排列组合专题之染色问题3

排列组合专题之染色问题 【引例】
引例1．在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种
同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有
________种栽种方案．
引例2．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要
栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，
不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）
【分析】首先栽种第1部分，有14C 种栽种方法；
然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所
示），
此问题和引例1是同一题型，因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。

【剖析】
为了深入探讨这一题型的解法，
（1）让我们首先用m （m ≥3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形
（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色），如图所示
以1和3（相间）涂色相同与否为分类标准：
①1和3涂同一种颜色，有m 种涂法；2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法,
∴ 共有 (1)(1)m m m ⋅-⋅-种涂法。

②1和3涂不同种颜色，有2m A 种涂法;2有m-2种涂法，4也有m-2种涂
法，
∴ 共有 2(2)(2)m A m m ⋅-⋅-种涂法。

综合①和②，共有(1)(1)m m m ⋅-⋅-+2(2)(2)m A m m ⋅-⋅-432
463m m m m =-+-种涂法。

（２）下面来分析引例1
以A 、C 、E （相间）栽种植物情况作为分类标准：
①A 、C 、E 栽种同一种植物，有4种栽法；B 、D 、F 各有3种栽法，
∴ 共有 4×3×3×3＝108 种栽法。

②A 、C 、E 栽种两种植物,有222432C C A 种栽法（24C 是4种植物中选出2
种，23C 是A 、C 、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物，22A 是
选出的2种植物排列），B 、D 、F 共有3×2×2 种栽法（注：若A 、C 栽种同一种植物，则B 有 3 种栽法，D 、F 各有2种栽法），
222432322432C C A ∴⨯⨯⨯=共有种栽法。

③A 、C 、E 栽种3种植物，有3
4A 种栽法；B 、D 、F 各有2种栽法，
∴ 共有 34A ×2×2×2＝192 种栽法。

综合①、②、③，共有 108+432+192=732种栽法。

（３）上述(1)、(2)给出了“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n （n 为偶数）个扇形，用m 种不同的颜色
对这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的一般解题思路：即以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。

（4）那么，“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n （n 为奇数）个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形
着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路又如何呢？
【分析】
对扇形P 1有m 种涂色方法，
扇形P 2有m －1种涂色方法，
扇形P 3也有m －1种涂色方法，
…………
扇形P n 也有m －1种涂色方法．
于是，共有1(1)n m m -⋅-种不同的涂色方法。

但是，这种涂色方法可能出现P 1与P n 着色相同的情形，这
是不符合题意的，因此，答案应从1(1)n m m -⋅-中减去这些不符合题意的涂色方法。

那么，这些不符合
题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P 1与P n 看作一个扇形，其涂色方法相当于用m 种颜色对n －1（n －1为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙）。

而用m 种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（３）中给出了解题思路。

下面，就让我们把这种解题思路应用于引例2．
【分析】
①首先栽种第1部分，有14C 种栽种方法；
②然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图
所示），
对扇形2有3种栽种方法，
扇形3有2种栽种方法，
扇形4也有2种栽种方法，
扇形5也有2种栽种方法，
扇形6也有2种栽种方法．
于是，共有432⨯种不同的栽种方法。

但是，这种栽种方法可能出现区域2与6着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从4
32⨯中减去这些不符合题意的栽种方法。

这时，把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙）。

而用3种颜色的花对4个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。

综合①和②，共有1412433[32(2211)]4(4818)430120C C A ⋅⨯-⨯⨯+⨯⨯=⨯-=⨯=种栽法。

（当然此式中的12332211C A ⨯⨯+⨯⨯=18也可以直接用（1）中的公式算出：即 432463m m m m -+-=432343633318-⨯+⨯-⨯=）.
【拓展】上面，我们分别就n 为偶数和奇数给出了“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n 个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路。

那么，这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢？（n 为不小于3的整数）
【分析】设n a 为符合要求的对n 个扇形的涂色方法。

对扇形P 1有m 种涂色方法，
扇形P 2有m －1种涂色方法，
扇形P 3也有m －1种涂色方法，
…………
扇形P n 也有m －1种涂色方法．
于是，共有1(1)n m m -⋅-种不同的涂色方法。

但是，n a ≠1(1)n m m -⋅-，因为这种涂色方法可能出现P 1
与P n 着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从1(1)n m m -⋅-中减去这些不符合题意的涂色
方法。

那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P 1与P n 看作一个扇形，其涂色方法相当于用m 种颜色对n －1个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙），不同的涂色方法有1n a -种，于是，有 n a =1(1)n m m -⋅-－1n a -（n ≥3），①． 显然，3(1)(2)a m m m =--．
上述的式①就是数列的递推公式，由此，我们就可以推导出n a 的通项公式：
n a =(1)(1)(1)(3)n n m m n -+--≥．
至此，我们就找到了“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n 个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的通项公式：即n a =(1)(1)(1)(3)n n
m m n -+--≥．
【注意】上述问题中的m 种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的。

【迁移练习】
1．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），每部分
栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有5种不同颜色的花可供选
择，则不同的栽种方法有_____种； 若要求5种不同颜色的花全部栽种，则
不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）
2．在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一
种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有
________种栽种方案；若要求四种不同的植物全部栽种，则有________种栽种
方案．
【答案】1．1200，600； 2．732，480。