 (D)65.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）(A)60种(B)63种 (C)65种 (D)66种.6.两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）(A)10种 (B)15种 (C)20种 (D)30种7.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）(A)12种 (B)10种 (C)9种 (D)8种8.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为()（A ）232 (B)252 (C)472 (D)4849.（2012·湖北高考理科·Ｔ13）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n ＋1（n ∈N+）位回文数有______个.①②2③④⑤⑥。

(word完整版)高中数学《排列组合染色问题》典例讲解

排列组合中的染色问题

排列组合中的涂色问题(二)

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排列组合中涂色问题

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2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题06 染色问题含解析

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8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)

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