排列组合中染色问题(教师用)

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排列组合中的染色问题

排列组合中的染色问题作者：林维祥来源：《学校教育研究》2018年第02期引言组合计数问题是组合数学的重要内容，也是竞赛数学不可或缺的重要组成部分，而染色问题是数学竞赛中常见的一类问题，也是与实际生活联系最为直接的内容. 若能顺利解决此类问题则其他排列组合问题也就迎刃而解了.解决组合计数问题的主要方法有枚举法、利用计数原理及基本公式、递推方法、容斥原理等，其中蕴含着分类讨论、转化和化归、函数与方程等数学思想。

在平时遇到的某些计数问题（如染色问题）看似排列组合类应用题，但又复杂万分，若从元素递增的角度考虑，建立递推数列就能迎刃而解.例：如图1所示，将一个城市划分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，有4种不同颜色可供选择，不同的着色方法有多少？解：（1）先给B、D着相同的颜色，有种方法，再依次给A、C、E着色，有种方法，共有种方法；（2）先给B、D着不同颜色，有种方法，再依次给A、C、E着色，有种方法，共有种方法。

所以，不同的着色方法共有 + =72（种）。

例题中的图形我们可以将其抽象为图2，即把图形分成如图的五块，则改变图形至图3，即将图形分成n+1块，有命题1 如图3所示的一个图形被分成n+1块小块，现将其染色，要求相邻的小块不得使用同一种颜色，有四种颜色可供选择，则有种方法。

分析：如图3中第O块与每个小块都相邻，则其所涂的颜色必与剩余的任何一个小块的颜色不同；因此，当O块涂了四种颜色中的一种后，就只剩下三种颜色可供剩余的小块涂色，根据此分析，我们有如下证明：证明：第O小块可以从四种颜色中任意选一种有种，设n个小块区域、、… 的涂法总数为，整个图形的涂法总数为。

不难算出、；、。

现寻找的递推关系：当、、… 区域涂色完毕后，区域的涂色有两种情况：第一种情况：与颜色一样的涂法为，区域有2种涂色方法；第二种情况：与颜色不一样的涂法为，区域只有一种涂色方法。

命题2 如图3所示的一个图形被分成n+1块小块，现将其染色，要求相邻的小块不得使用同一种颜色，有m种颜色可供选择，则有种方法。

高中数学排列组合染色问题(公开课)(共10张PPT)

分析：给四川染色有4种方法，给青海染色有3种方法，给西藏染色有2种方法，给云南染色有2种方法
[a1]
练习1：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，共有多少不同的栽种方法
练习2：某伞厂所生产的伞品种齐全，其中品牌为"太阳伞"的伞的伞蓬都由太阳光的七种颜色组成，这七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对的区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞至多有（）种
染色问题
例.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则不同的涂色方法有（）种。
A
①
B
②
C
③
D
④
分析：A 4种 B 3种 C 3种 D 3种
变式1.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则不同的涂色方法有（）种。 A D B C
（A）40320 （B）5040 （C）20160 （D）2520
总结
Hale Waihona Puke 对区域染色的常见思路：（1）直接根据两个基本原理求解；（2）根据所用的颜色的种数分类；（3）根据某两个区域同色或不同色分类；（4）根据相间区域使用的种类分类。
作业
（1）用5种颜色给图中的5个车站候车牌（A、B、C、D、E）
分析：A B C D 4种 3种 3种？？
为什么第四个区域不确定是几种情况呢？
解：分类：BD同色： BD异色： 36+48=84种
变式2.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则不同的涂色方法有（）种。

高中数学排列组合涂色与整除问题

排列与组合中的涂色问题例析北京师大燕化附中（102500）钱月华史树德在排列与组合的练习、检测和高考试题中，近年来多次出现了某些涂色问题。

拨云破雾、还其本来面目，实质是用分类或分步计数原理导航，通过深入缜密分析题意，将原题化归成熟悉的排列、组合或其综合题型、逐类分步推理求解。

一、带状区域的涂色题带状区域的涂色问题的解法，与推导排列数公式m n A 的思想方法类似，可构造排好顺序的m 个空位（格），从n 个不同元素中任取m （n m ≤）个填充.此类涂色题一般可转化成有限制条件的排列或组合问题.例1 用红黄绿三种颜色给图1的5个带状格子涂色.要求每格涂一种颜色、且相邻格子不能图同一种颜色，共有多少种不同的涂法？解析：从满足一格一颜色、邻格不同色的限制条件入手，分成三类：一类是左边三个邻格从红黄绿中任取3色涂法有33A 种，且右面两相邻格涂法有12A 种.共有121233=⋅A A 种.二类是左起4格涂成红绿红绿的类似模式有33A 种，末一格涂法有12A 种，共有121233=⋅A A 种.三类是左起4格涂成红绿红黄的类似模式有44A 种，其中产生与一类重复的有6种（如红绿红黄绿与一类的红绿红黄绿）.综上得：42)6(4412331233=-++A A A A A （种）.点评：本例由03年全国高考试题改稿而成，形异质同，也可先排在左起2格，再排第3格、4格、5格、采用逐类相加的解法。

例2 用4种不同颜色给图1的5个格子涂色，要求每个格涂一种颜色，若涂完后同颜色的格子恰有3个，则有多少种不同涂色方法？解析：首先考虑同色的三个格子排列法有35C 种，且任选4种颜色之一涂色，共有35C 4种。

第二步，将已涂色的三格视为一个整体与未涂色两格作全排列有33A 种，共有(35C ∙4) ∙33A =240种。

点评：注意到题中没有相邻两格不同色的约束条件，放宽要求后使问题解法简化，某同学列出算式35C 34A 时否？为什么？例3 用6种不同的颜色给图2的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法共有多少种？（07天津市理科高考16题）图2解析：题中最多使用3种颜色的言外之意是最少使用2种颜色（用1种颜色不合题意），启示我们把解法分成两类：一类是用2种颜色涂有26C 种选法，满足相邻格异色、一个一色的4个格子涂法有22A 种，共有26C 22A =30种。

8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)

排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。

根据分步计数原理，不⨯⨯⨯=种。

同的涂色方法有54342402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。

例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：34、根据相间区域使用颜色分类讨论。

例5、如图，6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法?解析：①当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，有4种着色方法，此时B 、D 、F 各有3 种着色方法，共有4333108⨯⨯⨯=种方法。

②当相间区域A 、C 、E 着两种不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F有322⨯⨯种着色方法，共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种方法。

③当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法，共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。

总计有108432192732++=种不同的涂色方法。

5、用数列递推公式解决扇形区域涂色问题。

例6、把一个圆分成()2n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种不同的染色方法？解析：设n 个扇形分别为1A 、2A 、、n A ，分成n 个扇形时的染色方法有n a 种，则①当2n =时1A 、2A 有2412A =种染色方法，即212a =。

2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题06 染色问题含解析

2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题6染色问题例1．如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种例2．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种例3．现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A ．720种B ．1440种C ．2880种D ．4320种例4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．A．420B．180C．64D．25例5．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A．120种B．720种C．840种D．960种例6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种例7．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A．240B．360C．420D．960方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相例8．如图所示，将3333邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为()A．33B．56C．64D．78的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点例9．如图给三棱柱ABC DEF不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.例10．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法例11．如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．例12．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.例13．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有_________种例14．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有_______种．例15．现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有__________种(用数字作答).例16．四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为__________例17．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公.共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种例18．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）例19．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.例20．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）例21．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.例22．如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．专题6染色问题例1．如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【解析】先涂三棱锥P ABC -的三个侧面，有1113216C C C =种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有1112112C C C =种情况，共有6212⨯=种不同的涂法．故选：C ．例2．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种【解析】由题意，点E ，F ，G 分别有4，3，2种涂法，（1）当A 与F 相同时，A 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有3种涂色方法；②若C 与F 不同，则D 有2种涂色方法.故此时共有()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.（2）当A 与G 相同时，A 有1种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有2种涂色方法；②若C 与F 不同，则C 有2种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有1种涂色方法.故此时共有()4321122221192⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种涂色方法.（3）当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种涂色方法.①若B 与F 相同，则C 与A 相同时，D 有2种涂色方法，C 与A 不同时，C 和D 均只有1种涂色方法；②若B 与F 不同，则B 有1种涂色方法，（i ）若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法；（ii ）若C 与F 不同，则必与A 相同，C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法.故此时共有()()43211121111212168⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦种涂色方法.综上，共有240192168600++=种涂色方法.故选：C.例3．现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A．720种B．1440种C．2880种D．4320种【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；⨯⨯⨯⨯⨯=种.所以不同的涂色方法：6543434320故选：D.例4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．A．420B．180C．64D．25【解析】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域A有5种涂法，B有4种涂法，⨯⨯⨯=种，A，D不同色，D有3种，C有2种涂法，有5432120⨯⨯=种，A，D同色，D有1种涂法，C有3种涂法，有54360共有180种不同的涂色方案．故选：B．例5．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A ．120种B ．720种C ．840种D ．960种【解析】法一：A 有5种颜色可选，B 有4种颜色可选，D 有3种颜色可选，若CA 同色，E 有4种颜色可选；若CB 同色，E 有4种颜色可选；若C 与A 、B 都不同色，则C 有2种颜色可选，此时E 有4种颜色可选，故共有()5434424960⨯⨯⨯++⨯=种．法二：当使用5种颜色时，有55120A =种涂色方法；当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是AC ，BC ，AE ，BE ，CE ，共有455600A =种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是AC 同色且BE 同色，AE 同色且BC 同色，ACE 同色，BCE 同色，共有354240A =种涂色方法，∴共有120600240960++=种涂色方法.故选：D.例6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有177C =种方法，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有66A种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有66725202A⨯=种不同的涂法.故选：D.例7．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A．240B．360C．420D．960【解析】由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360⨯⨯=种染色方法.设5种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607420⨯=（种）.故选：C例8．如图所示，将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为()A．33B．56C．64D．78【解析】记分隔边的条数为L，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L =，其次证明：56L ≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,B B B ，行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有j c 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ，所以()()()()()()()3333331111,,iiiji j j i i i j n A n B A c B c n c δδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑，由于染j c 色的格有21333633⨯=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定再这个a行和b 列的交叉方格中，从而363ab ≥，所以()()3839(1,2,3)j j n c a b n c j =+≥≥⇒≥=①，由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，于是至少有()1i n A -条分隔边，类似的，在列i B 中有()i n B 种颜色的方格，于是至少有()1i n B -条分隔边，则()()()()()()()3333113311166iiiii i i L n A n B n A n B ===≥-+-=+-∑∑∑②()3166j j n c ==-∑③下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=④由①③④得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥，从而，由式②知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56.故选：B.例9．如图给三棱柱ABC DEF -的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.【解析】首先先给顶点,,A B C 染色，有3424A =种方法，再给顶点D 染色，①若它和点B 染同一种颜色，点E 和点C 染相同颜色，点F 就有2种方法，若点E 和点C 染不同颜色，则点E 有2种方法，点F 也有1种方法，则,,D E F 的染色方法一共有2214+⨯=种方法，②若点D 和点B 染不同颜色，且与点C 颜色不同，则点D 有1种方法，点E 与点C 颜色不同，则点E 有1种方法，则点F 有1种方法，此时有1种方法；若最后E 与C 相同，则F 有2种方法，则共有2种方法；点D 与点C 颜色相同，则点D 有1种方法，则点E 有2种方法，则点F 有2种方法，共有224⨯=种方法，所以点D 和点B 染不同，颜色共有1247++=种方法，所以点,,D E F 的染色方法一共有4711+=种，所以共有2411264⨯=种方法.故答案为：264例10．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法【解析】先排I ，有5种方法；然后排II,IV ，最后排III ：①当II,IV 相同时，方法有44⨯种，故方法数有54480⨯⨯=种.②当II,IV 不同时，方法有433⨯⨯种，故方法数有5433180⨯⨯⨯=种.综上所述，不同的着色方法数有80180260+=种.故答案为：260例11．如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．【解析】分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有4424A =种涂法；（2）用三种颜色涂色，有34248A =种涂法；（3）用两种颜色涂色，有2412A =种涂法；所以共有涂色方法24481284++=.故答案为：84例12．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.【解析】从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类：一类是，前三个圆用3种颜色，有336A =种方法，后3个圆也有3种颜色，有11224C C =种方法，此时不同方法有6×4=24方法；二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有11326C C =方法.综上可知，所有的涂法共有()4246120⨯+=种方法.故答案为：120例13．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有_________种【解析】先对E 部分种植，有4种不同的种植方法；再对A 部分种植，又3种不同的种植方法；对C 部分种植进行分类：①若与A 相同，D 有2种不同的种植方法，B 有2种不同的种植方法，共有432248⨯⨯⨯=（种），②若与A 不同，C 有2种不同的种植方法，D 有1种不同的种植方法，B 有1种不同的种植方法，共有4321124⨯⨯⨯⨯=（种），综上所述，共有72种种植方法．故答案为：72.例14．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有_______种．【解析】依题意，I 、II 、III 区域有共同边颜色互不相同，按I 、II 、III 、IV 顺序着色，则区域I 有5种着色方法，区域II 有4种着色方法，区域III 有3种着色方法，IV 只与II 、III 相邻，因此区域IV 有3种着色方法，根据分步乘法计数原理，不同的着色方法种数为5433180⨯⨯⨯=.故答案为：180例15．现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有__________种(用数字作答).【解析】当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有12224A A = ，当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有122A =，则不同的涂法种数共有426+=种．故答案为：6．例16．四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为__________【解析】设五个区域分别为,,,,A B C D E ，依题意由公共边的两个区域颜色不同，用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同，可以是A 与C ，A 与E ，B 与E 同色，有涂色方法44372A =；或用三种颜色涂色，则有2组颜色同色，为A 与C 同色，B 与E 同色，有涂色方法3424A =，根据分类加法原理，共有涂色方法722496+=.故答案为：96.例17．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.【解析】对于1，有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有322112⨯⨯⨯=；若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有()322118⨯⨯+=⎡⎤⎣⎦，综上可知，共有121830+=种染色方法.故答案为：30.例18．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有4424A =种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；所以共有482448120++=种栽种方法.故答案为：120例19．给图中A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.【解析】解：要完成给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即AF 同色，BD 同色，CE 同色，则从四种颜色中取三种颜色有344C =种取法，三种颜色染三个区域有336A =种染法，共4624⨯=种染法；第二类是用四种颜色染色，即AF ，BD ，CE 中有一组不同色，则有3种方案(AF 不同色或BD 不同色或CE 不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有2412A =种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有312272⨯⨯=种染法．∴由分类加法原理得总的染色种数为247296+=种．故答案为：96．20．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）例21．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.【解析】（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1143C C 种，再对C 染色：①当C 同B 时，有1122C C 种；②当C 同A 时，有111322C C C + 种；③当C 不同A 、B 时，有111232()C C C +种；综合①②③共有11111111114322322232[()]252C C C C C C C C C C ++++= 种；（2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1154C C 种，再对C 染色：①当C 同B 时，有1133C C 种；②当C 同A 时，有111433C C C + 种；③当C 不同A 、B 时，有11113423()C C C C +种；综合①②③，共有1111111111154334333423[()]1040C C C C C C C C C C C ++++= 种.故答案为：252；1040.例22．如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有3344576A A =；（2）若B '，A '，A ，C 用四种颜色，则有4424A =；若B '，A '，A ，C 用三种颜色，则有33442222192A A ⨯⨯+⨯⨯=；若B '，A '，A ，C 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=.所以共有2419248++=264种．故答案为：①576；②264.。

排列组合中的染色问题

排列组合中的染色问题作者：林维祥来源：《学校教育研究》2017年第14期引言组合计数问题是组合数学的重要内容，也是竞赛数学不可或缺的重要组成部分，而染色问题是数学竞赛中常见的一类问题，也是与实际生活联系最为直接的内容. 若能顺利解决此类问题则其他排列组合问题也就迎刃而解了.解决组合计数问题的主要方法有枚举法、利用计数原理及基本公式、递推方法、容斥原理等，其中蕴含着分类讨论、转化和化归、函数与方程等数学思想。

所以，不同的着色方法共有 + =72（种）。

分析：如图3中第O块与每个小块都相邻，则其所涂的颜色必与剩余的任何一个小块的颜色不同；因此，当O块涂了四种颜色中的一种后，就只剩下三种颜色可供剩余的小块涂色，根据此分析，我们有如下证明：分析：图4中的图形相对图3增加了n个外面的半圆，而外面的半圆的染色数目只与相邻的小块颜色有关（如的颜色只与有关，即与颜色不相同）。

当里面的小块已经染色完毕后，还有m-1种颜色可供选择，同理均有m-1种颜色可供选择。

所以根据乘法原理共有种方法。

从上可知，常规的方法不仅繁杂而且容易遗漏；但是若能熟练运用式（*）或（**），则问题就变得简单易解，而且在解题过程中不会出现重复或遗漏的情况。

五年级奥数排列组合之染色

答案：八
东坡踏翠（打一中国数学家）
答案：苏步青
介绍一位数学家的成就或故事.
恭喜!恭喜! 请按这个按钮! 傻瓜哈!罚哈你!再对按自!己说:“你太粗心了！
没做出来啊？罚！你是哪队的就学哪队的叫声。哈哈！
泰山中无人无水。 (猜一数字)
答案：三
旭日东升。 (猜一数字)
答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ九
语言不通口难开。 (猜一数字)
一个数字3，走在路上翻了一个跟头，结果不小心以翻了一个。(打一成语)
答案：三翻两次
俄国大文豪托尔斯泰在谈到对人的评价时说：“一个人就好像一个分数，它的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。分母越大，则分数值就越小。”
把这句话背下来。
两只鸟儿并排飞，一只瘦来一只肥，一年中来一次，一月当中来三回。(打一数字)
一个点或同一条线段只能经过一
次.这只甲虫最多有多少种不同
的走法? A
B
C
D
E
例3：从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通,小杰从学校步行到少年宫(只许向东或向南行进)，最多有多少种走法？
学校
少年宫
如图,从P到Q共有多少种不同的最短路线？
P
Q
如图，长方体有12条棱，8个顶点，一只小蚂蚁从A点出发沿棱爬行,要经过每个顶点一次,且只经过一次.问共有多少种不同的走法?
例1:用红、黄、蓝三色给边长分别为3、4、5、 6、7的五边形的各边染色，要求相邻两边不许同色，共有多少种不同染法？
例3:地图上有A、B、C、
D、E五个国家用五种颜
色去染，要求相邻国家染
不同的颜色。问：有多少
种不同染法？

排列组合中涂色问题的常见方法和策略

排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有3A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

1.2.5排列组合中的涂色问题(北师大版)

面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6
个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
染色问题:
• 例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.
本类有 C35·C13·C12×2 种涂法．
第三类：用 5 色中的 4 色，有 C45·A44种涂法．由分类加法计数原理，共有涂法 C25·A22＋C35·C13·C12×2＋C45·A44＝260(种)．
法3——按涂色区域分类 A52 +2A53 +A54
【训练1】用4种不同的颜色涂入图中矩形A、B、 C、D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有多少种？
第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5 种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。
根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。
４、某城市在中心广场建造一个花圃，
5
花圃分为6个部分（色的花，每部分栽种一
法二 (按用色种数分类) 第一类：用 5 色中的两色，则 A、C 同色，B、D 同色，共有 C25·A22种涂法．第二类：用 5 色中的 3 色，选取 3 种颜色有 C35种选法，三色中的一种颜色涂 A，有 C13种涂法，一种颜色涂 B 有 C12种方法，若余下的一种颜色涂 C，则 D 与 B 同色．若余下的一种颜色涂 D，则 C 与 A 同色．故最后一种颜色有两种涂法．
解 (分步涂色)

解决排列组合中涂色问题专题讲座(有详细答案)

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；①②③④ ⑤⑥（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)

排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。

根据分步计数原理，不⨯⨯⨯=种。

同的涂色方法有54342402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。

例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：34、根据相间区域使用颜色分类讨论。

②当相间区域A 、C 、E 着两种不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F有322⨯⨯种着色方法，共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种方法。

③当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法，共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。

总计有108432192732++=种不同的涂色方法。

5、用数列递推公式解决扇形区域涂色问题。

例谈排列组合中的染色问题

例谈排列组合中的染色问题例1如图，若用m （m≥3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色），有多少种方法？解：以1和3（相间）涂色相同与否为分类标准：①1和3涂同一种颜色，有m 种涂法；2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法,∴ 共有 (1)(1)m m m ⋅-⋅-种涂法。

②1和3涂不同种颜色，有2m A 种涂法;2有m-2种涂法，4也有m-2种涂法，∴ 共有 2(2)(2)m A m m ⋅-⋅-种涂法。

综合①和②，共有(1)(1)m m m ⋅-⋅-+2(2)(2)m A m m ⋅-⋅-432463m m m m =-+-种涂法。

例2．在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案．解：以A 、C 、E （相间）栽种植物情况作为分类标准：①A 、C 、E 栽种同一种植物，有4种栽法；B 、D 、F 各有3种栽法，∴ 共有 4×3×3×3＝108 种栽法。

②A 、C 、E 栽种两种植物,有222432C C A 种栽法（24C 是4种植物中选出2 种，23C 是A 、C 、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物，22A 是选出的2种植物排列），B 、D 、F 共有3×2×2 种栽法（注：若A 、C 栽种同一种植物，则B 有3 种栽法，D 、F 各有2种栽法），222432322432C C A ∴⨯⨯⨯=共有种栽法。

③A 、C 、E 栽种3种植物，有34A 种栽法；B 、D 、F 各有2种栽法，∴ 共有 34A ×2×2×2＝192 种栽法。

综合①、②、③，共有 108+432+192=732种栽法。

例3．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．解：①首先栽种第1部分，有14C 种栽种方法；②然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示），对扇形2有3种栽种方法，扇形3有2种栽种方法，扇形4也有2种栽种方法，扇形5也有2种栽种方法，扇形6也有2种栽种方法．于是，共有432⨯种不同的栽种方法。

8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)

排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。

根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=种。

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。

例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：㈠②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种；㈡③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种；㈢②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A 种；㈣③与⑤同色、②与④同色，则有44A 种；㈤②与④同色、③与⑥同色，则有44A 种。

根据分类计数原理得涂色方法总数为445120A =。

例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。

现有4解析：依题意至少要用3种颜色。

①若用3种颜色，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，故有34A 种；②若用4种颜色，则区域2与4同色，区域3与5不同色，有44A 种；或区域3与5同色，区域2与不同色，有4种。

共有4种。

根据分类计数原理得满足题意的着色方法共有3444272A A +=。

3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。

从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。

例4、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解析：可把问题分为三类：①四格涂不同的颜色，有34A 种；②有且仅有两个区域颜色相同，即只有一组对角小方格涂相同的颜色。

排列组合中的染色问题(教师版)

排列组合中的染色问题辅导教师：朱屿电话：150****8809染色问题的基本要求：每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色; 染色问题的基本方法:先选色后涂色;染色问题的注意事项;分清区域数量和可供选择的颜色种类。

必要时可以对颜色或区域进行分类。

1.将A 、B 、C 三种不同的颜色，填到如图所示区域中，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，三种颜色都用到，则不同的涂法种数为（ 90种）解：906121212121213=-C C C C C C （详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有121212121213C C C C C C 种,但由于每种颜色都用到,所以总计有:（90种,）变式训练：1、如果方格数有变化，应该怎样解？2、如果颜色有变化呢？ 2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分不种同颜色的花，则不同的栽法种数为（120种）解：先安排六个区域的中1、2、3有2434=A 种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则余下的区域4、5、6的栽法有B-C-D ， B-D-C ， D-B-C ，D-B-D ，D-C-D 共计五种。

所以共计有24*5=120种。

3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260种）解法一：①.如果用4种颜色，有12045=A 种562341②.如果用3种颜色，选色有1035=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种，③.用2色图，20225=⨯C ，综上共计120+120+20=260种。

解法二：从五种颜色中选出两种涂到1、3有A 52=20种，然后涂4区域，分为两种情况：不妨假设1、3涂的是A 、B ，如果4中涂B ，4、2区域有4种涂法；如果4区域不是B ，4、2区域有3*3=9种涂法，所以总的涂法种数为A 52*（4+9）=260种。

排列组合中涂色问题1

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

组合数学中有关图形染色问题

组合数学中有关图形染色问题在优化组合中，有一类关键问题为染色问题，最为出名的则是”四色定理”，也就是用四种不相同的颜色将地图上各个国家标出，保证相邻的国家颜色互不相同。

染色问题针对的模型就是给n个区域染色，有N种颜色可供选择，要求相邻的区域颜色不同，一共有多少种不同染色方法？关于解法无非有具体针对的两类。

一，颜色备用型，就是颜色可以不用完。

1，如果是直链型，第一个有N种剩下的都为N-1种，则直链型共有N乘以(N-1)的（n-1）次方。

2，如果区域是地图型，如一个大圆，里边还有一个小圆，将圆环分为四个部分，给这五个区域染色，推导过程:（1），给公共相邻的区域先染色，共有N种不同方法。

（2），给其中一个区域染色，则共有N-1种方法。

（3），给另一个区域染色。

则共有N-2种方法。

（4），给再一个区域染色则当与第二个区域相同时，则有一种方法，与第二个不同时，则有N-3种方法。

（5），给最后一个区域染色，则与上个与第二个相同时，则有N-3种方法，当不同时则有N-3种方法。

综上则根据加法与乘法原理得共有N(N-1)(N-2)[(N-2)+(N-3)(N-3)]。

3，当图形为正方体时，给六个面染色时，利用上面相同的推导原理，根据加法与乘法原理得染色计算方法运算关系为N(N-1)(N-2)(N-2)+2N(N-1)(N-2)(N-3)+N(N-1)(N-3) (N-4)(N-4)种不同染色方法。

二，颜色用完型，也就是颜色必须用完，对于此类问题N必须小于等于n，如是区域种植问题，还是上面第一类图形，大圆中有个小圆，圆环有四部分，用四种颜色图，共有多少种不同染色方法，根据推导过程，根据乘法与加法原理得共有48种不同染色问题。

区域种植问题还是上面第一类图形，大圆中有个小圆，圆环有五部分，用四种颜色图，共有多少种不同染色方法，根据推导过程，根据乘法与加法原理得共有120种不同染色问题。

如果是直链型，如三种作物种五块地，根据乘法与加法原理得共有42种不同染色问题。

排列组合中的染色问题

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排列组合中的染色问题
作者：林维祥
来源：《学校教育研究》2017年第22期
引言组合计数问题是组合数学的重要内容，也是竞赛数学不可或缺的重要组成部分，而
染色问题是数学竞赛中常见的一类问题，也是与实际生活联系最为直接的内容. 若能顺利解决此类问题则其他排列组合问题也就迎刃而解了.
解决组合计数问题的主要方法有枚举法、利用计数原理及基本公式、递推方法、容斥原理等，其中蕴含着分类讨论、转化和化归、函数与方程等数学思想。

在平时遇到的某些计数问题（如染色问题）看似排列组合类应用题，但又复杂万分，若从元素递增的角度考虑，建立递
推数列就能迎刃而解.。

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